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测度论讲义

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标    签:测度论

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控制理论的基础数学课,研究生必读课

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B i=1 Ñ ³¤ ℄ f a, b Riemann Ú Ñ§[a, b] ℄ Ô 1¥ «½¦ Ú Ñ¹¬ 1 Ô 2¥ ¤Ð ±©¦ f [a, b] ℄¹¬ 1¦ Ô f ∈ R[a, b] ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0, ϲ ÊÔP, λP < §ÄÀ δ, ω(f, ∆xi) < ε ω(f, ∆xi) Ñ f Ê¢ ∆xi ℄ Ì ¦ ÝÔ §Þ ¤¹°Ü¥¤ 2 f ∈ R[a, b] ⇐⇒ m∗(D(f )) = 0 D(f ) Z orich ¦ ÄÀ ¤ p-346 D(f ) Ñf Ê¢ [a, b] ℄ ¢ ÜЧm∗(E) ¤ÜÐ E ° ¥ ³¤Ó¦ 3¦ ¦ p-345 Ô ℄¼ ÚÊ «¼ ÚÊ ¥¤ f ∈ R[a, b] ⇐⇒ I(f )= I(f ) Zorich 1 Ñ Ë Ú¡Ì¸ Ñ ¢ Ü ¡½ ¢Í 2 ℄ ¨Ý ѧ۾ ÁÜ §1.2 ¤¡ © ¡ Dirichlet Ô 1 Dirichlet Ñ ³¤© ¨Ý Ñ  D(x) =  1, x∈ [0, 1] \ Q  0, x∈ [0, 1] ∩ Q ¹¬ ѧ¸℄© Ú ÃÀÏ Ñ É Dirichlet ¥ ¦Ú £ Ñ Ú§ ¦ Ñ ·Æ£ ²§ ° ½ Ñ Ú ¬ Dirichlet ² Ø ° ¨¤±§ ¶ ¡Ê ¤ 5 ¿ 10 ¿ 100 ¥§ ­ ¨¹ ¥ ¥Î ɱ¿Ä Á ¦ ½¦ 5 ¿½ 10 ¿ Ê Î ¥5 £ 100+10 £ 100¦§ ÊÇ ¶ »ÚÊ ³§ Æ x à ´ §y à ´¡ ÚÊ Riemann »­ Ä¥ Ö É¡ Á ­ ¡ §Ó ³Úʧ Ñ f(x) ¾ [α, β] ÏÊÔ § ³ § § P = {α = y1 < y2 < ...... < yn = β} Ai = {x|yi−1 f (x) yi} ηi ∈ (yi−1, yi) ¦ ¹ Ó ¡ÚÊ ¢S(f, P) = §ÃÀ ¤ÜÐ ηi|Ai| |Ai| Ai ¡½ ¢§ f Ê¢ [a, b] ℄ ³ Ñ §Ai ¤¹¯À Ê¢ §Ai Ê¢ ² Ð Ai °Ý Ai ¡½ ¢¥size¦ ¦ Ó Û¾ Í ¥ß § »℄Ð Dirichlet ѧ¦ Õ · ¨ ¹ С º¢ 2 §2 Öѳ ¨¶ Ö §2.1 ¨ Õн º℄¬ Û¾ § ³ Dirichlet Ñ Úʧ¦ ³Ê¢ ℄ [0,1] §°ÑÜ ½ §¸»Ê¢² µ § ¦ ° µ R ℄ÜÐ ¡½ ¢§´¸¦ ©¢¯ Ê¢ ² µ R ℄ÄØÜÐ ½ §¤¸ ¦ ¬Ö Ê¢½Ê¢² ³°ÝÙ ½ 1¥ ¨ Õн ¦ 1¦ ·À §Ê¢ ² ¥ · ¦© § In, |In| < ∞, Ii ∩ Ij = Ø, | ∪ In| = |In| 2 ¦À © ϲ § ÄÀ x ∈ R |I + x| = |I I + x := {x + y| y ∈ I} ¸ 1 °· 1’¦ © § I1 ⊃ I2 |I1| ≥ |I2| 1”¦¹¯ © § I = ∪ni=1Ii, Ii ∩ Ij = Ø, i = j |I| = n i=1 |Ii| §2.2 µ Õ ¸° » M := R R À×¹ÆÜ ´ ÜЧ¦ ©¢¦Ê¢² M ℄§ Ç©¢ ¼℄ Þ §ÁǦ ºÊ¢ µ·Â ³ M À¿Ô µ Ò§ m µ§¦ É© 1◦ m ³¾¤ M ϲʢ § 2◦ I m(I) = |I| · 3◦ © §Ç § {En}n≥1 ⊂ M Ei ∩ Ej = Ø, i = j À 4◦ m( En) = m(En). n≥1 n≥1 « ¦ ½ ÁÇÎ § »Ï ÜÐ A ⊂ R§ ½ÍÏ٠ʢ · § {In} A Ê¢ Ê¢² ¸¢ ¹   §´i |¸Ii|¦ ° ¶ A ¢² ¡ Ó ¸»ÍÏ ½ A Í ß Íϧ±ÞË×¹ ÍÏ× ¶ ℄Ð «Í¬§¶ ℄ÐÛ¾§ « ³ ° Ô 1¥µ Õ¦ A ⊂ R§Ü A ° ³¤ m∗(A) := inf{ |Ii|| ∪i Ii ⊃ A, } i 3 ÄÀ inf Ë A ×¹ Ê¢ÍÏË 1 ÍÏÊ¢² ° É » δ«ÍÏÊ¢ ° ɤ Ê¢ Ô 1 ϲʢ §I m∗(I) = |I| ◭ Ų Ê¢ I Ù Íϧ¸ ³¹ m∗(I) ≤ |I| º Ç § »Ï² I Ê¢ÍÏË §¸ {In} §2.2 ° ¥ ¦§ § ¸ ³ 1 Borel n |In| ≥ |I| m∗(A) ≥ |I| ◮ Ô 2¥µ Õн ¦ 1¦À © § ϲ § A ⊂ R x ∈ R m∗(A) = m∗(x + I) 2¦ © § A ⊂ B m∗(A) ≤ m∗(B) 3¦¹ · © A = ◭ ª¾ 1¦¸Ê¢² À § k Ak ¸» § ÍÏË m∗(A) ≤ k m∗(Ak) A⊃B A Ï˧¸¸ ª¾ 2¦ « ª¾ 3¦ §ª¾­Î´² « k 1 m∗(Ak) = +∞ ¸ ° ³§ §» ÍÏ Ak k 1 m∗(Ak) < +∞ {Ik,j }j≥1 BÍ ε>0 ¸» ´¸ |Ik,j | < m∗(Ak) + ε/2k, j≥1 Ak ⊂ Ik,j , k≥1 k≥1 j≥1 m∗( Ak) ≤ |Ik,j | = ( |Ik,j |) ≤ (m∗(Ak) + ε/2k) ≤ m∗(Ek) + ε, k1 k≥1 j≥1 k≥1 j≥1 k≥1 k≥1 » ε → 0§Þ ª¾ 3¦◮ ° 2 Õ¦ ° ¹¹ · § · ´²§¦ ´℄ ¶Ê¢² ¥ ¹ ° ¶¤¦§ « ±Æ ·» ÜД  Ք ° · ¥ ½¹ : ¹ P(R) Ê¢ ² § ¸¸µÅ §  · ª·° °¾¦ 1¥ §½ Ц¢¦ ◭ ¦ ·Å à » Ê · Ü· ϲ ¸ § Ü· {Ai} ⊂ R§Ò¹ m∗(Ai) = m∗( Ai). (∗) i1 i1 4 À ³ ¡ ª© ¸ 1◦ R x∽y ⇔x−y ∈Q °§ ° ¡ ÀË ¿ ¿§Ç È ¿ ¿ À§ [0,1) ×¹ ¿ ¿ ´ ÜÐ ¤ S ϲ n ∈ N§ ³ Si := {x|x ∈ S, (i − 1)/n ≤ x < i/n, 1 ≤ i ≤ n}, ¸ §§Ç Si, 1 ≤ i ≤ n S = S1 S2 · · · Sn. À § § ´´ §§Ç ¸ Ti = Si − (i − 1)/n Ti n i=1 Ti ⊂ [0, 1/n) Ý° n n n m∗(S) = m∗(Si) = m∗(Ti) = m∗( Ti) ≤ 1/n, i=1 i=1 i=1 » § n → +∞ m∗(S) = 0 ÆÆÌ ¹°Ñ ·¤ § § 2◦ q0 = 0, q1, q2 · · · Qn := S + qn Q0 = S § §ÄÀ ¸¸ x ∈ Pi ∩ Pj(i = j) x = pi + qi = pj + qj pi, pj ∈ S pi − pj = § qj − qi ∈ Q pi, pj ¡ §´¸ i = j§±Þ Qi = Qj ÇÆ i = j§¦ ¸¸ ¶ {Qi} ¸ § Ü· ϲ x ∈ [0, 1)§Ù ¡ À§ºÁÙ ¡» S À ¿§ ¤ y§´¸ x − y ¤¹°Ñ§ ¤ qi§¸ ³§x ∈ Qi ¸¸¦ ¶ 3◦ ¸ ° À °Ý (*)§¦ Qi ⊃ [0, 1). i § ϲ § ªÐ ª¾ i ≥ 0 m∗(S) = m∗(Qi) 1◦ ∞ ∞ +∞ 0 = m∗(S) = m∗(Qi) = m∗( Qi) ≥ m∗([0, 1)) = 1 > 0, i=1 i=1 i=1 ¸ Ò (*) ´²§Þ» Ê · ÜÐ ◮ ° ¤¹ Ü Ó ÀÅ ·§¦ ¸··Ù ³½ Ô 2¥ ¦¦ ³ÜÐ E⊂R ¤ ¦§ »Ï² ε > 0§» ÜÐ E ¸ÍÀ Ñ Ê¢Ì´ ÍÏ Ik, Σ|Ik| < ε. 2 ܧ ·Ü ¹°Ü Ê¢ ¹°Ü ¹°ÑÜ ·Ü§ ¹°Ü 5 ° 1¥ ¦Ð½ ¦ 1¦¹°Ü · ¹°Ü 2¦¹°Ü ÆÜ ¹°Ü ◭ ¸¹°Ü ¹· § ¸Þª¾ 1¦ ◮ ³Þ ª¾ 2¦ En(n ≥ 1) · ¹°Ü§¸ ° m∗( En) ≤ m∗(En) = 0 n≥1 n≥1 §3 ¼  д §3.1 R Ô 1 G ⊂ R ³¤ R À¯¦§ ϲ x ∈ G§» x ¸¾ V § (x) V (x) ⊂ G Ü ∅ Ü Ü ¼Ü³¤℄¦ 1 ­ ³§R§ Ê¢ Ü«R§∅§ ܧ Ê¢ Ü 1 Ü ×Ú¡ ¢¥ ° ¤¡Á ¢¦§ Ü °Ñ¡ ¢¥ ° ¤¡Á ¢¦ Ô 2 ÜÐ E ⊂ R x ³ Ù ¸¾ E À§ ³ x ¤ 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Ê¢ Ê¢· In Í ÏÊ¢ I§ |In| ≥ |I|. n ◭ 1) ¬ ½ ¤ I = [a, b] Ê¢§×¹ In ¤ Ê¢ È ¸ ­ [a, b] §º Ê¢Ë ° ·¹¯À Ê¢ §Ù {In} I1 = (a1, b1), · · · , In = (an, bn) ÍÏ [a, b] ¦ °¯ § Ê¢ Î ­½ ·¤§a1 < a2 < § Ù · · · , an º ¶¹ §Ë § b1 < b2 < · · · < bn Ê¢¦ ÄÙÊ¢ ÍÏ È § §¸¸ a1 < a < a2 bn−1 < b < bn § [a, b1) ⊂ (a1, b1) [b1, b2) ⊂ §ºÁ (a2, b2), · · · , [bn−1, b] ⊂ (an, bn) n n |I| = b − a = (b1 − a) + (b2 − b1) + · · · (b − bn−1) ≤ (bi − ai) = |Ii|. i=1 i=1 7 2¦ ¯È ϲ α > 1§» J Jn Ê¢§Ç § In |Jn| = α|In| J Þ » §² α |In| ≥ |I|/α α → 1 À Ê¢§ I |J| = |I|/α ÍÏ ¸ ¦§ § {Jn} 1 |Jn| ≥ |J| |In| ≥ |I|. ◮ n Ô 3¥¿ ß ¦ 8 Ë·± Ψ ¯´ §1 Ƴ à Õܺ Ößªß ¤¦Þ À ° ¼ Ǧ¸ à ˵³Ö à Ƽ ØƸ ¤¦Ñ±Ã ÅÁà ¾ ¾¹Á ¸µ ¦Ó«ËÃ Õ °¼ ¤¹³Ó¹«Ë° ¦Û ¦ Õ Î Ê Û »º¼ ¥¡¤ÔÛ Ù ¼ ¤¦Ã ß Ý¯³£ ¤ ¦ß Ï ¥ ÔÙ³ Ô¤Û ¦ Ï ¥¦  ¼¢ £Ï ¦ ¼ ß ØÖÏ̼ ¤¡ §1.1 ¼¸ ÏÍÁ à ËÜ ©ÖÌß ¤¼ ¦Õ× Î Ò ¼Ù¡µ× «¦Ã Éݯ ¡ 1¤ Á ¥ ¹ F1,F2 ¨Á Î ¼ÖÑ ¤Ò ¥¦Þ m∗(F1 F2) = m∗(F1) + m∗(F2), Ò ØÖÖÌß ¤¡ ­ ¦ ◭ δ := d(F1, F2)/2 > 0 F1 F2 ¼Û° ª¦¢ ÁÛ° ¼ × δ¦Ö ª ÁÛ° ª ¨Á Î ¼Û° ª¦ F1 Í F2¡¹ ε > 0¦Þ´Ü F1 ¼ F2 Á ¦ ´ ¦ ¦½» {In} n |In| < δ Õ¦ ¦½» I2 := {I2,n} I1 m∗(F1 F2) > |In| − ε. n≥1 ª ß {In} ¨Á Î ¼° ¼ F1 ¦ ¼ I2 F2 ¦³ (1) ª Ù I1 := {I1,n} m∗(F1) ≤ |I1,n|, m∗(F2) ≤ |I2,n|, n≥1 n≥1 Õ±» m∗(F1) + m∗(F2) ≤ |I1,n| + |I2,n| = |In|, (2) n≥1 n≥1 n≥1 1 Õ¤1¥¦¤2¥» m∗(F1) + m∗(F2) ≤ m∗(F1 F2) + ε, Õ ε ¼´ ¦» m∗(F1) + m∗(F2) ≤ m∗(F1 F2) (3) ¬  ¦ ¼²ß ¾ (3) » Ð ¡◮ ¬ © ¦ÐÎ m∗(F1) + m∗(F2) ≥ m∗(F1 ∪ F2) Õ È ¡ »º ¹ Î ¼ÖÑ ¦Þ 1 F1, F2, · · · , Fn n n m∗( Fi) = m∗(Fi). i=1 i=1 ¤Ô¸ ¤¦Ã ß Üº ß Ô ´ È 1 ¹ G ⊂ R  ÖÑÛ ¦ε > 0¡Þ´Ü ¡ m∗(G) − ε ÔÖÑÛ § © F ⊂ G m∗(F ) > ◭ Õ¡Í¸Û ¼Ä ° ¤¦Û ¨ ¼Û° ¡Õ ¼²ßªß Ñ ¦ ¡ n≥1 |In| < ∞ ¹ ¦± ε > 0 µ¼ n ½» ¦ ¥ ¨ G = n≥1 In ¦ ¡Õ× Ö m∗(G) ≤ In(n ≥ 1) n≥1 |In| G n |In| > m∗(G) − ε/2. i=1 ­ «ËÜ ¥¼ ° ¦ ¦Þ «Ë× Ji Ii |Ji| > |Ii| − ε 2n F= n i=1 Ji G ¼ ¡Õ ¦ ¡ 1 m∗(F ) = n i=1 |Ji| > n i=1 |Ii| − ε/2 > m∗(G) − ε ◮ È ¹ ÖÑÛ ¼ ¨ ¦Þ ¡ 2 F G⊂R m∗(G \ F ) = m∗(G) − m∗(F ) ◭ Õ× ØÖ²ß ¦Ã ¢℄ ¡Õ m∗(G \ F ) + m∗(F ) ≤ m∗(G) × G\F Û ¦ÕÒ¢ 1¦  ¼ ε > 0¦´Ü ¨ ¦½» F1 m∗(G \ F ) − ε < ¦§ º Ù m∗(F1) F F1 μ ¦ÐÎ 1¦ m∗(G \ F ) + m∗(F ) − ε < m∗(F ) + m∗(F1) = m∗(F ∪ F1) ≤ m∗(G), Õ ε ¼´ »Ð ¡◮ 2 §1.2 ¿­² Ç 1¤¿­²¾ ¸¥ Î A ⊂ R ¿­²¾ ¦· ´ ε > 0¦´Ü ÙÛ ¦½» ¦ ¡ F G F ⊂A⊂G m∗(G − F ) < ε ­Àß ¼²  ¦ L := L(R) m∗ Üß ¸¼Ì£  m¦ ¿­² ¡ 0 ´ A ⊂ R Ù´ ε > 0¦´Ü A ¼Û° ½» {Ii} m∗(A) < ¦Õ× ÂÛ ¦Ã ¼¸ ©´ÜÛ ½» i≥1 |Ii| − ε G := ∪i≥1Ii ¡¸ × ¦Ã ¬ ´Ü ½» m∗(G) − m∗(A) < ε G⊃A F ⊂A m∗(A) − ¦ m∗(F ) < ε ¥ A ¼ß ¡ 1 Õ¸ §1.1 Ò¢ 1 ¥ ÜºÛ ß ¡ 1¤¿­² º Ç¥ ­À ÙÈ ¼ Caratheodary ½ § ß ¦¶É ×´ Î ¦Ö ¡ E ⊂ R A ⊆ R m∗(A) = m∗(A E) + m∗(A Ec) ß ´ Î Â ß ¼¨ ¡ È 1¤¾ ¸ ° »¥ ¹ÖÑ Î A ⊂ R¦¶É ´ ε > 0¦´Ü ½» ¦Þ Î ß ¡ F ⊂ A m∗(F ) > m∗(A) − ε A ´ ¦± ½» ¡Õ ◭ ε>0 F ⊂A m∗(F ) > m∗(A) − ε ¦´ Ü ¼ßªÛ° ª ¦½» ¦ A Ii Σn≥1|Ii| < m∗(A) + ε ¹ Á Ii ÚÙ A Î ¡± G = »¦ ¦Õ ÖÑ n≥1 Ii A G ÖÑÛ ¦ ¡Õ Ò¢ F ⊂ A ⊂ G §1.1 2 m∗(G − F ) = m∗(G) − m∗(F ) ≤ Σn≥1|Ii| − m∗(F ) < m∗(A) + ε − m∗(F ) < 2ε, Õß ¼ A ß ¡◮ 2 Õß ¼ ¡ ܺ¦¹ A ÖÑ»¦ Á ¼¡ 1¤ ľ ¸¥ ÖÑ ÖÑ° Ù« ÚÂß ¡ ◭ ¾ ÁÐ ÕÒ¢ 1 ¡ »º¡ ¹ ¦Þ ´ ¦´Üߪ۰ ½» ¦ m∗(A) = 0 ε>0 ­ ¦ ¦Þ ÂÛ ¦  ¦ ¦ G = n≥1 In F = ∅ G F ¦³ ß ¡ n≥1 |In| < ε A ◮ {In} F ⊂A⊂G n≥1 |In| < ε m∗(G \ F ) ≤ 2( Æ Á¥ ¹ E ⊂ R Âß ¦Þ ´ ¦ ß x ∈ R E + x ¡ ±Ð Õ ¼ ÙÒ¢ 1 »º¡ 3 1¤¾ ¸ Á ¥ 1¥ß A ¼Ø ß AC ¡ 2¥ÖÌ Áß ¼ ß ¡ 3¥ ¹ Ai ¡ i≥1 m(Ai) ¥¹ ◭ 1 ª Î ¼ß ¦Þ ß ¦ A := i≥1 Ai m(A) = ¦Û © ¦Þ ¦ F G F ⊂ A ⊂ G F C ⊃ AC ⊃ GC F C \ GC = G \ F ¡Õß »Ð 1¥¡ ¥¹  ¦ ÂÛ ¦½» ¦ ¦ © 2 F1, F2 G1, G2 F1 ⊂ A1 ⊂ G1 F2 ⊂ A2 ⊂ G2 ¦ ¡Þ ¦ m∗(G1 \ F1) < ε/2 m∗(G2 \ F2) < ε/2 F = F1 F2 ⊂ A1 A2 ⊂ G1 G2 = G G \ F ⊂ (G1 \ F1) (G2 \ F2). ³ m∗(G \ F ) ≤ m∗(G1 \ F1) + m∗(G2 \ F2) < ε. ¥3 (i). A ÖѼ ¹ ε > 0¦ ´ i¦´Ü ¡Õ× ¨¨ ¦Å m∗(Ai) − ε 2i+1 Fi ¦½» Fi ⊂ Ai m∗(Fi) > m∗(A1 A2) ≥ m∗(F1 F2) = m∗(F1) + m∗(F2) ≥ m∗(A1) + m∗(A2) − ε. ­ ¦» ¦¬  ¦Ñ ε → 0 m∗(A1 A2) ≥ m∗(A1) + m∗(A2) m∗(A1 A2) ≤ ¦Å ¡³ ÕÈ ¦ m∗(A1) + m∗(A2) m∗(A1 A2) = m∗(A1) + m∗(A2) ­ n → ∞¦ÐÎ n n m∗(Ai) = m∗( Ai) ≤ m∗(A). i=1 i=1 ¼²ß ¦» +∞ m∗(Ai) = m∗(A). i=1 Õ¸¾Üº¦´Ü k ∈ N¦½» k m∗(Ai) > m∗(A) − ε/2, i=1 Å k k k m∗( Fi) = m∗(Fi) m∗(Ai) − ε/2 > m∗(A) − ε, i=1 i=1 i=1 ÕÒ¢ 1¦ Î A ß ¡ ¼ (ii). 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(∗) ¦· (∗) ¥¦ ¦Þ ß m∗(A) < ∞ A ¡ ◭ 1¥ »Ð m∗(A) = ∞ ʳ¡Ë¹ m∗(A) < ∞¡¹ ε > 0¦Þ´ÜÛ ° ½» ¦­ ¦Þ ÂÛ ¦ {In} m∗(A) > n≥1 |In| − ε G = n≥1 In G ¦³ ¦Ñ± m(G) ≤ n≥1 |In| m∗(A) > m(G) − ε ÂÛ ¦ m∗(A) ≥ inf{m(G)| G G ⊃ A}. 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N ≥1 d ¾ “³“´“r —“˜“™ r r “ü“½“y r “± 2 ml5n „o x ∈ E limn→∞ fn(x) = f (x) ‹ ‚“r r÷ ù rð“Î —“˜“™ r r n ≥ N(x) |fn(x) − f(x)| < ε x ∈ EN(x) r ¾ r 7 ü — g ‘ rt½y r ql£n o ∩EN = ∅ 1 m(E∗) = limN→∞ m(En) = 0 ± 7 › ' Rs m(EN) < δ £r „' N (x) Rp x x ∈ E∗ δ>0 N —£j Å å m{x ∈ E| |fn(x) − f(x)| ≥ ε P n ≥ N } ≤ δ. § ‘ qp ( 7—fEAnfgl£˜0nS(⊂oxrn™Žf)oA1Eff`Î1:x1ß=¾qg a£i∈²qV àl£E­£Eb£Ew£‘NrnrAmgb\rx’oC(A1”r$£A‘po=r‘£ˆ£)f%qmr{f<9•{£xy(y’ŽAδ∈i–ErR’)EAdzEv<‘p'p |y£€wδf±¢q|frfzr nx|—(iEl(xðixym7)˜)εnε−rí™r→ rl£Ûf”£∞¾Eε7(Ä£xfl£ü£>“£)n|l£(nl£0’€‘£™0ÅEr&£n½§€w≥yvrírtNv’“u“p’wu ›’p§ y €Å y’p 7 s |fn(x) − f (x)| < ε, fn(x) A \ C £h $£% f (x) ± —˜¾ ™ r ½Ur y r U± r i —U˜U™ r ½Uy r ' }l@n 1 B' A1 ⊂ E n ≥ N1 m(A1) ≤ 1 2 δ x ∈ E \ A1 N1 |fn(x) − f (x)| < 1 2 . Í Ô¸ r —˜™ r½y r ± ri —˜™ £~ £l£n 1 r½y r ± —˜™ r E \Ak NkR' k R' Ak ⊂ E n ≥ Nk m(Ak ) ≤ 1 2k δ x∈ r” 7 f r½y r rf 0 A := ∪n≥1Ak |fn(x) − f (x)| < 1 k . m(A) ≤ k≥1 m(Ak) = δ r” r÷ ù ½y ‹ ‚r 7 x ∈ E \A x ∈ E \Ak Nk n ≥ Nk uu΀v g ­ Å„ñ ‘ 7 Egonoff £ £9•– ε>0 k 1/k < ε |fn(x) − f (x)| < 1 k < ε 5 —˜™ rR0 n,k ∈ N En,k := ∞ {|fi(x) − f (x)| ≥ 1 k }, i=n ”˜“—“±™ ˜“r™ r 7 7 f 7 rE¾ ¾ ð “ —“˜“‘ ™r ÷ ù  ¬ r ­ r — ˜7 j™ y™ ry ½ —“y ˜“r “™ ü —rr ' $5% n ∈ N En,k ⊃ En+1,k V ¤¥ k ∩n≥1En,k = ∅ δ>0 0 m(En(k),k ) ≤ δ 2k F := ∪k≥1En(k),k x ∈ E fn(x) m(E) < δ r÷ ù —˜™ ‡ ˜™ r E \ F ⊂ E \ En(k),k n ≥ n(k) x ∈ E \F „o f (x) k n(k) k s½δG” >i›ym‡ 0yqSU¢E(r¤UEfŽ££’f)Eq :≤€£\ER2{FUδFVi→7ßiL'U}€‡0uiàR≥±sô1ifghnmnÎG—:=v(SUÅ£iER€£⊃f“Žh)‘˜|fFd¨i70)frrq › Î — ð ô — u‘¨qr÷ ù y € 7 g−1(Ui) = f−1(Ui) \ E = Gi \ E = Gi g−1(Ui) R \ E €£ EC = Gi (R \ E), g R \ E £¤£¥ †‡ ˆ ‰Š r r r r r 7 r 7 ‹ Œ 1. Royden p-70 Problems 20 24 25 26 28 p-70 29 f’p 7 2. 0 f : R → R y y ó £U ¤£¥ £U £¤£¥ C(f) := {x| f x } D(f) := {x| f x }. Î « qr Î « q 7 9•– C(f) Gδ D(f ) Fσ 6 ´ ¨¨Ë ¿ Ù ¥ªÀ§§§§§F§§§11112345a...¡123to¢¼ß¦uÒ³Ù¡¦Ëµ·¤¾ª¡ÉÈ·Õ¦¦Ö²²Ðµ³»©Êʦ·²Ü»¦¢¦ÇÒÅÔ¡¾¾¡È¤¤ ²Ê » ¦ ¾ § ¦¥¦­Î ¦¥¡ ¦ ¤ ¡¦ ¦ ¦ ª¦ÒÔ ¦ ¡¡ °Þ ¦ » ¦È ªÒ¾ ¦ §1 £Ú ¸ ³£Æ ³Ì ° ¤° ¾ §1.1 à »³ É Þ » ¡ Â É » ¦È ¦ ¸ f ¿ » Ï¡ Ϧ Ï» ³ ɧ [a,b] Ý° · [a, b] ³ º µÈ ¸ ¿° a = x0 < x1 < · · · < xn = b f ·È n n S(f ) = S := MiΔxi, s(f ) = s := miΔxi, « i=1 i=1 »f · Δxi := xi − xi−1, Mi := sup f (x), ȳ xi−1 0 Egorof f ² ¦ º ¦ ¦È § ¦ Ý » Ý · A ⊂ E m(A) < ε E\A ª fn ¦Ô f ³ ¦² ¦ ¦ ¡ » ª¦· Ý ³ ¢Ð x ∈ E \A N ∈N n ≥ N |fn(x) − f (x)| < ε ¦¹ n ≥ N | fn − f | ≤ |fn − f | = |fn − f | + |fn − f | E E E E\A A ≤ εm(E) + 2M m(A) ≤ (m(A) + 2M )ε, Ñ º ¡ E f = limn→∞ E fn ½ §2 ³ ¶ Þ 1 ¸ f ¿ » E · Þ È ¦ » f Ý E · Á f := sup h, « ÔÞ È ¦ ¡ h ¿Ò E h≤f E m{x| h(x) = 0} < ∞) Æ ¥ À ̦ « »È ² ¦ ¡ 1 1 f  » » Ü »Ò È § ¦ ¦ Þ h ¼¿ Æ f ª ¦ ¡ ¶ |x| ≤ n hn(x) = 0 |x| > n hÝ · Ò ¸ ¶ n ∈ N hn(x) := f (x) 6 ¥2 Ý· «Â ÜÆ È »Ù ¿ » ¡ Ê ∞ − ∞ Ð Þ È ¦ 1 ¸ f Ö g ¿ ¥¤ ¥ ¡ 1 Ì ¥¤µ ¥ ¦ ¡ 2 ¸E af + bg = a E f + b E g f ≤ g, a.e. Ef ≤ Eg ¶Í ¤ Í¥ Þ » 1 Fatou ¡ f(x), a.e ¸ ¿ {fn(x)} E· ª Þ È ¦limn→∞ fn = f ≤ lim inf E n→∞ fn. E «»È ¦ ÔÞ ¦ ¦ ¸ h ¿ 1 hÒ h≤f »Þ ¤ ¦ ¡ E ± Á« ¬ Ý ÒË hn(x) := min{h(x), fn(x)}, ¦ ¡± ¦ hn ≤ h ¤ ¢ ¥¡ Ô » ª¦ h(x) {hn = 0} ⊂ {h = 0} = E ÑÒ ¦ ¡ fn ³ x ∈ E limn→∞ hn(x) → Ò · » ±·²Ô¦Ñ ¦ º h = E h = lim E n→∞ E hn ≤ lim inf n→∞ E fn ≤ lim inf n→∞ fn, E h 2 f = sup E h≤f h ≤ lim inf E n→∞ fn. E ÕÐ Á ¬» § ¡ 1 Fatou ¼Á Þ » Þ È ¦ ¸ ¿ {fn(x)} E· ª E lim inf n→∞ fn ≤ lim inf n→∞ fn. E ¶Í ¤±µ ¶Í¥ Þ » 2 ¸ ¿ {fn(x)} E· ª È ¦ ¡ limn→∞ fn = f(x), a.e Þµ½ ¡ Í ² Ŧ¡±µÜ Fatou Ef ¦ Ñ ¡ Fatou f = lim E n→∞ fn. E Ef ²×Å¡ ¦ ¦± ³ n fn ≤ f ¦Ñ º f ≤ lim inf n→∞ fn. fn ≤ f (1) lim sup fn ≤ f, n→∞ 7 ÓË ¼ (1) º ¡Ó¯¡ Ò ¤­Û ¾¥ Þ È ¦ ¡ 1 ¸ un Á ª ª f = n≥1 un f= un. n≥1 ¯¡ ¬ Sn(x) := ¦ n i=1 un(x) Sn ¦ ¦ µÐ Sn ↑ f ¦ ¡ ºÓ Ò ¤ ¾ ¦²È Ü¥ 2 ¦ ¡ E = ∪n≥1En ¸fÁ Þ È ¦ ¿ Ei ªÎ Í »Þ f= f. Ð ¬ ¦Ñ ¦º ui = f · χEi ¯ ºÓ¯¡ 1 E i≥1 Ei χE = i≥1 χEi f · χE = i≥1 f · χEi = ¦ i≥1 ui ¡¶ Þ 2 ¸ f ¿ » E · Þ È ¦ ¦ § È ¶ E f < ∞ fE »Æ 2¡¯  © È f » f¦¯ ° f » Ö f »Þ Ð ¤È ²  »¥ Þ È ¡ Þ ¦ 2 ¸f Ög¿ ¦ ¦ Þ ¦ Ý · Ý · E g(x) < f(x) g E ¶fÝE· (f − g) = f − g. Ñ »Ì ª¦ E E E f = (f − g) + g, »Þ ¦ ¦± ¼ ¦ Ñ f Ý E · Ú ¦ Ú ¦± Ú Þ ¡ Á ¨ E E E Á ÒE f Ë Ò Ë · ¼Ó ÒË Ö f − g g Ý E · ÑÔ f − g Ö g ²Ý δ Ð ¤3 ¦> 0 » º¾²³Çº ÝÜ¥ » Þ ¸ f ¿ E · » Ë ¦ m(A) < δ Ò A ⊂ E È ¡ ¦ ³ ε > 0 f < ε. ΡĹ ¤±µ ¶Í¡A 8 ¸ · fn fÒ ¿f Ô»¹ÄÓ¹¯ ¿ ¦»¡ÊÜÆ f ÄÔ» ¡ ¶ ⎧ ⎨ f (x) f (x) ≤ n; Ý Õ fn(x) = ⎩n ¦È Ô¦ µ ½ È ¾ Ô³ n ∈ N Ò fn ª {fn} Ý E · ¦ ¸ ¡ µ ¦ ¦² ¦ º ¦± f Ñ ¦ ¡ ³ ε > 0 Ý N ∈ N » ¡ ¦ ¦ ± ¶ E(f − fN) < ε/2 δ < ε 2N m(A) < δ E fN > E f − ε/2 f = (f − fN ) + fN < (f − fN ) + N m(A) < ε/2 + ε/2 = ε. Æ Ä¹ A A 4· ¿A ¿ » ÄE ¦­ à § С §3 ³ ¶ » È ¦ ¸ Á · 1 f : E → R E º f + := f ∨ 0, f − := (−f ) ∨ 0, f +(x) := max{f (x), 0}, f −(x) := max{−f (x), 0}. ߺ¸ Ñ· ¤ ܬ ¥ È ¡ Ö Á 1 1 f+ f− ¥ ¦ ¡ 2 f = f+ − f−, |f| = f+ + f− ¥ Þ ¦ Þ ¡ 3 ¶ f Ö f + f − f+ = |f |+f 2 , f− = |f |−f 2 ·Þ¶ ¦ 2 »¸ f f ¿ E ·»Þ Á È ¦ Ú Þ ¶ Ö f+ f− Ý E · ¦ f = f+ − f−. E E E Ð Þ ¡ 1 ¸ f Ö g Ý E · ¥ Þ ¦ ¡ 1 cf Ý E · ¥ Þ ¦ ¡ Ý · 2 f + g E ¥ ¦ ¡ ¶ 3 f ≤ g, a.e. ¥ ¦ ¦ ¡ ¸ 4 E1, E2 ⊂ E E cf = c E f E(f + g) = E f + E g Ef ≤ Eg E1 ∩ E2 = ∅ E1∪E2 f = E1 f + E2 f Ð Þ ¦ Í 2 ¸ f Ý E · f ÒË¡ f ÝE 9 ¸ ¦ ¡ ³ ¦ A := {x| f(x) = ∞} m(A) > 0 N >0 |f (x)|dx ≥ |f (x)|dx ≥ N dx ≥ N m(A), ± ¦ »Þ E A Ö X |f (x)|dx = +∞ f ¡A ¶Í ¤Ê É« ¶Í¥ ¥ Þ ¡ 1 ¥ » Þ È ¦ ¡ ¸ ¿ · 2 {fn} E ª ¥ ¦ ¡ ³ 3 n ∈ N |fn| ≤ g 1 ¸gÝE· limn→∞ fn(x) = f (x), a.e. ¥¦¥¦ Þ ¦ ¦± ¦ Þ ¡ ¦ Ñ È ¦ ¦ º g − fn 23f Ñ Fatou f = lim E n→∞ fn. E |f | ≤ g Ñ ¡ 1.2 1.3 1.3 f ³ n∈N · g− E f= E (g − f ) ≤ lim inf E n→∞ (g − fn) = E g − lim sup E n→∞ fn, E ¨ ¼¼À ¡Ó¯¡¡Ð » ¯Þº ¡ E f ≥ lim supn→∞ E fn g+fn E f ≤ lim infn→∞ E fn ¸ §4 Ü ¡ È £ Ï È ¡ ¦ 1 Ý° [0,1] ·µÈ ª ¬ fn n = i + 2k, 0 ≤ i < 2k ⎧ ¶ ⎨ 1 fn(x) := Õ ⎩ 0 x ∈ [ i 2k , i+1 2k ]; . »Æ f = 0 Å· Ú Ú£Ï§» Ê Ô³ ½ε¦>Â0¦²ÛݸÈN ¾ ª fn ¦ º ∈ N » ³ ¦ n ¦¶ >N ¦ÖÈ m{x| |fn(x)| ≥ ε} < ε. Â È ª» ¬ » ¦ ¼¡ ¶ Þ ¦ ¡ Þ È ¦ 1 ¸ E ¿ Á m(E) < ∞ fn(n ≥ 1), f : E → R∗ Í ¡È ¸È ¦ Å ¦² E · ÒË ª Á {fn} ¦ fµ ³ º ¦ Ý N ∈ N » ³ n ≥ N fÝ ε>0 m{x| |f (x) − fn(x)| ≥ ε} < ε. 10 ÕÐ · ¼ ¦ Ô ³ ε > 0 Ð ¤1 ¡ f = g, a.e · ²ÓßÜ¥ È lim n→∞ m{x| |f (x) − fn(x)| ≥ ε} = 0. ¸ ª {fn} Ñ ¡ ³ |f (x) − g(x)| ≤ |f (x) − fn(x)| + |fn(x) − g(x)| ¸ ¦ ¦ f Ö g ¦ ε > 0 {x ∈ E| |f (x) − g(x)| > ε} ⊂ x ∈ E| |f (x) − fn(x)| > 1ε 2 x ∈ E| |g(x) − fn(x)| > 1ε 2 , ¦È ¸ ¦± Ñ ¸ ª {fn} ¦¯ ¸ ¦ » ³ ε > 0 ¤ ¦ fÖg m{x ∈ E| |f (x) − g(x)| > ε} ≤ ε Ñ {f (x) = g(x)} = ∪n≥1{|f (x) − g(x)| > 1 n } ¥ m({f (x) = g(x)}) = lim m({|f (x) − g(x)| > 1 }) ≤ lim 1 = 0, ¡ f = g, a.e n→∞ n n→∞ n Ð 2 ¾ ¦ÜÇ ¦¡ ¦ ¦² Þ ¦ º ¦ ¸ Ñ ¡ Ý ε > 0 Egonov » Eε ⊂ E m(E \ Eε) < ε È § ¸ ¡ ² ¦ º ª fn Ý Eε · ¦f ÝN∈N » ³ n≥N ³ ¦ ¡¯ ¦ ² º ¦ x ∈ Eε |fn(x) − f(x)| < ε ¶ ¶ Ý » x ∈ E n>N |fn(x) − f (x)| ≥ ε ¡± ² ¦· x ∈ E \ Eε Ý ¹ N ∈ N n ≥ N m{x| |fn(x) − f (x)| ≥ ε} ≤ m(E \ Eε) < ε. Æ À 1 £ 1 © ¦¶ ¾ ¦» ª»£ ¡ ¢Ð­3 Ç ¡ ¦»È ªÒ Í ¦» ª¡ §5 ¥ÖÑ ¢ £ ¡ 1. Royden Problem. p.89-3,4,7,8,10,12*,14,15*,p.96- 20, 24, 25 ¸ ¿ Þ È ¦¶ ¦ ¡ 2. f f = 0 f = 0, a.e. Þ · Ö· Þ ¡ 3. f Ý E · |f| Ý E · 11 È » ­ 4. »È¼¡ ¥ª È Í f (x) = sin x x ¶ ²Ý f ¦­¶ Þ» ¦ » Þ ² ݤÞÜƲ[Ý0, ¦∞) · ¨ Þ ¦ Ë Þ ¡ ¦ Í ¸ 5. f ≥ 0 Æ ¨¡ Ç Ñ E ¶ E<∞ f ÒË¡ §6 © Ú ¥ØÚ » ·ËÆÖÈªË ¿ÂÐ¡Ø Ø¸» ¦È  À » ¦ ¯ ¶ ¦ » ¸ ¿ 1 {En} ª ª · ÈË Á ∞∞ lim sup En := limn→∞En := Ek ; n→∞ n=1 k=n ∞∞ µÅ·Ë ÖÈË Í ¦ Á ¦ Á ª » Ë¡ liminf n→∞ En := limn→∞En := Ek . n=1 k=n limn→∞ En {En} ¥Ðº¸ ¼ § Ñ· È ¶¥ · Ö· ¡ 1 ¥ · Ö·² ¦ º ¦ 2 ¡En 1’ x ∈ limn→∞En x ∈ limn→∞En x ÔÄ En Ý N(x) » Ò n ≥ N (x) x ÔÒ Ò ¡ 1 limn→∞En ⊂ limn→∞En Ï » ¦È ¦ ¸ Ö ¿ · º 1 fn(x)(n ≥ 1) f(x) E ⊂ R  ¤ ¥ »¾  »¾ ¤ ¡ ¦ ¦Ô ¦Ô f(x) x∈E ¸ C D) ε > 0 ¡ ¦ ¾ » ¦ ² Ñ ¶ Ô ª ·Ë {x| |fn(x) − f(x)| ≥ ε} 1’ x En(ε) º ¦ ¡ »n |fn(x) − f (x)| ≥ ε ¦Ô fn(x) f (x) ¯ fn(x) ¬ En(ε) := ÝÄ ∞ C= ∞ ∞ {x| |fn(x) − f (x)| < 1 k }; k=1 N =1 n=N ∞ D= ∞ ∞ {x| |fn(x) − f (x)| ≥ 1 }. k k=1 N =1 n=N ÕÐ » ¦È ¦ Ý È ¸ ¿ · º 1 fn(x)(n ≥ 1) E ⊂ R ¢Ð Æ ¦Ù¡ ½ »¾ ¡ ª ¦Ö ¦ 12 Ë 5 « ¾Ð ¨ »§¹ Ë ¾ © ¼½Ïȳ µÅ § ß¡ Å¥  º§ ÇË V itali §Dini ϧ¼ Ï Ø ·· Ð Ó § ¤ Ï « ¢ Ï Ê½ ¸¡ §1 ¶ß§ÄÌ È ª ÇË V itali §Deni ϧ¼ Ï Ï¡ §2 ºØ ¡ ¤ ÏţѼ ϳ § Ð § Ï Ó ¡ §3 Î È ¡ §4 Û ¡ §1 · ¨ÅÍ É ℄ Ã É P(R) R ¾Õ ³ Õ ¡ δ ¥ ¦ à §² Ü Ñ § 1 Vitali A⊂R G ⊂ P(R) A Vitali ¬ ε > 0 x ∈ A§º Ü Ç ¡ I ∈ G |I| < ε 1 ÇË ¹ Ü ªË­ ܧ Ü§Ò ­ ܧ½ ÐÑ¨Í Ü¡ ¶ß ¥ ¶ß¦ à ± § Ñ ¨Í 1 Vitali E⊂R m∗(E) < ∞ G A V itali ÇË § ¬ ε > 0§ ª¹ G ¹ ¶ ÚÍ Ü Ü §Ç I1, · · · , IN N m∗(E \ Ii) < ε. i=1 ◭ ѱ¶ §Ó´¶ G ¹ Õ§Ç ªÖ ¡ E ⊂ O G ⊂ P(O) Æ×Î ºÂÈ G ¹£ Ü ©¨£ ¡ I1, · · · , In ܱ¶ ¡Ã O Ñ Ú ­ Ü ¡Í {Ii} Ø §Û I1 ∈ G n kn := sup{|I|| I ∈ G, I Ii = ∅}. i=1 Î ­² ¡ kn ≤ m(O) < ∞ Þ ÜÇË E§ ÇË V itali ¸§ ª Ç In+1 ∈ G In+1 I1, · · · , In ¡ |In+1| > 1 2 kn ѱ¡Æ ܧ 1 Æ ÎÂȧ Î Ú µ§ Ó´ ª Ü Ü¡ § In Þ Ü Ü § ´ §¹Àº Ç n≥1 |In| ≤ m(O) < ∞ N ∈N ∞ |In| < ε 5 . N +1 G ¹¨ O ¹§ ¸ N R := E \ In, n=1 ×µÓ´±¶ m∗(R) < ε§¹À ³ ±¶¡ à § ¸§º § § ¡ ¨Â x ∈ R V itali µ§ §º §Ç §Æ ­§  limn→∞ |In| → 0 n>N I ∈ G x ∈ I I ∩ ∪Ni=1Ii = ∅ I ∩ In = ∅ kn ¬ § §¹À ¡Ã ˱ Ý Ï¡ n ≥ N + 1 |I| ≤ 2|In| |I| = 0 n0 I ∩ In = ∅ Î kn ­§ |I| ≤ kn0−1 ≤ 2|In0 |. I Ü In0 §¹À x Ü In0 ¹ß ª · Ñ |I | + 1 2 |In0 | ≤ 5 2 |In0 |, Jn Ѫ Ü In ¹ßѹߧ° Ñ 5|In| ܧ § x ∈ Jn0 Î R ⊂ Jn, N +1 ¸ ∞ ∞ m∗(R) ≤ m(Jn) = 5 m(In) < ε. ◮ N +1 N +1 2 ÇË Ø §Å Ø ÅÕ ¥©¹ Ä º§ ¡Ó´² ¨ÍÕ ÇË ª Ù ÍÕ ¤§½ÇË ¹ ¶ Ü Ü § ´ÇË ²Õ Ä Á§ ¸ ª ÙÕ ×¤¡ δ ¥2 Dini Æ ¦ à f Ë R Æ´ ϧf x ¼­Æ § ­Æ § 2 ¼ Æ § Æ Å ­Ñ D+f (x) := lim sup h→0+ f (x + h) h − f (x) , D−f (x) := lim sup h→0+ f (x) − f (x h − h) = lim sup h→0+ f (x − h) − −h f (x) , D+f (x) := lim inf h→0+ f (x + h) h − f (x) , D−f (x) := lim inf h→0+ f (x) − f (x h − h) , ΠϲÑDini Æ § ´ Ô »¡ έ Æ f x D+f (x) ≥ D+f (x), D−f (x) ≥ D−f (x), Ï § º f′(x+) f′(x−) µÅ § ßÅ Ñ D+f (x) = D+f (x) = ±∞, D−f (x) = D−f (x) = ±∞. f x Ï º f′(x) µÅ § ßÑ D+f (x) = D−f (x) = D+f (x) = D−f (x) = ±∞. Îß 1 à f Ë Ü [a, b] ¼ Ï¡ 1¦f Í Dini Ï Ü [a, b] Ø ··Ü §ÚÑ Df ¡ ¦2 Df ¦3 Df Ó§ Ø ·· b ¡ a Df (x)dx ≤ f (b) − f (a) Ú§× Ø ··º ¡ f′ ¦Ó´¦¯ ◭ 1 {x| D+f (x) > D−f (x)} § ÂÈ · §¹À±¶ Í Dini ÏØ ··Ü ¡¥À ² f ÐÅËÆØ ··º § ÑÀÒ±¶ ´ËÆ Ú¦¡ Eu,v := {x| D+f (x) > u > v > D−f (x)}, {x| D+f (x) > D−f (x)} = u,v Eu,v Ï ¸¶ § ¬ Ï §±¶ ¡ u, v m∗Eu,v = 0 ¡Ã §£ ­Õ ± s := m∗Eu,v ε>0 O ⊃ Eu,v m(O) < s + ε. (1) 3 ¤ £ Ȳ ¡ ¬ § § × Eu,v V itali x ∈ Eu,v v > D−f (x) ÔÚ ­§ ¬ §º §Ç x ∈ [a, b] h0 > h > 0(x − h ∈ [a, b]) f (x) − f (x − h) < vh. (2) Þ Ü ³ ¨Í Ç˧ ÇË {[x−h, x]} E V itali V itali §ª ¹¹ ¶ ÚÍ Ü Ü §ÚÑ § I1 = [x1 − h1, x1], · · · , IN = [xN − hN , xN ] Ç Eu,v \ (∪Nn=1In) ¡ s − ε Ý §¹À ε A := Eu,v ∩ (∪Nn=1In) » ¼¬ Þ Ü ­Õ O ¹§ § (2) N N m∗(A) ≤ [f (xn) − f (xn − hn)] < v hn < vm(O) < v(s + ε). (3) n=1 n=1 Ù ¹¬ § § A y ∈ A ⊂ Eu,v u < D+f (x) µ § ¬Ý Ü § ´ [y, y + k] ¸Í ¹§ In(1 ≤ n ≤ N) f (y + k) − f (y) > uk. (4) ©Ô È A V itali § ø¹ V itali ¶ß§ ª¹¹ ¶ ÚÍ Ü Ü§ÚÑ § ´ÇË Ji = [yi, yi + ki](1 ≤ i ≤ M) A ¨Í¾Õ B§É¾Õ » ¡ § m∗(B) s − 2ε (4) M M [f (yi + ki) − f (yi)] > u |Ji| ≥ m∗(B) > u(s − 2ε). (5) i=1 i=1 ¼¬ ¨ Ji ¸¨ In ¹§ f Ü [a, b] §¸ f (xn) − f (xn − hn) ≥ f (yi + ki) − f (yi), yi∈In Ji Ü § ¸ N M [f (xn) − f (xn − hn)] > [f (yi + ki) − f (yi)], n=1 i=1 ¹À ¥1¦¥3¦ ¥5¦È v(s + ε) > u(s − 2ε), ε ª¬£ § § ¶ vs ≥ us s = 0 »¡ 2¦ g(x) := lim h→0 f (x + h) h − f (x) , 4 ¢ 1¦§g Ø ·· ­¥ ´ »ÑÔ »¦§ g x f x С Ùà a < b§ ­ gn(x) := n[f (x + 1 n ) − f (x)], ¹¾ ŧ ­ § §¹À x ≥ b f (x) := b gn(x) → g(x), a.e. g(x) § ¡ § gn ≥ 0 F atou ´ Ú§ ¡ f(x) b g ≤ lim inf a n→∞ b a gn = lim inf n→∞ n b a f (x + 1 n ) − f (x) dx b+ 1 n a+ 1 n a+ 1 n = lim inf n f −n f = lim inf f (b) − n f n→∞ b a n→∞ a ≤ f (b) − f (a), ¸ g Ó§¹À g Ø ·· Ú§ Ë f′ Ø ··º § f′(x) = g(x), a.e. ¸ ¢ 2¦¡ Ó ÏØ ·· Ú§¢ 3¦ ¢ 1¦§2¦ ¡◮ à ± § Ñ ¨Í ÇË § 1 E ⊂ R m∗(E) < ∞ G A V itali ª¹ G ¹ ¶· Í Ü Ü §Ç {In}n≥1 1 ÇË m∗(E \ Ii) = 0. i≥1 §¨ Þ °¤℄ µ¡ §2 »Ù δ Ã Ë Ü Æ´ ϧ 1 f [a, b] P := {a = x0 < x1 < · · · < xk = b} Ë Ü ¨ÍÅ ¡f Å P ° È Å ­Ñª k p(P) := [f (xi) − f (xi−1)]+, i=1 k n(P) := [f (xi) − f (xi−1)]−, i=1 k t(P) := |f (xi) − f (xi−1)|, i=1 ¹ § ¡ r+ = max{r, 0} r− := max{−r, 0} ¡ ¡ 1 p(P) − n(P) = f (b) − f (a), t(P) = p(P) + n(P) 5 ◭ § § ­ Æ ¬Å § Î x = x+ − x− |x| = x+ + x− 1 P Ȭ³ ¡◮ δ 2 P := Pab := Pab(f ) := sup p, N := Nab := Nab(f ) := sup n, T := Tab := Tab(f ) := sup t, ¹ sup § Ï Ü [a, b] Å ¡ Å P, N, T ²Ñ Ï f Ü [a, b] ª ¡ § T < ∞ f ²Ñ Ü [a, b] ºØ ¡¤ ÚÑ ¡ BV := BV[a, b] 1 1¦ ©Ô [a, b] ­ÈÄÌ f ¯ºØ ¡ Ãà f ¼ §Ã Ñ ¨ÍÅ § P := {a = x0 < x1 < · · · < xn = b} [a, b] n n |f (xi) − f (xi−1)| = f (xi) − f (xi−1) = f (b) − f (a), i=1 i=1 ¸ ¡ Tab(f ) ≤ f (b) − f (a) ¦ ©Ô ­È 2 [a, b] Lipschitz f ¯ºØ ¡Ãº Ï C > 0§Ç ¬ § ¡Ã x, y ∈ [a, b] |f (x)−f (y)| ≤ C|x−y| P := {a = x0 < x1 < · · · < xn = b} Ñ [a, b] ¨ÍÅ § n n |f (xi) − f (xi−1)| ≤ C |xi − xi−1| = C(b − a), i=1 i=1 ¸ ¡ Tab(f ) ≤ C(b − a) ¡ ¦ Ü 2 1 [0, 1] ¤ ÏË ¤ Ï¡ Ã Ë ◭ f [a, b] § x1 = b} ¤ ϧ §¯ Å x ∈ [a, b] P := {a = x0 < x < |f (x)| − |f (a)| + |f (x)| − |f (b)| ≤ |f (x) − f (a)| + |f (b) − f (x)| ≤ T (f ) ¹À f Ë ¤ Ï¡◮ 1­ ªÆ § Ü [0, 1] Dirichlet Ï Ë ¤ ϧ ¸ ¤ Ï Ë ¤ Ï¡ ¡ à ¡ § Ñ Ü ¼ 3 f ∈ BV ([a, b]) Pax Nax Tax [a, b] Ï 6 à §Ã Ë ¨ÍÅ § ◭ x < y P = {a = x0 < x1 < · · · < xk = x} [a, x] k k |f (xi) − f (xi−1)| ≤ |f (xi) − f (xi−1)| + |y − x| ≤ Pay, i=1 i=1 ¹À ¡ ¦ Pax ≤ Pay ª±¶ Í¢ ¡◮ ¶ß à § 1 f ∈ BV [a, b] ¦ ¡ 1 Pab(f ) − Nab(f ) = f (b) − f (a) ¦ ¡ 2 Tab(f ) = Pab(f ) + Nab(f ) ¦ ¬ § ¡ 3 c ∈ [a, b] Tab(f ) = Tac(f ) + Tcb(f ) § Ü ¬Å § ◭ 1 [a, b] P p(P) = n(P) + f (b) − f (a), Å ¤× §¼¬ § Ú§ P = N + f(b) − f(a) f ∈ BV [a, b] P, N ¸ ¢ 1¦¡ 1¦§ ¬Å P§ t(P) = p(P) + n(P) = 2p(P) − (f (b) − f (a)), Å ¤§ ¢ §¸×¢ ¡ 1 T = 2P − (f(b) − f(a)) = P + N 2 ×µ±¶¢ ¦¡Ã Ë ¨ÍÅ § 3 P = {a = x0 < x1 < · · · < xn = b} [a, b] à § xj < c < xj+1(0 ≤ j ≤ n − 1) n |f (xi+1) − f (xi)| i=1 j−1 ≤ |f (xi+1) − f (xi)| + |f (c) − f (xj )| i=1   n + |f (xi+1) − f (xi)| + |f (xj+1) − f (c)| i=j+1 ≤ Tac(f ) + Tcb(f ), ¸ ¡ Tab(f ) ≤ Tac(f ) + Tcb(f ) Ùà § º ε > 0 [a, c] Å P1 [c, b] Å Ç P2 P1 P2 Tac(f ) < t(P1) + ε 2 , Ñ [a, b] Å P § Tcb(f ) < t(P2) + ε 2 , ¹À t(P1) + t(P2) = t(P) ≤ Tab(f ), Tac(f ) + Tcb(f ) < t(P1) + t(P2) + ε ≤ Tab(f ) + ε, 7 ¬ × ¡ ε Tab(f ) ≥ Tac(f ) + Tcb(f ) ◮ ¦ 1¥ ¦ Ü [a, b] ¤ Ï Û ¤ Ï¡ ´Ó Ë Ü [a, b] Îß ¾ ¦¾ 1 f ∈ BV [a, b] f ª ÉÑ Ü [a, b] ¡ à § § ¡ ◭ f ∈ BV [a, b] g(x) := Pax(f ) h(x) := Nax(f ) Ѽ Ï¡ §1 ͼ Ï §3 g(x) h(x) f (x) = g(x) − h(x) + f (a) = g(x) − (h(x) − f (a)), À ˼ h(x) − f(a) ϧ¹À f ª ÉÑ Í¼ Ï ¡ Ùà f = g − h§g h Ë Ï¡§ Ü ¨Å [a, b] P := {a = x0 < § ¼ x1 < · · · < xk = b} g h k |f (xi) − f (xi−1)| i=1 k k ≤ |g(xi) − g(xi−1)| + |h(xi) − h(xi−1)| i=1 i=1 = g(b) − g(a) + h(b) − h(a), Å ¤× Tab(f ) ≤ g(b) − g(a) + h(b) − h(a) < ∞. ¦ 2 1¦ ¤ Ï ÏØ ··º ¡2¦ ¤ ◮ Ï Ï Ó¡ §3 ÏÑ℄ÉÇ ¨ - Þ § ÆÈ ± Õ§ÊÓ½ Ò « ¡ ÖÈ ±×¡ªÝ È Î ÈÆ Ò ÁÁʽ δ 1 à f Ñf Î ¡ Ü [a, b] Ó§² x F (x) := f (t)dt a ÈÆ È ¡ 8 ¶ß à 1 f [a, b] Ë Ü [a, b] ¢¤ Ó§ f ÓÅ x F (x) = f (t)dt a Ï¡ ¦Ã § ◭ 1 x1, x2 ∈ [a, b] x2 F (x2) − F (x1) = f (t)dt, x1 ¹À Ó Ï ÓÅ « ¢ ² F ¢¡ ¦ Ó§² Ó¡Ã Ë 2 f |f | P := {a = x0 < x1 < · · · < xk = b} ¨ÍÅ § Ü [a, b] k k xi |F (xi) − F (xi−1)| = | f (t)dt| i=1 i=1 xi−1 k xi b ≤ |f (t)|dt = |f (t)|dt, i=1 xi−1 a Å ¤× b Tab(F ) ≤ |f (t)|dt < ∞. ◮ a ¡ 1 Ó Ï f ÓÅØ ·· С ¶ß 2 à f Ü [a, b] Ü [a, b] Ø ··Ñ ¡ Ó§ ¬ § ¡ x ∈ [a, b] x a f (t)dt = 0 f ◭ à f ° Õ » E ⊂ [a, b] §Ó´ ¶² ¡ ¸ §º Õ Ç § ¸ § ¡ F ⊂ E m(F ) > 0 F f > 0 O := [a, b] \ F ß b 0 = f = f + f, a F O ¸ f = − f = 0. O F OË Í Ü ­ Ü § ¸ ]an, bn[(n ≥ 1) bn f= f = 0, O n≥1 an 9 ¹Àº Ç n ∈ N ¸ bn a Ü an a bn bn an f = − = 0, an a a § ´³Ü·Á ¨Í Ñ §¸ ¶ß 3 à f Ü [a, b] ¤ § x F (x) = f (t)dt + F (a), a Ø § ¡ x ∈ [a, b] F ′(x) = f (x) ß² ¡◮ ◭ ±º ÎßÚ §Ý ¢º¤ µÂ± ¶ß 2 § ¡ c c F′(x) = c f(x) a f ¤a §f [a, b] Ó§ § Ë 1 F [a, b] ϧ¹À F′(x) [a, b] Ø ··º ¡Ã |f| ≤ K§ ¥ ¬³ ¢¤ fn(x) := F (x + h) h − F (x) , h = 1 n , ¹À ¨Âµ§ fn(x) = 1 h x+h f (t)dt, x |fn(x)| ≤ K, x ∈ [a, b], n ≥ 1. Ø F′ ··º § fn ­² fn(x) → F ′(x), a, e. ¹À ¤Ì § ¿Ï ÁÍ c c a F ′(x)dx = lim n→∞ a fn(x)dx = lim h→0 1 h c (F (x + h) − F (x))dx a = lim h→0 1 h c+h c F (x)dx − 1 h a+h F (x)dx a c = F (c) − F (a) = f (t)dx, a F ¢ ¡ ÎÈ c (F ′(x) − f (x)) = 0, a 10 È ¬ c ∈ [a, b] ¬³ § ¡ 2 F ′(x) = f (x), a.e. ◮ Îß 1 à f Ü [a, b] Ó§ x F (x) := f (t)dt + F (a), a Ø § ¡ x ∈ [a, b] F ′(x) = f (x) Ë ÏÍ̧ ÃÄ À §1. ÂÉ 1.2§℄ ÁΠʧ b ÂÉÀÅÇ Æȧ a F ′(x) ≤ F (b)−F (a) ÂÉ 1 À ËÆÈ Ë ¡ F ′(x) ≥ f (x), a.e ◭ Ĩ¯ §Ã f ≥ 0¡Ã fn Ë f ¡ Ï §× § fn(x) = f(x) ¬ § ¡ Î ­§ §¹À f(x) ≤ n fn(x) = n f(x) ≥ n f − fn ≥ 0 x Gn(x) := (f − fn) a Ñ x ϧ ÏØ ··º § ÏÄÈ¡ ¤ fn § 3§ d dx x fn = fn(x), a.e., a ¹À F ′(x) = d dx x f (x)dx a = d dx x (f (x) a − fn(x))dx + d dx = d dx Gn(x) + d dx x fn ≥ fn(x), a.e. a § n → ∞ x fn(x)dx a F ′(x) ≥ f (x), a.e. ¹À b b F ′(x)dx ≥ f (x)dx = F (b) − F (a). a a ¨Âµ §1 § § ¸ 1 b a F ′(x)dx ≤ F (b) − F (a) b b F ′(x)dx = F (b) − F (a) = f (x)dx, a a × b (F ′(x) − f (x))dx = 0, a § F ′(x) − f (x) ≥ 0, a.e. ¡ F ′(x) = f (x), a.e. ◮ 11 §4 Ü ° δ 1¥Û ¦ à f Ë Ü [a, b] Æ´ δ > 0§Ç ¬± ×Î ß ¬ ÚÍ º § [a, b] n |xi − x′i| < δ, i=1 ¬ n |f (xi) − f (x′i)| < ε, i=1 ² f Ë©Ô [a, b] ­ÈÛ ¡ Ü [a, b] « ¢ Ï ÚÑ ¡ AC([a, b]) Ï¡ ¬ ε > 0§º Ü {(xi, x′i)}1≤i≤n ⊂ 1 Î ­ Æ Ü [a, b] « ¢ ÏË ¢ Ï¡ Ü Ï Ë « ¢ Ï¡ÊÆ § 1 [a, b] Lipschitz f [a, b] Ã Ç ¬ § ¡Ã § C > 0 x, y ∈ [a, b] |f (x) − f (y)| ≤ C|x − y| § [a, b], x′i > xi, 1 ≤ i ≤ n ε > 0 (xi, x′i) ⊂ ¸ § δ < ε/C ¡ f ∈ AC([a, b]) n n |f (x′i) − f (xi)| ≤ C (x′i − xi), i=1 i=1 ¾ Å § §«× ni=1(x′i − xi) < δ n i=1 |f (x′i) − f (xi)| < ε ¶ß 1 Ü [a, b] « ¢ Ï Ëf [a, b] ¤ Ï¡ §Ã ◭ ε = 1 δ > 0 Ï « ¢ § ÅÌ §± [a, b] = ∪0≤i≤n[xi, xi+1] ­ ζ¡ Ü [a, b] Æ×Î ¹ÀÅ 1 2 δ < xi+1 − xi < δ, 1 ≤ i ≤ n, Ü Ï¹ n ± ¡ 2(b−a)/δ f « ¢ » § T xi+1 xi (f ) 1 §2 1.3¦§ §³¨ Ü [xi, xi+1] Tab(f ) = n T xi+1 xi (f ) ≤ 2(b − δ a) . ◮ i=1 ¡ 1 « ¢ ÏØ ·· Ч Ï Ó¡ 12 ¶ß 2 Ã Ü [a, b] « ¢ Ï f ÏØ ··Ñ § f [a, b] Ñ Ï¡ Vitali ¶ßÈ ¹¡ Ó´ ±¶ ¬ § ¡ ◭ c ∈ [a, b] f (a) = f (c) Ûçº Õ §Ç § E ⊂ (a, c) m(E) = c − a f ′ E Ñ¡ à ε§η Ѭ°Ï§δ Ñ ε « ¢ ζ °Ï¡ ¨ x ∈ E§ § f ′(x) = 0 [a, c] ¹¬Ý Ü Ç [x, x + h] |f (x + h) − f (x)| < ηh. (1) Ü ³Õ ¨Í ÇË § ÇË {[x, x + h]} E V itali V itali §º ÚÍ º Ü §Ç [xk, yk], 1 ≤ k ≤ n n m(E \ [xk, yk]) < δ. (2) k=1 Û ÎÜ ¿·¿Ñ y0 = a < x1 < y1 ≤ x2 < · · · ≤ yn ≤ c = xn+1, (2) ȧ n |xk+1 − yk| < δ. f« ¢ k=0 n |f (xk+1) − f (yk)| < ε. (3) k=0 ¨Âµ (1) ȧ n n |f (yk) − f (xk)| ≤ η (yk − xk) < η(c − a), (4) k=1 k=1 (3) (4) n n |f (c) − f (a)| = | [f (xk+1) − f (yk)] + [f (yk) − f (xk)]| ≤ ε + η(c − a), k=0 k=1 ε§η ¬ ¡ f (c) = f (a) ◮ 2 ß¹ « ¢ »Ý Ñ ¢¡ÊÆ §º ¢ Ï¥Cantor ·℄ Ϧ§ ÏØ ··Ñ §½ Ï ¡ ¦ ¢ Ï²Ñ ¯ ¢ Ï¡ 13 Îß 1 ÏÑ Óž ¦¾ Ë« ¢ Ï¡ ◭ ÃFË Ó Ïf Ë ¸ Ü (xi, yi)(1 ≤ i ≤ n) Óŧ ܧ ¡Ã §Ã F(x) = x a f (t)dt ε>0 n n yi |F (yi) − F (xi)| ≤ |f (t)|dt, i=1 i=1 xi ÓÅ « ¢ ²§º §¶§ § δ > 0 n i=1 (yi − xi) < δ §¹À §× « ¢¡ ε i=1 |F (yi) − F (xi)| < ε F n i=1 yi xi |f (t)|dt < Ùà F Ñ Ü [a, b] « ¢ ϧ § Ñ Ü 1 F [a, b] ¤ ϧ ¸ Ø F′(x) ··º § F′ Ó¡ x G(x) = F ′(t)dt, a « ¢§ ¡ « ¢ G G′ = F ′, a.e f = F −G §3 §1 f ′(x) = § F ′(x) − G′(x) = 0, a.e. 2§f Ø ··Ñ Ï¥ f ¢ §··Ñ Ϧ¡ ¹ § § ËÓ´ f(x) = F (x) − G(x) x = a f (x) ≡ f (a) = F (a) ¡2 « ³ b a F ′(x)dx x F (x) = G(x) + f (x) = F ′(t)dt + F (a). ◮ a ¢ ÏË Ï ÓÅ¡«×¾ - ¼½ÏÈ F(x) = §µÅ ßÑ F Ñ Ü [a, b] « ¢ Ï¡ §5 À¿ ¢ £Ö Æ¡ ¡ Royden p-101, 1,4*, p-104,7,10,11*. p-110, 13,15,16*,20 Ã Ü ¢§ Äȧ Äݧ 1. f [a, b] D+f (x) [a, b] f [a, b] × ¬ § ¡ x ≤ y f(x) ≤ f(y) Ϧ­Ã § § ËÆÑ Ü 2. 1 f (0) = 0 f (x) = x2 sin( 1 x2 ) x=0 f [−1, 1] Ï­¦Ã § § ËÆÑ Ü 2 g(0) = 0 g(x) = x2 sin( 1 x ) x=0 g [−1, 1] ¤ ¤ à § 3. f ∈ BV [a, b] 4. ÅÕ Cantor Ñ ¯ ¢¦¡ b |f ′| ≤ Tab(f ). a ¨Í Ü [0, 1] ¢½ « ¢ Ï¥² 14 Ã Ë Ü 5. f [a, b] Æ´ Ï¡ 1¦ f ± Lipschitz ߧ f Ë« ¢ Ï¡ 2¦« ¢ Ï f ± Lipschitz ß¾ ¦¾ |f| ¤¡ 15 6 ¬Lp Ó ¦I¨ ¼ Ö ÃÃ Ö ¼¯³ µ ̳ µ© µ 9 Î Ô §1 Lp ¯ ¥1 Lp Ò § ª p À­ ©f [0, 1] ©³ · 1 Lp([0, 1]) := {f | |f |p < ∞, } 0 · L([0, 1]) := L1([0, 1]) Ì©· § ´Ë «ª © ¾ Lp f, g ∈ Lp f ∼ g ⇔ f = g, a.e Ø ° Lp Æ ´Ë ³ Ç ° ¥ §© ­ 1 |f + g|p ≤ 2p(|f |p + |g|p) f, g ∈ Lp =⇒ f + g ∈ Lp º¥ © © α ∈ R f ∈ Lp =⇒ αf ∈ Lp Lp ß ¬ÚÒ ¯ ª ©· 2 f ∈ Lp, p > 0 «Â²³ ||f ||p := 1 1 p |f |p . 0 µ© ØÉ Ç ° ||f|| = ||f||p ||f ||p = 0 ⇔ f = 0, a, e. ¯ 3¥ ­ £§ f : [0, 1] → R∗ ¶ ©³¼ Ñ Å © © [0, 1] E0 f [0, 1] ⊂ E0 L∞([0, 1]) ³Å É ©§ © ¶ [0, 1] ||f ||∞ := ess sup f (t) := inf{M | m{t| |f (t)| > M } = 0} = inf sup g(t). f =g,a.e t∈[0,1] ×1 Ý¥ ¥1 Minkovski § ª © © © 1 ≤ p ≤ ∞ f, g ∈ Lp f + g ∈ Lp ¨ © ´ ||f + g|| ≤ ||f || + ||g|| 1 < p < ∞ ¿ α, β Ʋ αf = βg §Û ª © °¶ ¼ Ì 1 p ≥ 1 (Lp, || · ||p) ¨ © © 1 0 < p < 1 f, g ∈ Lp ||f + g|| ≥ ||f || + ||g|| 1 ¯ 4¥ £§ À­ p, q > 1 Íà ©§ © ´¯Æ p = q = 2 ∞ ¼º Íà 1 p + 1 q = 1. Ê ´¢³ µ p → 1 ¬©q → ∞© Ø» 1 Ý¥ ¥2 Holder ´ ||f g||1 ≤ ||f ||p · ||g||q § ª p, q Íà © © © f ∈ Lp, g ∈ Lq fg ∈ L ¿Ñ Ʋ α, β α|f |p = β|g|q §2 ¢ÙÆ ©ÏÆ §2.1 Ñ ­ ¯ 1 Á ¼°¶ Ì©½¼ ¥¶ §©Banach Ì ¯ 2¥Ñ ­§ ª {fn}n≥1 °¶ ¼ Ì X Ƴ¼ Ʋ n ||s − fi|| → 0, n → ∞, i=1 È Ñ ©Þ ª ©É {fn}n≥1 È ℄º ©¨ {fn}n≥1 s s= ∞ i=1 fi ∞ i=1 ||fn|| < ∞ ·Ð©¨ s∈X 1 ر©º ­ ±È ©℄º ¼¯ ©º °¶ ¼ Ì© × À£¥ §© º Banach ̦¤À£ Ý¥ 1 °¶ ¼ Ì X X Æ È ℄º ªÈ ℄º ©Ç ◭ ⇒ Ʋ ª © N ∈ N {fn} ∞ i=N ||fi|| < ε ∞ i=1 ||fn|| = M < ∞ n>m≥N »º¥ © ε > 0 n n ∞ ||sn − sm|| = || fi|| ≤ ||fi|| ≤ ||fi|| < ε, i=m i=m i=N ÝÆ sn {fn} © Æ ·Ð© ³ ¶©È n i=1 fn {sn} X Cauchy X ⇐ ª·Ð {fn} X Æ Cauchy ·Ð© º¥ © k ∈ N © nk ∈ N ¬© ¹ ·Ð Ʋ © Æ ¾¯· m, n ≥ nk ||fm − fn|| < 2−k {nk} nk+1 > nk Æ·Ð « © ©Ç ° X {gk} g1 = f1 gk := fnk − fnk−1 k ||gk|| ≤ ||f1|| + 2−k < ∞, i=1 k≥1 2 »È ℄º ʪ ©Ç Ʋ {gk} ©ÇÝ Ç ° ³ ± ß ©·Ð Æ 0(k → ∞) f {gk} gk k f ∈X fnk k i=1 ||gk − f || → fnk X ° f ÙÁÚ·Ð {fn} ° ª © Æ ·Ð© f ε > 0 {fn} X Cauchy © ¬© Ò¼¾Ù © N ∈ N m, n ≥ N ||fm − fn|| ≤ ε/2; K∈N k≥K ¬© ¡ É ©Æ² © © ||f − fnk|| ≤ ε/2 k k > K nk ≥ N ||f − fn|| ≤ ||f−fnk || + ||fn − fnk || < ε, ¿Ç fn → f(n → ∞) ◮ ¡Ø ¨Î­ §2.2 Lp Lp(1 ≤ p ≤ ∞) ¯ ¥ ¡Ø§ ª ©§ © 1 Lp fn, f ∈ Lp ||fn − f ||p → 0(n → ∞) Æ ° ©É f fn → f (Lp) Ý¥ 1 1§ Ä ³ ¼¶ § ª © 2 fn → f (Lp) limn→∞ ||fn||p = ||f ||p § ª ª © 3 fn, f ∈ Lp(1 ≤ p < ∞) limn→∞ fn = f, a, e fn Lp lim n→∞ ||f − fn||p = 0 ⇐⇒ lim n→∞ ||fn||p = ||f ||p. § ª Æ 4 fn Lp ° f © ½ fn ¸ °f » ¶ °f ³È·Ð {fnk}k≥1 Û 1 ³ÁÚÔÌ Ý¥ ¥ ¨Î­© Õ§ Ì 2 Lp Riesz-Fisher Lp(1 ≤ p ≤ ∞) ³° ¶ ¼ Ì©Ç Banach Ì § ³ µ ◭ 1 1 ≤ p < ∞ ª fn Æ Lp ·Ð© Û 1.4§© ¸ ·Ð© » fn ½ ¸ °¼ ¥Í£ ¤ f Royden p-96, 25§© fn ³È·Ð ¶ {fnk }k≥1 °f Æ fn Lp ·Ð© ©Æ² N ∈ N m, n ≥ N ¬© · © ||fm − fn||p < ε n ≥ N F atou 1 1 1 |f − fn|p = 0 0 lim k→∞ |fnk − fn|p ≤ lim inf k→∞ 0 |fnk − fn|p ≤ εp, » © » Ê f − fn ∈ Lp f ∈ Lp Ø© ´¯³Ë¹ ¹ ° ||f − © » ÁÚ fm||p → 0(m → ∞) 2§ ³ p = ∞ µ 3 ª Æ ·Ð©Ó © fn L∞ Ak := {x| |fk(x)| > ||fk||∞} Bm,n := {x| |fn(x) − © © · ¾Æ ¶ ³ fm(x)| > ||fn − fm||∞} E := ∪k≥1Ak ∪m,n≥1 Bm,n · ° © © ¼Å m(E) = 0 EC fn °¼ f º x ∈ E©· © © f (x) = 0 f ∈ L∞ ||fn − f ||∞ = 0 ◮ §3 Lp ª℄ÜÆ Ý¥ ª © © ¸ Ʋ 1 f ∈ Lp(1 ≤ p < ∞) ε > 0 ψ ||f − ψ||p < ε. Ó © · © ¸ ©Æ² ◭ ε > 0 Lusin E ⊂ [0, 1] ψ m([0, 1] \ E) < ©δ f|E = ψ f, ψ é|f − ψ|p é à ³℄º ¸¶©Äº δ Ä ³ © [0,1]\E |f − ψ|p < εp ² 1 ||f − ψ||pp = |f − ψ|p = |f − ψ|p + |f − ψ|p = |f − ψ|p < εp. ◮ 0 [0,1]\E E [0,1]\E Õ 1 ª ϕ © ¸ [0, 1] © º¥ © ε > 0 Ï ϕ Ʋ supx∈[0,1] |ψ(x) − ϕ(x)| < ε ◭ ψ © [0, 1] ¸© [0, 1] ©¼Å ¸ ª ε > 0© δ > 0 ¾Æ À ©Æ² © Ó 0 = x0 < x1 < · · · < xn = 1 max |△i| < δ max ω(f, △i) < ε ©¨ © ϕ(x) := max ω(f, △i) x ∈ △i supx∈[0,1] |ψ(x) − ϕ(x)| ≤ ε ◮ Û 1 1 ²° Ý¥ ª © © 2 f ∈ Lp(1 ≤ p < ∞) ε > 0 Ï ϕ Ʋ ||f − ϕ||p < ε. Ç ° © Û C([0, 1]) ⊂ Bd([0, 1]) ⊂ Lp(1 ≤ p < ∞) Bd([0, 1]) = Lp(1 ≤ p < ∞) ² 1 C([0, 1]) = Ý¥ ª © © 3 f ∈ Lp(1 ≤ p < ∞) ε > 0 Ʋ g ||f −g||p < ε ¯ ª ∗ 1 ∆ = {ξ0, ξ1, · · · , ξm} à f ³Ü ∆- · Ì [a, b] ³¼ À©f © [a, b] ϕ∆(x) := 1 ξk+1 − ξk ξk+1 f (t)dy, ξk 4 ÝÆ x ∈ [ξk, ξk+1[ Ý¥ ª ∗ 4 f ∈ Lp ³Ê È Ì³ ¸ δ ³Ü Æ f ∆- ϕ∆ Lp Ѭ©||f − ϕ∆(x)||p → 0 f ©Ç À ∆ Õ ¥1 Riesz g ∈ Lq Ʋº¥ §4 Riesz Ö Õ§ ª ©³ Λ Lp(1 ≤ p < ∞) © f ∈ Lp °¶½ © Λ(f ) = f g, ||F || = ||g||q, ÝÆ q p ³ Íà · Ù Ý · Riesz ¼Þ שÁÚÍ Õ¡Riesz ·¢ §5 «¦ ¤Ð¦ £ ¤ 1. Royden Problem. p.119-,2,4. p.122-5,6,7,8*. p.125-11,16,18*. p. 5 Ø 7 Эݷ ¡ «Jenson Ö «Alzela − Ascoli Û²«Stone − Weierstrass Û² §1 ܶ ÓÄ Ú §1.1 ÀØ µ §1.2  §1.3 Ѷ ¥ §1.4 ª ģà §1.5 «À¸ §2 Ú±ª Ú± §3 Arzela − Ascoli Stone − Weierstrass §1 Þ¸ ÔÅ ­ §1.1 ¬¦ À¸¨ À¸ª À¸©ªÀ¸ (X,ρ)ªÀ¸ ÃÛ¡ ÊÕª Ê ¡ ܪ ܪ ª ª ª ª ª¼ ¡ Í ¨Þ©¡ ¿À 1 À¸ X Í » Ü℄ {Oi} Ä » Ü O ⊂ Xª ´ §1.2 Á Ú 1¨´ © O= Oi. Oi ⊂O ¿À 1 X,Y,Z ÐÀ¸ ¡ 1. µ f : X → Y Ƭ Ä Y Ê » Ü ª © Ê O f−1(O) X Ü¡ ª ©µ 2. f : X → Y g : Y → Z ª ©µ g ◦ f : X → Z ¡ Ú 2¨Á © © f : X → Y Í ª f ©µ f−1 ª µ f ©Á ¡ X, Y  ª X,Y µ©Á ¡ ³1 1 Õ 1  ¸£Ã ɪ ¸À¸ É¡ Ú 3¨Õ Á¥© Ú 4¨Ü¶Õ © §1.3 µ Æ Ú 1¨ µ ª É℄¹ªÆ © Ú± 1¨Æ «© Ú 2¨ Ò´ © ³1 µ h(x) := x 1−x , x ∈ [0, 1[ ¶Ãµ ¡ ¶Èµ ¡ Ð Ê »ª f : X → Y {xn} X Cauchy » ¡ C auchy © Ê {f(xn} Y Õ 1  µ© f : X → Y ÒÁ f f−1 ¶Ãµ ¡¶È  ¸ ɵ© Ò Óª³ ¸ Cauchy »ª¥ ¸Ý¶Ãµ ¡¶È É Ð£Ã Éª³ ³ 1 Ê µ h Ð Â ¸ Cauchy »¡ Ú 2¨ ÒÕ © ÐÀ¸ d1, d2 X ·℄À¸ª Ó id : ©¶È (X, d1) → (X, d2) ª À¸ d1, d2 µ© ÒÕ ¡ ³2 ¿À 2¨ Ò´ ÑÚ±© ÐÀ¸ (X1, d1), (X2, d2) ¡ f : E(⊂ ¶Èµ X1) → X2 ª f ¨¶µ g : E → XªºÞª ¨¶ µ g : E → X g|E = f ªÇÆ g ¶Ãµ ¡ Ö §1.4 ªÎßÄ Ú 1¨Ü¶ ÓÖ © ¿À 1 X ©À¸ ªS © X ¡E Ä S ÅÊ E E Ä X ¡ÜÒ A ⊂ S Ä S ¨ © Ƭ Ü F¨ Ü G©ª ¨ ©¡ A = S ∩ F A = S ∩ G © E ∩Sª XÊ ¿À 2 ÍÀ¸ X Í¡ ¿À 3 À¸ ¥ ÜРܪ¥ À¸ ÜÐ¥ ¡ 2 §1.5 ܶ Ú 1¨ Æ© Õ 1 « Ð  ±­¡ Ú± 1¨ Í Ó© Ú± ¨ Ú±© 2 Borel − Lebesgue X ©À¸ ª ÔÞ ¬ 1©X «¡ © ɬ¬È ÜÇ ¶ ¡ 2 X Bolzano − W eierestrass 3©X »«¬ » » Ѷ »¡ ¿À 1 « Ü©«Ü¡À¸ « ÜÐ ª Ü¡ Õ 2 Þ 1 É℄¨ ªRiesz É¡ ¿À 2 «Ü µ ©«Ü¡ ¿À 3 À¸ X ©« ºÍ ´ ¡© X ¥ Æ¥Í ª¡ ¿À 4 «À¸ À¸ µ ©¶Èµ ¡ §2 ¯©Ô¡ § ºÎ´Ì John. C. Oxtoby, Measure and Category, Second Edition, ¡ GTM 2, 1980, Springer-Verlag ÑÄ Æ¨Ó£ª ¤¡ Ñ¢¶℄ÜÒ Ô¨Ì ªÌ ª¢ Ü © Ù¡ Ó §2.1 R Õ R ÓÆ Ë½Ó »Ô £ Ó× ¡ Ú 1¨ÈÐ ¼Æ© ÜÒ A ⊂ R µ© Ë I Ê» ª A I ¶ Ë Ì ¤ÆA ⊂ R µ© R Ê» ª Ù R Ê »Ë » ÆA µ ©ÈÐ ¼ ÙÄ »Ë » ªÞ »Ë A ÜÊ Ë ¨ ¸ A × © ª ¶ Ò¹ ÔÀ Ò ©¡ 3 ¼´ ª¬½» Ü ¶℄Ë ª¿ÇÙ ¡Ù µ ¶℄Ë ªÎ ÜÒ A ¾Ä » ª½¾ A µ ¡ ³ 1 1© Ü ÏÕÜ ÕÜЬ½» Ü¡ © ª ª ©¬½» Ü¡ 2 E ⊂ R inf{d(x, y)| x, y ∈ E} > 0 E ©3 Cantor ℄ÍÜЬ½» Ü¡ ¬½» Ü Æ£ ¤ª ¸ Ù Ü¡ ż٠µ £Ô¤ªÙ Ü¿ £ ¤¡ Ú± 1 1© ÜÒ A ¬½» Ƭ Ù A ªºÞ A ¬½ » Ƭ A ¬½» ¡ 2© ÜÒ A ¬½» Ƭ A Ü AC ©» Ü¡¿Ç Ƭ A Ü AC ¶℄» Ü¡ ©1 ◭ =⇒ ÜÒ A ¬½» ¡ A xª x ¶℄¼ ª U(x) ⊂ A ¿Ç U(x) Ê Ñ¶℄ Ë Ó Aª¾ Ë © A ª½¾Ù A ¤ ªÞ A U(x) » ª A ¬½» Å¡ ⇐= A ªI Ð ¶Ë ª« ò I ¶℄ Ë A ¤¡Î ª ª x ∈ I Ñ x Ë A ¤ª x © A ª¿ x ∈ Aª¿Ç I ⊂ Aª A Å¡◮ ©2 ◭ =⇒ ÜÒ A ¬½» ¡ 2©ªA ©¬ ܪ¿Ç AC © Ü¡ I © ¶Ë ª ½ I Aª¿Ç I Ê Ó ACªºÞ AC » ¡ ©» ⇐= AC Ü Gª R »Ë I G ¤Ì ¡ Ì x ∈ G Iª Рܪ ¶℄¼ ¡Ì ª Ë ª G x U (x) ⊂ G I′ = I ∩ U (x) I′ ⊂ AC A I′ ¤© ¡Ø¸ A I » ª I »ªA Ь½» Ü¡◮ ¡ ­¶ ż¬½» Ü Ü ¬½» Ü ³£ ¤¡ û 1 1©¬½» Ü ÜЬ½» Ü¡2©·℄¬½» Ü Ð¬½ » Ü¡ ◭ Þ ¶℄¨ ¬½» Ü ¼Ã¦ ¡ À É℄ ¨¡ A1, A2 ©·℄¬½» ܪ A1 ¬½» ªÄ »Ë ª I ⊂ R Ë ¡ ¬½» ª Ë ª¿Ç I I1 ⊂ I \ A1 A2 I1 I2 ⊂ I1 \ A2 ª µÐ¬½» Ü¡ I2 ⊂ I \ A1 A2 A1 A2 ◮ 4 û 2 » Ü ÜЬ½» Ü¡ ◭ G л ܪ ½» Ü¡◮ ©ª © 1.2 E = GC ܪ¿Ç E Ь Ú 2¨ ª ª © Baire 1899 ÜÒ A ⊂ R µ©× ƪ Ù ¸ © »Æ℄¬½» Ü ¡ Ð ¶ Ü ÜÒµ©× ƪ ¶ Ü Üµ © Æ¡ ³ 2 ¬½» ÜÐ ¶ ܪ ¶ Ü ¶ Ь½» Ü¡³ Õ Ð ¶ ܪ٠R Ê» ª¿Ç٠Ь½» Ü¡½¾¬½» ÜÌ » ÕªÜÒÎ Ô¹ª Ù Ô ·Àª« Ù Î ¶℄Ë ¨ §©ª Ù Ü Ô ¨» §©¡ Ú± ¨2 Baire Ú±© 1© ¶ Ü Üл Ü¡ 2©R Ë Ð ¶ Ü¡ 3©» Ü »¤©» Ü¡ ◭ ℄℄Þ¨ É Ð ¡ É℄¨ æ¿ ¶℄¨ Æ 1.2©ª» Ü ÜЬ½» ܪ DeMorgan ª» Ü » ¤ Ü© »℄¬½» Ü ª© ¶ ܪ ¨ 1© ℄℄¨ ¡ « ¼ ¶℄Þ À ¡ AÐ ¶Ë ª ¶ ܪ ¼ A1 Ь½» A= ܪ n≥1 An ªÅ Ê Ë I1 An Ь½» Ü¡ Æ I ⊂ I \ A1 © I ⊂ R A2 Ь ½» ܪظ Ë I2 ª I2 ⊂ I1 \ A2 ¶ª £ Ë » ªÙ ¤ Ì ªÆ ª Ë In(n ≥ 1) » Á » ¡ I AC n≥1 In ◮ n≥1 In ⊂ I \ A = I AC ¥ £ R ­ Ûß ¨ ª© « ¨ ¨ Iª Æ A1 ÝÜ § ª¥ Þ I ±© ¨ I1 A1 Ú¤¡ Æ A2 Ýܧ ª¥ Þ I1 ±© ¨ I2 A2 Ú¤¨Þ I2 A1 A2 Ú¤ªØ¬¯ °¢ © ªªÞ In−1 ±© ¨ Ú¤ªÞ In An Ú¦ª ß n≥1 In(⊂ I) n≥1 In n≥1 An ± ªn≥1 An ¡ Ú¤ ¡ Rß Ù ª R ±Ü§¡ ¨ û 1 ℄Ë¡ ªÅÊ © Ü¡ R = ∪∞ n=1En En(n ≥ 1) ¶ EnªÙ ¶ ◭ 1ªR Ð ¶ ܪ½¾Ç ¶℄ En Ь½» ܪΠR Ð ¶ Ü¡½¾ Ü En ªÞÙ ¶℄Ë ¡ 5 Ú± 3 1© ¶ Ü ÜÐ ¶ Ü¡2© »℄ ¶ Ü Ð ¶ Ü¡ A © ◭ 1 A = ܪ © n≥1 An ¶ ܪÅÊ An(n ≥ 1) ©¬½» Ü¡ Ð A′ A′ = A′ A = A′ ( An) = (A′ An), n≥1 n≥1 ª1 A′ An Ь½» ܪ¿Ç A′ Ð ¶ Ü¡ 2© ℄ ¶ ÜÐ »Æ℄¬½» Ü ª »℄ ¶ Ü Ð »Æ℄ ¬½» Ü ª ¾ É℄¨ ¡◮ Ú ¨3 σ- ±Ï© Ô·℄ É R © ª 1 A ∈ A A » ÜÓ A¡ © ª ¡ 2 Ai ∈ A(i ≥ 1) i≤1 Ai ∈ A Ü A µ©¶℄±Ï¬ 1 Ô ¼ 3´ µÐ σ- ¡ ¶ Ü Ð σ- ¡¾¤ª½°Ü Û ¶ Ü ½°Ü ·℄ σ- ¡ Ú± 4 à ¸Í©©Ö ¤ ·℄ÜÒ A BªÅÊ A Ð ¶ ܪB н°Ü¡ ◭ ° ¼·℄³ ªÕ ¯Þ¢Ý ¾¶℄³ ¡ 1© ¢ R Íß ÕÁ»© ¡ и ©Ê ª³À a1, a2, · · · , an, · · · Iij ai © 1/2i+j Ë ¡Ä ¶ j ≥ 1ª¿ Gj = Iij , i≥1 B = Gj. j≥1 Ä » ª ª ª ε > 0 j 1 2j <ε m(B) < m(Gj ) = m( Iij) ≤ ∞ m(Iij ) = 1 2j ∞ 1 2i < ε, i i=1 i=1 ¿Ç B н°Ü¡¾¶Ë ªGj Ð Ü » ªÆ Õܪ¿ÇÐ R » R=A ܪ B ÐØ Þ ´ 1ͪG©Cj ¡¬ ½ » ªØ¸ A = BC = Ð j GCj ¶ ¡Þ 2© ¬ Õ z µ© Õª Liouville Ä » Õ nª ª p, q ∈ N ªÅÊ ¡ß ©Íß Õ |z − p/q| < 1/qn q>1 E Liouville ¶ ÜÒª¿ Gn := ( p q − 1 qn , p q + 1 qn ), q>1 −∞1 p=−qm Ç Çn ¸ ½°Ü¡ qm m( (p/q − 1/qn, p/q + 1/qn)) ≤ mq |2/qn| q>1 p=−qm q>1 p=−mq ≤ 2(2m + 1) 1 qn−1 ≤ 2(2m + 1)/(n − 2), q>1 » ªØ¸ н°Üª¿Ç Ð E (−m, m) E= ∞ m=−∞ (E (−m, m)) Õ 2 4 ż ¶ Ü ¸Ð °Üª É Ü ¸Ð½°Ü¡ ¾¶℄ ³ Ë [01] Í©©Ð Õ¨ ¶ Ü©ÝŠܨ½°Ü©¡ §2.2 ܶ Ó § X Ð¥ À¸ ¡ Ú± ¨1 Baire Ú±© X Ð¥ À¸ ª{Gn}n≥1 Ð X ʶ»» Ü¡ Ê» ¡ ∩n≥1Gn X û ¨1 Baire Ú±Õ © X Ð¥ À¸ ª X »Ì Ü Ð ¶ Ü¡Ü ªX Ð »¬½» Ü ¡ Ð ¶℄¿ ¡ Ú± 2¨¤¾Ú±© F Ð¥ À¸ ¶℄ ĵ ÐÕ¡ Ä » ª ª Ä » ª ¡ x ∈ X Mx > 0 f ∈ F |f (x)| ≤ Mx Ì ÜO⊂X ²Õ Ä » ª ¡ M > 0 f ∈ F x ∈ O |f (x)| ≤ M ª ª ¼ ª ¡½ µ ◭ m ∈ N f ∈ F Em,f := {x| |f (x)| ≤ m} Em := ∩F Em,f f ª © Em,f ܪ¿Ç Em © Ü¡ ¡ªÄ » x ∈ Xª ª m ∈ N Ä » ª ªºÞ ª ¡¿Ç ¡ f ∈ F |f(x)| ≤ m m∈N x ∈ Em X = ∪∞ m=1Em 7 X ©¥ À¸ ª ¡ 1ª ª M ∈ N EM Ь½» ܪ¿Ç Ü Em Ì ªÙ ℄É O¡½¾Ä » x ∈ O ¸Ý f ∈ Fª« ¡ |f (x)| ≤ m ◮ §2.3 ÊÀ ¿À 1 O F Í © Ü Üª O \ O F \ F◦ ©¬½» ÜªÅ Ê F◦ © F Ü¡¡ ¿À 2 ¶℄ÜÒµ© ƪ Ù ¸ ©¶℄ ¶ Ü Ü¡À ¬ ¶℄ÜÒ© Ü Æ¬ Ù ¶℄ Gδ Ü¡¿Ç¶℄ÜÒÐ ¶ Ü Æ¬ Ù ¶℄ Ü©» Ü Fσ ÜÊ¡ ÓÊÀ À¡ ¥ ¦ Royden p-161, 31, 32, 38*. ÊÀ 1 ¡ E ⊂ R 1© » EC ªF Ð E Ê Üª F ¬½» ¡ 2© E EC ©» ܪ Ù ÂÊÇÆ ¶℄Ð Fσ Ü¡ 3©Ë Ê [0, 1] ÕÜ Ð Gδ Ü¡ 4©ÐÎ Ë [0,1] ÄÐÕªÙ ÕÜ µ ªÇ ¬ ÕÜ µ¯ ÊÀ 2 À µ ÐÕ µ ÜÒ©» Gδ Ü¡ ÊÀ © ª Ë 3 1 0<ε<1 [0, 1] ÜÒ ª Cantor C(ε) ¡ m(C(ε)) = ε Ç ¶ 2© ¿ Cn3C©ÐÀ» ´¡© ε ª © ©ÊÄ = n−1 n Cn 1 ÜªÆ Ð n≥1 Cn ¡¨Ý m( n≥1 Cn)=1 ¿ Cantor Ü¡À Ð Cn ¶ Ü¡ ¬m(( n≥1 Cn)) ≥ m(Cn) ≥ 1 ¬ − ½» Ä 1/n ܪ¿ »n 4© À Ë [0,1] ¸Í©© ¤ ¶ Ü ½°Ü ¡ ÊÀ 4 À Ô´Ô ¡ 1©» Ü »¤Ð» Ü¡ 2© ¬½» Ü » ¬ ¡ 3© »Ì ÜÐ É Ü¡ 8 ¶©℄ Ü¡ © ܪ 4 An(n ≥ 1) n≥1 An 5© ¶ ¶ Ü Üл Ü¡ ¶℄ ܪ Å iª Ai §3 ¢Û² § Õ §3.1 J ensen Ú 1¨Â§ © Ð Ë ϕ ]a, b[ Ý » ª x1, x2 ∈]a, b[ ÄÐÕª Ä » 0 ≤ α ≤ 1ª¸ µ ©ϕ ]a, b[ ϕ(αx1 + (1 − αx2) ≤ αϕ(x1) + (1 − α)ϕ(x2), ÐÕ¡ ± 1¨Ì º © ª x ≤ x′ < y′, x < y ≤ y′ Ð Ë ϕ ]a, b[ ÐÕ¡ ªÆ x, y, x′, y′ ∈]a, b[ ϕ(y) − ϕ(x) y−x ≤ ϕ(y′) y′ − − ϕ(x′ x′ ) . Ú± ¨1 Jensen Õ© ÐË f [0, 1] ÐË ]a, b[ ÐÕª °ÐÕª ª f([0, 1] ⊂]a, b[ ϕ ϕ( f dx) ≤ (ϕ ◦ f )dx. Ω Ω ¿ ª ¡ ◭ t= 1 0 f dx a 0ª Y Ê V ª F ÐÕÄÜÒ V ⊂ Y ¥Í ε- ¦©¡ ³ ÐÕ℄ Ð ¶È ªÜ¡ 1 {fn(x) ≡ n}n≥1 [0, 1] Ú 3 X,Y ©À¸ ªÐÕ℄ F µ© X ÕÜ´ ª Ä » ª ª ε > 0 δ>0 ª ªÄ » ª x1, x2 ∈ X dX(x1, x2) < δ f ∈F ¡ dY (f (x1), f (x2)) < ε ³ ÐÕ℄ Ë 2 fn(x) := xn(n ∈ N) [0, 1] Ð Àµ ℄¡ [0, q](0 < q < 1) Ð Àµ ℄ª Ë ³ ÐÕ℄ Ä »Ì¢×Ë 3 fn(x) := cos nx(n ∈ N) [a, b] ℄¡ Ð Àµ ² ³4 ÐÕ℄ §ªÆ ¶È F = {fα| [a, b] → R, α ∈ A} ¸ ÁÐÕ℄ Ë Àµ ¡ F [a, b] {fα′ | α ∈ A} ª¡ 10 ± 1 K, Y ÐÀ¸ ªÅÊ K ЫÀ¸ ¡ µ ÐÕ» fn : K → Y (n ∈ N) K ¶ÈѶª ÐÕ»¥Í ªÆ Àµ ¡ ◭ ªÁ ©µ fn ⇉ f f ∈ C(K, Y ) ÐÕ¡ K « ªf K ¶Èµ ª ¿ÇÄ » ε > 0ª ª δ > 0 ª ¡¾¶ d(x1, x2) < δ d(f (x1), f (x2)) < ε Ë ªÄ¾ ε > 0ª ªÄ » ª N ∈ N x∈X n≥N ¡ d(fn(x), f (x)) < ε ÔÛ ªÄ » ª ª ª n ≥ N x1, x2 ∈ K d(x1, x2) < δ d(fn(x1), fn(x2)) ≤ d(fn(x1), f (x1)) + d(f (x1), f (x2)) + d(f (x2), fn(x2)) < 3ε, ¾ÁÐÕ» {fn| n ≥ N} © Àµ ª¿ÇÐÕ» {fn|}n≥1 © Àµ ¡ ¥Í ª » ¬Ä » ª » ª x ∈ K n > N d(f (x), fn(x)) < ε ¨Ò «ªÜÒ f(K) «¡◮ n>N fn(K) Y Ê¥Í ªÆ¾¶Ë ª∪Nn=1fn(K) YÊ Ú± ¨ © 1 Arzela − Ascoli F Ð «À¸ K ¥ À¸ Y ÐÕ℄¡ F Ê ¶ » ¶℄¶ÈѶ » ´ºÍ ¡© F ©¥Í ª Àµ ℄¡ Õ 2 2 ¸ £Ã ² ¬ K ЫÀ¸ ªY Ð¥ À¸ ª ¡ F ⊂ C(K, Y ) F © C(K, Y ) Ê«Ü Æ¬ F ©¥Í ª Àµ ℄¡ ◭ F ¥Í ªª ÐÕ» {fn} ⊂ F ¥Í ª¡ ¾ 1ª ¿ » Ê {fn} ¼¶ÈѶ »¡ Àµ ª ªÐÕ» ª Ä » F ¸Ý ª ªÆ ¡½¾ x0 ∈ K ¾ ª ¿ » Ê °¶ÈѶ »¡ 1 ε0 > 0 {fn} ⊂ F {(x′n, x′n′ ), n ∈ N} d(x′n, x0), d(x′n′ , x0) → 0 d(fn(x′n), fn(x′n′ )) ≥ ε0 > 0 {fn} © »» Ü¡ © Ê ¶Ð E := {xn}n≥1 K {fn}n≥1 F Õ»ªÙ x1 ÐÕÄ » Ð Ê¥Í {fn(x1)}n≥1 Y ªÜª Y ¥ ª ¸¿Ê ¼Ñ¶ » ª¢ ¼ {fnk(x1)}k≥1 Û ª ¸¿ Ô » ¼ ¾ »ß© ¡ {fn2}(n ≥ 1) Ô» ·ª ¶ª» {fn1k}k≥1 Ðջߩ ¡ ³ {fn1}n≥1 » Ѷ ª¢ {fn1k(x2)}k≥1 » ª » {fnk}(k ≥ 1) Ѷ¡ {fnk(xk)}(k ≥ 1) Ä¥ » ª Ê » gn := fnn(n ≥ 1) {gn} E Ѷ¡ À » gn K Ê » ѶªÆ K ¶ÈѶ¡ ª ε > 0 F Àµ ° ¿ ¡ Ð δ > 0 E1 := {ξ1, · · · , ξk} E ܪ٠¶ K ¦¡½© Ѷª½¾ ª -δ {gn(ξi)}n≥1(1 ≤ i ≤ k) N ∈ N m, n ≥ N ª ¡ d(gm(ξi), gn(ξi)) < ε(1 ≤ i ≤ k) 11 Ä » ª ª ¡ Àµ ªÄ » x ∈ K ξj ∈ E1 d(x, ξj ) < δ F ª ¡ ¾ n ∈ N d(gn(x), gn(ξj)) < ε ªÄ » ª m, n ≥ N d(gm(x), gn(y)) ≤ d(gn(x), gn(ξj)) + d(gm(ξj), gn(ξj ) + d(gm(x), gm(ξj )) < 3ε, Æ Þ Ë¨ ¡◮ Ô 1¢Ð ¡ ª ¥ ª ª 1 Royden p.109 40¦ Ú± 1¢ F Ð ÍÀ¸ X À¸ Y Àµ ÐÕ℄¡ Рʶ »ª Ä » ªÜÒ {fn}n≥1 F x∈X {fn(x)}n≥1 » ªÙ {fnk}k≥1 ÚѶ ¶℄µ ÐÕ f ªÆ X ÔѶ©¶ÈѶ¡ ©«Ü¡ »« Ü ª Ú± §3.3 Stone − Weierstrass Ú± 2¨ ÙÇ Ú±© ª Æ f ∈ C([a, b], R(C)) » Pn : [a, b] → R(C)(n ≥ 1) ª ¡ [a, b] Pn ⇉ f, n → ∞ Þ [a, b] ÕÆ » ¡ C([a, b], R) ³ 6 [a, b] Í µ ÐÕ C([a, b], R) » ¡ ©À 2ª« Æ ´ÄÍ µ ÐÕÀ ¡ © ª ◭ 1 f, g ∈ C([a, b], R) f, g Æ ¨¸ »¯À©¶È ƪ µ f + g, fg, αf(α ∈ R) Æ ¨¸ »¯À©¶È Æ¡ ©· Á Ë ªÐÕ Æ ¶È 2 [−1, 1] |x| Pn(x) := n k=1 akxk Æ¡½¾ªÆ » Ë ¶È Æ ¡ M · Pn(x/M) |x| ≤ M |x| © ªÆ ª ¿ 3 f ∈ C([a, b], R) M = maxx∈K |f(x)| n |y| − ckyk < ε(|y| ≤ M ) k=0 n |f (x)| − ckf k < ε(a ≤ x ≤ b), k=0 ½¾ª f Ë [a, b] Æ ¶È ƪ |f| ³Ë Æ¡ µ n k=0 ckf k © Ë 4 f, g [a, b] Æ ¶È ƪ ª µ g) + |f − g|) min{f, g} = 1 2 ((f + g) − |f − g|) © ª¿ 5 a ≤ ξ1 < ξ2 ≤ b Æ ÐÕ Æ¡max{f, g} = 1 2 ((f + f (x) ≡ 0, gξ1 ,ξ2 = x ξ2 − − ξ1 ξ1 ; h(x) ≡ 1, Φξ1 ,ξ2 = max{f, gξ1,ξ2 }, Fξ1 ,ξ2 = min{h, Φξ1,ξ2 }. 12 Õ ¹ ª Òª ¾À ¹ Fξ1,ξ2 ÐÕ 3¡◮ Ò ± ℄Ë [a, b] ͵ Ð Ú 3¨§ Ò © » ɪ A µ© X © ¡ 1 f, g ∈ A =⇒ f + g ∈ A, f g ∈ A © ¡ 2 α ∈ R(C), f ∈ A =⇒ αf ∈ A ¨ ©§ Ò ¬ ³ 6 X ⊂ C Ø Æ ¡Ë Ø [a, b] Æ ¡ ³ Ë ÐÕ℄ Ù ¨ © Õ 7 [a, b] {enx}n∈N {enk}n∈Z Ò¡ Ú 3¨ ° © µ X ÐÕ℄ S Í X Ê ª Ä » x1, x2 ∈ ª ª ¡ X, x1 = x2 f ∈S f (x1) = f (x2) ³ ÐÕ℄ Ê 8 {enx}n∈N ℄ÐÕ Í RÊ ¡2π ÍÄÐÕ℄ einx(n ∈ N ¸Í ³À 2π Ë Ê ª Í ³À 2π Ë Ê ¡ ³ 9 Ø Æ ¸Í »Ë Ê ª P(x) = x ¡ Ú 4¨ © µ X ÄÐÕ℄ F X ª ª ¡ x0 ∈ X f0 ∈ F f (x0) = 0 ª Ä» ³ ÐÕ℄ Ë 10 F := {1, x, x2, · · · } [0, 1] ÊØ ÐÕ {x, x2, · · · } x = 0 ½©½¡ ¡ ÐÕ℄ F0 := ± 2 ÜÒ X ¡ Ä XÊ » ¡ f (x1) = c1, f (x2) = c2 ¨ ©ÄÐÕ℄ A Í X Ê ªÆ X » ¨ ©Õ ª ª x1, x2 c1, c2 f ∈A ◭Æ ´ Ù Ç ª c1 = 0, c2 = 1 c1 = 1, c2 = 0 x1, x2 ªÆ Ç ¡ c1 = 1, c2 = 0 Ä Í ª ª½¾Ç A X s∈A s(x1) = s(x2) ª ¡ x1 s(x1) = 0 ª ª ª ¡ » g, h ∈ A g(x1) = g(x2) g(x1) = 0 h(x1) = 0 ª¿Ç Þ ´Ê¡ λ(h(x1) − h(x2)) = g(x2) s = g + λh ¿ f (x) := s2(x) s2(x1) − − s(x2 s(x1 )s(x) )s(x2) , ªÆ ¡ f ∈ A f (x1) = 1, f (x2) − 0 ◮ ° ĵ ¶ ª© ª λ ∈ R\ {0} 13 Ú± ¨ Ú±© 3 Stone − W eierstrss A Ð«Ü K Í ªÆ K ĵ ÐÕ℄¡ A Ê» C(K, R) ¡ ◭ Ì ªÈÖÜ Ö À Ê Û ª A © Aª ÐÕ Õ Éª ª ¡ f, g ∈ A, α ∈ R f + g, f g, αg, max{f, g}, min{f, g} ∈ A À ªÄ » ª » ª ª f ∈ C(K, R) x∈K ε>0 gx ∈ A ªÆÄ » ª ¡ gx(x) = f(x) t ∈ K gx(t) > f (t) − ε Ä » y ∈ Kª ¾ 2ª hy ∈ A ¡ hy(x) = f (x), hy(y) = f (y) µ ª ¼ ª Ä » ª ¡ f hy K y Uy t ∈ Uy hy(t) > f (t) − ε ³ Ü «Ü K Ï ª ¼ Ï Þ©« Ø´Ê max{hy1 · · · , hyn} Ä » ªÌ ª x ∈ K gx gx ÐÕ¡ fµ ª {Uy1 , Uy2 , · · · , Uyn} gx := x ¼ ª Vx Ä » ª ¡ « ª¿ t ∈ Vx gx(t) < f(t) + ε K Ü ¶ K Ï Êª ¼ Ï ª¿ ª ¡ Ô {Vx1, Vx2, · · · , Vxm} g := min{gx1 · · · , gxm } » ª ¡ » ª » t f(t) − ε < g(t) < f(t) + ε ε g∈A f ∈ C(K, R) ªÄ A ÊÐÕ »¯À ¶È Æ¡◮ ÊÀ ¥ ¦ Royden p.-169, 49*, 50*, 51*. p.-213, 43*, 45*, 48*. 14 ¡ 8 ¬Ï Ö¦ ¬ ± Ï µ ·³ ³ ÚË Í ÊªÎÒ ±¯ µ ¤¡ º ˪© §±¯ Ê¡ §1 ק¹° £ 1 X §±ÜЪA § X ℄ ±℄ σ- Ò¡Ã (X, A) ±§¶Õ ¸ ªÜÐ A Ë Ô±§¦ σ- Ò A¨ Ü¡ £ ℄« Ü Ò ±§ 2 µ : A → R∗+ ¤ ℄ (X, A) ±℄Õ¥ª Ø ¨ ­ 1 µ(∅) = 0 2¨¦ ½ ¡ ʨ § º ¬ {En}n≥1 ܪ ¼µ µ( En = µ(An). n≥1 n≥1 ¤±§Õ¥¸ ª § ¡ (X, A, µ) ¾ 1 1¨Ä ℄ ³ 2¨É¤℄ ³ 3¨Ä ℄ Borel ¤ ¡ (R, M, L) ¤ ¡ ([a, b], M, L[a,b]) ¤ ¡ (R, B, L|B) ¾ ¦ ©Õ¥¨ ª ¶ ª ℄ 2 A = {X, ∅} µ(X) = a, a ∈]0, ∞] µ A ¡ ¾ ¦ Õ¥ ¨ ª ¡ ϵ ª ¶ ª 3 Dirac δx A = P(X) x ∈ X A⊂X δx(A) = 1 ­ ª ¡ ³ Á ℄ x ∈ A δx(A) = 0 x ∈ A δx A ª±§ X ℄ x ¡ Dirac ¾ 4¦ Õ¥¨ E §ª Ü¡ ¼ E Ë×½ Ü ² σ- Ò P(E)¡ ª ¶ ¡ A ⊂ E µ(A) := ♯A µ ¤ ℄ (E, P(E)) ±℄ ª±§ Õ¥¡ ¾ 5¦Ã ¸ σ Òªµ A ℄ Borel Õ¥¨ (X, O) §¡À ¤ªA ¼ O ² ª µ ±§¡À ¤ ℄ (X, O) Borel ¡ Á 1¦ ÐÊ ¨ 1 1¨¦ ¨ ¡ A, B ∈ A, A ⊂ B =⇒ µ(A) ≤ µ(B) 2¨¦ ¹ ¨ §±½ En ∈ A(n ≥ 1) « ½ª ¡ µ(E1) < ∞ µ( En) = lim n→∞ µ(En). n≥1 3¨¦ » ½ ¡ ¨ §±½ En ∈ A(n ≥ 1) ܪ µ( En) ≤ µ(En). n≥1 n≥1 ◭ º Gn n−1 gn := En \ Ei, n ≥ 1, i=1 ¬ªGn ⊂ EnªÅ En = Gn. (∗) n≥1 n≥1 ¸º µ( En) = µ( En) = µ(Gn) ≤ µ(En). ◮ n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 Ð 1 µ℄Ñ (∗) ª±℄ ½Þ ¦ÜÐ ¬¨ § º ¬ ܽ ¬ Ñ Ī³Ò× » ¡ £ 3 ÜÐ E ∈ Aª ª µ(E) < ∞ E ±§ ÈÕ¥ ­ E ³ § ½Á℄ Ü ªÅÁË ℄ Ü §½ ܪ E ±§σ- È Õ¥ ¡ ϵ Ü σ- ½ ܪ µ ±§σ- ÈÕ¥¡ µ ±§ ÈÕ¥ª ϵ §ªÇ ÜÐ ±℄ ϵ¿ ½ Ü¡ ¾ 5 · 1-4 § ½ ¡ ª ∞, µ(∅) = 0 ¤ (X, A, µ) ½ ¤ ª ¶ A = {X, ∅} µ(X) = ¡ £ 4¦Ä Õ¥¸ ¨ ¤ (X, A, µ) ±§£ ª ¾ Ü ×½ Ü Ü¡Þ A ÜÅ ª ª µ(A) = 0 B ⊂ A B Ü¡ ¾6 ³ £ ª³ Ò℄ Borel É £ ¡ Á 2¦Õ¥¸ Ä ¨ (X, A, µ) ¤ª ³ ¤ ª (X, A0, µ0) ¨ ­ 1 A ⊂ A0 2 ¨ ­ 2 A ∈ A =⇒ µ(A) = µ0(A) ¨ ªÁË ª § Ë 3 E ∈ A0 ⇐⇒ E = A ∪ B B∈A A A ±¾ Ü Ü¡ Á §¬Ü¡ £ 5∗ (X, A, µ) ¤ªE ∈ X ±§´Ô¶Õ ª ϵ ª½ ¡ A ∈ A, µ(A) < ∞ E A ∈ A ´ Áª×½ Ü ²±℄¦ A ¨σ− Ò¡ ×½ Ü ª µ ±§ Õ¥¡ ×½ σ− ½ ª±℄ ³± §±℄ ª ¢ ³£ ¦±Í « C §×½ Ü ² σ− Òª µ ³ ɱ C ℄ª §¤ ¥ ª¨Ü Royden pp-258 8. ÇÁ± ¤ ¥ Royden p.-257,1-4,7,8∗. §2 ·× (X, A) ¤¡ £ 1 §± f : X → R∗ Å Å Ò¡ ϵ Ü ª O ⊂ R f−1(O) ∈ Aªf ±§ ¤℄ Ò¡ Ò f £ ­½°Ññ« ϵ α ∈ Rª ¨ ­ 1 {x| f(x) < α} ∈ A ¨ ­ 2 {x| f(x) ≤ α} ∈ A ¨ ­ 3 {x| f(x) > α} ∈ A ¨ ¡ 4 {x| f(x) ≥ α} ∈ A Á ¨ § Òª ¡ ¡ 1 1 c f, g cf, f + g, f g, f ∨ g, f ∧ g 2¨ Ò½ fn ª sup fn, inf fn, lim sup fn, lim inf fn ¡ Þ Ò´ Ò Õª ÕªÛ ÕÌ ¡ Ü¡ ±§ ℄ ±℄¥ ϕ(x) = n i=1 ciχEi (x) X ÒªÁË Ei(1 ≤ i ≤ n) § Á 2 f X ℄Ê Ò¡ ½ ¥ ℄ Ù º ¡ ¶ ½ ϕn(x) X f (x) f σ− ³ ϕn(n ≥ 1) Ø ±℄½ Ü¢§¾¡ Ò½ ª {ϕn} ¤℄ª© 3 ¡ ◭ δn = 2−n ¡ ¶ (k + 1)δn ª ª ½ ¦± Ò y ∈ R+ n ∈ N k = kn(y)  ϕn(y) =  kn(y)δn, 0 ≤ y < n  n, n ≤ y ≤ ∞. ¼ ¶ª℄Ñ ℄ ϕn(n ≥ 1) [0, ∞] ªÅ ϵ 0 ≤ y ≤ nª kδn ≤ y < y − δn ≤ ϕn(y) ≤ y, ¼º ªÅ ϵ ª ¡ Ò 0 ≤ ϕ≤ϕ2 ≤ · · · ≤ y y ∈ [0, ∞] ϕn(y) → y, n → ∞ ¡ ϕ◦f → f, n → ∞ Á3 µ £ ª ª ¡ f f = g, a.e g ªÜ ±§ α ∈ R∗ {x| f (x) < α} f Ü¡¼ ¶¸ ª ª ¡ α1 < α2 {f (x) < α1} ⊂ {f (x) < α2} ± Ö α  ܽ ªØ {Bα} ­Ñµ¶­ Í ³²§±℄ Ò f Ü« {f (x) < α} ⊂ Bα ⊂ {f (x) ≤ α}. Ý ª© ½­Ñ¯ « ℄¼ 1 D § R ˶ Ü¡ ϵ α ∈ Dª½ ª Bα ∈ B ϵ ª ¡ α < β Bα ⊂ Bβ ½ ¦± X ℄ ± Å Å Ò f ª ℄ ª Bα f ≤ α  ℄ ¡ X \ Bα f ≥ α ◭ ϵ x ∈ Xª ¶ f (x) := inf{α ∈ D| x ∈ Bα}, ¡ inf{∅} = ∞ 1¨ f Ý Ê¡ ¼℄Ñ ¶ª ª x ∈ Bα ¡ f(x) ≤ α µ {Bα} Ò Ü ܽª ª x ∈ Bα ϵ β < αªx ∈ Bβª¼Â f(x) ≥ α¡ 2¨ f ¶ÕÊ¡Ê λ ∈ Rª ½ {αn} ⊂ D Å αn < λ limn→∞ αn = λ¡ ª ½ f(x) < α n∈N ª¼Â ¡Æà f(x) < αn x ∈ Bαn x ∈ Bαn ± n ²¸ª ¡¼º f(x) ≤ αn < λ ¼ Bα {x| f (x) < λ} = Bαn , n≥1 Âf ¡ 4 3¨ f ÅÎÊ¡ g X ℄ ± Å Å Ò ℄ ¡ ª ¡¼Â X \ Bα g ≥ α x ∈ Bα g(x) ≤ α Bα ℄ g ≤ αªÂ ¸ g(x) < α {α ∈ D| x ∈ Bα} ⊂ {α ∈ D| g(x) ≤ α}. x ∈ Bαª¼Â {α ∈ D| g(x) < α} ⊂ {α ∈ D| x ∈ Bα}, {α ∈ D| g(x) < α} ⊂ {α ∈ D| x ∈ Bα} ⊂ {α ∈ D| g(x) ≤ α}. (∗) ¼ D R ˶ ª g(x) = inf{α ∈ D|α > g(x)} = inf{α ∈ D|α ≥ g(x)} = inf{α ∈ D|x ∈ Bα} = f (x), ÁËû℄ ¼ ¶ ª ℄ ¼ Ã℄ ³Ý (∗) ¡◮ ¾ ¡ ¡ Ü 1 f : [0, 1] → [0, 1], f (x) = x Bα := [0, α] {Bα}0≤α≤1 f ℄¹µ 1 Þ¨ ¯ ¡ Á 4 D § R ˶ ª ¡ ½ α < β µ(Bα \ Bβ) = 0 ℄ ¡ f ≥ α, a.e. Ü¡ ϵ α ∈ Dª½ Bα ∈ A Ò fª ℄ ªÂ Bα f ≤ α, a.e. ϵ X \ Bα ◭ C D ½¶ ܪ ª ª α, β ∈ C α < β N := (Bα \ Bβ), α,β∈C,α<β N ¾Ü ½ ½ ª¼Â N §¾ Ü¡ Bα′ = Bα N ª ª ª α, β ∈ C α < β Bα′ \ Bβ′ = (Bα \ Bβ) \ N = ∅, ¼Â ª¼¹µ ª½ Bα′ ⊂ Bβ′ ℄ª ¡ X \ Bγ′ f ≥γ ª ½ α ∈ D 1 {γn} Ò fª ϵ γ ∈ Cª Å ¡ α < γn α = limn→∞ γn ℄ ­ Bγ′ f ≤ γ Bα \ Bγ′ n ⊂ (Bα \ Bγn ). ¾ Ü ½ P := n{Bα \ Bγ′ n} ℄ª ª ¡ A f ≤ infn γn = α A \ Bα ⊂ P · ℄ª ¡ X \ Bα f ≥ α, a.e. ª¼Â Bα ¾ ℄ªf Ü¡ A := n ¡´Ó ≤ α, a.e. ÛBγ′ n ª 5 g ± Å Å Òª ϵ ª ℄ª ­ γ ∈ C Bγ g ≤ γ, a.e. X \ Bγ ℄ªg ≥ γ, a.e.¡¼Â¸ ±℄¾ Ü Qγª γ, a.e.¡¸º X \ Q ℄ªf = gªÁË Q := ℄ª ­ Bγ′ g ≤ γ, a.e. §¾ Ü¡ Qγ ◮ ℄ª X \ Bγ′ g≥ ÇÁ± ¤ ¥ Royden p.-267, 17, 19, 20∗, 21∗. §3 ­ Æ¢ §£ (X, A, µ) ¤¡ ³ ÚË Æ ª© ÐÆ Ê ¥ Ò ÚËÝÁ Ê¡ E § ܪ ℄ ¥ Ò ÚË ¶§ E ϕ(x) = n i=1 ciχEi (x) Ê¥ n ϕdµ := ciµ(Ei). E i=1 Ò ÚË ½ ÊªÞ Ïµ a, b > 0 ¥ Ò ϕ ψª (aϕ + bψ) = a ϕ + b ψ. Æ ¶³ ÚË É ª ¶½ Ò Ú˪ÎÒ ¶Ê Ò Ú˪  ¶±¯ Ò ÚË¡ ­ · Æ·×·¯ ° ª °Æ·±¯ ³ ¤ ·¡ ¤ ªÁË ¡ (X, A) A = {X, ∅} ¶ ª ª ℄ ±℄ µ(X) = ∞ µ(∅) = 0 µ (X, A) ¡º ¶ X ℄ ¥ Ò ½ ϕ ≡ 0 ϕ ≡ 1ªÅ ½ Ü¢§¾ Òǽ g ≡ 0¡¸ ºº½ ¡¿±É g = supϕ≥g ϕ = 0 ª© «¥ 1 = ∞ ±Ðµ ¶¡¸ º© ± ² ¶ÚË¡§ Ï ±° ª© ß ½ Òª Ä­ ¶Ê Ò ÚË¡ Ð 1 ℄Ñ· Ë·¯ ° ¤ÌÅ¢ ½ £¦§℄Æ ¶¨¡ £ 1¦ª ¶Õ «¨ f £ Å Å Ò¡ f ÚË ¶§ ¤ ℄ (X, A, µ) Ê ± ÁË ϕ §¥ Ò¡ ¼℄Ñ ¶³Ý¥ f = sup ϕ, X 0≤ϕ≤f X ÒÚË ÊÄ­ 6 ℄¼ ª ¡ 1 cf = c f f ≤ g ⇒ f ≤ g Ð 2 ÚË ÁØ Ê¦Î ¨ ´¼ÚË ¶Ä­ ª© Æ© ¸± º µÒªÎÒ¼ §.2 Ü 2ª¶» Ú Ò §¥ Ò½ ÙÛ ²Û ℄Ñ Ê¡ £¼ ¦1 Fatou ℄¼¨ §±½ fn(n ≥ 1) ÜÐ E ℄ Ó¹¹ Ù º f Ê Ò½¡ ◭ Ê¥ ±¯ ª ³¢ Ò ϕ ≤ f ªÁ f ≤ lim inf E n→∞ fn. E fn E ℄ Ù º fª¿¢¼ÚË ¡ ϕ ≤ lim infn→∞ fn ¶ªÇ 1¨ ϕ = ∞ª¼¥ ÒÚË ¶ª½ Ü ª ª A ⊂ E µ(A) = ∞ Å ÜÐ A ℄ªϕ > a > 0¡ ª ¡¸ ªÅ ℄ª ª n ∈ N An := {x ∈ E| fk(x) > a, ∀ k ≥ n} fn → f A f (x) > a ¸º An ¡¼ ¶ ±½  ܡŸ ªØ {An} ϕ ≤ limn→∞ fn ª¼Â ¡¸ ª A ¡ ∞ = E ϕ limn→∞µ(An) = ∞ E fn ≥ An fn ≥ aµ(An) limn→∞ E fn = ¨ ª ÜÐ § 2 Eϕ < ∞ ª ª M := supx∈A ϕ(x) ε > 0 A = {x ∈ E| ϕ > 0} ½ Ü¡ An := {x ∈ E| fk(x) > (1 − ε)ϕ(x), ∀ k ≥ n}, {An} ±½  ܪÅØ Aª¸º {A \ An} § ¦Ü½ªÅØ ¬§ Ü¡¼ ¹ ¦ Ü ¨ª ª¼Â½ §1. 1.2 limn→∞ µ(A \ An) = 0 n ϵ ª ¡ µ ¢ ŧ¾ª ª k ≥ n µ(A \ An) < ε ϕA A \ (A \ Ak) ⊂ Ak ¸º ϵ k ≥ nª fk ≥ fk ≥ (1 − ε) ϕ ≥ (1 − ε) ϕ − ϕ E Ak Ak A A\Ak ¼Â = (1 − ε) ϕ − ϕ≥ ϕ−ε ϕ+M . E A\Ak E E ¼ ε ϵ lim inf n→∞ fn ≥ E ϕ−ε E µ¯ ¡◮ ϕ+M . E £¼ 2¦Þ¢ ª ª n ≥ 1 fn ≤ f £¼¨ Ê Ò½ fn Ù º f = lim fn. n→∞ Ò fªÅ ϵ 7 ◮ ¶»ÚË ³Ý Fatou ¹µª f ≤ lim inf n→∞ fn ≤ lim sup n→∞ fn ≤ f. ◮ Á 2¦ª ¶Õ « Ê ¨ 1¨ Ê f, g Òªa, b ≥ 0ª af + bg = a f + b g. 2¨ f Ê Òª ª f ≥ 0 f = 0, a.e ²¸¡ ¨ Ë º »½ ◭ 1 {ϕn}, {ψn} fg ¥ Ò½ª {ϕn + ψn} º f+g ¥ Ò½¡¼ º µ af + bg = (a lim ϕn + b lim ψn) = a lim ϕn + b ψn = a f + b g. 2¨¼ÚË ¶¸ ª¼Â f ≥ 1 n χAn ¡¯ ª ª f ≥ 0 f =0 An := {x| f (x) ≥ 1 n } µ(An) = χAn ≤ 1 n f = 0, µ ª© Ò {f > 0} = n≤1 An µ{f > 0} = µ( An) ≤ µ(An) = 0. ◮ n≤1 n≥1 Á 3¦ É «¨ {fn} ±½Ê Ò¡ fn = fn. n≥1 n≥1 £ 2¦Î ¶Õ « ¶ ʨ Ê Ò f ±§ ÜÐ E ℄ µ Úª Ø Å Ò f ±§ Úª f (x)dµ < ∞. E f+ f− ڪŠf ÚË ¶§ f := f + − f −. E E E Á 4¦¶Õ « Ê ¨ f,g Ú ÒªE Ü¡ ¨ ­ 1 (c1f + c2g) = c1 f + c2 g ¨ ªÅ 2 |h| ≤ |f | h ª h Ú¡ 8 ¨ ª ¡ 3 f ≥ g, a.e. f≥ g £¼ ¦ º 3 Lebesgue £¼¨ g Ü E ℄ Úª{fn} E ℄ Ò½ªÅ |fn(x)| ≤ g(x) E ℄²¸¡ fn E ℄ Ó¹¹ Ù º Ò fª lim n→∞ fn = E f. E ◭ ª F atou ¹µË º» Ò ¡ g ± fn ◮ ÇÁ± p-269, 17, 19, 20∗, 21, 22∗. §4 ¤½§×§Ë © £ 1 (X, A) ¤ª ℄ {µn}n≥1 ª ª ± ½ À A µn(A) → µ(A)(n → ∞) µn ±½ ¡ µ¡ ϵ A ∈ Á 1¦Õ¥ F atou ℄¼¨ (X, A) ¤¡ º µªÊ Ò½ fn Ù º Ò f¡ ½ ÜÙ {µn}n≥1 f dµ ≤ lim inf n→∞ fndµn. ◭¥ Ò ª ϕ = m i=1 ciχAm m m m lim n→∞ ϕdµn = lim n→∞ ciµn(Am) = ci lim n→∞ µn(Am) = ciµ(Am) = i=1 i=1 i=1 ¼Ê ÒÚË ¶ª© Ç Ïµ¥ Ò ϕ ≤ f Á ϕdµ. ϕdµ ≤ lim inf n→∞ fndµn. ­ Á ´Ó §.3 µ 1¡◮ ª℄Ñܺ» ª¸ gn ± fn Á 2¦Õ¥ º £¼¨ (X, A) ¤ª º µ¡ Ò½ fn Ë gn Ù º Ò f Å lim n→∞ gndµn = gdµ < ∞, ½ ÜÙ {µn}n≥1 ª ℄ ª g |fn| ≤ gn f dµ = lim f µ. n→∞ ÇÁ± ¤ ¥ Royden p.-270, 24-26. 9 §5 ¯ ק ³³ Î É ¶»℄ ∞ ¨Ü¡ ª ¶»℄ ª Ï ∞− £ 1¦Æ Õ¥¨ (X, A) ¤ª ¶ A ℄ ℄­Ñ Ê ± ÅÜ Ò ν ±§ (X, A) ℄ Æ Õ¥« 1¨ ν ∞ −∞ ËÈÁʱ℄Å­ ¨ ­ 2 ν(∅) = 0 ¨3 {En} º¬ ܽª ν( En) = ν(En), n≥1 n≥1 ½ ª ¾ ßÒ º­ ÊÅ ±∞ª ¾ Ä ¡ ν ÊŪǿª ν ±§ ÈÆ Õ¥¡ ¾ §±ÜЪ ªÁË ¡ 1 X X =A∪B A ∩ B = ∅ A = {X, A, B, ∅} X ℄ σ− Ò¡ ¶ µ(X) = 0, µ(A) = 1, µ(B) = −1, µ(∅) = 0, µ A ℄ ±℄½ Î ¡ Ð 1¦Æ Õ¥ ޢʨ ¼ Î ³Ê Ū¸ºÎ ½ ¡½ ª¾ Ü ÜÕ ¾ ܪ Πª ± Ê ²¸¡¸º ¾ Ü Üª© Ê ¡ £ 2¦ ¨ ν Î ª Ü A ±§ ¦ ¨ ª A Ï µ Ü ª ¡ E ν(E) ≥ 0(≤ 0) ÀÜ Ü Ü±§ ¦ ¨¡ null set Ð 2¨ 1¨ ¾Üª E ν(E) ≥ 0 ν(E) ≤ 0 ²¸ª¸º ν(E) = 0¡ Þ¾Ü ¾ Ü¡¼ ¶ ¾Ü ÜÕ ¾Üª¿¢© ¼· 1 ² ª¾ Ü Ü ± ¾ Ü¡ ¨ Àܪ ϵ ª ¶ ªÄ­ 2 E A∈A ν+(A) := ν|E(A) = ν(E A) Á ³ ν+ A ℄ ±℄À ªÞÎ ±℄ÀÜ℄ É ±℄À ¡ Û Æ· ܪ ±℄À E ν−(A) := −ν|E(A) = −ν(E A) ¡ 10 ¼ÀÜ ¾Ü ¶¸ « ℄¼ 1 1¨ ÀÜ Ïµ Ü ÀÜ¡ 2¨ Ü A §¾Ü ´Ë Þ¨§ A ϵ Ü §¾¡¾Ü ܧ¾Ü¡ 3¨ ÀÜ ½ ÀÜ¡ ℄¼ 2 Ü ℄ ¡ ½ ÀÜ ª ¡ E 0 < ν(E) < ∞ A⊂E ν(A) > 0 ◭ ÐÆ µ A § ªÇ¿ ÜªÍ Ü¦ A¨ ܪ§ÀªÇ¿ª Î ¶ À¡¸º½ ª M > 0 A ËÏ µ Ü ¿ −M¡ E §Àܪ ¹µØÁ¡Í E ª ±℄ ܪ n1 ℄­ÑÞ¨ À Ò«½ Ü ª E1 ⊂ E ν(E1) < − 1 n1 , ¼Ã Û Â n1 ½ ¡ ℄Ñ ª E \( k−1 j=1 Ej ) Ò«½ Ü ª Ek ⊂ E Àܪ nk ℄­ÑÞ¨ À Å k−1 Ek ⊂ E \ ( Ej) j=1 ν (Ek ) < − 1 nk . ª ª µ A := E \ ( ∞ j=1 Ej ) E=A ( ∞ j=1 Ej ) ±℄ ¬ ª¸º ∞ ν(E) = ν(A) + ν(Ek), k=1 ¸ ν(E) ½ ª¼Î ¶ª¾ ßÒ ºª¸ ª ª¸ ν(Ek) ≤ 0 ν(E) > 0 º ¡ ν(A) > 0 µ¾ Á A §ÀÜ¡ ßÒ ª¸ ºª¼Âªß½Ò ºª ¡¼ ¡¯ ε > 0 nk → ∞ 1 k≥1 nk nk → ∞(n → ∞) k (nk − 1)−1 < ε ∞ k−1 A = E \ ( Ej ) ⊂ E \ ( Ej), j=1 j=1 ¼ nk ¶ªA ×½ Ü ¼ ε ϵ ªÂ A ϵ ¿Ù ª¼Â¿ ª −(nk − 1)−1 −ε ÜªÞ A ÀÜ¡◮ Á 1¦Hahn¨«² ν ¤ ℄ (X, A) Î Ü ª ª ¡ B X=A B A B=∅ ¡ ½ ÀÜ A 11 ◭ ±¯ ª¢ ν ÊÅ +∞¡ ËÀÜ λ := sup{ν(A)| A X }, ¼ Ü Àܪ¸º λ ≥ 0¡ §Àܽ {Ai}i≥1 λ = lim ν(Ai), i→∞ ¼¹µ 1ªA ÀÜ¡¼ λ ¼Â ν(A \ Ai) ≥ 0ª¼º A = Ai, i≥1 ¶ªλ ≥ ν(A)¡¿±É ª ϵ i ≥ 1ª¼ A\Ai ⊂ Aª ν(A) = ν(Ai) + ν(A \ Ai) ≥ ν(Ai), ¸º ª¼Â ¡ ν(A) ≥ λ λ = ν(A) < ∞ ª B = AC E ⊂ B § X ËÀÜ¡ E A ¬Å E A §Àܪ¸º λ ≥ ν(A E) = ν(A) + ν(E) = λ + ν(E), ¼ ª ª¼Â 0 ≤ λ < ∞ ν(E) = 0 B ½À Ü ÀÜ¡¯ E ⊂ Bª0 < ν(E) < ∞ª¼¹µ 2ªE ª ½À Àܪ ℄ Û À¡¼Â B ϵ ¿ ¾ ÜªÞ B § Ü¡◮ £ 3 Ü 1 Ë ±§ Ë {A, B} H ahn ¡  1 ¸Ë±℄¾ÜªHahn Ë ¦±¡ ¿±℄ Ë ¡ µ Å ª¸ ◭ X = E F H ahn A\E ⊂A A\E ⊂F º A \ E §ÀÜ Üª¸º A \ E §¾Üª Û Â E \ A §¾Üª § ¾Üª ¡ A △ E ν- ν(A ∩ E) = ν(A) = ν(E) ◮ £ 4 § Ë {A, B} Hahn ª ϵ E ∈ Aª ¶ ν+(E) := ν(A E), ν−(E) := −ν(B E). ¼℄Ñ ¶ § ℄ ν+ ν− A ª¸ ν(E) = ν(E X) = ν(E (A ¼º ¡ ν = ν+ − ν− B)) = ν(E A) + ν(E B) = ν+(E) − ν−(E), 12 £ 5¦ Æ Õ¥¨ ¤ ℄ (X, A) »℄ ±§ Æ ν1, ν2 ª ½Ô ¬ Ü A, B ªÅ ¡ X = A B ν1(A) = ν2(B) = 0 ԧ· § ¡ ν1, ν2 ν1⊥ν2 Ð 3 ¼ ¶ ¶ 4 Ë ν+ ν− ԧ·¡ Á 2¦Jordan¨«² ν ¤ ℄ (X, A) Î ¡ ℄ (X, A) ½ ¦±± ԧ· ª ¡ ν+ ν− ν = ν+ − ν− ◭ X=P N ν ±℄ Hahn Ë ªÆ ¶ 4 ¶ ν+ ª ν− ªÅ ª¼Â § Ë ¡­ Á ¦± ª ν+ ⊥ ν− ν = ν+ − ν− ν+ ν− J ordan §¿± ℄Þ¨ Ë ªÞ ªÅ ¡ µ+, µ− ν = µ+ − µ− µ+ ⊥ µ− E, F ∈ A ª ³Ý ª ¿±℄ E F = ∅ E F = X µ+(F ) = µ−(E) = 0 X = E F H ahn Ë ¡¼ ª ¡¼Â ϵ ª 1 ν(P ∩ E) = ν(P ) = ν(E) A∈A µ+(A) = µ+(A E) = ν(A E) = ν(A P ) = ν+(A). Û Á ¡ µ− = ν− ◮ Ü 2 Ë Ë ±§Î «²¡ Ë ν Jordan ν+ ν− J oudan ª ¶ ª ±℄ ª Ë ±§ ÑØ |ν| = ν+ + ν− |ν| ν+ ν− |ν| ν ÑØ ÑØ¡ ÇÁ± ¤ ¥ Royden p-275, 27, 29, 31, 32∗. ¤½ §6 Radon − Nikodym £1 µ ν ¶ 1. µ ν ÙÆ Æ ª ¦ A B ν(A) = µ(B) = 0 µ ν ·¨¡ ¤ ℄ (X, A) ¡ ½ º ¬ ÜÐ A, B ∈ A ℄ X = µ ν ԧ·ª© °± ν µ ·ªÙ 2. ϵ Ü ªA µ(A) = 0 ¿Ìª § ν ≪ µ¡ ª ν(A) = 0 ±Õ¥ ν ¨Õ¥ µ µ¨ 3. Î µ ν ±§Ô§Â· |µ| |ν| ԧ·­± ν µ ¹ |ν| |µ| ¹ ¡ ¾ 1 µ ±℄ ªf X ℄ Ê Ò¡ ϵ E ∈ Aª ν(E) := f dµ, E 13 ´ Á ν A ℄ ±℄ ªν ½ Å f Ú¡¼ µ- ¾ Ü℄ ÚË §¾ª¼Â ν µ ¹ ¡ ­ © ªÁ ϱ µ ¹ ℄Ñ ¾¡ £¼ ¦ £¼¨ ½ 1 Radon − Nykodym (X, A, µ) σ− ¤ª ν µ ¹ ¡½ Ê Òf ϵ E ∈ Aª ν(E) = f dµ. E º¢ f ­Ñµ¶­¦±« g ℄℄Ñ Ê ¿± Òª ¡ f = g, a.e.[µ] ◭ 1¨ f ¡ © µ §½ Æ ¦σ- ½ Æ ·¨ª¸º ϵ α ∈ Qªν − αµ §Î ¡ § (Aα, Bα) ν − αµ ª ª ¡ A0 = X B0 = ∅ µ ¸º¼ Hahn Ë Bα \ Bβ = Bα BβC = Bα Aβ , ¶ª ´¼º Ë H ahn (ν − αµ)(Bα \ Bβ) ≤ 0, (ν − βµ)(Bα \ Bβ) ≥ 0. (1) ¼ (1) Ë»℄ αµ(Bα \ Bβ) ≥ βµ(Bα \ Bβ), ª ½ ¡¼ Ü ª½ β > α µ(Bα \ Bβ) = 0 §2. 4 Ò f ϵ½µÒ ª ℄ ª ℄ ¡¼ ª ³Ê § α Aα f ≥ α, µ − a.e. Bα f ≤ α, µ − a.e. B0 = ∅ f Ê Ò¡ 2¨ ÏÊ E ª ∈ A N ∈ Nª E = E∞ Ek := E (B(k+1)/N) \ Bk/N ), ¦ ¨ªÅ ( k≥0 Ek) ¾ E∞ := E \ Bk/N , k≥0 ܪ℄Ñ § ¬ ª¸º ν(E) = ν(E∞) + ν(Ek). k≥0 ¼ Ek ⊂ B(k+1)/N ª ℄¿ Ù 1)/N Ak/N f ÚË ª¼ ¶ º ℄ Ù Ak/N f B(k+1)/N ª¸º ℄½ ª» k/N Ek k N ≤ f ≤ k+1 N k N µ(Ek ) ≤ Ek f dµ ≤ k+ N 1 µ(Ek). (2) (k + ℄ Ek (∗) 14 µ §Î ܪ § ܪ¸º Bk+1 N k+1 ª¼º ­ Û ª¯Ð N µ)(Ek ) ≤ 0 ν − k+1 N µ ν (Ek ) ≤ k+1 N µ(Ek ) Ek B k+1 N (ν − k N µ(Ek ) ≤ ν (Ek ) (*) kÈ ν (Ek ) − 1 N µ(Ek ) ≤ Ek f dµ ≤ ν (Ek ) + 1 N µ(Ek ), ν( Ek ) − 1 N µ( Ek) ≤ k≥1 k≥1 k≥1 Ek f dµ ≤ ν( k≥1 Ek ) + 1 N µ( Ek), k≥1 (3) µ ℄ª ªÅ¼ E∞ f = ∞, a.e. E∞ ¶ª ϵ ª ª¸ α E∞ ⊂ Aα Aα §Àܪ ¡¼Â ª½ ­ ª (ν − αµ)(E∞) ≥ 0 µ(E∞) > 0 ν(E∞) = ∞ µ(E∞) = 0 ¸ ª½ ¦Ð ν ≪ µ ν(E∞) = 0 Ú ª³ÜÛ ν ¨ µ µ¨¿Ì ʨ¡¸º ℄Ñ»ÌÆ ½ ν(E∞) = f dµ. E ∞ ¸º ª ª µ ¯ ÀÍ¡ µ(E∞) > 0 ν(E) = E fdµ = ∞ ª¯Ð ν(E∞) = 0 (2) (3) ν(E) − 1 N µ(E) ≤ E f dµ ≤ ν(E) + 1 N µ(E). ¼ ½ ª µ(E) N ³Ïµ ªÒ ª µ(E∞) = 0 £ 2¦R−N ß ¨ ß ª Æ ¡ [dν/dµ] ν(E) = f dµ. E µ 1 Ë Ò f ±§ν ¨ µ ◮ Radon− Nykodym Á 1¦» «²¨ ¡ ½ ¦± ± ·ªν1 µ ¹ ¡ ½ (X, A, µ) σ− ¤ªν A ℄ σ− ½ ª ªÅ ν0 ν1 ν = ν0 + ν1 ν0 µÂ ◭ ¸§ µ, ν σ− ½ ª ° ½ λ := µ + ν σ− ªÅ µ ν λ ¹ ¡¼ R − N µª½ Ê Òf g ϵ E ∈ Aª µ(E) = f dλ, ν(E) = gdλ. E E ª ª A := {x| f (x) > 0} B := {x| f (x) = 0} X A B ¡ ¶ µ(B) = 0 ν0(E) := ν(E B), ¬ ªÅ 15 ª¼Â ¡ ν0(A) = 0 ν0 ⊥ µ ν1(E) := ν(E A) = gdλ, EA ª© Ç ν = ν0 + ν1 Á ¡ ν1 ≪ µ E § µ− ¾ ܪ 0 = µ(E) = f dλ, (4) E ¼ Ê ª ℄ ¡¼ f E f = 0, a.e.[λ] A ¶ª A E ℄ f > 0ª¸º ªÍ À¡¸ ª ª λ(A E) = 0 E f dλ ≥ E∩A f dλ > 0 (4)  ¡ ν1(E) = ν(A E) = 0 ◮ ν ≪ λ ν(A E) = 0 Ð 1 R − N µ Î ÀÍ¡ Ð 2¦ Õ¥¨ (X, A) ℄ª ¨ ¡ 1 ν(∅) = 0 2¨ {Ei} ±½ º ¬ ¤ªÜ Ò ±§ ℄ ν : A → C (X, A) ± ܪ ßÒ i≥1 ν(Ei) ºª ν( Ei) = ν(Ei). i≥1 i≥1 ϱ ³ § ªÁË §½ ν ν = µ1 − µ2 + iµ3 − iµ4 µ1, µ2, µ3, µ4 ¡ £¼ 2 (X, A, ν) ªÅ |ϕ| = 1 ϵ E ∈ Aª ¤ª ½ µ ν(E) = ϕdµ. E ÇÁ± ¤ ¥ ª ¤ Royden p-279, 33-36. Ú℄ Å Òϕ ¡ 37,38 §7 Lp ¹°§Í© Ö Ç ¤℄ ½ Õ ªÕ ÇÒÝ ¡ £ ¦ ¸ ¨ 1 Lp (X, A, µ) ¤¡ ª ¶ p > 0 Lp ¤§ Lp(dµ) := {f | |f |pdµ < ∞}. X ­ ¢ p,q §± ÆÒ¡ 16 £¼ ¦ Ó ª Ó ª £¼¨ 1 Holder M inkowski Riesz − F isher ª ¤¡ ª ª ª 1 ≤ p ≤ ∞ Lp(µ) Banach f ∈ Lp(µ) g ∈ Lq(µ) 1/p + 1/q = 1 ªÅ fg ∈ L1(µ) f g ≤ ||f ||p||g||q. Á ª ¡ ϵ ª½ 1 f ∈ Lp(µ) 1 ≤ p < ∞ ε>0 §¾ ¥ Ò ϕª ¡ ||f − ϕ||p < ε £¼ 2 ª g ∈ Lq ϵ f ∈ Lpª ¶ ½ ÜТ F (f ) := f gdµ. ªÅ ¡ F ∈ L(Lp, R) ||F || = ||g||q ◭ ¼ ¶ªF § Lp ℄ È ¡¼ Holder ª ||F (f )|| = f gdµ ≤ ||f ||p||g||q, ª¼ºÂÈ ||F || ≤ ||g||q ª f ∗ := |g|q−1 ||g||qq−1 F½ ¡ ||f ∗||pp = |g|p(q−1) ||g||pq(q−1) = |g|q |g|q = 1, ¸º ||F || ≥ f ∗g = |g|q/||g||qq−1 = ||g||q. ◮ ℄¼ 1 §½ (X, A, µ) ϵ¥ Ò ϕ ¤ªg Ú Ò¡ ½ À Ò M > 0ª | gϕdµ| ≤ M ||ϕ||p, ¡ g ∈ Lq Ð 1 ¹µ 1 § µ Ë1 Holder ¦ ˨ ¡ ªÊ ¥ Ò½ ¡ ◭ p > 1 ψn ↑ |g|q ϕn §¥ ҪŠϕn := (ψn)1/psgn g. ||ϕn||p = 1/p ψndµ . 17 ¼ ϕng ≥ |ϕn||ψn|1/q = |ψn|1/p+1/q = ψn, ψndµ ≤ ϕngdµ ≤ M ||ϕn||p ≤ M 1/p ψndµ , ¶» ÆÒ ψndµ ≤ M q, ¼ ºµÒ |g|qdµ ≤ M q. ◮ ℄¼ 2 {En} ±½ º ¬ Ü¡ ϵ ª ª n ∈ N fn ∈ Lp(1 ≤ p < ∞) Åf Ü En ¢Êŧ¾¡ f = ¡ n≥1 fn f ∈ Lp Å ¡ n≥1 ||fn||p < ∞ £ 2¦¨ ¸ ¨ B ¤ ª Banach L(B) B ℄×½½ Õ ² ¤ª±§ B ¤ª § B∗¡ £¼ ¦ Ò 3 Riesz £¼¨ ª 1 ≤ p < ∞ F ℄ ½ Lp(µ) σ- ½ ¡ ˽ Lq(µ) ¦± Ô g È ªµ F (f ) = f gdµ, X Å ||F || = ||g||q. ◭ ÐÆ µ §½ ª ºÆ ×½½ Ò ¼ 1◦ È F µ ¹Î ¡ ª ¶Ü Ò ¡­ Á E ⊂ X ν(E) := F (χE ) ¹ ¡ ªÁË º E = n≥1 En En ¬¡ Lp Ë¡ νÎ αn := sgn F (χEn ), f := αnχEn . n≥1 µ ªÅ ª¸º χE ∈ Lp ||χE||p = ||χE||pp = µ(E) |F (χE)| ≤ ||F ||||χE||p = ||F ||µ(E). ¼ ||αnχEn||pp = µ(En) = µ(E) < ∞, n≥1 n≥1 ªÅ µ (1) 18 ¼Â¼¹µ 2ªf ∈ Lp¡¼ F ℄ Lp ½ Õ ³Ý F (f ) = αnF (χEn ) = |F (χEn )| = |ν(En)| < ∞, n≥1 n≥1 n≥1 ¼Â ν §Î ν(En) = F (χEn) = F (χE ) = ν(E). n≥1 n≥1 ¡¼ (1) ª |ν(E)| = |F (χE)| ≤ ||F ||µ(E), (2) Þ ν §½ Î ¡ ª¼ µ(E) = 0 (2) ¼ 2◦ R − N µª½ ªÞ ¡ ν(E) = 0 ν ≪ µ Òg ν(E) = gdµ. E ¼ ν ½ ªg Ú¡ §¥ Òª¼ ÚË 3◦ ϕ= n i=1 ciχEi F Ê³Ý 2◦ª n n n n F (ϕ) = F ( ciχEi ) = ciF (χEi ) = ciν(Ei) = ci gdµ = ϕgdµ. i=1 i=1 i=1 i=1 Ei ¸ ª¼¹µ  ¡ |F (ϕ)| ≤ ||F ||||ϕ||p 1 g ∈ Lq ϵ ª ¶ ª ℄ ½ f ∈ Lp G(f ) := f g G Lp È ª¼Â G−f ° Lp ℄ ½ È ªÅ » ¥ Ò℄§¾¡¼Ü 1ª¥ Ò ² ÜР˶ ª¼Â ª¯Ð µ ¡ Lp F =G 1 ||F || = ||G|| = ||g||q ¿ 4◦ g1, g2 ¡ g2, a.e. ±℄È ª ·¾È ª¸º ª g1−g2 ||g1 −g2||p = 0 g1 = ½ 5◦ σ- Æ ¡ ±½ {Xj} ∞¡  ܽª ℄ ª ϵ ª j≥1 Xj = X j ≥ 1 µ(Xj) < ¼¯ ª ϵ ª ª½ 3◦ j ∈ N fj ∈ Lp(Xj) gj ∈ Lq(Xj ) ª gj ¡§ X ℄ Êŧ¾ Òª F (fj) = f gjdµ. Xj Òª Ü Xj ¢Êŧ¾¡ § f ∈ Lp(X) Ü Xj ¢ F (f ) = f gjdµ = f gj+1dµ, Xj Xj+1 19 ¼Â ϵ ª f ∈ Lp(Xj) f (gj − gj+1)dµ = 0, Xj ¼º ¡¼Â Ò½ ℄ Ó¹¹ gj+1|Xj = gj {gj}j≥1 X Ò gª¼ º µ  º ±℄ ||g||q = lim n→∞ ||gj ||q ≤ ||F ||, 1 0¨ E  Ê ¨ Ai ∈ A0 µ µ∗(E) > µ(Ai) − ε. i≥1 ¾º« ¨ÆÐÇ i ∈ N¨  A0− ß {Ai} µ(Ai) = µ(A Ai) + µ(AC Ai), È Ë ¨  Ĥ¢Ç ¨ ¨Ê 1 3 E A ⊂ (Ai ∩ A) E AC ⊂ (Ai ∩ AC ) µ∗(E) + ε > µ(Ai A) + µ(Ai i≥1 i≥1 E ε ÐÇ ¥É ¡◮ AC ) ≥ µ∗(E A) + µ∗(E AC ), Ï A0σ º A0 £ ¨Ï A0σδ º A0σ £ ¡¡¡Æ Æ µ∗ º²£¡ 3 Ù µ § A0 Ö ²Ä¨µ∗ µ ²Ä¡ Æ X ÐÇ ²Ä ¾ ¤£ E ¨ ε > 0 × E £ A ∈ A0σ¨ß µ∗(A) ≤ µ∗(E) + ε. × E £ ¨ß B ∈ A0σδ µ∗(E) = µ∗(B). 3 ◭ µ∗ ÁȨ  E A0− ß {Ai} µ∗(E) > µ(Ai) − ε. i≥1 Ö¦ ¨ƨÐÇ ¨ ß ¨ ¨  ¡ A = i≥1 Ai µ∗(A) ≤ i≥1 µ∗(Ai) = i≥1 µ(Ai) n∈N An ∈ A0σ E ⊂ An µ∗(An) < ¡ ¨ ¨ ¡Ê ¨Ê µ∗(E) + 1/n B := n≥1 An ¨ È ¡ ÂÎÇ¨Ê ¨ µ∗(B) ≤ µ∗(An) < µ∗(E) + 1/n B ∈ A0σδ E⊂B µ∗(B) ≤ µ∗(E) E ⊂ An E⊂B ¨  É Â¡ µ∗(E) ≤ µ∗(B) ◮ ° 5¦ «Ñ ²§ ²Ä µ∗ ¸ «¨ÓÕÆÐÇ E ⊂ X ¨ ε > 0 µ∗− º²£ A¨ß E ⊂ A¨ µ∗(A) < µ∗(E) + ε. É 2 É 3 ØР §Ö ²Ä ²Ä Õ ¡ É 3 ¸ ¨Ô ¨ µ∗(E) < ∞ × £ ¨ß E A0σδ B µ∗(B) = ¨Ê µ∗(E) E  A0σδ £  ²£ ³¡¹Ç É ¾ µ σ− ¾¡ Ù Ö ¾²Ä¨ ∗ 4 µ A0 σ− µ∗ µ ²Ä¡ £ E µ∗ º² ¨ E = A \ B A  A0σδ £¨B  µ∗- ²£¡ ÐÇ ²£ × Ê µ∗- B A0σδ ²£ ¡ ¹Ç ÀÁ ¡ °Ç ¦1 Caratheodory Ä­°Ç§ Ù µ Ö A0 σ− ¾²Ä¨µ∗ µ ²Ä¡ µ∗ µ∗- º²£Ö ¾Þ µ¯ µ Â × § A0 σ§Ö ¿Ð¡Ô µ ¾¦ σ- ¾§¨ µ¯ ¾¦ σ- ¾§¨ µ¯ × A0 ¨ σ- §Ö ¿С ÀÁ ¨ ¶ à ¶ µ¯|A0σ = µ˜|A0σ A0σ ◭ Á §1. ¨1 µ∗- º²£ A∗  σ− ²Ä¡ É ¨ ¡ 2 A∗ ⊃ A0  ¨3 µ¯ µ Á ¡ Æ¡ §¨µ∗ Ö A∗ ¾Þ µ¯  § A0 Ö ¿Ð¡ ÖÈ ¹ÇÖÈ Â ¡Ù A × A0 ¨ σ− §¨Ù µ˜ A Ö ²Ä¨ ¡¹Ç²ÆÖÈ ¡ µ˜|A0 = µ µ˜A = µ¯A ÖÈ ¡ 1◦ µ˜|A0σ = µ¯|A0σ 4 Ù ¨ ¨ ¡ ¨ A ∈ A0σ ¨ ¡ ℄ Ö ²Ä¨ A = n≥1 Bn A = n≥1 An An ∈ A0(n ≥ 1) Bn ∈ A0 µ¯ Bn := An AC1 · · · ACn−1 µ˜ A0 µ˜(A) = µ˜(Bn) = µ¯(Bn) = µ¯(A). n≥1 n≥1 ÆÐÇ ¨ÖÈ ¡ 2◦ B∈A µ˜(B) ≤ µ¯(B) ÆÐÇ ε > 0¨ É 4¨ ß ¨ A ∈ A0σ B⊂A 1◦ Ĥ B ⊂ A  ¨ ¡ µ¯(A) < µ¯(B) + ε µ˜(B) ≤ µ˜(A) = µ¯(A) < µ¯(B) + ε,  ¡ µ˜(B) ≤ µ¯(B) 3◦ µ ¾²Ä¡ÆÐÇ B ∈ A¨ÖÈ µ˜(B) ≥ ¡ µ¯(B) Ù ¨ Ã¥ ¡¢Ç B ∈ A A ∈ A0σ µ¯(A) < µ¯(B) + ε µ¯(A) = µ¯(B) + µ¯(A \ B),  ¡ È  µ¯(B) < ∞ µ¯(A \ B) < ε 2◦ µ˜(A \ B) ≤ µ¯(A \ B) < ε. Ü 1◦¨  µ¯(B) ≤ µ¯(A) = µ˜(A) = µ˜(B) + µ˜(A \ B) ≤ µ˜(B) + ε, µ¯(B) ≤ µ˜(B). 4◦. µ Ö A0 σ− ¾²Ä¡ Ù ¨ ¨ ¨ ¡Ù X = n≥1 Xn Xn Xi ∈ A0 µ¯(Xi) < ∞(n ≥ 1) ¨ ¨ ¡Ê ¨ B ∈ A B = n≥1(B ∩ Xi) Xi B ∈ A 3◦ − a) µ˜(B) = µ˜(Xi B) = µ¯(Xi B) = µ¯(B). ◮ n≥1 n≥1 Ú¿Ö ²Ä ²Ä¡ ²Ä ²Ä 1 Lebesgue Borel Lebesgue Borel ¡ ° 6¦« § X  ¤£ C ¸ X Ö Â « ¨ÓÕ § ¡ 1 A, B ∈ C =⇒ A B ∈ C § Ù ¨ 2 A ∈ C AC C ¾Ç « ¡ 5 É 1 R Ö ­ £Ü R Ö Â §¡ 1 § C «Ö¼£Ä¤­ ¾ § C Û¹ § C ¡ ¹Â §¨¸ 5 Ù C  §¨µ C Ö Â £Ø§¨Ã¥ µ(∅) = 0¦Ô ∅ ∈ C§¡Ô¹¦ Ã¥¦ ¾º«¨º º«§¨ µ ºÄ ¿РC Û ¹ § A0 Ö ²Ä« § Ù ¨Ô ¾ 1 C∈C C C {Ci}1≤i≤n ¨ 2§ Ô C n µ(C) = µ(Ci). i=1 º C {Ci}1≤i<∞ ¨ ∞ µ(C) ≤ µ(Ci). i=1 §3 ´©Fubini ±È §3.1 ² Ù (X, A, µ)  (Y, B, ν) ²Ä¼­¡ ° Ù 1 A ⊂ X ¨¸ B ⊂ Y A × B º¡¼­ X × Y µÎ ¨ ¨ A ∈ BX B ∈ B ¸ A × B º¡¼­ X × Y Á ¶ ¡© R ­ º²µÎ ¹ £¡ ¢Ç (A × B) (C × D) = (A C) × (B D) ∈ R, Ĥ (A × B)C = (AC × B) (BC × A) (Ac × BC ) R ¾Ç « ¡  ¡ÔÙ X ×Y ¡Ç 1 R §¡ ° 2 R ÖÆӹΠÁȣا«Ù A × B ∈ R º²µÎ ¨ÁÈ λ(A × B) := µ(A) · ν(B). 6 ¡Ç Ù Â 2 {(Ai, Bi)}i≥1 Î ¡ A × B º²µÎ ¨ÆÆ º²µ λ(A × B) = λ(Ai × Bi). i≥1 ◭ ÒÁ x ∈ A¨ÆÐÇ y ∈ ¨B (x, y) ¥℄ µÎ §B ¹ « ¡Ê ¦ Ai × Bi B= Bi. x∈Ai Ê ¨ ν º º« ¨ÆÐÇ x ∈ X¨ ν(Bi) · χAi (x) = ν(B)χA(x). i≥1 ¡Á¨ Æ¥ ν(Bi) · χAi(x)dµx = ν(B) χA(x)dµx, i≥1 A A λ(Ai × Bi) = ν(Bi) · µ(Ai) = ν(B) · µ(A) = λ(A × B). ◮ i≥1 i≥1 Ù R′ § R Û¹ §¨ Ë 2 §2 É 5¨λ ºÄ Â¿Ð Ö R′ ²Ä¡ È §2 Á 1¨λ ºÄ¿Ð Â × ¦ R′ È × R§  σ- § S Ö ²Ä¡Ò¿вĸ ²Ä µ ν º¡²Ä¨© ¡ µ × ν Ñ §2 Á 1 Ø¨Ô µ ν ¾²Ä σ− ¾²Ä¨ Æ µ × ν ¾²Ä σ− ¾²Ä¡ ° ¸ Û¹ º¡²Ä¼­¡ 3 (X × Y, S, µ × ν) (X, A, µ) (Y, B, ν) 1 § R′ ¾Ê¨λ  ¿Ð¨Â Ö ²ÄÎ ¿Ð ²Ä­  ¿Ð × R ¨ σ− §Ö ¿С Î ¨²Æ¼ ±Ï  Π¡ Ù ¤ ¥ Royden p298, 3*, 4, 5*, 6, 7*, 10, 11*. §3.2 à ¾¼Ä » ½È¼¹ É ¡Çµ¿ ¸¶¾¼ ¼¹ ¡¾¼ ¨¢ £Â¾¼ · »±¡ ° Ù ¨ ¨ 3 E ∈ S x ∈ A x Æ℄£ E £ÁÈ Ex := {y ∈ Y | (x, y) ∈ E}; Ey := {x ∈ X| (x, y) ∈ E}. 7 Ê y ∈ Ex ⇐⇒ χEx (y) = 1 ⇐⇒ χE(x, y) = 1. Ö¦ÁÈ »¸ « ¡Ç Ù ¨ 3 {Eα}α ⊂ S ( Eα)x = (Eα)x, ( Eα)x = (Eα)x. α α α α ¡Ç 4¦ χ( = i Ei)x χ(Ei)x , (EC )x = (Ex)C . i Á Þ§ Ù E ∈ S Rσδ £¨ ÆÐÇ x ∈ X¨Ex º²¡ Ô ◭ 1◦. E º²µÎ A × B¨ÓÕ x ∈ A¨ Ex = B Y º²£­Ô ¨ x ∈ A ¡ Ex = ∅ È Ex º²¡ Ù £¨ ¨ 2◦. E Rσ E = i≥1 Ei Ei º²µÎ ¡ Ë 2¨ Ex = (Ei)x, i≥1 ¨ÆÐÇ ¨ 1◦ i (Ei)x Y º²£¨ È Ex ª Y º Ç º²£ Ñ º²¡ Ù 3◦ E 2¨ Rσδ £¨ ¨ E = i≥1 Ei Ei Rσ º²µÎ ¡ Ë Ex = (Ei)x, i≥1 2◦¨ÆÐÇ ¨i (Ei)x º²¨ È Ex ª º Ç º²£ Ñ º²¡◮ ¡Ç 5¦ ² Á Þ§ Ù ¨ ¡ E ∈ Rσδ µ × ν(E) < ∞ g(x) := ¨ ¨ º²¨ ν(Ex) x ∈ X g(x) g(x)dµ = µ × ν(E). X ◭ Ô E º²µÎ ¨ Â Ì ¡¢Ç РRσ £ºÄ º ¡ Áº²¨µÎ ¨ ¦ ¶ º§²¨Ù¨ ¨ ¡ È º²¡¨ gi(x) := ν[(Ei)x] x ∈ X gi E = i≥1 Ei (Ei )x g(x) = i≥1 gi(x) g Æ¥Ë g(x)dµ = gi(x)dµ = µ × ν(Ei) = µ × ν(E), X iX i ÂÆ Rσ £Õ ¡ 8 ¼Ù E Rσδ £¡ ÆÐÇ ¨ Æ x ∈ X (Ei)x(i ≥ 1) ¨ Ç gi(x) := ν((Ei)x) Rσ £ ß ¨Ê Ei(i ≥ 1) E = Ei £ ¡ §2 É 3¨ºÄÀ ¡ µ × ν(E1) < ∞ ¨ g1(x)dµ = µ × ν(E1) < ∞, X È g1(x) ¦ß¿¿ ¾¡Ù x ∈ X ß g1(x) < ∞¨ ²Ä  g(x) = ν(Ex) = lim ν((Ei)x) = lim gi(x), i→∞ i→∞ Ê ¨Ð º²¡¢Ç ¨¨Þ g(x) = limi→∞ gi(x), a.e. g(x) 0 ≤ gi ≤ g1 ½ Þ¢ Á ²Ä  g(x)dµ = lim gi(x)dµ = lim µ × ν(Ei) = µ × ν(E). ◮ X i→∞ X i→∞ Ù 1 E S ²£ ¨¥ ¡ µ × ν(E) = 0 ν(Ex) = 0, µ − a.e, x ∈ ¡ X; µ(Ey) = 0, ν − a.e, y ∈ Y É ¨ £ ß ¨ ¡ ◭ §2 3 Rσδ F E ⊂ F µ × ν(E) = µ × ν(F ) = 0 ¨Ø ¡ Ë ¨ ¨ ℄ ¨ ÈÆ ¦ E ⊂ F Ex ⊂ Fx 5 X ν(Fx)dµ = 0 ν(Ex) µ- ß­ ¨ ¨ È ¡¦ Ö º²§¡ x ∈ X ν(Fx) = 0 ν(Ex) = 0, a.e ν Ex ◮ 2¦ °Ç§ Ù ¨ ¡ Fubini E ∈ S µ × ν(E) < ∞ 1§ Ʀ߭ ¨ x ∈ X Ex Y º²£¡ 2§ ¨ g(x) = ν(Ex) g ¦ß¿¿ ÁȨ g º²Ø§¡ § ¡ 3 X g(x)dµ = µ × ν(E) = X×Y χEd(µ × ν) É ¨ £ ß ¨ ¡ ◭ §2 2 Rσδ F E ⊂ F µ × ν(E) = µ × ν(F ) ¨ G = F \ E G º²¨ µ × ν(F ) = µ × ν(E) + µ × ν(G), Ê ¨ ¡ É ¨Æ¦ß­ ¨ ¡ ℄ µ × ν(E) < ∞ µ × ν(G) = 0 1 x ∈ X ν(Gx) = 0 Fx = Ex Gx ¨ ÈƦ߭ ¨ ¨ Ë x ∈ X g(x) = ν(Ex) = ν(Fx) 4¨g º²¡¨Þ Ë 5¨ g(x)dµ = ν(Fx)dµ = µ × ν(F ) = µ × ν(E). ◮ X X 9 °Ç¦ °Ç §3.3 Fubini Tonelli £º ´£Ü E ∈ S Ö Óا ¡ °Ç ¦1 Fubini °Ç§ Ù (X, A, µ) (Y, B, ν)  Ô­ ²Ã ¨f Ö X × Y Á ¡ 1◦ − a Ʀ߭ 1◦ − b Ʀ߭ ¨Ø§ x ∈ X fx(y) := f (x, y) Y Ö º¡Ø§¡ ¨Ø§ y ∈ Y f y(x) := f (x, y) X Ö º¡Ø§¡ Ö º¡Ø§¡ 2◦ − a Y f(x, y)dν(y) X Ö º¡Ø§¡ 2◦ − b X f(x, y)dµ(x) Y 3◦ ¡ ¡ ºÄ « f (x, y)dν(y) dµ(x) = f (x, y)dµ(x)dν(y) = f (x, y)dµ(x) dν(y). XY X ×Y YX ◭ ℄ x y Ƹ ¨²ÆÝ ÖÈ Â ¨ 2◦ − a) 2◦ − b) ¡ 3◦ ℄ f º¡¨f+ f− º¡¨Ê ²ÆÝ ¹À ا¡ §1 fx Á Þ¡ É 2 ܾ f ²Ä ¾ º²£Ö Óا¨Á ÂÕ ¡Ê Á Æ℄²Ä ¾£ Æ º²Ø§Õ ¡ É 8 §2 2¨ À Æ Ø§ ß ¨Ê ÆÐÇ ¨ {ϕi}i≥1 ϕi ↑ f (i → ∞) i ϕi º¡¨ È ϕi  ²Ä ¾ £ ¨Ê fx = lim (ϕi)x. i→∞ ¢Ç ϕi º²µÎ Ö Óا ¾¿ §Ü¨Ê (ϕi)x x £ Óا ¾¿ §Ü¨ É §3.2 ¨2 (ϕi)x º²¨ È fx º²¡ § Á Þ¡ 2 f(x, y)dν(y) À¢ Á ¨ Y fx(y)dν(y) = lim (ϕi)x(y)dν(y), Y i→∞ Y Ñ É §3.2 2¨ Å ¡ º²Ø§ ¨Ê ©Å¡ 3§Ñ À¢ Á É ¨ §3.2 2 x º²Ø§¡ fx(y)dν(y) dµ(x) = lim (ϕi)x(y)dν(y) dµ(x) XY i→∞ X Y = lim i→∞ ϕi(x, y)d(µ × ν) = X ×Y f (x, y)d(µ × ν). ◮ X ×Y ª℄Á 1 ÖȨ²Æ °Ç ¦ °Ç§ Ù 2 Tonelli (X, A, µ) (Y, B, ν)  σ- ¥Û ²Ã ¨f Ö X × Y ·¼Á ¡ 10 1◦ − a Ʀ߭ 1◦ − b Ʀ߭ ¨Ø§ x ∈ X fx(y) := f (x, y) ¨Ø§ y ∈ Y f y(x) := f (x, y) Ö º²Ø§¡ 2◦ − a Y f(x, y)dν(y) X Ö º²Ø§¡ 2◦ − b X f(x, y)dµ(x) Y 3◦ ¡ ¡ ºÄ « Y Ö º²Ø§¡ X Ö º²Ø§¡ f (x, y)dν(y) dµ(x) = f (x, y)dµ(x)dν(y) = f (x, y)dµ(x) dν(y). XY X ×Y YX 1 1§Á 2 ¡ f (x, y) ≡ 1 ¡ ºÄ ³¾¨¹À X = Y = R¨µ = ν = L Ĥ 2§ Á 1 f º¡ ¨ Á 2 ¾ ¦ µ × ν σ- µν σ- ¾ ­ Ö§¨¶º 8 §2 É 2 ¾ À «¢ f Æ Ø § ¨ ¯Ü ª ²¥Û ÑÕͨÒ Á ÖÈ Â Ó¡ 2 ¹Ç Ó℄ Fubini Á  ¦ ¢©¡ 1§ Á 1 À Ö ¡Ø§ f º¡ ¨Ê À f º²¨Â¯ ©Ò Š֡ ºÄ Ö  ¦ ¶ 21§¨ ²Ä σ- ¾ ¨ ºÄ Á 2 ±Ö ¡  ¡ 2§ Ù A B §¨© X Y σ− A×B ×­ º²µÎ ¨ σ- §¡ Ç ¯Â¸ ¨º¡²Ä µ × ν ÁÈ × A × B  σ- §¨¢Ç µ × ν Ö ¿ÐÎ  Caratheodory ¨  ²Ä¨ Æ A × B ³ ²£¡ 3§ 2 ²Ä 1 ²Äº¡ Ó· ³ ¡ÁÈ Ö A ×B S Ö ²Ä ³ ¡ 4§ ¢ÇÁ 1 2 Ρ 5§ É£¸ ä ¥ Ó℄Á Royden p309-310 1 Á 2 ¢¡¡ Ù ¤ ¥ Royden p-310, 21, 22, 24, 28, 29, 31. 19∗, 20∗, 25∗, 26∗, 30∗, 33∗. ½ÌÏ Fubini Á ¨¬ ÖÈ ¡ ¹ §4 Lebesgue-Stieltjes ° ¦1 Baire ²§ Ù B := B(R) Ú¿Ö Borel §¡B Ö ²Ä µ ¸  Baire ²¨ÓÕ µ £Ö Borel ²Ä ¾¡Ô µ(R) < ∞¨ µ ¸ ¥Û Baire ²¡ 11 É 1 Ú¿Ö ²Ä Borel L|B Baire ²Ä¨ ¾ Baire ²Ä¡ ° 2¦¥Û Baire ² ¸ ÁÈ § Ù µ  ¾ Baire ²Ä¨µ ¸ Fµ(x) := F (x) := µ(] − ∞, x]). ²Ä ¾º« ¥ Þ 1 Ù µ  ¾ Baire ²Ä¨ µ]a, b] = F (b) − F (a). 1 Ù µ  ¾ Baire ²Ä¡ 1◦ ا F À ا¡ 2◦ F x ¡ µ{x} = 0 ¡ 3◦ limx→−∞ F (x) = 0 ◭ 1◦ F µ ¾  ¨À ÖF ¨ F À ¦F ÅÂ Ý ÖÈ ¡ F (b) = F (b+) ²Ä µ À¡ © ¢¾¶ §¨²Æ È Ñ 2◦ ²Ä µ]a, b] = lim µ]a, b n→∞ + 1 n ], F (b) = lim n→∞ F (b + 1 n ) = F (b+). µ{b} = lim n→∞ µ]b − 1 n , b] = F (b) − lim n→∞ F (b − 1 n ) = F (b) − F (b−), È F (b) = F (b−) ¡ µ{x} = 0 Ü Â 1 ¥  2¡ ¢Ç ¨ ²Ä 3◦ {∅} = n≥1] − ∞, −n]  lim F (n) = lim µ ] − ∞, −i] = 0, n→−∞ n→∞ i≤n À ¨Þ ¡ F limx→−∞ F (x) = 0 ◮ ¹Ç¹ÀÉ 1 ͱ «¬Ù F À ا¨ÁÈ F(∞) = ¡ limx→∞ F (x), F (−∞) = limx→−∞ F (x)  Baire ²Ä µ ß µ]a, b] = F (b) − F (a). 12 ¡Ç 1 Ù F R Ö À ا¡Ô ¨ ]a, b] ⊂ i≥1]ai, bi] ◭ ¶ ¡◮ F (b) − F (a) ≤ (F (bi) − F (ai)). i≥1 2 ¬Ù F À Ç ¨ a, b ∈ R ا¡  Baire ²Ä µ ßÆÐ µ]a, b] = F (b) − F (a). ◭ ÙC Áȣا R Ó ]a, b] ]a, ∞[ ­§¹ £ ¨ C  §¡ µ]a, b] := F (b) − F (a). É §2 5 1 » ¨ 2 Ë 1 Ö¨ È §2 É 5 بµ ºÄ ¿РC Û¹ §Ö ²Ä¡ ℄ B ×Ò § ¨ σσ- §¨ §2 Á 1¨µ ºÄ¿Ð B Ö ¾²Ä¨ ÈÖ¦¿Ð  ¡ ²Ä¡ ℄ R = ¹É ÖÈ¡◮ ¨ n∈Z]n − 1, n] µ ÐÏ 1 Ù F ²Ä µ ß F µ À ا¨F(−∞) = 0¡  ا¡ ¾ Baire ° 3 Ùϕ Borel º²Ø§¨F À ا¡ Æ℄ ¡ ÁÈ ϕ F Lebesgue − Stieltjes ا¨µ F ϕdF := ϕdµ. ϕ ¸ Æ F º¡¨ÓÕ ϕ Æ µ º¡¡ ¼Ù F À ا¨ F ∗(x) := lim F (y). y→x+ À F ∗ ا¨ Ô F x ¨ ¡ F (x) = F ∗(x) ¡ ܨ Æ℄ ¡ ÁÈ (F∗)∗ = F∗ ϕ F Lebesgue − Stieltjes ϕdF := ϕdF ∗. Ù ¤ ¥ Royden p-302, 12, 14, 15*, 17. 13 Ü ÌÀ¯ ´ §5 ∗ · ¨¯ Ñ ² ¢µ℄£ Ú¡ Ù µ § A Ö Â ²Ä¨µ∗ Æ ²Ä¨ ºÄ µ∗(E) µ Ò Æ E ¨ ºÎ ²Ä¡ ÖÆÏ Î ¨²ÆÁºÄÁÈ Ͳ Ä µ∗¨Æ µ Ò Æ E ¨ ºÎ ²Ä¡ ° 1 Ù µ § A Ö Â ²Ä¨µ∗ Æ µ Í²Ä µ∗ ÁÈ ²Ä¡Ù E ⊂ X¨ µ∗(E) = sup [µ(A) − µ∗(A \ E)]. A∈A,µ∗(A\E)<∞ Þ ÆÐÇ ¨ ¡ 1 1◦ E ∈ A µ∗(E) = µ(E) ÆÐÇ£ ¨ ¡ 2◦ E µ∗(E) ≤ µ∗(E) ¦ À § Ô ¨ ¡ 3◦ E ⊂ F µ∗(E) ≤ µ∗(F ) ◭  2◦ ÁÈÚ  ¡ Ù E ∈ A¨ ÆÐÇ A ∈ A¨A \ E ∈ A¨Ê µ(A) − µ(A \ E) ≤ µ(E), ¨Ô ¨ ¨   ¡ E ⊂ A µ(A) − µ(A \ E) = µ(E) 1◦ Ù ¨Ô ¨ À ¨ ¡Ê E ⊂ F µ∗(A \ E) < ∞ µ∗ µ∗(A \ F ) < ∞ µ∗F ≥ µ(A) − µ∗(A \ F ) ≥ µ(A) − µ∗(A \ E), ÆÃ¥ Ö µ∗(A \ E) < ∞ A ∈ A ¨¥  3◦¡ ¡Ç Ù ¨Ã¥ ¨ ¡ 1 A, B ∈ A µ∗(A \ E) < ∞ µ∗(B \ E) < ∞ Ô A ⊂ B¨ µ(A) − µ∗(A \ E) ≤ µ(B) − µ∗(B \ E). Ô E ⊂ A¨ Ö¦ ¹ ¨ µ∗(E) = µ(A) − µ∗(A \ E). ÐÏ Ô ¨ ¡ 1 µ(X) < ∞ µ∗(E) = µ(X) − µ∗(X \ E) ÐÏ Ù ¨ ¡ 2 A ∈ A µ(A) = µ∗(A E) + µ∗(A EC) 14 ¡Ç Ù º²£¨ ¡ ¡ 2 B µ∗- µ∗(B) < ∞ µ∗(B) = µ∗(B) Ù ¨ ¡ 1 E ⊂ X µ∗(E) < ∞ ¡ µ∗(E) ¨ß ¨ H ∈ Aσδ H ⊂E ÐÏ Ù ¨ 3 µ∗(E) < ∞ º²¨ µ∗(E) = sup{µ¯(B)| B ⊂ E, B µ¯(B) < ∞}. °Ç 1 Ù£ E, F ¨ µ¯(H) = µ∗(E) + µ∗(F ) ≤ µ∗(E F ) ≤ µ∗(E) + µ∗(F ) ≤ µ∗(E F ) ≤ µ∗(E) + µ∗(F ). ÐÏ 4 Ù {Ei} £¨ ∞ ∞ µ∗(Ei) ≤ µ∗( Ei). i=1 i=1 ¡Ç Ù 3 {Ei} A £¨ ∞ ∞ µ∗(E Ai) = µ∗(E Ai). i=1 i=1 °Ç 2 Ù µ § A Ö ²Ä¨E ⊂ X¡Ù B A E Û¹ µ˜ µ B Ö ÐÇ ¿Ð¨ §¨Ù µ∗(E) ≤ µ˜(E) ≤ µ∗(E). B Ö ¿Ð µ¯ ¿Ð µ¦ ȺĿРB Û¹ σ− §§ ß µ¯(E) = µ∗(E), µ(E) = µ∗(E). Î §6 ∗ ÅÆ 1 ¥¤ Ä­°Ç¡ §3 ¹À  § A Ö ²Ä¿Ð Â × A σ− §Ö¨ §5 ²Æ¹À A  σ− § ¿Ð¨Ò σ− § × A  ℄«£¡ ²Æ ÔÒ¿Ы٠M X ¦¤£¨¿ÐÞ M £ ² £¡¯ÂÒ ¿Ð À ½ ¡ 1 Ù µ  σ- § A Ö ²Ä¡M X ´ ¹¦ ß Â¦¤ £«Ô ¨ ¨ ¡ A ∈ A A ⊂ M ∈ M µ(A) = 0 µ  σ- § B  ¿ Ð ¨µ¯ B × A M ¨ σ− §¨ ÆÐÇ M ∈ ¨ M µ¯(M) = 0¡ 15 Ó ´ §7 ∗Carathedory Ƭ¿ ²Õ Ý ²ËÑ ²¡ ²ËÑ ² Þ ¡ ¢¥ ÌÀ¨ ¯ 2 Ø Ù Γ X Ö ÞÛا£¨µ∗ X Ö Â ²Ä¨µ∗ ÝÄ ¹¨Γ Ø§Æ µ∗ º²¡ ° 1 ¸Ø§ ϕ ¨ ¡ ϕ > α ϕ(b) < β £ A B¨ÓÕ α > β ßÆÐÇ a ∈ A b ∈ B ° 2 ²Ä µ∗ ¸ Æا¦ Γ Carathedory ²Ä¨ÓÕÆÃ¥¹¦ « Ù A B  £¨ÔÆÆÎ Γ Ø§ ¨ µ∗(A B) = µ∗(A) + µ∗(B). 1 Ô µ∗ Æ℄ا¦ Γ Carathedory ²Ä¨ Γ Ø§Æ℄ µ∗ º ²¡ Ù 2 (X, ρ) Ä ¼­¨µ∗ X Ö ´ ¹¦ ß ²Ä«ρ(A, b) > 0 × µ∗(A B) = µ∗(A) + µ∗(B). ÐÇ £¦ ÈÐÇ Borel £§ µ∗ º²£¡ ´¨ × §8 ∗Hausdorff Hausdorf f ²Ä § ¦Û²Ä Hausdorff Hausdorf f À ³Æ ¨ ¦ Û À ´¨ × ÆÆ Â ß¨ ªºÄ ¹¨ ºÄª ° ¶ ¡ ² ° §8.1 Hausdorff Þ Ù Ä ¼­ Æ ¤£ ÁÈ Ú² (X, d) .E U, U |U | = sup{d(x, y) : ¤£ Ù º ¾ ¤£¦ ¸ x, y ∈ U}. E X . δ > 0, X ( ) {Ui} E  δ−»½, ÓÕÆÃ¥¹¦É ß: РUi Ú² ¶Ö ¥ δ, |Ui| ≤ δ Æ Æ ¥ E, i≥1 Ui ⊃ E. Ù s ≥ 0, δ > 0, Hδs(E) = inf{ |Ui|s : {Ui}i≥1 E δ − }, i≥1 16 Ò inf Æ E ­ δ− ¹. ¢Ç ª δ ا,Hδs(E) À ¯, È δ → 0 Ü, Æ ℄¢¾ H s(E) = lim δ→0 Hδs(E), ¸ Ö H s(E) E s− Hausdorff ¸ 0 < H s(E) < ∞, E s− . ¹Ç²Æ¯Â Hausdorff ²Ä ², Æ ÛºÎ ß. ª ا ²Ä 1 E , Hδs H s . , Õ ¾ Õ³ . ÓÕ £º ÁÈ ²Æ »¸ Ô ◭ , , Hδs(∅) = 0, ÖÈ ²Ä ²ÆÝ ÖÈÆ ÐǺ £¦ ²Æ Hδs , X E ⊂ F, Hδs(E) ≤ Hδs(F ). {Ei}i≥1, Hδs( Ei) ≤ Hδs(Ei). i≥1 i≥1 ÖÈ , ²ÆÝ ÖÈ Å ¾ . Ð ε > 0, ÆÅ i,  ß ¢Ç º £ Ei δ− ¦ £Ü  ÁÈ¤Ö ²Æ {Ui,j}i,j≥1 {Ui,j }j≥1 i≥1 Ei j≥1 |Ui,j |s ≤ Hδs(Ei) + ε2−i. δ− , Hδs Hδs( Ei) ≤ |Ui,j |s ≤ Hδs(Ei) + ε, i≥1 i,j≥1 i≥1 ÐÇ ²Æ¥ ε , Hδs( i≥1 Ei) ≤ i≥1 Hδs(Ei). ¢Ç Ü ¢¾ Ö ª ¯Â Æ H s Hδs δ → 0 . , Hs Â. ◮ Ä 2 H s ²Ä. ٠Р◭ E, F ⊂ X, d(E, F ) > 0. 2δ < d(E, F ), E δ− F Рδ− , È E F Рδ− ºÄ E δ− F δ− , ¥ Hδs(E F ) ≥ Hδs(E) + Hδs(F ) Ĥ H s(E F ) ≥ H s(E) + H s(F ), ÂÎÇ, É 1.1, ²Æ ÍÎ , ¥ÖÈ. ◮ Ù  Ä ¼­ (X1, d1), (X2, d2) , E ⊂ X1, f : E → X2 E Ø, ÓÕ Õ´§ c > 0, α > 0, ß Î X2 d2(f (x), f (y)) ≤ c(d1(x, y))α, x, y ∈ E, (1.1) 17 ¸ Ã¥ ÓÕ ¸ £ ÓÕ ´ f α H¨older . α = 1, f Lipschitz , § c′ > 0, ß c′d1(x, y) ≤ d2(f (x), f (y)) ≤ cd1(x, y), ¸ ¨ £ f Lipschitz . ÒŸ , Ô f Ã¥ α H¨older , f ÎØ Ø È Lipschitz , f , f −1 . ٠å 3 E ⊂ X1, f : E → X2 α H¨older x, y ∈ E, ÎØ. , Ô f ¨ , ÆÐÇ s ≥ 0, H s/α(f (E)) ≤ cs/αH s(E). Ù Â É ◭ {Ui} E δ− , Ø È {f (Ui E)} f (E) |f (Ui E)| ≤ c|Ui|α,  cδα− , Ð |f (E Ui)|s/α ≤ cs/α |Ui|s,  ¥É  Hcsδα (f (E)) ≤ cs/αHδs(E), δ → 0 .◮ Ö¦É ¤ ÖÈÎ˲Æ ÐÏ Ô ÎØ ÓÕ 1 f Lipschitz , H s(f(E)) ≤ csH s(E), f ÎØ, c′sH s(E) ≤ H s(f (E)) ≤ csH s(E). ,Ôf µÎØ, H s(E) = H s(f (E)). ¨ Lipschitz ÄÞ Æ ²Æ© , E ⊂ Rd, λE = {λx : x ∈ E}, (λ > 0), λ + E = {λ + x : x ∈ E}. ¿ ¤¼­ Õ Í V Rd , pV : Rd → V Rd V , |pV (x)−pV (y)| ≤ |x − y|.  1, ²Æ ÐÏ 2 ¤£ ²Ä 1) Rd Hausdorff Ã¤Õ 2) «H s(λE) = λsH s(E); Ù 3) E ⊂ Rd, H s(pV (E)) ≤ H s(E). ¹; 1 ºÄÖÈ Rd ÐÛ¤£ n ²Ä Hausdorff n ²Ä Lebesgue L ³Â n Ó ´§. ÞÖ, Ô E Rn ¤£ Borel , L n(E) = cnH n(E), 18 Ú² cn = πn 2 /2n( n 2 )! 1n ¡. Ù 4 0 ≤ s < t < ∞, E ⊂ X, 1) H s(E) < ∞ =⇒ H t(E) = 0; 2) H t(E) > 0 =⇒ H s(E) = +∞. Ô Â ◭ {Ui} E δ− , ¥º Â.◮ Hδt(E) ≤ |Ui|t ≤ δt−s |Ui|s, i i 2 Æ℄ £Ü, ²Æµ ÖÊ ² Î Ä¤Ê ¼Ä, ß Ò ² Î ¹Ä¤ Ò ¼Ä¹, ² Õ Õ ¾. Æ℄£ E ⊂ X ² Hausdorff ÄÈ , ÓÕÑ ß s ≥ 0, 0 < H s(E) < ∞, ²Æ Ë . Ò £Ü, Ó ²Æ ÞÇ À¸ , ´ Ù ß, Þ Ò £Ü, Æ £ s− ( ÞÇ²Æ Ò ¤). Ò ¾Ê, ²Æ¹À¹¦ Hausdorff ²Ä Ô. Ù h : R+ → R+ À ا, h(0) = 0. ©­ Ò Ø§§¹ £Ü Λ. Ù ²Ä ÁÈ Ï E ⊂ X, E s− Hausdorff , h(|Ui|) ²Æ  |Ui|s, Â Ä ²Ä ¸ ² © ÒŸ ´ , E h−Hausdorff , H h(E). , ²Ä ²Ä s− Hausdorff h−Hausdorff h(t) = ts . Ù E ⊂ X, ÓÕ ß ¸ ˾ Ò £ Ô h ∈ Λ, 0 < H h(E) < ∞, h E Hausdorff , s− . Á £Ü Ĥ Á¯©  ¾Ì ± . Ö ° §8.2 Hausdorff Þ É §8.1 4, ²Æ¸ Æ℄ , E ⊂ X, s Â Û ß , H s(E) ³ , Û¸ Ö © ° ÁÈÓ E Hausdorff , dimH E, ¹: dimH E = sup{s : H s(E) > 0} = sup{s : H s(E) = ∞} = inf{s : H s(E) < ∞} = inf{s : H s(E) = 0}. ¹Ç²Æ¯Â Hausdorff § ß. £º É §8.1 ¤4 Hausdorff § ÁÈ » Ù Ô Ô 1 E ⊂ X. H s(E) < ∞, dimH E ≤ s; H s(E) > 0, dimH E ≥ s. Ô, 0 < H s(E) < ∞, dimH E = s. 2 19 À Ô 1) : E ⊂ F , dimH E ≤ dimH F . °Á ٠£ 2) σ− : {En}n≥1 , dimH En = sup{dimH En}. i≥1 i≥1 ÆÐÇ È ◭ s ≥ 0, H s(E) ≤ H s(F ), Hausdorff 2) À , ÆÐÇ n, § ÁÈ¥. dimH ( Ei) ≥ dimH En, i≥1 È dimH ( Ei) ≥ sup dimH Ei. i≥1 i≥1 0, ÂÎÇ Ù ÆÐÇ Ð , α > supi≥1 dimH Ei, i, dimH Ei < α, È É ÐÇ ¥ H α( i≥1 Ei) = 0. 1, dimH i≥1 Ei ≤ α, α H α(Ei) = dimH i≥1 Ei ≤ supi≥1 dimH Ei. ◮ É 2 Â Ú Â ÐǺ £ Hausdorff § . Ù ÎØ 3 E ⊂ X1, f : X1 → X2 α H¨older , Ù ◭ s > dimH E, dimH f (E) ≤ 1 α dimH E. É § 8.1 3, H s/α(f (E)) ≤ cs/αH s(E) = 0, È ÐÇ  dimH f(E) ≤ s/α, s dimH f (E) ≤ 1 α dimH E. ÐÏ Ô 1 E ⊂ X1, f : X1 → X2 Ô ¨ ÎØ f Lipschitz , ÎØ Lipschitz , dimH f (E) ≤ dimH E. dimH f (E) = dimH E. Ê Õ Í «£Ü §, µÎØ ªÎØ »£Ü § . ¤ з£ § 4 Rd Rd Hausdorff d. ◭ ¢Ç Rd º d à , dimH Rd = dimH Id, È cdL d(Id) = cd, dimH Id = d, £ ×Â Õ Ld ¡ Î , Î , È §º °¤ Id d Î ¢ , § 8.1 1, H d(Id) =  ÂÎÇ Ð· dimH Rd = d. , Rd È § d. ◮ 20 ˸ ©Ç ¡Ç §8.3 (Frostman ) ²Ä¤ Hausdorff § ÁÈ, ²Æ » ÆÆ Â Ö ¨. °Ç Ù Ù Â ÓÕ 1 E ⊂ Rd. {Uk,n}n≥1(k ≥ 1) E δk , δk → 0. Õ´§ ßÆÐÇ ck, È dimH E ≤ s. k, n≥1 |Uk,n|s < ck lim inf ck < ∞, H s(E) < ∞, ¸ , À ¨Â £Ü § Ö , ²ÆÝÀÆ ¤ {Ui} ¨ Ú È¹ |Ui|s. ¨ ÀÆ £ ­ δ− ÆÚ ª¹ |Ui|s ¨. ÓÕÏ℄ £Ü {Ui} Ú² ³ , Ö¦Ú ¨ ݾÌ. Ê ²Æµ Ú Å  “ ” ½. ÓÕ Â ²Ä µ ßÆÐÇ U Æ¥ µ(U) ≤ |U|s, µ “¶ ”, ²Æ Ö¦Ë º ¹¦ “ß ”. ×· Ö E ⊂ Rd Õ ¾ Borel ²Ä µ ¸ E ˸ . ¸ Ö Õ ² Rd Borel µ α− H¨older , ÓÕ Õ´§ ßÆÐÇ © ÖÕ ² c > 0, U ⊂ Rd, µ(U ) ≤ c|U |α. Ä £Ü Ö Á²Ä £Ü ÖÕ , M1(Rd) Rd Borel ²Ä £Ü H¨older Borel . M+b (Rd) Rd , M+b,α(Rd) Rd Borel α− °Ç 2( ˸ ©Ç) Ù Ö ß s ≥ 0, E ⊂ Rd , ¥ ´§ c > 0, Ĥ δ > 0 ß Ã¥ µ s− H¨older µ(U ) ≤ c|U |s, (3.1) Æ­ Ã¥ £ ¹ |U| ≤ δ U , H s(E) ≥ µ(E)/c. Ð ◭ E δ−  É Ï¬Ù £ {Ui}, §1.2 1, Ui Borel , (3.1) 0 < µ(E) ≤ µ( Ui) ≤ µ(Ui) ≤ c |Ui|s, i i i È ¥ Hδs(E) ≥ µ(E)/c. δ → 0, H s(E) ≥ µ(E)/c. ◮ Á 2 » ÐÏ 1 Á 2 ¹ ²Æ , dimH E ≥ s. 1ß ¤ ×ßÏ ²Ä H¨older , ¯© ¹Ç ´´Ï ¨ §¹ Hausdorff ´, ²Æ Ö §℄. Á ڲƸ Ó ℄  α− Ò ²Ä ÒÅ. ß Â ÎË. 21 Ù ÕÔ§ µÄ ¾  m ≥ 2 , S := {(i1 · · · ik) : k ≥ 1, 1 ≤ ik ≤ m} ¦. Ù X := {Xi1···ik ⊂ Rd}i1···ik∈S ÆÐÇ 1) k ≥ 1, Ã¥¹¦ ¼ £¦: m £Ü Xi1···ik,i, 1 ≤ i ≤ m Xi1···ik,i ⊂ Xi1···ik , i=1 ; 2) max |Xi1···ik | → 0, k → ∞. Ek := Xi1···ik , E := Ek, 1≤i1,··· ,ik≤m k≥1 E ¼ £. ¼Ù µ : X → R+ X Ö £Ø§, Ã¥ Æ ÆÐÇ 1) Xi1···ik ∈ X , µ(Xi1···ik ) ≤ ∞, ¥ 2) µ(Xi1···ik ) = 1≤i≤m µ(Xi1···ik,i), ¤£¦ Ö Xi1···iki(1 ≤ i ≤ m) ; £Ü Ö Xi1···ik ‘ß ’ Ö¦ ¹ ÆÐÇ ÔÁÈ 3) max{µ(Xi1···ik ) : 1 ≤ i1, . . . , ik ≤ m} → 0, k → ∞. , A ⊂ Rd, µ ºÄ¿Ð µ(A) = inf{ µ(Ui) : A i Ö Rd ס × E E ⊂ Ui, Ui ∈ X }, i ²Ä. 22 ¯Ø§ 10 Õ ©Ë ¢ £ Rudin, ”Real and Complex Analysis”, p. 34-60 §1 Ì ¹ ³ §2 ¹ Hausdorff Û Ê ² º Û 1 X Hausdorff ¦K º X º ©Ï¦x ∈ KC¡×°Ô É ºÖÏ U W ¦¶¹ p ∈ U ¦K ⊂ W ¡ Ê 2¤ » Ú¥ ² Kα º H− Û °Ô Kα º Ç©«¦ ©º ÛÏ¡ ¦º « ©Ï¦° ¦× α Kα = ∅ Ê 3 ² U ºÓ H− Û X ¦ºÖ©Ï¦ Ï K ⊂ U¡×°Ô ­ ºÖÏ V ¶¹ K ⊂ V ⊂ V ⊂ U. ◭ X ºÓ ϦK ¦ ¼ ¢Ð¦ ­ ¡Ỵ́к K¦ K º Ϧ°Ô Ç ¢Ð K¦ G Ý̢к ¦× G ­¡ ° ¦ ¡ U = X V = G G ­¦X Ó ¦ ¡ V = X צ¥ C := UC¦ x ∈ C¦°ÔÖÏ Wx ¶¹ K ⊂ ¦ Wx ¡ x ∈ W x C ∩ G ∩ Wx Ϥ Ï G º ©Ï¥¦ C ∩ G ∩ W x = ∅, x∈C צ² z ∈ ¦× ¹¨ x∈C(C ∩ W x) z ∈ Wz ¡­ ¦°Ô ¶¹ 2 x1, · · · , xn C ∩ G ∩ W x1 ∩ · · · ∩ W xn = ∅, ¥ V := G ∩ Wx1 ∩ · · · ∩ Wxn , × ¦ ¦ ¦À §ª­ V ⊂ G ∩ W x1 ∩ · · · ∩ W xn V ∩ C = ∅ V ⊂U V ¡◮ 1¤­ ¶È¥ ² X Û ¦f : X → R∗ ÜÙ¡µÈ¿¡ È¿ f ­ ¶È¦ Å µ¿ ¦Ï α {x| f(x) > α} ÖÏªÈ ¿ f ­ ¶È¦ Å µ¿ ¦Ï α {x| f(x) < α} ÖÏ¡ 1 Ú 1¤­ ¶È Ú¥ 1◦ µ¡È¿ µ е ´±¬ Ä ¬¡ 2◦ ÖϺ ÞÈ¿ºÄ¬ È¿ª Ϻ ÞÈ¿º±¬ È¿¡ 3◦ Ĭ È¿«º± ºÄ¬ È¿ª±¬ È¿«ºÄ º± ¬ È¿¡ ¬ È¿ºÑ Ï¥Ù ¢ £ à ¡ Royden p.51- 50, 51 2 È¿ f : X → C º Ͼ supp f := {x ∈ X| f (x) = 0}. 3 Ô Ïº ¡ È¿º ¡ Cc (X ) Ê ² ¦× Ï¡ 4 f ∈ Cc(X) f(X) 4 ²Xº ÉK≺f ¸ Éf≺V ¸ É K ≺f ≺V Û ¦K ⊂ X ©Ï¦V ⊂ X ÖϦf ∈ ¡ Cc(X) ¦ ¦ ¡ x ∈ X 0 ≤ f(x) ≤ 1 f|K ≡ 1 ¦ ¦ ¡ x ∈ X 0 ≤ f(x) ≤ 1 supp f ⊂ V ¸±« Ï¥Õ ¡ ¤1 Uryshon ¥ ² X ºÓ H− Û ¦V º X ¦ÖϦK º V ¦ ©Ï¡×°Ô f ∈ Cc(X)¦¶¹ K ≺ f ≺ V. ◭ ¼Å¨ ±¾ ¦ °Ô È¿ f ¶¹ χK ≤ f ≤ χV . ÅÀ©£ f º¬ È¿¦ f Í χK χV Ù¡ Õ 1◦ K V º³½ÖÏ¡¡ ¦ º r1 = 0, r2 = 1 Q := {r3, r4, · · · , } 3¦°ÔÖÏ V0 V1 ¶¹ ¦ ]0, 1[ Þ¿º ¡­ K ⊂ V1 ⊂ V 1 ⊂ V0 ⊂ V 0 ⊂ V. ² n ≥ 2¦ ¾ Ò Å ¡ V rj ⊂ Vri ¦± º¬Ëº¿ rn+1 ri < rj ÕÖ ¾ Ï Vr1 , r1, · · · · · · , , rVnr¦n ¦Ä¦«ËÄ ¯Õ rn+1 Vn+1 ¦Ä ¯ º º¬±º¿ ¦rj ­ 3¦Ù Ú· ¶¹ Vrn+1 ·º ¦ri V rj ⊂ Vrn+1 ⊂ V rn+1 ⊂ Vri . 2 ß ¦ ¦À© 0 = r1 < r3 < r2 = 1 V 1 ⊂ V3 ⊂ V 3 ⊂ V0. ℄ ±¾ Õ¦À©¹· ¡ÖÏ ¦Ô {Vr}r∈Q ľϥ¨K ⊂ V1, V 0 ⊂ V ¦ Vr Ϧ s > r =⇒ V s ⊂ Vr. (∗) 2◦ Õ f ¡ x ∈ X¦¾   r, fr(x) = x ∈ Vr,  0, x ∈ Vr.   1, gs(x) = x ∈ V s,  s, x ∈ V s. f := sup fr, r g := inf s gs. ±¾¾ Ï¥ 1 ×· f g Ĭ È¿ ±¬ È¿¦ 0 ≤ f ≤ 1, f |K = 1, supp f ⊂ V 0. ¤ § 0 ≤ f(x) ≤ 1 f ¥ª ß¡¢ x ∈ K¦© ¡¤ r ∈ Q¦x ∈ Vr¦¨£ ¦¦Þ ¡ ¡¤ ¦ ¦¦Þ ¡¥ f(x) = supr fr(x) = 1 f |K = 1 Å ¬ ¦À© ­ º ¬¡¨ · »· £ f = g r supp fr ⊂ V r supp f ⊂ V 0 fr(x) > gs(x) Ôľ Î ¨ ¦ r > s x ∈ Vr ¡´º ÓÇ ¦ x ∈ V s r>s Vr ⊂ Vs r, s ¦À ¡Æ fr ≤ gs f ≤ g ¾ Æ x¦f(x) < g(x)¦×°Ô Þ¿ r, s ¶ ¹ ¡ ¦À ¦ ¦ ¦ f(x) < r < s < g(x) f(x) < r x ∈ Vr s ≤ g(x) x ∈ V s (∗) ·¨ ¦ ¡ f = g ◮ Ü 1 ² X ßÃÛ ¦ ÖÏ ¦¶¹ ¦ ¡ O1 O2 F1 ⊂ O! F2 ⊂ O2 ¾Þ 1 Ý º ¬Ù ¹· É º Ï F1 F2¦°Ô É º ¤1’ Uryshon ¥ ² X ºßÃÛ ¦E F º X ¦ É °Ô ¶¹ ¦ ¡ f ∈ C(X) 0 ≤ f ≤ 1 f |E = 1, f |F = 0 Å E,F º ϦÀ©Ù ¡ f ∈ Cc(X) Ï¦× 2¤ ²½¥ ² X ºÓ H− Û ¦V1, · · · , Vn º X ¦ÖϦK º Ϧ n K ⊂ Vi. i=1 3 ×°ÔÈ¿ hi ≺ Vi(1 ≤ i ≤ n)¦¶¹ ¦ x ∈ K n hi(x) = 1. i=1 ◭ x ∈ K¦°Ô x º¢Ð Wx ¶¹ ¦ Vi(1 ≤ i ≤ n) Wx ⊂ Vi ¦ º Ϧ°Ô ¶¹ ¡¥ K ⊂ x∈K Wx K x1, · · · , xm K⊂ m i=1 Wxi × Hi ¥ Hi := W xj , {j| xj ∈Vi} Ϧ ¡ ¾Þ ¦°Ô ¶¹ ¡ Hi ⊂ Vi 1 gi ∈ CC (X) Hi ≺ gi ≺ Vi(1 ≤ i ≤ n) h1 := g1, h2 := (1 − g1)g2, ······ hn := (1 − g1) · · · (1 − gn−1)gn. ±¾¾ ¦ supp hi ⊂ supp gi ¹ ¡¤ hi ≺ Vi(1 ≤ i ≤ n) «¦Ä¯ h1(x) + h2(x) + · · · + hn(x) = (1 − g1)(x)(1 − g2)(x) · · · (1 − gn(x)) + 1. Ʋ x ∈ K¦×°Ô i(1 ≤ i ≤ n)¦¶¹ x ∈ ¦ Hi ¡ n i=1 hi(x) = 1 ◮ ¦ gi(x) = 1 Æ §3 Riesz Borel ØÓ §3.1  Cc(X) ×℄ ±¶ ŧ Riesz Å 1¤×℄ ±¶¥ Cc(X) ±ºÈÏ È Λ ß È¦° f ∈ ¦ ¡ Cc(X), f ≥ 0 Λ(f ) ≥ 0 Ú 1¤×℄ ±¶ ¥ ¡ f ≥ g =⇒ Λ(f ) ≥ Λ(g) ­Ç 1◦ 1 ² X ºÓ H- Û ¦Λ º Cc(X) ±ºßÈÏ È¡×°Ô X ±º Borel Ϻ σ− ²¿ M M ± º ¿ µ ¶¹ ¦ f ∈ Cc(X) Λ(f ) = f dµ. X 4 2◦ Ï ¦ ¡ K ⊂ X µ(K) < ∞ 3◦ ¦ E ∈ M ÖÏ µ(E) = inf{µ(V ), E ⊂ V, V }. 4◦ ÖÏ E¦ §ª ¦ E ∈ M µ(E) < ∞ µ(E) = sup{µ(K), K ⊂ E, K Ï}. ² ¦ ¦ ¦× ¡ 5◦ E ∈ M A ⊂ E µ(E) = 0 A ∈ M Ü 1 µ ºÓ Ǻß× Æ ¿¡ 1Ù ◭ Î Ù ² µ §ª 3◦, 4◦¦× µ Ô M ±º¡ Ï ¾¡ £ ¬ Ï ¦° ¦× ¦ ¦ º§ª¾Þ K µ1(K) = µ2(K) µ1 = µ2 µ1, µ2 ¦º ¿¡Á¾ ¦² ¡ ¦°Ô ¶¹ ¦ K ε > 0 2◦, 3◦ V ⊃K µ2(V ) < µ2(K) + ε Þ¦°Ô ¶¹ ¦ ¦ ¹ Urysohn f K≺f ≺V χK ≤ f ≤ χV µ1(K) = χK dµ1 ≤ f dµ1 = Λ(f ) = f dµ2 ≤ χV dµ2 = µ2(V ) < µ2(K)+ε, X X X X ¹ ¡ ℄º ¦¹ ¦ µ1(K) ≤ µ2(K) µ2(K) ≤ µ1(K) ˹ ¡ µ1 = µ2 ¨ Ô±¾ ¦¦×· ¦ 1◦ ¶ ¦ 2◦¡ ¦¬ µ1(K) = µ2(K) ´Ñ µ M¡ ÖÏ V ¦¾ ÏÈ¿ µ(V ) := sup{Λ(f )| f ≺ V }. (1) ×·¦° ¦ ¦× ¦ V1 ⊂ V2 f ≺ V1 f ≺ V2 Ý±Ô ³½Ï¡ ² E ⊂ X¦¾ ¦ ÔÖÏ µ(V1) ≤ µ(V2) µ ºÖÏ µ(E) = inf{µ(V )| E ⊂ V, V }, (2) ° E ºÖϦ±«º ¦¢ ¾ (2) ¾ (1) É ¡ ºÀ© X º ©Ï¾ ÏÈ¿ µ¡ ² MF º§ªÄ¾ Ï¥ºÏ«¨ ¦ ¦ E ∈ MF µ(E) < ∞ µ(E) = sup{µ(K), K ⊂ E, K Ï}. (3) 5 ¬Ë¦¥ M := {E ⊂ X| ÏK, E ∩ K ∈ MF }. ±¾¾ Ú×· µ Ô Ä¾Ï¥¨µ Ô ³½Ï¦ ° ¦× A ⊂ B µ(A) ≤ ª° ¦× ¦ ¦ µ(B) µ(E) = 0 E ∈ MF E∈M ¦ 5◦ ª¨ (2) ·¦ ¦ 3◦ ¡ Ä« ° ¬¾Þ ¦¡ 1¥µ  ¸ ¡° {Ei} º X ¦Ï¡¦× ◭ ¼Å ∞ ∞ µ( Ei) ≤ µ(Ei). i=1 i=1 ¬¨° V1, V2 ºÖÏ¦× µ(V1 ∪ V2) ≤ µ(V1) + µ(V2). (4) Ö ¦ g ≺ V1 ∪ V2 g Ϧ ¡ ³ supp g ⊂ V1 ∪ V2 ¾Þ¦° Ô ¶¹ ¦ h1, h2 h1 ≺ V1, h2 ≺ V2 ¦ ¡ x ∈ supp g h1(x) + h2(x) = 1 ¦ ¦ h1g ≺ V1, h2g ≺ V2 g|supp g = h1g + h2g Λ(g) = Λ(h1g) + Λ(h2g) ≤ µ(V1) + µ(V2), ±¾ ¦ g ≺ V1 ∪ V2 ² ¤× i≥1 µ(Ei) < ∞ ¦°ÔÖÏ ¶¹ (2) Vi ⊃ Ei ¦ ¦ (4) ¥¦ ¡ ¦ ¡² ¦ i µ(Ei) < ∞ ε > 0 µ(Vi) < µ(Ei) + ε 2i , i ≥ 1. ¥ ¦ Ö ¡ V = ∪i≥1Vi f ≺V f ¹ ¡ ¦ f ≺ V1 ∪ · · · ∪ Vn (4) Ϧ Ç ¾Þ¦°Ô n ∈ N ¶ ±· n n ∞ Λ(f ) ≤ µ( Vi) ≤ µ(Vi) ≤ µ(Ei) + ε. i=1 i=1 i=1 ¦ f ≺ V ¹ ∪i≥1Ei ⊂ V ∞ µ(V ) ≤ µ(Ei) + ε, i=1 ∞ ∞ µ( Ei) ≤ µ(V ) ≤ µ(Ei) + ε, i=1 i=1 6 ε º Ϧ¹ ¦ 1¥¡◮ 2¥Ã K Ï¿·¦Ò K ∈ MF ¦À µ(K) = inf{Λ(f )| K ≺ f }, ° ¼ 2◦ ¡ ² ¦ ¡¥ ¡ ◭ K ≺ f 0 < α < 1 Vα := {x| f(x) > α} ¦× ¦ ¡ g ≺ Vα supp g ⊂ Vα αg ≤ α < f ¦ ¡° f|K = 1 K ⊂ Vα µ(K) ≤ µ(Vα) = sup{Λ(g)| g ≺ Vα} ≤ α−1Λ(f ). ¥ α → 1¦¹ µ(K) ≤ Λ(f ). º ¡ §ª ·¦ ¡ µ(K) < ∞ K (3) K ∈ MF ² ¦°Ô ¦§ª ¡ ε > 0 V ⊃K µ(V ) < µ(K) + ε ¹ ¦ K ≺ f ≺ V U rysohn (5) Þ¦°Ô f ¶ Λ(f ) ≤ µ(V ) < µ(K) + ε, ¹ ¦ 2¥¡◮ 3¥ à · V Ý ¦Ò µ(V ) < ∞ V Ý ¦ (3) MF ÆµÉ ÂÇ ·¡ ² ¦ ¡ ◭ α ∈ R α < µ(V ) µ º¾ ¦°Ô f ≺ V ¶¹ α < Λ(f)¡² W º­ Ç f º Ï K º ÖÏ¦× f ≺ W ¦× Λ(f) ≤ µ(W)¡¨ · · ¦ (2) ÖÏ µ(K) = inf{µ(W )| K ⊂ W, W }, ¡ Λ(f ) ≤ µ(K) ºÀ©Ú· Ï ¶¹ ¦ K ⊂ V α < µ(K) ·¡◮ V §ª (3) 4¥ µ Ð MF   ¸¡ ² {Ei} º MF ¦ × É Ï¡¦ ¦ E := ∪i≥1Ei µ(E) = µ(Ei). i≥1 ¦° ¦× ¡ µ(E) < ∞ E ∈ MF ◭ ¼Å ¬° K1 º K2 É Ï¦× µ(K1 ∪ K2) = µ(K1) + µ(K2). ² ¦ Þ¦°Ô ¶¹ ¦ ε > 0 ¡ ¦ ¥¦°Ô ¶¹ 0 ≤ f ≤ 1 U rysohn 2 g f ∈ Cc(X) f |K1 = 1 f |K2 = 0 K1 ∪ K2 ≺ g, Λ(g) < µ(K1 ∪ K2) + ε. 7 ¦ ¦ ℄º¸Þ ¦ K1 ≺ f, K1 ≺ g K1 ≺ f g K2 ≺ (1 − f )g Λº ÈÏ (5) ·¹¦ µ(K1) + µ(K2) ≤ Λ(f g) + Λ(g − f g) = Λ(g) < µ(K1 ∪ K2) + ε, ε Ö¦ µ º Ù Ï ¹ ¦¡ ° µ(E) = ∞¦× 4¥¦ ¦ ¡Æ² µ(E) < ∞¡¥ ε > 0¦ ¦° Ei ∈ MF Ô Ï ¶¹ Hi ⊂ Ei µ(Hi) > µ(Ei) − ε 2i , i ∈ N. (6) ¥ ¦Æį¹· Kn := ∪ni=1Hi n n µ(E) ≥ µ(Kn) = µ(Hi) > µ(Ei) − ε, i=1 i=1 ¹ µ(E) ≥ Å µ(E) < ¦ ∞ i=1 µ(Ei ∞ ε> )¡ Ê ¦ 0¦×°Ô N 1¥¦±·» ∈ N ¶¹ É ¡ N µ(E) ≤ µ(Ei) + ε, i=1 Ê ·¹ ¦ §ª ·¦À ¡ (6) µ(E) ≤ µ(KN ) + 2ε E (3) E ∈ MF ◮ 5¥ ² E ∈ ¦ MF ε > 0¦×°Ô Ï K ÖÏ V ¶¹ K ⊂ E ⊂ V ¡ µ(V \ K) < ε ◭ ¾ ¦°Ô K ⊂ E ⊂ V ¶¹ V \ K ÖϦ µ(V ) − ε 2 ≤ µ(E) < µ(K ) + ε 2 . ¦ ¦ ¡ 3 V \ K ∈ MF ¦ 4¥¦ µ(K) + µ(V \ K) = µ(V ) < µ(K) + ε. ◮ ¥ ² ¦× ¡ 6 A, B ∈ MF A \ B, A ∪ B, A ∩ B ∈ MF ² ¦ ¦ ¥¦°Ô Ï ÖÏ ¶¹ ◭ ε > 0 5 Ki Vi K1 ⊂ A ⊂ V1, K2 ⊂ B ⊂ V2 ¡ µ(Vi \ Ki) < ε(i = 1, 2) A \ B ⊂ V1 \ K2 ⊂ (V1 \ K1) ∪ (K1 \ V2) ∪ (V2 \ K2), ¦1¹ µ(A \ B) ≤ ε + µ(K1 \ V2) + ε. º º K1 \ V2 A \ B ©Ï¦±· ¬ A \ B §ª (3) ·¦ ¡ A \ B ∈ MF 8 ¨ · ¦ A∪B = (A\B)∪B ¹ ¡ A ∩ B ∈ MF ◮ ¦ ¥¹ ¡ ¦ 4 A∪B ∈ MF A∩B = A\(A\B) 7¥ M º­Ç Borel Ϻ σ- ²¿¡ ² ◭ K ⊂ X Ï¡² A ∈ M¦× AC ∩ K = K \ (K \ AC ) = K \ (A ∩ K), º ¦ Ñ º ¦ ¥¦ ¦ AC ∩ K MF 6 AC ∩ K ∈ MF ¡ AC ∈ M ¥ ¦ ¦ ¡¥ ¦ A = ∪i≥1Ai Ai ∈ M B1 := A1 ∩ K A ∈ M ÓÇ Bn := (An ∩ K) \ (B1 ∪ · · · ∪ Bn−1), n = 2.3, · · · . × ¦ ¥ º ¦ 6 {Bn} MF ¦ ¡ K ∈ MF A∈M ºÏ¡¦ ¡ ¦ ¥¦ A ∩ K = ∪∞ i=1Bn 4 A∩ °C Ï¦× C ∩ K Ϧ ¦ ¦ C ∩ K ∈ MF C∈M ¡ X ∈ M º M º X ±º σ− ²¿¦ ­Ç X ¦ ©Ï¦ M ­Ç X ¦ Ï¡ Borel ◮ ¥ ¡ 8 MF = {E ∈ M| µ(E) < ∞} ² ¦ ◭ E ∈ MF ¦ 2¥ ¦ 6¥¦ ¡ E ∈ M Ï ¦ K E ∩ K ∈ MF ¦² E ∈ ¦ M µ(E) < ∞¦² ε > 0¡×°ÔÖÏ V ⊃ E ¶¹ µ(V ) < ∞¡ 3¥¦4¥¦°Ô Ï K ¶¹ µ(V \ K < ε¡ ¦°Ô E ∩ K ∈ MF Ï H ⊂ E ∩ K ¶¹ µ(E ∩ K) < µ(H) + ε. ¦ E = (E ∩ K) ∪ (E \ K) ⊂ (E ∩ K) ∪ (V \ K) µ(E) ≤ µ(E ∩ K) + µ(V \ K) < µ(H) + 2ε, ¹ ¡ E ∈ MF ◮ 9¥ µ º M ±º ¿¡ ◭ µ ºÙ¡Ù Ï ¦ 4¥ ¦ 8¥¹·¡◮ 10¥ ¦ ¡ f ∈ Cc(X) Λ(f ) = X f dµ ݺ¾Þº ¦ 1¦ À© ¾Þº ¬¡ 9 ◭ £ µÈ¿ f ¬¡¤ «¦À©£ »· Λ(f ) ≤ f dµ X ¹µ±¦° (7) · ¦ Λ ºÈϹ ¦Ä¾ f ∈ Cc(X) (7). −Λ(f ) = Λ(−f ) ≤ (−f )dµ = − f dµ, X X ¦ Ê (7)¦À©¹· ¦ 10¥¡ ² supp f = K¦² f º¡Ð­ÇÔ ¶¹ ¦ yi − yi−1 < ε ¦¡² ¦ Ö [a, b] ε>0 yi(0 ≤ i ≤ n) y0 = a < y1 < · · · < yn = b. ¥ Ei := {x| yi−1 < f (x) ≤ yi} ∩ K}, 1 ≤ i ≤ n. ¦À Ù ¦ Ï Ù ¦ f f Borel Ei Borel °Ô Vi ⊃ Ei ¶¹ ¡ K = ∪1≤i≤nEi µ(Vi ) < µ(Ei) + ε n , 1 ≤ i ≤ n, ¦ ¡ ³ x ∈ Vi f(x) < yi + ε ¾Þ¦°Ô hi ≺ Vi ¶¹Ô K ±¦ ¡ ¦ ¦ ¥¹ n i=1 hi = 1 f= n i=1 f hi 2 hif ≤ (yi + ε)hi n n µ(K) ≤ Λ( hi) = Λ(hi). i=1 i=1 Ô ± ¦À©¹· Ei yi − ε(< yi−1 <) < f(x) n n Λ(f ) = Λ(hif ) ≤ (yi + ε)Λ(hi) i=1 i=1 ≤ n (|a| + yi + ε)[µ(Ei) + ε n ] − |a|µ(K ) i=1 = n (yi − ε)µ(Ei) + 2εµ(K) + ε n n (|a| + yi + ε) i=1 i=1 ≤ f dµ + ε[2µ(K) + |a| + b + ε]. X ε ¦(7) · ¡◮ 10 §3.2 Borel ×Ò ± ¾Þº ¾¡ ¤1 Borel ¦ ×Ò¦Í×Ò¥ 1◦ ² X Ó º X ±º sigma− ²¿ M ±º ¿¦ Å M ­Ç X ± ¿ ¡ Borel Ï 2◦ Borel E Í×Ò¦° Û ¦ Hausdorff µ Borel Ï¦× µ ÖÏ µ(E) = inf{µ(V )| E ⊂ V, V }; ×Ò¦° µ(E) = sup{µ(K)| K ⊂ E, V Ï}; ×Ò¦° E ´ ß× ßס ¿ 3◦ Borel µ ßצ° ÏÕ Borel ßס«Û ℄º ·¦ ¾ µ º ß× ßס 1 ² X ºÓ ¾¦× º Û ¡° ¾Þ σ- Hausdorf f M µ §3.1 1 1◦ ² E ∈ M¦ε > 0¦×°Ô Ï F ÖÏ V ¶¹ F ⊂ E ⊂ V ¦ ¡ µ(V \ F ) < ε 2◦ µ º X ±ºß× Borel ¿¡ 3◦ ² E ∈ M¦×°Ô Fσ- ÍÏ ¦A Gδ- ÍÏ B ¶¹ A ⊂ E ⊂ B¦ ¡ µ(B \ A) = 0 ² ¦ ¦ Ϧ ¦ ◭ 1◦ X = ∪n≥1Kn Kn X E∈M ¡ Kn) < ∞ §3.1 ¾Þ 1¦°ÔÖÏ Vn ⊃ E ∩ Kn ¶¹ ¦ E ∩ Kn ∈ M µ(E ∩ µ(Vn \ E ∩ Kn) < ε 2n+1 . ² ¦× ¦ V = ∪n≥1Vn V \ E ⊂ ∪n≥1(Vn \ E ∩ Kn) µ(V \ E) < ε 2 . ² EC E¦×°ÔÖÏ W ⊃ EC ¶¹ µ(W \ EC) < ε/2¡¥ F := W c¦× ¦ F ⊂ E E \ F = W \ EC µ(V \ F ) = µ(V \ E) + µ(E \ F ) = µ(V \ E) + µ(W \ Ec) < ε. ¹· ¦ 1◦¡ 11 ² 2◦ F ¦ 2◦¡ Ï¦× ¦ Ï¡ ¦ ¹ F = ∪n≥1F ∩ Kn F σ- 1◦ 3◦ ¦ ε = 1/n ¦ 1◦¦°Ô Ï Fn¦ÖÏ Vn ¶¹ Fn ⊂ E ⊂ Vn §ª ¡¥ ¦× ¦ º Í µ(Vn \ Fn) < ε/n A := ∪n≥1Fn, B := ∩n≥1Vn A ⊂ E ⊂ B A Fσ- ϦB º Gδ- ÍÏ¡ ¦ ¦¹ ¡ n B \ A ⊂ Vn \ Fn µ(B \ A) = 0 ◮ 2 ²X Ó Û ¦ ¦ Hausdorff X ÖÏ σ- Ï¡² λ X ±ºß Borel ¿¦ Ô Ï±º ¿ Ç¦× λ ßס ◭ Λº Cc (X ) ¦¥ f ∈ Cc(X) Λ(f) ±ºßÈÏ È¦ := °XÔf dßλ¡× Ï K¦ ² ¦ λ(K) < ∞ ¿ µ §ª §3.1 ¾Þ 1 º ¦¶ ¹ ¦ f ∈ Cc(X) f dλ = f dµ. Ä« ¬ λ = µ¡ X X ² ¦ÖÏ¦× ¦ ¦ Ï¡ V X V = ∪i≥1Ki Ki U rysohn Ô ¶¹ ¡¥ ¦× ¦ fi Ki ≺ V (i ≥ 1) gn := max{g1, · · · , gn} gn ∈ Cc(X) ¦ ¡ x ∈ X gn(x) ↑ χV (x), n → ∞ (1) ³½» ¾Þ¹ (1) Þ¦° λ(V ) = lim n→∞ X gngλ = lim n→∞ gndµ = µ(V ). (2) ² E ¦ Ϧ ¡ X Borel ε > 0 µ §ª¾Þ 1¦°Ô Ï F ÖÏ V ¶¹ ¦ ¦ ¹ ¡¨ · ºÖϦ E ⊂ E ⊂ V µ(V \ F) < ε µ(V ) ≤ µ(F ) + ε V \F ¹ ¦ ¡ (2) µ(V \ F ) < ε λ(V ) ≤ λ(E) + ε λ(E) ≤ λ(V ) = µ(V ) ≤ µ(E) + ε, µ(E) ≤ µ(V ) = λ(V ) ≤ λ(E) + ε, ¦ ¦¬Ë¹ ¡ ε > 0 |λ(E) − µ(E)| < ε λ(E) = µ(E) ◮ Ü 1 Rn §ª¾Þ 2 ¦ ¦ Rn ¦ÖÏÙ ¸ Ù¡ º¡  §3.3 C0(X) ¾℄ ±¶ ŧ Riesz Å 1 ² X Ó H- Û ¡X ±º È¿ f : X → C Ð Á Ħ° ε > 0¦°Ô Ï K ⊂ X ¶¹ ¦ ¡ x ∈ K |f(x)| < ε X ±ÔÁ Ò Ê³º È¿ ¡ C0 (X ) Ü 1 1¥ ±¾¾ Ú×· ¦° Cc(X) ⊂ C0(X) X Ï¦× ÜÉ ¡ 12 2¥² f ∈ C0(X)¦¾ × º ±º ||f|| C0(X) º º Cc(X) ÆÌ¡ ||f || := sup |f (x)|, x∈X ¿¡À© ×·Ô ¿Ä¦Cc(X) Ʀ C0(X) 1 ² X Ó H- Û ¦× º º C0(X) Cc(X) ÆÌ¡ ◭ À© ¬ Ô ¦ ª¦ Cc(X) C0(X) C0(X) Æ¡ ² ¦×°Ô Ï ¶¹Ô ¦ ¡ 1◦ f ∈ C0(X) K K |f (x)| < ε U rysohn Þ¦°Ô ¶¹ ¦ ¡¥ ¦× ¦ g ∈ Cc(X) 0 ≤ g ≤ 1 g|K = 1 h = fg h ∈ Cc(X) ¦ ° ¦× ¦Ô ¦× ¦ f − h = f(1 − g) x ∈ K f−h = 0 K |f − h| < ε ¦ ¦ Ô ¦ ª¡ supx∈X |f − h| < ε ||f − h|| < ε Cc(X) C0(X) ² 2◦ {fn} C0(X) ¦Ø ¡¦ Ô ± {fn} X ¤» ¦ ¼ ÎÇ fÔX± ¦Ä« ¬ ¡² ¦°Ô ¶¹ ¦ ° f ∈ C0(X) ε > 0 n ||f − fn|| < ε/2 Ô Ï K ¶¹Ô K ¦ ¦ |fn(x)| < ε/2 Ô K ¦ |f (x)| ≤ |f (x) − fn(x)| + |fn(x)| < ε, ¡ f ∈ C0(X) ◮ ¤ Ö 2 T ietze ¥ ² K ºÓ H− Û X ¦ Ϧf ∈ C(K)¡× °Ô ¶¹ ¦ ¡ F ∈ Cc(X) F |K = f ||F ||X = ||f ||K ◭ ² ¦ ¦ |f| ≤ 1 K ⊂ W ¦ W ºÔ ­ºÖÏ¡¥ × K+ ¶¹ K+ = {x ∈ K| f (x) ≥ 1 3 }, K− = {x ∈ K| f (x) ≤ − 1 3 }, K− º K ¦ É º ©Ï¡ Uryshon Þ¦°Ô f1 ∈ Cc(X) ¦ ¦ ¦ ¡ x ∈ X − 1 3 ≤ f1 ≤ 1 3 supp f1 ⊂ W f1|K+ = 1 3 , f1|K− = − 1 3 ² f − f1 |f − f1||K ≤ 2 3 , |f1||X ≤ 1 3 . f ¦℄ ±¾ Õ¦°Ô ¦ ¶¹ f2 ∈ Cc(X) supp f2 ⊂ W |f − f1 − f2||K ≤ ( 2 )2, 3 |f2||X ≤ 1 3 · 2 3 . į Õ¦À©¹· fn ∈ Cc(X)¦§ª supp ¦ fn ⊂ W |f − f1 − f2 − ··· − fn||K ≤ ( 2 3 )n , |fn||X ≤ 1 3 · ( 2 3 )n−1 . 13 ¥ ¦× F = ∞ n=1 fn ¡ supp F ⊂ W ◮ ¿Ô K ±» ·f¦ ÔX ± ¤» ¦ F ¦ 3 ² X Ó H- Û ¦× ¤ ±º È Φ ∈ (C0(X))∗ C0(X) Ï È¥¦°Ô º ß× Borel ¿ µ ¶¹ ¦ f ∈ C0(X) Φ(f ) = f dµ, X ||Φ|| = |µ|(X). ¬ ¢ ¾Þ £¡ Rudin, ”Real and Complex Analysis”, p.-130 6.19 Ü 1 ¾Þ 2 º ½ Î C(X)¤µ X ¢ £ ­ ¾Þ ¡ Royden p355- 24 p-357 25 Û Hausdotff ´¥ º ¬ §3.4 ¯Ô ʺ ¢ £ à ¡ Rudin, ”Real and Complex Analysis” p.57-60. 3-15 14 Lebesgue Density Theorem Arranged by Chen Huan November 15, 2009 Contents 1 Lebesgue density theorem 1 2 The Lebesgue differentiation theorem 4 2.1 Some preparations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.1.1 Regular Borel measure and Radon measure . . . . . . . . 4 2.1.2 The Besicovitch measure-theoretical covering theorem . . 4 2.1.3 The Radon-Nikodym theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.1.4 The Lebesgue decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Differentiating Radon measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3 Existence and measurability of Dµν . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.4 Representing Dµν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4.1 Representing Dµν for ν ≪ µ . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4.2 Representing Dµν for ν⊥µ . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.5 The Lebesgue differentiation theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.5.1 Points of density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.5.2 Lebesgue points of an integrable function . . . . . . . . . 13 3 Reference 13 1 Lebesgue density theorem Definition 1 A measurable set E ⊂ R is said to have density d at x if the exists and is equal to d . m(E ∩ [x − h, x + h]) lim h→0 2h Let us denote the set of points of R at which E has density 1 by Φ(E),Φ is called the Lebesgue lower density. The symmetric difference of two sets A and B is the set of points that belong to one but ont to both of the sets. It is denoted by A∆B.Thus A∆B = (A − B) ∪ (B − A). 1 Theorem 1 (Lebesgue Density Theorem) For any measurable set E ⊂ R, m(E∆Φ(E)) = 0. ∪∞ Proof :Let En = E ∩ (−n, n) , then E = En.Because En ∩ [x − h, x + h] ⊂ n=1 E ∩ [x − h, x + h],therefore ∀x ∈ Φ(En), x ∈ Φ(E) i.e. ∪∞ Φ(En) ⊂ Φ(E) n=1 On the contrary, ∀x ∈ Φ(E), ∃n ∈ N, so that x ∈ (−n, n) 1 1 lim 1>h→0 2h m(E ∩ [x − h, x + h]) = lim 1>h→0 2h m(En+1 ∩ [x − h, x + h]) = 1 So x ∈ Φ(En+1). Therefore,Φ(E) ⊂ ∪∞ n=1 Φ(En+1), so Φ(E) = ∪∞ n=1 En Thus we have ∑ ∞ m∗(Φ(E)∆E) ≤ m∗(Φ(En)∆En) n=1 So it is sufficient to prove the situation when E is bounded.And without loss of generality, we may assume that E ⊂ (−1, 1). Now we need only to prove 1. m∗(Φ(E) − E) = 0 2. m∗(E − Φ(E)) = 0 (1)For ∀x ∈ Φ(E),that is 1 lim m(E ∩ [x − h, x + h]) = 1 h→0 2h For given ϵ ∈ (0, 1), ∀x, there exists h(x), such that for all 0 < h < h(x), we have m(E ∩ [x − h, x + h]) > 2hϵ = ϵm([x − h, x + h]) Consider the set G = {[x − h, x + h] : x ∈ Φ(E), 0 < h < h(x)} ,which is a Vitali covering of Φ(E).Thus there exists a finite number of closed intervals which satisfy Ii ∩ Ij = ∅(i ̸= j) ∪N m∗(Φ(E) − Ii) < 1 − ϵ; i=1 Therefore m∗(Φ(E) − E) ≤ m∗(Φ(E) − ∪N ∪N Ii) + m( Ii − E) ≤ m∗(Φ(E) − i=1 i=1 ∪N ∑N ∑N Ii) + m(Ii − E) ≤ 1 − ϵ + (1 − ϵ) m(Ii) ≤ 3(1 − ϵ).So let ϵ → 0, i=1 i=1 i=1 m∗(Φ(E) − E) = 0; (2)Let An = {x ∈ E : lim inf h→0 1 2h m(E ∩ [x − h, x + h]) < 1 − 1 n }. Then it is obvious 2 that E − Φ(E) = ∪∞ An and m∗(E − Φ(E)) = m∗( ∪∞ An) ≤ ∑∞ m∗(An); i=2 We only need to prove that m∗(An) = 0 i=2 i=2 Take A2 for example,for all ϵ > 0, there exist open intervals {Jm} which satisfy ∪∞ ∑ ∞ Ji ⊃ A2; m∗(A2) ≤ m(Jm) < m∗(A2) + ϵ; i=1 i=1 For all x ∈ A2,there exists {hx,m}∞ m=1,such that lim m→∞ hx,m = 0, m∗(A2 ∩ [x − hx,m, x + hx,m]) ≤ m(E ∩ [x − hx,m, x + hx,m]) < 1 2 m([x − hx,m, x + hx,m). Consider the set G = {[x−hx,m, x+hx,m] : x ∈ A2 and ∃Jl, [x−hx,m, x+hx,m] ⊂ Jl}, which is a Vitali covering of A2. Thus there exist a finite number of intervals which are mutually exclusive, and satisfy ∪N m∗(A2 − Ik) < ϵ k=1 Thus m∗(A2) ≤ m∗(A2 − ∪N Ik) + m∗( ∪N (Ik ∩ A2)) ≤ ϵ + ∑N m(Ik ∩ A2) ≤ k=1 k=1 k=1 ϵ + 1 2 ∑N m(Ik ) ≤ ϵ + 1 2 ∑∞ m(Jm) ≤ ϵ + 1 2 (m∗ (A2 ) + ϵ) k=1 m=1 Let ϵ → 0 m∗(A2) ≤ 1 2 m∗(A2 ) ∴ m∗(A2) = 0 and m∗(E − Φ(E)) = 0. Combine the conclusions above m∗(E∆Φ(E)) = 0 Another proof :As is stated above,we only need to prove the theorem when E is contained in a closed interval I. Suppose E ∈ [−1, 1] Define the density function of E ∫x dE(x) = χE(t)dt −1 d′E(x) = χE(x) a.e Thus d′E(x) = 1 a.e inE d′E(x) = 0 a.e inEc So the theorem is proved. 3 2 The Lebesgue differentiation theorem 2.1 Some preparations 2.1.1 Regular Borel measure and Radon measure Definition 2 A Borel measure µ in RN is regular if for every Borel set E, µ(E) = inf{µ(O), where O is open and E ⊂ O}. The Lebesgue measure in RN is regular, whereas the counting measure in RN is not regular. Definition 3 A Radon measure in RN is a Borel measure that is finite on compact subsets of RN . From the definition, Radon measure is regular. Let µ be a Radon measure in RN , and for every set E ⊂ RN ,set µe(E) = inf{µ(O), where O is open and E ⊂ O}. This is an outer measure that coincides with µ on the Borel sets. 2.1.2 The Besicovitch measure-theoretical covering theorem Let F denote a family of nontrivial closed balls in RN . We say that F is a fine Besicovitch covering for a set E ⊂ RN if for every x ∈ E and every ϵ > 0, there exists a ball Bρ(x) ∈ F centered at x and of radius ρ < ϵ. A fine Besicovitch covering of a set E ⊂ RN defers from a fine Vitali covering in that each x ∈ E is required to be the center of a ball of arbitrarily small radius. The next measure-theoretical covering, called the Besicovitch covering theorem, holds for any Radon measure µ and its associated outer measure µe. The set E to be covered in a measure-theoretical sense is not required to be µ-measurable. Theorem 2 (Besicovitch) Let E be a bounded set in RN and let F be a fine Besicovitch covering for E. Let µ be a Radon measure in RN and let µe be the outer measure associated with it. There exists a countable collection {Bn} of disjoint balls Bn ∈ F such that µe(E − ∪Bn) = 0. Remark 1 It is not claimed here that E ⊂ Bn. The collection {Bn} forms a measure-theoretical covering of E in the sense above. 2.1.3 The Radon-Nikodym theorem Let µ, ν be two measures defined in the same σ-algebra A.The measure ν is absolutely continuous with respect to µ if µ(E) = 0 implies ν(E) = 0. 4 Let {X, A, µ} be a measure space and let f : X −→ R∗ be measurable and nonnegative.The set function ∫ A ∋ E −→ ν(E) = f dν E is a measure defined on A and absolutely with respect to µ. Theorem 3 (Radon-Nikodym) Let {X, A, µ} and {X, A, ν} be two σ-finite measure spaces on the same σ-algebra A,and let ν be absolutely continuous with respect to µ.There exists a nonnegative µ-measurable function f : X −→ R∗ such that ν has the representation ∫ A ∋ E −→ ν(E) = f dν E Such a f is unique up to a set of µ-measure zero. Remark 2 The function f that appears in representation is called the RadonNikodym derivative of ν with respect to µ since formally dν = f dµ. 2.1.4 The Lebesgue decomposition Two signed measures µ and ν on the same space {X, A} are mutually singular, and we write ν⊥µ if the measures |µ| and |ν| are mutually singular. The signed measures ν is absolutely continuous with respect to µ, and we write ν ≪ µ if |ν(E)| = 0 whenever |µ|(E) = 0. Theorem 4 (Lebesgue) Let {X, A, µ} be a σ-finite measure space for a signed measure µ, and let ν be a σ-finite signed measure defined on A. There exists a unique pair (ν0, ν1) of σ-finite, signed measures defined on the same σ-algebra A such that ν = ν0 + ν1 and ν0⊥µ, ν1 ≪ µ. 2.1.5 Notes The proofs of the above theorems can be found in the previous materials, so we just omit them here. 2.2 Differentiating Radon measures Let f be a nonnegative, Lebesgue-measurable, real-valued function defined in RN and integrable on compact subsets of RN , and let µ denote the Lebesgue measure in RN .The notion of differentiating the integral of f at some point x ∈ RN is replaced by ∫ 1 lim f dµ = lim ν(Bρ(x)) , dν = f dµ, ρ→0 µ(Bρ(x)) Bρ(x) ρ→0 µ(Bρ(x)) 5 where Bρ(x) denotes the closed ball in RN centered at x and radius ρ and provided the limit exists. More generally, given any two Radon measures µ and ν in RN , set Dµ+ ν (x) = lim sup ρ→0 ν(Bρ(x)) , µ(Bρ(x)) Dµ−ν(x) = lim inf ρ→0 ν(Bρ(x)) , µ(Bρ(x)) provided µ(Bρ(x)) > 0 for all ρ > 0,and Dµ+ν(x) = Dν−ν(x) = ∞ if µ(Bρ(x)) = 0 for some ρ > 0. Proposition 1 Let µ and ν be two Radon measures in RN , and let µe and νe be their associated outer measures. For every t > 0 and every set E ⊂ {x ∈ RN |Dµ+ν(x) ≥ t}, (1) it holds that 1 µe(E) ≤ t νe(E) (2) Analogously, for every t > 0 and every set E ⊂ {x ∈ RN |Dµ−ν(x) ≤ t}, (3) it holds that 1 µe(E) ≥ t νe(E) (4) Proof : Fix t > 0. In proving the first inequality, assume first that the set E satisfying (1) is bounded. Such a set being fixed, let O be an open set that contains E. Having fixed ϵ ∈ (0, t), by the definition of Dµ+ν(x), for every x ∈ E, there exists a ball Bρ(x) centered at x and of arbitrarily small radius ρ such that (t − ϵ)µ(Bρ(x)) < ν(Bρ(x)) (5) Set F = { collection of balls Bρ(x) for x ∈ E satisfying (5) and contained in O}. Since O is open and ρ is arbitrarily small, such a collection is not empty and forms a fine Besicovitch covering for E. By the Besicovitch measure-theoretical covering theorem, there exists a countable collection {B(xn)} of disjoint, closed balls in F such that µe(E − ∪Bn) = 0 6 From this and (5) ∑ 1∑ 1 µe(E) ≤ µ(Bn) ≤ t − ϵ ν(Bn) ≤ t − ϵ ν(O). Since ν is regular, there exists a set Eδ of the type Gδ and containing E such that νe(E) = ν(Eδ). Therefore, νe(E) = ν(Eδ) = inf{ν(O), where O is open and contains Eδ}. Thus, 1 µe(E) ≤ t − ϵ νe(E) f orallϵ ∈ (0, t). This proves (2) if E us bounded. If not, construct a countable collection {En} of bounded sets such that En ⊂ En+1 whose union is E. Then apply (2) to each of the En to obtain 1 µe(En) ≤ t νe(E) for all n ∈ N. (6) For each n, let En,δ be a set of the type Gδ such that En ⊂ En,δ and µe(En) = µ(En,δ). By construction E ⊂ lim inf En,δ. Therefore, µe(E) ≤ µe(lim inf En,δ) ≤ lim inf µ(En,δ) = lim inf µe(En). Letting n → 0 in (6) proves (2), for any set E satisfying (1). The statement of (3)-(4) is proved similarly. 2.3 Existence and measurability of Dµν The next Proposition asserts that ν is differentiable with respect to µ for µalmost all x ∈ RN . Equivalently Dµν(x) exists µ-a.e in RN . Proposition 2 There exists a Borel set ϵ ⊂ RN such that µ(ϵ) = 0 and Dµν = Dµ±ν in RN − ϵ. Moreover,Dµ± is finite in RN − ϵ. Proof :Assume first that both µ and ν are finite and set ϵ±∞ = {x|Dµ± = ∞}. By(2), Since µe({x|Dµ± > t}) ≤ 1 ν(RN ) t for all t > 0. ϵ−∞ ⊂ ϵ+∞ ⊂ {x|Dµ+ > t} for all t > 0. 7 letting t → ∞ implies µe(ϵ) = 0. Therefore, there exists Borel set ϵ±∞,δ of the type Gδ such that ϵ±∞ ⊂ ϵ±∞,δ and µe(ϵ±∞) = µ(ϵ±∞,δ) = 0 Next,for positive rational numbers α < β,set ϵα,β = {x ∈ RN − (ϵ+∞,δ ∪ ϵ−∞,δ)|Dµ−ν(x) < α < β < Dµ+ν(x)}. By (2) and (4), βµe(ϵα,β) ≤ νe(ϵα,β) ≤ αµe(ϵα,β). Therefore, µe(ϵα,β) = 0. Form this, µe({x|Dµ−ν < Dµ+ν}) ∪ = νe( ϵα,β ) 0<α<∑β α,β,rationals ≤ µe(ϵα,β ) 0<α<β,α,β,rationals = 0. There exists a Borel set {x|Dµ−(ν) < Dµ+ν}δ of the type Gδ and containing {x|Dµ−ν < Dµ+ν} such that µe({x|Dµ−ν < Dµ+ν}) = µ({x|Dµ−ν < Dµ+ν}δ) = 0. Setting ϵ = ϵ+∞,δ ∪ ϵ−∞,δ ∪ {x|Dµ−ν < Dµ+ν}δ proves the proposition if µ and ν are finite. For the general case, one first proves the proposition for the restrictions µn and νn of µ and ν to the ball Bn centered at the origin and radius n and then lets n → ∞. Henceforth, we regard Dµν as defined in the whole RN by setting it to be zero on the Borel set ϵ climed by the proposition. Set ν (Bρ (x)) fρ(x) = { µ(Bρ (x)) 0 for x ∈ RN − ϵ for x ∈ ϵ. (7) The limit as ρ → 0 exists everywhere in RN and equals Dµν. Taking such a limit along a countable collection {ρn} → 0, Dµν = lim fρn for all x ∈ RN . (8) Proposition 3 For all t ∈ RN , the sets {x|Dµν ≥ t} are Borel sets. In particular, Dµν is Borel measurable. The proof hinges on the following theorem. Lemma 1 For all ρ > 0, the two functions x −→ µ(Bρ(x)) and x −→ ν(Bρ(x)) are upper semicontinuous1. 1A map f from a topological space {X, U } into RN is upper semicontinuous if {x|f > t} is open for all t ∈ R. 8 Proof :The statement for x −→ µ(Bρ(x)) reduces to lim sup µ(Bρ(y)) ≤ µ(Bρ(x)) f or all x ∈ RN . y→x Let xn be a sequence of points in RN converging to x. Since the balls Bρ(xn) are closed, lim sup χBρ(xn) ≤ χBρ(x) pointwise in RN . Equivalently, lim inf(1 − χBρ(xn)) ≥ (1 − χBρ(xn)) pointwise in RN . By Fatou’s lemma, ∫ µ(B2ρ(x)) − µ(Bρ(x)) = ∫B2ρ (1 − χBρ(x))dµ ≤ B2ρ lim∫ inf(1 − χBρ(xn))dµ ≤ lim inf B2ρ (1 − χBρ(xn))dµ = lim inf(µ(B2ρ(x)) − µ(Bρ(xn))) = µ(B2ρ(x)) − lim sup µ(Bρ(xn)). The statement for x → ν(Bρ(x)) is proved analogously. Proof of Proposition 3: If t ≤ 0, then {x|Dµν ≥ t} = RN .Therefore, it suffices to consider t > 0. From (7)-(8), Dµν = inf ϕn, where ϕn = sup fρj . j≥n ∩ {x|Dµν ≥ t} = {x|ϕn ≥ t}. n ∩ 1 ∩∪ 1 {x|ϕn ≥ t} = {x|ϕn > t − } k = {x|fρj > t − }. k k k j≥n Thus it is suffices to show that the sets {x|fρ > τ } are Borel sets for all ρ, τ > 0. From (7), {x|fρ > τ } = {x ∈ RN |ν(Bρ(x)) > τ µ(Bρ(x))} − ϵ. Since ϵ is a Borel set, it suffices to show that {x|ν(Bρ(x)) > τ µ(Bρ)} is a Borel set. Let {qn} denote the rational numbers. For a fixed τ > 0, ∪ ∩ {x|ν(Bρ) > τ µ(Bρ)} = {x|ν(Bρ) ≥ qn} {x|τ µ(Bρ) < qn}. n Since the two functions x −→ µ(Bρ(x)), ν(Bρ(x)) are upper semicontinuous, the sets {x|τ µ(Bρ) < qn} are open and the sets {x|ν(Bρ) ≥ qn} are closed for all qn ∈ {qn}. 9 2.4 Representing Dµν In presenting Dµν, assume that the two Radon measure µ and ν are defined on the same σ-algebra A. The measurable function Dµν can be identified by considering the separately the case when ν is absolutely continuous or singular with respect to µ. For general Radon measure, Dµν is identified by combining these two cases and applying the Lebesgue decomposition theorem of ν into two measures ν0 and ν1, where the first is absolutely continuous and the second is singular with respect to µ. 2.4.1 Representing Dµν for ν ≪ µ Lemma 2 Assume that ν is absolutely continuous with respect to µ. Then ν({x|Dµν = 0}) = 0. Proof :Let ϵ be the Borel set claimed by Proposition 2. and appearing in (7). Then for all t > 0, {x|Dµν = 0} ⊂ ϵ ∪ {x|Dµ−ν < t}. From this and (4), since ν ≪ µ, ν({x|Dµν = 0}) ≤ ν({Dµ−ν < t}) ≤ tµ({x|Dµν ≤ t}). If µ is finite, the conclusion follows by letting t → 0. In general, first restrict µ and ν to a ball Bn centered at the origin and radius n and then let n → ∞. It follows form Lemma 2 that ∫ ν({x|Dµν = 0}) = Dµνdµ = 0. {x|Dµ ν =0} The next proposition asserts that such a formula actually holds with the set {x|Dµν = 0} replaced by any µ-measurable set E. Proposition 4 Assume that ν is absolutely continuous with respect to µ. Then for every µ-measurable set E, ∫ ν(E) = Dµνdν. (9) E Proof :Let E ⊂ RN be µ-measurable, and for t > 1 and n ∈ Z, set En = {x ∈ E − {x|Dµν = 0}|tn ≤ Dµν < tn+1}. By construction, ∪ E − En ⊂ {x|Dµν = 0}. n∈Z 10 Therefore, ∪ ν(E − En) = 0. n∈Z From this and (4), ν(E) = ∑ ν(En) ≤ ∑ tn+1µ(En) = n∈∑Z t n∫∈Z n∈Z tnµ(En) ≤ t ∑ n∈Z ∫ En Dµνdµ = t E Dµνdµ Similarly,using (2), ν(E) = ∑ ν(En) ≥ ∑ tnµ(En) ≥ n1∈∑ Z t n∈Z tn+1µ(En) ≥ n∫∈Z 1 t ∑∫ n∈Z En Dµνdµ = 1 t E Dµνdµ From this, ∫ ∫ 1 t Dµνdµ ≤ ν(E) ≤ t E Dµνdµ E for all t > 0. Letting t → 0 proves (9). 2.4.2 Representing Dµν for ν⊥µ Continue to assume that µ and ν are two Radon measures in RN defined on the same σ-algebra A. Proposition 5 Assume that ν is singular with respect to µ. There exists a Borel set ϵ⊥ of µ-measure zero such that Dµν(x) = 0 for all x ∈ RN − ϵ⊥ Proof :Since µ and ν are singular, RN can be partitioned into two disjoint sets RNµ and RNν such that for every E ⊂ A, µ(E ∩ RNν ) = 0 and ν(E ∩ RNµ ) = 0. Let {tn} be the sequence of the positive rational numbers, and set En = {x|Dµν > tn} and E = {x|Dµν > 0} = ∪En. The sets En are Borel sets and En ∩ RNµ ⊂ {x ∈ RN |Dµν(x) > tn} Therefore, by (2) of Proposition 1, µ(En) = µ(En ∩ RNµ ) ≤ 1 tn ν(En ∩ RNµ ). ∑ From this,µ(E) ≤ µ(En) = 0. 11 2.5 The Lebesgue differentiation theorem Let µ be a Radon measure in RN defined on a σ-algebra A. A function f : RN → R∗ measurable with respect to µ is said to be locally µ-integrable in RN if ∫ |f |dµ < ∞ for every bounded set E ∈ A. E If f is nonnegative, the formula ∫ A ∋ E −→ ν(E) = f dµ E defines a Radon measure ν in RN , absolutely continuous with respect to µ, whose Radon-Nikodym derivative with respect to µ is f . Moreover, such an f is unique, up to a set of µ-measure zero. Therefore, by Proposition 4, dν Dµν = dµ = f µ − a.ein RN Now let f be locally µ-integrable in RN and of variable sign. Writing f = f + − f − and apply the same reasoning separately to f ±, an N -dimensional version of the Lebesgue differentiation theorem of the general Radon measures is proved. Theorem 5 (Lebesgue) Let µ be a Radon measure in RN and let f : RN → R∗ be locally µ-integrable. Then ∫ 1 lim f dµ = f (x) for µ − a.e.x ∈ RN (10) ρ→0 µ(Bρ(x)) Bρ(x) If µ is the Lebesgue measure in R and f is locally Lebesgue integrable, the limit in (10), takes the form 1 ∫ x+h lim f (y)dy = f (x) h→0 2h x−h for a.e.x ∈ R. In this sense,(10) can be regarded as an N -dimensional notion of taking the derivatives of an integral at a fixed point x ∈ RN . 2.5.1 Points of density Let E ⊂ RN be µ-measurable. Applying (10) with f = χE gives lim ρ→0 µ(E ∩ Bρ(x)) µ(Bρ(x)) = χE (x), µ − a.e in E. A point x ∈ E for with such a limit is 1 is a point of density of E. 12 2.5.2 Lebesgue points of an integrable function Let µ be a Radon measure in RN and let f be locally µ-integrable. The points x ∈ RN where (10) holds form a set called the set of differentiability of f . A point x is a Lebesgue point for f if ∫ 1 lim |f (y) − f (x)|dµ = 0. (11) ρ→0 µ(Bρ(x)) Bρ(x) A Lebesgue point is a differentiability point for f . The converse is false. Theorem 6 Let µ be a Radon measure in RN , and let f be locally µ-integrable. There exists a µ-measurable set ϵ ⊂ RN of µ-measure zero such that (11) holds for all x ∈ RN − ϵ. Proof :Let rn be a rational numbers. The function |f −rn| is locally µ-integrable. Therefore, there exists a Borel set ϵnRN of µ-measure zero such that ∫ 1 lim ρ→0 µ(Bρ(x)) |f − rn|dµ = |f (x) − rn|. Bρ (x) Since f is locally µ-integrable in RN , there exists a µ-integrable set ϵ0 ⊂ RN of µ-measurable zero such that f (x) is finite for all x ∈ RN − ϵ0. The set ∪∞ ϵ = ϵn n=0 is µ-measurable zero, and for all x ∈ RN − ϵ, ∫ lim ρ→0 1 µ(Bρ (x)) B∫ρ(x) |f − f (x)|dµ ∫ ≤ lim ρ→0 1 µ(Bρ (x)) Bρ (x) |f − rn|dµ + lim ρ→0 1 µ(Bρ (x)) Bρ(x) |rn − f (x)|dµ ≤ 2|f (x) − rn| for all rational numbers {rn}. Since f (x) is finite, there exists a sequence of rational numbers {rn′ } converging to f (x). Thus (11) holds for all x ∈ RN − ϵ. Corollary 1 Let µ be a Radon measure in RN , and let f be locally µ-integrable. Almost every point x ∈ RN is a Lebesgue point for f . 3 Reference References [1] Emmanuele DiBenedetto: Real Analysis, Higher Education Press, Beijing, 2007 [2] John C. Oxtoby: Measure and Category A survey of the Analogies between Topological and Measure Spaces,second edition, Springer-Verlag, New York Heidelberg Berlin, World Publishing Corporation, Beijing, China 13 ¡¢£¤¥ 2a3&4¦'5§6¨b7©c89¦d§e()G0H@AfBgCSDEF!GH"IP#Q¦R§S$T%U&D'VW(X)Y0`1§ hi §§§§§111.11...123p34qrs€¨v©w‚txƒy„Fu §2 §2. §2. §2. p 1 2 3 q`•f…§–†E‡Fˆ—‰x’y“‘’”deGH p7'qfrXSDYghs€#tit§1tI˜¦u™jvFSdue0kUlmI890n7&'o pq…wxyˆz{ §1.1 | }§0 ~ 6 ¨©S X,Y fXY lm A S 1◦ f (∪αAα) = ∪αf (Aα) S 2◦ f −1(∪αBα) = ∪αf −1(Bα) S 3◦ f −1(∩αBα) = ∩αf −1(Bα) S 4◦ f −1(BC ) = [f −1(B)]C lm€‚g~ƒ‚„ B S 1◦ f (∩Aα) ⊂ ∩f (Aα) S 2◦ f (f −1(B)) ⊂ B S 3◦ f −1(f (A)) ⊃ A … ~†©0‡ S C f f (f −1(B)) = B 1 … ~ˆ©0‡ S f f −1(f (A)) = A, f (∩αAα) = ∩αf (Aα) pqˆ‰Š†‡ §1.2 ‹Œ 1 | ~¦$0  g0 ~ vwxy Žx X AX χA(x) A ( y 0lm€Fu„ ) ‘ 1) A = X ⇔ χA(x) ≡ 1, A = ∅ ⇔ χA(x) ≡ 0 ‘ 2) A ⊂ B ⇔ χA(x) ≤ χB(x), A = B ⇔ χA(x) = χB(x) | ~’“0‡ 3) Λ | ~¦‚0‡ χ∪λ∈ΛAλ(x) = sup χAλ(x), λ∈Λ χ∩λ∈ΛAλ (x) = inf λ∈Λ χAλ (x); 4) {An}n≥1 χlim supn→∞ An (x) = lim sup n→∞ χAn (x), χlim inf n→∞ An (x) = lim inf n→∞ χAn (x). pqrs §1.3 ~¦‹’Œ“S‡ ”• S| ~¦0 ~ ¦–g0 1(De Morgan ) X {Aα}α∈Λ X Λ X \ Aα = (X \ Aα); α∈Λ α∈Λ X \ Aα = (X \ Aα). α∈Λ α∈Λ ‹Œ —˜p…™˜p 2( ) | ~¦‚0š‚ —˜p…™˜p ƒ›’“~ 1◦ A1,A2,··· ,An,··· ∞ lim sup An := Ak , n→∞ n≥1 k=n ∞ œ „ lim inf n→∞ An := Ak . n≥1 k=n žŸ ¡¢§ ‘ a) x ∈ lim supn→∞ An ⇔ x An £D ¤¥¦§q S b) x ∈ lim infn→∞ An ⇔ n(x) ∈ N | ~¨¦0lm 2◦ B n ≥ n(x), x ∈ An B \ lim sup n→∞ An = lim inf(B n→∞ \ An), B \ lim inf n→∞ An = lim sup(B n→∞ \ An). 2 … 0‡‚ ©ª0« 3◦ lim supn→∞ An = lim infn→∞ An {An}n≥1 A= ~ ˆ¬˜ 0­~ S lim supn→∞ An = lim infn→∞ An {An}n≥1 A = limn→∞ An …‚ †® 0‡ ˆ¯°±‚‘… {An}n≥1 An ⊂ An+1 {An}n≥1 An ⊃ 0‡ ˆ¯²³‚Sˆ¯°±‚ˆ¯²³‚´~ˆ¯ An+1 {An}n≥1 ‚Sl…ˆm¯‚©ª‘ a) ‚ ˆ¯°±0‡ ‘ b) {An}n≥1 …‚ ˆ¯²³0‡ S c) {An}n≥1 limn→∞ An = ∪n≥1An limn→∞ An = ∩n≥1An § µ»S¼½¶¾(S)…W ’·‚ ¸¹ ºžŸ ¡¢ 1 1 # C ¿~ÀÁ0‡ÀÁ #Â'ÃDÀÁ‚ An · ¡¢ÄÅ 0Æ­~ ¶SÇVTU1W {An} ­~ S {An : i.o.} ¶| vwxy~ 0‡ 2 An 2.1.a) {An} An infinitely often lim supn→∞ An lim supn→∞ An i.o lim supn→∞ An χAn x ∈ lim sup An ⇔ χAn = ∞, È n→∞ n≥1 SËo¶¸¹ É~ÊDq¹¢§ÀÁ#·CÂ'à x ∈ {An : i.o.} ⇔ χAn = ∞. n≥1 3 lim supn→∞ An x ∈ (lim sup An)C ⇔ χAn < ∞. §Ù1D.4DÔÏp‚Õ¢q€~(ˆ)‰‚#ÌÚ§sÍÛÎS#0Öv›n«→∞ 0Di§gA×n!≥1"‚ÐÇÑ~#§0ØThU6%%ÒÓW¦€§ á·âä¦Ü1 ãS|%fÝf gS¦jFXu¸Þ—ÔxÕyÞ00aD, b∈¦RfST‡UßWb¦jàB() {x : a < f (x) ≤ b} = {x : a < f (x)} {x : f (x) ≤ b} = ( {x : a + 1 < f (x)}) ( {x : f (x) ≤ b + 1 }). n n n≥1 n≥1 3 T ¤ U ¥ Cä 1◦ ¦A D¨„2ºSsïåŸ|‚TnfnUf>(nx«()nx(n)IC0D≥çÃ1èb) xx橍ySªtåX‚ì¸Aéí¦¹ƒ‚0Áxg~yT„0UC¦ê:¨=rï{Cx å‚ Dà ©ª : fn(x) x } ©ªë‡„ auchy 0£D 0 > 0 n∈N 0 ø ù ú¸ B Ԁ„Õ¦Ø~¨hï6‚mI∈„N‚0£0DT|nfUn∈(xN)ð−0ñf¤n¥(€x¦)|d<¨eï.n òó > ôõ n0 öG H W¸€÷€ A û’  0‡IøÞ ¦¨ï ¾ü0ý 2◦ m SËo÷€ þõ~ fk(x)| ≤ 1 m „¦¨ï 0£D 0¤¥¦¨ï 0 C n B m∈N |fn(x) − fn (x)| ≤ 1. m (1) nn max nn x Cm,n,n Èøùú0 ¹ S Cm,n,n lim infn→∞ Cm,n,n = ∪∞ n=1 ∩∞ n =n+1 Cm,n,n º¸€s0TUa ¥6 3◦ ” µ’SD¸€Sfgl#m0D…Vçè é¹xy~ 0I r £¤ 1 ∞∞ ∞ C= x : max n α}, f −1([α, ∞]) = {x : f (x) ≥ α}, f −1((−∞, α)) = {x : f (x) < α}, f −1((−∞, α]) = {x : f (x) ≤ α}, f −1((α, β)) = {x : α < f (x) < β}, f −1([α, β)) = {x : α ≤ f (x) < β}, f −1((α, β]) = {x : α < f (x) ≤ β}, f −1([α, β]) = {x : α ≤ f (x) ≤ β}. œÔSÕº~ ” Ê lm¨tïSÿ t 0 0… 0ý‡SÇVTU WS (a,b) ‰ §&1 ¡ (α, ∞] … '… (a, b) f −1(a, b) Aα := (α, ∞] a < b | 0‡ bn → b, bn > b ‘ Aa ∩ Ab = (a, b] (a, b) = (a, bn] = Aa ∩ Abn , n≥1 n≥1 6 ÇV f −1(a, b) = f −1( (Aa Abn )) = (f −1(Aa) º |0¦¨ï 0 0Ëo  n≥1 n≥1 0ŸÉ` 0º ” 0 S ‰ n ≥ 1 f−1(Aa) f−1(Abn) ðñ  ÞlmS Q ’¦§ “” G f−1((a,b)) 1f 2 f −1(Abn )). n≥1(f −1(Aa) f −1(Abn )) f(x)œ—D!>¡#•rS}A!º2’W’#SA”|1s–2f0–0Ê—‡¡˜flt~¦þ!t¨õ™Xï~¨—¸v©y‚dS—¢α†x§0‡y{ˆx0‰∈pX¦‘:¨«fSï(Èx)qÖ>”eαy0} r €0bcS7{xˆq∈ïrX6S: {x ∈ X : f (x) > α} = ∪rn>α,rn∈Q{x ∈ X : f (x) ≥ rn}, ý¥bS 2 µ S ¶…W’” #îÁ r’” É §îÁ# 1 1 ¨ ¦§ 0b ¾üS f ‡ 4T2’ ¾ü¶S…W’” #îÁ òq”yö ~ #¨ ¦§ g0b T 2 2’ {x ∈ X : f (x) > r} 1Q 7 ‡ R f gh 4 ä §2.3äœ 1SS||c ~f,¨g ï—0y‡0‡f +g S {x : f (x) + g(x) > c} = ∪rn∈Q{x : f (x) > rn} ∩ {x : g(x) > c − rn}, º |0  0Ëo  {x : f (x) > rn} {x : g(x) > c − rn} {x : f (x) > 0Ëo rn}∩{x : g(x) > c−rn} ∪rn∈Q{x : f (x) > rn} ∩ {x : g(x) > c − rn} 0ý Sº’” 0ç S {x : f(x) + g(x) > c} 2 f +g ä S| 0‡€ 0 0 2 f, g S {x : f(x) = g(x)} œ S ¶ºf 0 0Ëo 1 1 f −g SS¶º ¶0 ÅÖ   ¶0Ëo É 2 1 {x : g(x) < f(x)} {x : f (x) > g(x)} {x : f (x) ≥ g(x)} {x : f (x) > g(x)} = {x : f (x) − g(x) > 0} i f g jk Q f (x) ≥ g(x) 7 ¶º ý¥bS 3 {x : f (x) = g(x)} = {x : f (x) ≥ g(x)} ∩ {x : f (x) ≤ g(x)} ä S|  ¸xy0lm‚xy 0 3 fn(n ≥ 1) E 0 0  ¸xyS infn≥1 fn(x) lim supn≥1 fn lim infn≥1 fn E œ S ¶Ç1 supn≥1 fn(x) {x : sup fn(x) > α} = ∪n≥1{x : fn(x) > α}, n≥1 S ”0  S0Ëo ‚«0º’” 0  l{fn(x) > α} (n ≥ 1) infn≥1 fn(x) Q 2 supn≥1 fn(x) ¶º¸é¹’“0 0ÿ 2 0º ¶0  0 º ¶0 0Ëo supk≥n fk(x) 1 4 lim supn≥1 fn(x) = infn≥1 supk≥n fk(x) gn(x) (n ≥ 1 1 infn≥1 gn(x) gn(x) :=  çS S l m limsupn≥1 fn(x) S IP 1 lim infn≥1 fn(x) = supn≥1 infk≥n fk(x) | 0‡  S 1◦ f1,··· ,fn max1≤i≤n{f1, · · · , fn} min1≤i≤n{f1, · · · , fn} … 0‡ S 2◦ f h6˸ÜëfúgÔTÕU·6SDÜf(g)s$%#de7FS ¦§ã AW§Ø ¤ f +, f −, |f | n £ op ä S| 0| å‚ Dà ©ª 0lm  4 fn(n ≥ 1) C =: {x : fn(x) x } C Sœ Sº f 0 §1. 4 2 ∞∞ ∞ C= x : max n p1 F1 p1 = ∞ p1 < ∞ F1 F2 = {Q ∈ F1|Q Q1 = φ}; F2, = {Q ∈ F1|Q Q1 = φ}. Q,1 F2, } ⊂ Q,1 Q1 F2 F2 l2 > p2 5l1 E ⊂ Q,1 µ(E) 5N ≤ µQ,1 2p2 = sup{l(Q)|Q ∈ F2} F2 F2 F3 F3, {Q|Q ∈ Q2 Fn = {Q ∈ Fn−1|Q Qn−1 = φ}, 2pn = sup{l(Q)|Q ∈ Fn}, Qn Fn ln > pn Q,n Qn 5ln 2 3l(Q) Lebesgue 3 Fn+1 Q∈F E ⊂ Q,n n∈N n∈N Qn, µ(E) ≤ E⊂ n i=1 Q,i Fn pn → 0, n → ∞ Fn µ(Q,n) = 5N µ(Qn) µ(E) 5N ≤ µ(Qn) n j=1 µ(Qj ) 0 2.3 {Qi, 1 ≤ i ≤ m} 3 II V itali ε>0 F µ(E) 5N − ε ≤ m µ(Qj ). j=1 3.1 RN x∈E D(Q) F ε>0 Q E ⊂ RN II Q∈F V itali x∈Q D(Q) < ε 3.2 II V itali E RN {Qn} µ∗ Lebesgue {Qn} F II V itali R V itali {Qn} E F F µ∗(E − Qn) = 0 F W F0 = F F0 Q0 Q0 E F1 = {Q ∈ F0|Q Q0 }. Q0 1 2 d1 E F1 d1 = sup{D(Q)|Q ∈ F1} F1 Q1 Q0 Q1 E F2 = {Q ∈ F1|Q Q1 }, d2 = sup{D(Q)|Q ∈ F2}. 4 Fn = {Q ∈ Fn−1|Q Qn−1 }, dn = sup{D(Q)|Q ∈ Fn}. Qn Fn W 1 2 dn Qn ( D√(Qn) )N = N µ(Qn) < ∞, limn→∞ D(Qn) = 0 ε>0 µ(E − Qn) ≤ 2ε Qn Q,n √ D(Q,n) = (4 N + 1)D(Qn). nε ∈ N ∞ ∞ µ( Q,n) ≤ µ(Q,n) ≤ ε, n=nε +1 n=nε +1 nε ∞ µ((E − − Q,n) ≥ µ(E − n=1 n=nε+1 x ∈ (E − ∞ n=nε +1 Qn) − Fnε+1 Qn, n > nε m ∞ Qn) − µ( Q,n) ≥ ε. n=nε +1 ∞ n=nε +1 Q,n x x Qδ nε limn→∞ D(Qn) = 0 Qδ Qm Qδ ∈ Fm, δ ≤ dm, Qδ Fm+1 dm ≥ δ > dm x Q,m δ = D(Qδ ) > D(Q,m) 2 − D(Qm) , (N ) nε Qδ 3.3 Qi ∈ F ε>0 Fε = {Q1, Q2 . . . Qnε } nε µ(Qn) − ε ≤ µ(E) ≤ µ( (E n=1 Qn)) + ε. 5 4 I Besicovtch 4.1 E ⊂ RN F RN Besicovtch F. x∈E FE x I B(x) 4.2 I Besicovtch 4.2.1 E ⊂ RN {xn} F xn pn cN FE I Besicovtch {Bn} E ⊂ Bn . EF {Bn} cN Bn = Bpn (xn) N B1 = {Bn1 }, B2 = {Bn2 }, . . . . . . BcN = {BncN }, 4.2.2 I II V itali 4.2.3 EF B0 E1 = E, F1 = {B(x) ∈ F |x ∈ E1}, r1 = sup{r(B)|B ∈ F1}. x1 ∈ E1 B1 = Bp1 (x1) p1 > 3 4 r1 n−1 En = E − Bj , xn ∈ En, j=1 Fn = {B(x) ∈ F|x ∈ En}, rn = sup{r(B)|B ∈ Fn}, 6 Bn = Bpn (xn), pn > 3 4 rn. m>n pn > 3 4 rn ≥ 3 4 rm ≥ 3 4 pm .(*) B 1 3 pn (xn ) xm Bn |xn − xm| > pn = 1 3 pn + 2 3 pn ≥ 1 3 rn + 1 3 pm , E − Bn p>0 B0 Bp(x) ∈ F pn → 0,n → ∞ x∈ Fn 0 < p ≤ rn → 0 4.2.4 N cN cN Bk k ∈ N {B1, B2 . . . . . . Bk−1, Bk} G1 = {Bj |Bj M k Bk = ∅, pj ≤ 3 4 M pk}, G2 = {Bj|Bj Bk = ∅, pj > 3 4 M pk }, N 4.2.5 1 G1 4N (M + 1)N G1 = {Bpj (xj )} B(M+1)pk (xk) Bj Bk = ∅ x ∈ B1 3 pj (xj ) {B 1 3 pj (xj )} |xj − Xk| ≤ pj + pk ≤ ( 3 4 M + 1)pk |x − xk | ≤ |x − xj | + |xj − xk | ≤ 1 3 pj + 3 4 M + 1)pk ≤ (M + 1)pk . vN RN vN ( 1 3 pj )N ≤ vN (M + 1)N pNk . j:Bj∈G1 j 1 4 pk (G1 )vN ( 1 4 pk )N ≤ vN (M + 1)N pNk . 4 4 (A) A 7 4.2.6 2 G2 xk xj θ0 G2 arccos 5 6 Bpm (xm) Bpn (xn) M G2 M θ −x−k−x→n −x−k−x→m θ > θ0 = n pn xm pn < |xn − xk| pm < |xm − xk| G2 Bpn (xn) 3 4 M pk < pn ≤ |xn − xk | ≤ pn + pk, 3 4 M pk < pm ≤ |xm − xk | ≤ pm + pk, cosθ = |xn − xk|2 + |xm − xk|2 − |xn 2|xn − xk||xm − xk| − xm|2 ≤ (pn + pk)2 + (pm + pk)2 2pnpm − p2n ≤ 1 pm 2 pn + pk pn pk pm + pk pm + pk pn ≤ 1 pm 2 pn + ( 4 3 )2 1 M 2 + 8 3 1 M , m>n (*) cosθ ≤ 2 3 + ( 4 3 )2 1 M 2 + 8 3 1 M , pn > 3 4 pm M cosθ ≤ 5 6 4.2.7 N =2 N ≥3 σN (θ0) θ > θ0 G2 C (θ0 ) RN cN cN = (G1) + (G2) ≤ 4N (M + 1)N + wN σN (θ0 ) . 2π θ0 1 2 θ0 wN 5 II Besicovtch 5.1 RN p<ε F E ⊂ RN II Besicovtch x∈E ε>0 F Bp(x) x 8 5.2 II Besicovtch F 0 RN E II Besicovtch F µe(E) > 0 I Besicovtch EF µ RN {Bn} Radon µe µe(E − Bn) = B0 B1 = {Bn1 }, B2 = {Bn2 }, . . . . . . BcN = {BncN }. cN ∞ E⊂ Bnj , j=1 nj =1 µe(E cN ∞ Bnj ) = µe(E) > 0. j=1 nj =1 j ∈ {1, 2, . . . , cN } µe(E ∞ Bnj ) nj =1 ≥ 1 cN µe(E ). µe(E B0 m1 Bnj ) nj =1 ≥ 1 2cN µe (E), µ Radon m1 C aratheodory µe(E) = µe(E 5 m1 Bnj ) nj =1 + µe(E − m1 Bnj ) nj =1 ≥ 1 2cN µe(E) + µe(E − m1 Bnj ), nj =1 µe(E − m1 nj =1 Bnj ) ≤ vµe(E), v = 1 − 1 2cN ∈ (0, 1). E1 = E − B m1 nj =1 nj F m nj =1 Bnj Besicovtch E µe(E1) = 0 F1 F1 E1 m2 µe(E1 Bnl ) ≤ vµe(E1) ≤ v2µe(E). nl =1 5 E1 II 9 m1 + m2 k m1 µe(E − m2 sk n Bn) = 0 µe(E − F sk n Bn) ≤ v k µe (E ) k→∞ s2 = 6 5r 6.1 tB := B(x, tr) B = B(x, r) = {y|d(x, y) ≤ r} X RN 6.2 X B sup{d(B)|B ∈ B} < ∞. Bi ∈ B B∈B B ⊂ i 5Bi 6.3 {B(x, r(x))|x ∈ A} B A∈X B= M = sup{r(x))|x ∈ A}, A1 = {x ∈ A| 3M 4 < r(x) ≤ M }. x1 ∈ A1 xk+1 ∈ A1/ k i=1 B(xi , 3r(xi )) (**) A1/ k i=1 B(xi , 3r(xi )) = φ A A1 ⊂ k1 i+1 B(xi , 3r(xi )) 1, 2 . . . , k1 r(x) ≤ 2r(xi) 3M 4 x ∈ A1, i = k1 B(x, r(x)) ⊂ B(xi, 5r(xi)). x∈A1 i=1 A2 = {x ∈ A|( 3 4 )2 M < r(x) ≤ 3 4 M }, A2 = {x ∈ A2|B(x, r(x)) k1 B(B(xi, r(xi)) = φ. i=1 10 x ∈ A2/A2 1 ≤ i ≤ k1 d(x, xi) ≤ r(x) + r(xi) ≤ 3R(xi) A1 A2 xk1 +1 B(x, r(x)) B(xi, (r(xi)) = φ A2/A2 ⊂ k1 i=1 B(xi, 3r(xi )) k2 B(x, r(x)) ⊂ B(xi, 5r(xi)). x∈A2 i=1 6.4 B B B(x, r(x)) ∈ B A x B} 1, 2 . . . k1 i+1 B(xi, 3r(xi )) k−1 k1 = ∞ B = {B(x, r(x))|x ∈ A} A∈X x∈A B(x, r(x)) ** 3 8 3 r(x) > 14 15 sup{r|B (x, r) ∈ A1 Ak1 = A1 B(0, k) k= Ak1 k A1 ∈ 7 µ(B − A) = 0 I V itali A RN II V itali B I Besicovtch II Besicovtch RN Lebesgue Lebesgue Lebesge 5r 11 Radon Radon 5 8 Emmanuele DiBenedetoo Real Ananlysis( 2007 Pertti Mattila Geometry of set and Measures in Euclidean Spaces Cambridge University Press 1999 12

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