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傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换最全攻略

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    傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换最全攻略

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    傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换最全攻略 傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换的联系?他们的本质和区别是什么?为什么要进行这些变 换。研究的都是什么?从几方面讨论下。 这三种变换都非常重要!任何理工学科都不可避免需要这些变换。 傅立叶变换,拉普拉斯变换, Z 变换的意义 【傅里叶变换】在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声 学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中,傅里叶变换 的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量)。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它 们的积分的线性组合。在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅 里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法,一种工具,一种看待问题的角度。理解的关键是: 一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加,从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来 的信号,将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的,不知不觉中,其实是按照时间把信 号进行分割,每一部分只是一个时间点对应一个信号值,一个信号 是一组这样 的分量的叠 加。傅里叶变换后,其实还是个叠加问题,只不过是从频率的角度去叠加,只不过每个小信 号是一个时间域上覆盖整个区间的信号,但他确有固定的周 期,或者说,给了一个周期, 我们就能画出一个整个区间上的分信号,那么给定一组周期值(或频率值),我们就可以画出 其对应的曲线,就像给出时域上每一点的 信号值一样,不过如果信号是周期的话 ,频域的 更简单,只需要几个甚至一个就可以了,时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数 值。 傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式;逆傅里叶变换恰 好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以,当然把证明看懂了更好。 对一个信号做傅里叶变换,可以得到其频域特性,包括幅度和相位两个方面。幅度是表 示这个频率分量的大小,那么相位呢,它有什么物理意义?频域的相位与时域的相位有关系 吗?信号前一段的相位(频域)与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。 傅里叶变换就是把一个信号,分解成无数的正弦波(或者余弦波)信号。也就是说,用无 数的正弦波采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就 为采用直观和简便的图解 方法来确定控制系统的整个特性(见信号流程 图、动态结构图)、分析控制系统的运动过程 (见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法),以及综合控制系统的校正装置(见控制系统校正方法) 提供了可能性。 【拉普拉斯变换】工 程数学中常用的一种积分变换。它是为简化计算而建立的实变量 函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换,并在复数域中作 各种运 算,再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果,往往比直接在实 数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解 线性微 分方程尤为有效,它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理,从而使计算简化。在经 典控制理论中,对控制系统的分析和综合,都是建立在拉普拉斯变 换的基础上的。 拉普拉斯变换在工程学上的应用:应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程,可以将微 分方程化为代数方程,使问题得以解决。在工程学上,拉普拉斯变换的重大意义在于:将一 个信号从时域上,转换为复频域(s 域)上来表示;在线性系统,控制自动化上都有广泛的应 用。 【Z 变换】在数字信号处理中,Z 变换是一种非常重要的分析工具。但在通常的应用中, 我们往往只需要分析信号或系统的频率响应,也即是说通常只需要进行傅里叶变换即可。 那么,为什么还要引进 Z 变换呢? 【三者关系】 Z 变换和傅里叶变换之间有存在什么样的关系呢?傅里叶变换的物理意义非常清晰:将 通常在时域表示的信号,分解为多个正弦信号的叠加。每个正弦信 号用幅度、 频率、相位 就可以完全表征。傅里叶变换之后的信号通常称为频谱,频谱包括幅度谱和相位谱,分别表 示幅度随频率的分布及相位随频率的分布。在自然界,频率是 有明确的物理意义的,比如 说声音信号,男同胞声音低沉雄浑,这主要是因为男声中低频分量更多;女同胞多高亢清脆, 这主要是因为女声中高频分量更多。对一个 信号来说,就包含的信息量来讲,时域信号及 其相应的傅里叶变换之后的信号是完全一样的。那傅里叶变换有什么作用呢?因为有的信号 主要在时域表现其特性,如 电容充放电的过程;而有的信号则主要在频域表现其特性,如机 械的振动,人类的语音等。若信号的特征主要在频域表示的话,则相应的时域信号看起来可 能杂乱无 章,但在频域则解读非常方便。在实际中,当我们采集到一段信号之后,在没有 任何先验信息的情况下,直觉是试图在时域能发现一些特征,如果在时域无所发现的 话, 很自然地将信号转换到频域再看看能有什么特征。信号的时域描述与频域描述,就像一枚硬 币的两面,看起来虽然有所不同,但实际上都是同一个东西。正因为 如此,在通常的信号 与系统的分析过程中,我们非常关心傅里叶变换。 既然人们只关心信号的频域表示,那么 Z 变换又是怎么回事呢?要说到 Z 变换,可能还 要先追溯到拉普拉斯变换。 拉普拉斯变换是以法国数学家拉普拉斯命名的一种 变换方法,主要是针对连续信号的 分析。拉普拉斯和傅里叶都是同时代的人,他们所处的时代在法国是处于拿破仑时代,国力 鼎盛。在科学上也取代英国成为当时世 界的中心,在当时众多的科学大师中,拉普拉斯、 拉格朗日、傅里叶就是他们中间最为璀璨的三颗星。傅里叶关于信号可以分解为正弦信号叠 加的论文,其评审人即 包括拉普拉斯和拉格朗日。 回到正题,傅里叶变换虽然好用,而且物理意义明确,但有一个最大的问题是其存在的 条件比较苛刻,比如时域内绝对可积的信号才可能存在傅里叶变 换。拉普拉斯 变换可以说 是推广了这以概念。在自然界,指数信号 exp(-x)是衰减最快的信号之一,对信号乘上指数 信号之后,很容易满足绝对可积的条件。因此将原始信 号乘上指数信号之后一般都能满足 傅里叶变换的条件,这种变换就是拉普拉斯变换。这种变换能将微分方程转化为代数方程, 在 18 世纪计算机还远未发明的时候, 意义非常重大。从上面的分析可以看出,傅里叶变换 可以看做是拉普拉斯的一种特殊形式,即所乘的指数信号为 exp(0)。也即是说拉普拉斯变 换是傅里叶变换 的推广,是一种更普遍的表达形式。在进行信号与系统的分析过程中,可 以先得到拉普拉斯变换这种更普遍的结果,然后再得到傅里叶变换这种特殊的结果。这种由 普遍到特殊的解决办法,已经证明在连续信号与系统的分析中能够带来很大的方便。 Z 变换可以说是针对离散信号和系统的拉普拉斯变换,由此我们就很容易理解 Z 变换的 重要性,也很容易理解 Z 变换和傅里叶变换之间的关系。Z 变换中的 Z 平面与 拉普拉斯中 的 S 平面存在映射的关系,z=exp(Ts)。在 Z 变换中,单位圆上的结果即对应离散时间傅里 叶变换的结果。 傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换之间最本质的区别 傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的 基本正弦(余弦)信号组合而成,傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦(余弦)信号中振幅 较大(能量较高)信号对应的频率,从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。 拉普拉斯变换 定义式:设有一时间函数 f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞单边函数 ,其中,S=σ+jω 是复 参变量,称为复频率。左端的定积分称为拉普拉斯积分,又称为 f(t)的拉普拉斯变换; 右端的 F(S)是拉普拉斯积分的结果,此积分把时域中的单边函数 f(t)变换为以复频率 S 为自变量的复频域函数 F(S),称为 f(t)的拉普拉斯象函数。 以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换,称为单边拉普拉斯变换。 如 f(t)是定义在整个时间轴上的函数,可将其乘以单位阶跃函数,即变为 f(t)ε(t), 则拉普拉斯变换为 F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt 其中积分下标取 0-而不是 0 或 0+ ,是为了将冲激函数 δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯 变换的范围。 z 变换可将分散的信号(现在主要用于数字信号)从时域转换到频域。作用和拉普拉斯变 换(将连续的信号从时域转换到频域)是一样的。 拉普拉斯变换是将时域信号变换到“复频域”,与傅里叶变换的“频域”有所区别。 FT[f(t)]=从负无穷到正无穷对[f(t)exp(-jwt)]积分 ,LT[f(t)]=从零到正无穷对 [f(t)exp(-st)]积分 ,(由于实际应用,通常只做单边拉普拉斯变换 ,即积分从零开始) . 具体地,在傅里叶积分变换中,所乘因子为 exp(-jwt),此处,-jwt 显然是为一纯虚数;而 在拉普拉斯变换 中,所乘因子为 exp(-st),其中 s 为一复数:s=D+jw,jw 是为虚部,相当 于 Fourier 变换中的 jwt,而 D 则是实部,作为衰减因子,这样 就能将许多无法作 Fourier 变换的函数(比如 exp(at),a>0)做域变换。 拉普拉斯变换 主要用于电路分析,作为解微分 方程的强有力工具(将微积分运算转化为乘除运算)。但随着 CAD 的兴起,这一作用已不怎么 受重视了,但关于其收敛域的分析 (零极点图)依然常用。 Fourier 变换则随着 FFT 算法(快 速傅立叶变换)的发展已经成为最重要的数学工具应用于数字信号处理领域。 而 Z 变换,简单地说,就是离散信号(也可以叫做序列)的拉普拉斯变换 ,可由抽样信 号的拉普拉斯变换 导出(如果你想要更多,我可以导给你看),表示式如下: ZT[f(n)]=从 n 为负无穷到正无穷对[f(n)Z^(-n)]求和 ,其所变换的域称之为“Z 域”。 傅立叶变换是拉普拉斯变换的一种特例,在拉普拉斯变换中,只要令 Re[s]=1,就得到 傅立叶变换。当然,两者可以转换的前提是信号的拉普拉斯变换的收敛域要包含单位圆(即 包含圆周上的点)。 很多信号都不一定有傅立叶变换,因为狄力克雷条件比较苛刻,而绝大多数信号都有拉 普拉斯变换。故对于连续信号,拉普拉斯变换比傅立叶变换用得更广泛。 两者的共同点:都把时域函数转换为频域函数(对于拉普拉斯变换来说,是转到复频域 上)。另外,两者都能很方便地解出低阶微分方程。 这三种变换的本质是将信号从时域转换为频域。傅里叶变换的出现颠覆了人类对世界的 认知:世界不仅可以看作虽时间的变化,也可以看做各种频率不同加权的组合。举个不太恰 当的例子:一首钢琴曲的声音波形是时域表达,而他的钢琴谱则是频域表达。 三种变换由于可以将微分方程或者差分方程转化为多项式方程,所以大大降低了微分 (差分)方程的计算成本。 另外,在通信领域,没有信号的频域分析,将很难在时域理解一个信号。因为通信领域 中经常需要用频率划分信道,所以一个信号的频域特性要比时域特性重要的多。 具体三种变换的分析(应该是四种)是这样的: 傅里叶分析包含傅里叶级数与傅里叶变换。傅里叶级数用于对周期信号转换,傅里叶变 换用于对非周期信号转换。 但是对于不收敛信号,傅里叶变换无能为力,只能借助拉普拉斯变换。(主要用于计算 微分方程) 而 z 变换则可以算作离散的拉普拉斯变换。(主要用于计算差分方程) 从复平面来说,傅里叶分析直注意虚数部分,拉普拉斯变换则关注全部复平面,而 z 变换则是将拉普拉斯的复平面投影到 z 平面,将虚轴变为一个圆环。(不恰当的比方就是那 种一幅画只能通过在固定位置放一个金属棒,从金属棒反光才能看清这幅画的人物那种感 觉。) 傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换公式 1.傅里叶级数 2.非周期傅里叶变换和逆变换 傅里叶变换的性质 3.非周期序列傅里叶变换 1.定义 一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系,可用序列的傅里叶变换来表示。若设离 散时间非周期信号为序列 x(n),则序列 x(n)的傅里叶变换(DTFT)为: 当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是(0,2π)或其它任何一个周期。 2.离散时间序列傅里叶变换存在的条件: 离散时间序列 x(n)的傅里叶变换存在且连续的条件为 x(n)满足绝对可和。即: 反之,序列的傅里叶变换存在且连续,则序列一定是绝对可和的。 表 3-1 给出了常用序列的傅里叶变换,这在以后的实际应用中很重要。 3.1.2 非周期序列傅里叶变换的性质 从序列傅里叶变换定义式(3-1-1)可知,非周期序列的傅里叶变换就是序列的 z 变换在 单位圆上的取值(当序列的 z 变换在单位圆上收敛时),即: 因此,非周期序列傅里叶变换的一切特性,皆可由 z 变换得到。正因如此,下面所述的 性质,读者可仿 z 变换性质的证明方法进行证明,在这里就不一一证明了。 表 3-1 序列的傅里叶变换的性质 表 3-2 常用序列傅里叶变换 4. 拉普拉斯变换 附录 A 拉普拉斯变换及反变换 1. 表 A-1 拉氏变换的基本性质 2.表 A-2 常用函数的拉氏变换和 z 变换表 5. Z 变换 1 Z 变换的定义 常用 z 变换的基本性质和定理

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