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卡尔曼滤波的基本原理

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    卡尔曼滤波的基本原理

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    第8卷 第 l1期  2009年 I1月  软 件 导 刊  SoftwareGuide  Vo1.8 NO.1l  NOV.2oo9  卡尔曼滤波 的基本原理及应用  彭 丁 聪  (中国地质 大 学 研 究 生院 ,湖北 武汉 430074)  摘  要 :卡 尔曼滤波在 信号 处理 与 系统控制 领域 应用 广泛 ,目前 ,正越 来越 广 泛地应 用 于计 算机 应 用的各 个领域 。为  了更好 地理 解卡 尔曼滤波 的原理 与进行 滤 波算 法的设计 工作 ,主要从 两方 面对卡 尔曼滤 波进 行 阐述 :基 本 卡 尔曼滤  波 系统模 型 、滤 波模 型的建 立 以及非 线性卡 尔曼滤波 的线性 化 。最后 ,对卡 尔曼滤波 的应 用做 了简单介 绍 。  关 键 词 :卡 尔 曼 滤 波 ;系统 模 型 ;线 性 化  中图分 类号 :TP319  文献标识 码 :A  文章编 号 :1672—7800(2009)11-0032—03  O  引 言  1960年 .卡尔 曼发 表了用递 归方法 解决 离散数 据线 性滤 波  问题 的 论 文 (A New Approach to Linear Filtering and Prediction Pro  blems)。在这篇文章里 ,一种克服 了维纳滤波缺点的新方法被提出  来 ,这 就是我们今天称之为卡尔曼滤波的方法 。卡尔曼滤波应用广  泛且 功能强大 ,它可 以估计信号的过去和当前状态 ,甚至能估计将  来的状态 ,即使并不知道模型的确切性质。  本 质 上来 讲 ,滤波 就是 一个 信号 处 理 与变 换 (去除 或减 弱  不想要 的成 分 ,增强所 需成 分 )的过 程 ,这个 过程 既可 以通过 硬  s),被 动雷 达 的扫 描周 期 为 T=ls,状 态 噪声 为相 互独 立 的零 均  值 的高斯 白噪声 ,传感 器对 目标 的测 量误 差 均方差 分别 为 :  0,o- ̄=10;运用 本 文介绍 的 伪线 性卡 尔曼 滤波 方法 对上 述运 动  目标 进行 跟踪 。进行 蒙特 卡洛仿 真试 验 。所得 到 的位 置滤 波结  果 和 速 度 方 向 上 的均 方 误 差 ,见 如 图 2到 图 5。  4 结束语  采 用 伪 线 性 卡 尔 曼 滤 波 算 法 ,在 参 数 估 计 的 收 敛 速 度 和 收  敛 精 度 上 有 明 显 的改 善 ,在 很 大 程 度 上 克 服 了 非 线 性 问 题 线 性  化 时 ,线性 化误差 导致 的不 良结果 。通过 伪量 测变 量 的引入 ,对  量测 矩 阵进行 重新构 造 ,使 得 系统量 测矩 阵是 量测 角 的 函数 ,  并 且具有 线性 形式 。该算 法降低 了对 模 型精度 的要 求 ,改 进 了  扩 展卡 尔曼 滤 波 的发 散 问题 .具 有 较好 的 稳定 性 ,在 一 定 的误  差范 围 内可 以快 速实 现对 空 间 目标定位 。但 伪线性 卡尔 曼滤波  算法 存在 稳态 有偏估 计 的问题 ,这 有待 于进一 步研究 解决 。  参 考文献 :  [1]  郭福 成 ,孙 仲康 ,安玮.对运 动辐射 源 的单站 无源伪 线性 定位跟 踪  算 法[J].宇航 学报 ,2002(5).  [2] 程 咏梅 .主/被 动传 感 器 自适 应 协 同跟 踪 算 法研 究 [D].西北 工 业  大 学 .2001.  [3] 钟 晓 军 ,王 国宏 ,等.伪 线性 滤 波在 导弹 纯方 位跟 踪 中的应 用 [J].  飞 航 导 弹 ,2004(5).  [4]  AIDALA V.J.Kalman behavior in bearings-only tracking appliea-  tions.IEEE Trans.On AES,V0l|15,No.1,1979:29—39.  [5] 许耀 伟 ,周一 宇 ,孙仲 康.引入 测频 信 息对运 动辐 射源进 行无 源被  动 定位 的研 究[J】.电光与控 制 ,1998(4).  (责任编 辑 :卓 光 )  Pseudo-linear K alm an Filter in Passive Target Tracking  Abstract:For only targets tracking,Pseudo—linear Kalman filter algorithm is an effective method of tracking filter.This method can be a  good movement on the target state estimates.T h e simulation proved that the method reduces the reqwirement of the accuracy about the  model,and has good stability.  Key W ords:Pseudo-linear Kalman Filter;Beatings—only;Target Tracking  作者 简 介 :彭丁聪 (1983一),男 ,湖 南隆 回人 ,中国地 质大 学研 究生 院硕 士研 究 生 ,研 究方 向为数 据挖掘 、智 能计算 。  第 l】期  彭 丁聪 :卡尔 曼滤 波 的基本 原理 及应 用  ·33 ·  件来 实现 ,也 可 以通过 软件来 实 现 。卡 尔曼 滤波 属于 一种 软 件  滤波 方法 ,其 基本思 想是 :以最小 均方 误差 为最 佳估 计 准则 ,采  用信 号与 噪声 的状态 空间模 型 ,利用 前一 时刻 的估 计值 和 当前  时刻 的观测 值来 更新 对状 态变 量 的估计 ,求 出当前时 刻 的估 计  值 .算法 根据 建立 的系统 方程 和 观测方 程对 需要 处理 的信 号做  出满 足最小 均方 误差 的估计 。  后验 估计 误差 的协 方差 矩 阵为 :  : E(Ek  )  (8)  式 (9)构 造 了 卡 尔 曼 滤 波 器 的 表 达 式 :先 验 估 计 艾 和 加 权   的测 量变 量  及其 预测 日爻 之 差 的线 性组 合构 成 了后 验状 态  估计  :  1 离散 线 性 卡 尔 曼滤 波  Xk=Xk-+K(  -Xk-)  (9)  最 初 的卡尔曼 滤 波算法 被称 为基 本卡 尔曼滤 波算 法 .适 用  于解决 随机 线性 离散 系统 的状态 或参 数估 计 问题 。  1.1 建 立 系 统 数 学 模 型  在 实 际 应 用 中 ,我 们 可 以 将 物 理 系 统 的 运 行 过 程 看 作 是 一  个 状态转 换过 程 。卡 尔曼滤 波将 状态 空间理 论 引人 到对物 理 系  统 的数学 建模 过程 中来 ,其 假设 系统状 态可 以用 n维 空 间的 一  个 向量 X∈R“来表示 。为 了描述 方便 ,我们 作 以下 假设 :① 物 理  系统的状态转换过程可以描述为一个离散时间的随机过程 ;②  系统状态受控制输入的影响;③ 系统状态及观测过程都不可避  免受 噪声 影 响 ;④ 对 系统 状态 是非 直接 可观 测 的。  在 以 上 假 设 前 提 下 ,定 义 系 统 状 态 变 量 为 X ∈R ,系 统 控   制 输 入 为  ,系 统 过 程 激 励 噪 声 为  ,可 得 出 系 统 的 状 态 随  机 差 分 方 程  为 :  x k=AX k l+BUk+W k  — (1  定 义 观 测 变 量  ER ‘,观 测 噪 声 为  ,得 到 量 测 方 程 :  删 =  +  (2)  假设  ,  为相 互 独立 ,正 态分 布 的 白色 噪声 ,过程 激 励  噪声协 方差矩 阵为 Q,观 测噪声 协方 差矩 阵为 R,即 :  w 一 Ⅳ(0,Q)  (3)  一Ⅳ(0,R)  (4)  A,曰,  我们 统 称 为状态 变换 矩 阵 ,是 状 态变 换 过程 中的  . 调 整 系数 ,是 从 建立 的 系统 数学 模 型 中导 出来 的 ,这儿 我 们假  设 它们是 常数 。  1.2 滤 波 器 计 算 原 型  从 建立 的 系统数学 模 型出发 ,可 以导 出卡 尔曼 滤 波的 计算  原 型 ,包 括 :时 间 更 新 方 程 和 测 量 更 新 方 程 。 为 了便 于 描 述 ,做   以下说明:(1)兄∈R ,第 .1}步之前的状态已知的情况下第 k步  的先 验状 态估计 值 (一代 表先 验 ,  代 表估 计 );(2)  ∈R ,测量  变 量  已知情 况 下第 k步 的后验 状 态估 计值 。 由此 定 义 先验  估 计 误 差 和 后 验 估 计 误 差 :  Ek-=X -X 一  (5)  Ek  -X  先 验 估 计 误 差 的协 方 差 矩 阵 为 :  Pk-=E(Ek—既 )  (6)  (7)  式 中测 量 变量 及 其 预 测值 之 差 (  一爻 一)反 映 了预 测值 和  实际值 之 间的不 一致 程度 ,称 为测 量过 程 的残余 。nxm 阶矩阵  叫 做 残余 的增 益 ,作用 是使 (1.8)式 中 的后 验 估 计误 差 协 方  差 最小 。可 以通 过 以下步 骤求 出 K:将 (1.9)式代 入 (1.6)式 代入  (1.8)式 ,将  对  求 导 ,使一 阶导 数 为零 ,可 以求 出  (具体 推  导过 程参 见 文献 ),K 的一种 形式 为 :  = Pk 日 (日Pk  )  (1O)  对 卡 尔 曼 增 益   的 确 定 是 建 立 滤 波 模 型 的 关 键 步 骤 之  一 它 能显著 影 响模型 的效 率 。  . 1.3 滤 波 器 模 型 的 建 立  卡尔曼 滤波 器包 括两 个 主要过 程 :预估 与校 正 。预估 过程  主要 是利 用时 间更新 方 程建 立对 当前状 态 的先验 估计 .及时 向  前推 算 当前状 态变 量和 误差 协方 差估计 的值 ,以便 为下 一个 时  间状 态 构造 先 验估 计 值 ;校 正 过程 负 责反 馈 ,利 用 测量 更 新方  程 在 预估 过 程 的先 验估 计 值 及 当前 测量 变 量 的基 础上 建 立起  对 当 前 状 态 的 改 进 的 后 验 估 计 。 这 样 的 一 个 过 程 。我 们 称 之 为  预估一校正 过程 ,对应 的这种估 计 算法称 为 预估一校 正算 法 。以  下 给 出离散 卡尔 曼滤 波 的时 间更 新方 程 和状 态更新 方程 。  时 问 更 新 方 程 :  X -=AXk_1+  一1  Pk-=A  一  r+Q  状 态 更 新 方 程 :  = P,-H (日Pk  r+R)  (1 1)  (12)  (13)  X x +Kk(Z HX  t14)  P.  ̄=(I-KkH)  在 上 面 式 中 .各 量 说 明 如 下 :  (15)  A:作 用在  上 的 /1,XD,状态 变换 矩 阵  :作用 在控 制 向量  一 上 的 nxl输 入控 制矩 阵  H:rrtxrt观测 模 型矩 阵 .它把 真 实状 态 空 间 映射成 观 测 空  间 Pk一:为 rtxrt先验 估计 误 差协 方差 矩 阵  :为 nxrt后 验估 计 误  差协 方 差矩 阵 Q:rtXrt过 程 噪声 协 方 差 矩 阵 R:mxm 过 程 噪声  协 方 差 矩 阵 ,:rtxrt阶 单 位 矩 阵 KI,:nxm 阶 矩 阵 , 称 为 卡 尔 曼 增  益或 混合 因数 ,作 用是 使后 验估 计误 差协 方差最 小 前面 描述 的  卡尔 曼 滤波 器估 计 一个 用 线 性 随机 差分 方 程描 述 的 随机 过程  的 状 态 变 量 X ∈  ,那 么 对 于 系 统 模 型 是 非 线 性 的情 形 ,又 该   怎么做 呢 ?扩展 的卡 尔曼 滤 波 (Extended Kalman Filter)器给 出  · 34 ·  软 件 导 刊  2009拄  这种情 形 的一种 解法 ,同 Talyer级数类 似 ,面对 非 线性 关 系时 ,  我们 可 以通过 求过程 方 程 和量测 方程 的偏 导 来线 性化 4、 .并  计算 当前估计 量 。不 同于基本 卡尔 曼滤 波 (KF)过程 ,扩展 卡尔  曼 滤 波 (EKF)过 程 中 的 因 子 矩 阵 (A ,  ,日 ,  )是 时 刻 变 化 的 ,  因此 加下 标 k(k表示 k时 刻 )以示标 记 。扩展 滤 波器 (EKF)的  基本工 作步 同基本 滤波 器 的工作 步一样 ,两者 的主要 区别 在于  非线性 情形 下需 要进行 线性 化处 理 ,且 因子矩 阵一般 都 随时 问  变化 (与 时刻 k有关 )。但 是值 得注 意 的是 ,经线 性变 换后 系统  噪声 及量测 噪声 不再 服从 高斯 分布 。  2 卡尔 曼 滤 波 的应 用  图 2 卡 尔曼 滤 波 器 应 用 示 意  随着 卡尔 曼滤 波理论 的发 展 ,一些 实用卡 尔曼 滤波 技术 被  提 出 来 ,如 自适 应 滤 波 ,次 优 滤 波 以 及 滤 波 发 散 抑 制 技 术 等 逐   渐得 到广泛应 用 。其 它 的滤波 理论 也迅 速发展 ,如 线性 离散 系  统 的分解 滤 波 (信 息平 方根 滤 波 ,序 列平 方根 滤 波 ,UD分 解 滤  波 ),鲁 棒滤 波 (日∞波 )。  卡 尔 曼 滤 波 器 (Kalman Filter)是 一 个 最 优 化 自 回 归 数 据 处   理 算 法 (optimal recursive data processing algorithm),它 的 广 泛  应 用 已 经 超 过 3O年 ,包 括 航 空 器 轨 道 修 正 、机 器 人 系 统 控 制 、  雷达 系统与 导弹追 踪 等 。近年来 更 被应用 于组 合导航 与 动态定  位 ,传感 器数据 融合 、微 观经 济学 等应用 研究 领域 。特别 是在 图  像 处 理 领 域 如 头 脸 识 别 、图 像 分 割 、图像 边 缘 检 测 等 当 前 热 门  研 究 领 域 占有 重 要 地 位 。  卡 尔 曼 滤 波 作 为 一 种 数 值 估 计 优 化 方 法 ,与 应 用 领 域 的 背  景 结 合 性 很 强 。 因 此 在 应 用 卡 尔 曼 滤 波 解 决 实 际 问 题 时 。重 要  的不 仅仅是 算法 的实 现与 优化 问题 ,更 重要 的是利 用获 取 的领  域 知识 对 被认识 系统 进行 形 式化 描述 ,建 立 起精 确 的数 学 模  型 ,再 从 这 个 模 型 出 发 ,进 行 滤 波 器 的 设 计 与 实 现 工 作 。  滤 波 器 实 际 实 现 时 。测 量 噪 声 协 方 差  一 般 可 以观 测 得  到 ,是滤 波器 的 已知 条件 。它可 以通 过离 线获 取一些 系统 观测  值计 算 出来 。通 常 ,难 确定 的是 过程 激励 噪 声协 方差 的 p值 ,  因为 我 们 无 法 直 接 观 测 到 过 程 信 号 。一 种 方 法 是 通 过 设 定 一 个  合适 的  ,给 过程信 号 “注入 ”足够 的不 确定 性来 建立 一个 简 单  的可 以产 生可 接受结 果 的过程 模型 。为 了提高 滤波器 的性 能 .  通常 要按 一定标 准进 行系 数 的选择 与调整 。  基 本 卡 尔 曼 滤 波 (KF)器 限 定 在 线 性 的 条 件 下 ,在 大 多 数  的非 线 性 情 形 下 ,我 们 使 用 扩 展 的 卡 尔 曼 滤 波 (EKF)器 来 对 系  统 状 态 进 行 估 计 。为 了更 直 观 理 解 卡 尔 曼 滤 波 .给 出 卡 尔 曼 滤  波 应 用 示 意 网 ,如 图 2所 示 :  3 结 束 语  本 文 在 线 性 离 散 系 统 的 假 设 前 提 下 阐 述 了 基 本 卡 尔 曼 滤  波 的 原理 ,主要 从两 个 方 面进 行 阐述 :① 系统 过 程模 型及 测量  模 型 建 立 ,主 要 是 建 立 系 统 的 状 态 差 分 方 程 及 量 测 方 程 ,以 及  确 定 系统 噪 声 、测 量噪 声 的统计 特 性 .用 统计 测 量 的方法 进 行  噪声 相关 参 数 的估计 ,建立 系 统过 程 的数 学模 型 ;② 滤 波器 计  算 模 型 的建 立 .以数学 模 型为 基础 ,确定 滤 波器 的 时 间更 新 方  程 及 状 态 更 新 方 程 ,主 要 在 滤 波 器 系 数 的确 定 包 括 状 态 转 换 矩  阵及 相关 因子矩 阵 。最后 对滤 波器 的应用 作 了简要 总结 。  参 考 文 献  [1]  GREG WELCH,GARY BISH0P.An Introduction to the kalman f il  ter[J].Department of Computer Science University of North Carolina  at Chapel Hill Chapel Hill,NC27599—3175,2006.  [2] PETER S.MAYBECK.Stochastic models,estimation and control(Vol  umeI)[M].Academic Press New York,San Francisco,London,  1979.  [3]  龚文 引.演化 Kalman滤波及 其应 用研 究[D].武汉 :中国地质 大 学  研 究 生 院 .2007.  [4] 付 梦 印 ,邓 忠 红 ,张 继 伟 .Kalman滤 波 理 论 及 其 在 导 航 系 统 中 的  应 用[M].北京 :科 学出版社 ,2003.  [5] 敬 喜.卡 尔 曼滤 波 器及 其 应 用基 础 [M].北京 :国防 工 业 出版社 ,  l973.  (责 任 编 辑 :王 钊 )  Basic Principle and Application of Kalm an Filter  Abstract:Kalman Filtering has been widely used in the f ield of signal processing and system control since many years ago.And now,it is  adopted widely in the field of computer science.In order to understand the basic principal of Kalman Filtering well and give a good  support on the algorithm design work of it,this paper mainly introduces it from two aspects:how to build system models and f ilter ing  models of Kalman Falter,and how to deal with the linearization of the nonlinear kalman filtering.Finally,a brief introduction on the  applications of Kalman Filtering is depicted.  Key W ords:Kalman Filter;System Model;Linearization 

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