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电磁场与电磁波

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标签: 电磁场电磁波

电磁场与电磁波,电磁场原理

高等学校教材 电磁场与电磁波 杨儒贵 高等教育出版社 策     划   刘激扬 编     辑   曲文利 封面设计   王凌波 责任绘图   朱   静 版式设计   胡志萍 责任校对   刘   莉 责任印制   内容简介 本书 是 为 普 通 高 等 学 校 本 科 电子 信 息 类 专 业 基 础 课“电 磁 场 与 电 磁 波”编 写 的 教 材 ,主 要 介 绍 电磁 场 与 电 磁 波 的 基 本 特 性 及规 律 , 内 容 侧重 于 时 变 电 磁 场 。 基 于亥 姆 霍 兹 定 理 逐 一 论 述电磁场是本书与众不同的重要特色。全书共分 10 章:矢量分 析,静 电场,静电场 的边值 问 题,恒定电流场,恒定磁场,电磁感应,时变电磁场,平面电磁波,导行 电磁波 和电磁 辐射及 原 理 等。 书 中 列 举 了 很 多 例 题, 并 在 每 章 之后 附 有 一 定 数 量 的 思 考 题 和习 题 。 同 时 还 介 绍 了 有 关电磁场与电磁波的工程应用实例。附录中给出了电磁物理 量的符号、单位及 量纲,SI 单位 的倍数单位,矢量恒等式,正交曲面坐标系,δ函数,贝塞 尔函数、勒让德函数 和电磁波的 波段 划 分 及其 主 要 应 用 等 。 本书作者长期从事电磁场与电磁波 的教 学与 科研 工作,具 有丰 富的 教学经 验和 科研 阅 历 。全 书 内 容 精 练 、条 理 清 晰 、论 证 严 谨 、文 字 流 畅 ,是 一 本 颇 具 特 色 的 教 材 。 为本 书 建 立 的 网 站 是 http: lxy.swjtu.edu.cn e mi books emfw e mfw.asp 本书 可 供 高 等 学 校 电 子 信 息 类专 业 本 科 生 ,以 及 相 关 专 业 的 研 究 生 和 科技 人 员 阅 读 。   图书在版编目( CIP)数据   电磁场与电磁波/ 杨儒贵主编. —北京: 高等教育出 版 社,2 00 3. 6   ISB N 7 - 04 - 011893 - 9   Ⅰ.电... Ⅱ.杨... Ⅲ.①电磁场 - 高等学校 - 教 材②电磁波 - 高等学校 - 教材   Ⅳ.0441.4   中国版本图书馆 CIP 数据核字 (2003)第 018612 号 出版发行   高等教育出版社                       购书热线   010 - 64054588 社     址   北京市西城区德外大街 4 号 免费咨询   800 - 810 - 0598 邮政编码   100011 网     址   http: w w w.hep.edu.cn 总     机   010 - 82028899           http: w w w.hep.co m .cn 经     销   新华书店北京发行所 排     版   高等教育出版社照排中心 印   刷 开     本   787×960   1 16 印     张   20.75 字     数   390 000 版     次     年   月第   版 印     次     年   月第   次印刷 定     价   24.00 元 本 书 如有 缺 页 、倒 页、脱 页 等 质 量问 题 , 请 到所 购 图 书 销 售 部 门 联 系 调 换。 版权所有   侵权必究 内容简介 本书 是 为 普 通 高 等 学 校 本 科 电子 信 息 类 专 业 基 础 课“电 磁 场 与 电 磁 波”编 写 的 教 材 ,主 要 介 绍 电磁 场 与 电 磁 波 的 基 本 特 性 及规 律 , 内 容 侧重 于 时 变 电 磁 场 。 基 于亥 姆 霍 兹 定 理 逐 一 论 述电磁场是本书与众不同的重要特色。全书共分 10 章:矢量分 析,静 电场,静电场 的边值 问 题,恒定电流场,恒定磁场,电磁感应,时变电磁场,平面电磁波,导行 电磁波 和电磁 辐射及 原 理 等。 书 中 列 举 了 很 多 例 题, 并 在 每 章 之后 附 有 一 定 数 量 的 思 考 题 和习 题 。 同 时 还 介 绍 了 有 关电磁场与电磁波的工程应用实例。附录中给出了电磁物理 量的符号、单位及 量纲,SI 单位 的倍数单位,矢量恒等式,正交曲面坐标系,δ函数,贝塞 尔函数、勒让德函数 和电磁波的 波段 划 分 及其 主 要 应 用 等 。 本书作者长期从事电磁场与电磁波 的教 学与 科研 工作,具 有丰 富的 教学经 验和 科研 阅 历 。全 书 内 容 精 练 、条 理 清 晰 、论 证 严 谨 、文 字 流 畅 ,是 一 本 颇 具 特 色 的 教 材 。 为本 书 建 立 的 网 站 是 http: lxy.swjtu.edu.cn e mi books emfw e mfw.asp 本书 可 供 高 等 学 校 电 子 信 息 类专 业 本 科 生 ,以 及 相 关 专 业 的 研 究 生 和 科技 人 员 阅 读 。   图书在版编目( CIP)数据   电磁场与电磁波/ 杨儒贵主编. —北京: 高等教育出 版 社,2 00 3. 6   ISB N 7 - 04 - 011893 - 9   Ⅰ.电... Ⅱ.杨... Ⅲ.①电磁场 - 高等学校 - 教 材②电磁波 - 高等学校 - 教材   Ⅳ.0441.4   中国版本图书馆 CIP 数据核字 (2003)第 018612 号 出版发行   高等教育出版社                       购书热线   010 - 64054588 社     址   北京市西城区德外大街 4 号 免费咨询   800 - 810 - 0598 邮政编码   100011 网     址   http: w w w.hep.edu.cn 总     机   010 - 82028899           http: w w w.hep.co m .cn 经     销   新华书店北京发行所 排     版   高等教育出版社照排中心 印   刷 开     本   787×960   1 16 印     张   20.75 字     数   390 000 版     次     年   月第   版 印     次     年   月第   次印刷 定     价   27.90 元 本 书 如有 缺 页 、倒 页、脱 页 等 质 量问 题 , 请 到所 购 图 书 销 售 部 门 联 系 调 换。 版权所有   侵权必究 前     言 本 书 是 为 普 通 高 等 学 校 电 子 信 息 类 专 业 基 础 课“ 电 磁 场 与 电 磁 波”编 写 的 本 科生教材,主要介绍电 磁场 与电 磁 波的 基本 特 性及 规 律,内 容 侧重 于 时变 电 磁 场。随着信息技术的飞速发展,要求 从事电 子信 息技 术的人 员必 须通晓 和掌 握 电磁场与电磁波的基本特性、分析方法及其应用。因此, 本课程是电子信息类专 业本科学生必须具备的知识结构的重要组成部分之一。 我们知道, 静止电荷周围存在一 种效 应, 它表 现为对 带电 体有力 的作 用, 这 种效应是由于电荷周围存在一种称为电场的物质产生的。在运动电荷或电流周 围,除电场之外还存在另一种不同的场, 它表现为对于磁铁和载流导体有力的作 用,这种物质称为磁场。由此可见, 电场和磁场都是以力的现象表现的。力是矢 量,因此,电场和磁场都 是矢 量场。 当 电荷 的 电荷 量 及其 位 置 均不 随 时间 变 化 时,它产生的电场也不随时间变化, 这种电场称为静电场。当运动电荷的电荷量 及速度保持恒定时,它形成的电流也是恒定的, 这种恒定电流产生的磁场也不随 时间变化,这种磁场称为恒定磁场。如果电荷及电流均随时间改变, 它们产生的 电场及磁场也是随时变化的,而且人 们发现 时变 的电 场与时 变的 磁场可 以相 互 转化,但是两者不可分割, 它们构成统一的时变电磁场。时变电场与时变磁场之 间的相互转化作用,在空间形成了电磁波, 时变电磁场的能量就是以这种电磁波 形式进行传播的。静电场与恒定 磁场 相互 无关、彼此 独立, 可 以分 别进行 研究。 因此,本书先讨论静电场和恒电磁场, 然后再介绍时变电磁场。 电磁场与电磁波虽然不能亲眼所见,但它是客观存在的一种物质, 因为它具 有物质的两种重要属性: 能量和质 量。众 所周知, 光是一 种电 磁波, 太阳 光的 辐 射压力和巨大能量充分说明了电磁场 与电 磁波 具有质 量及 能量。但 是,电磁 场 与电磁波的质量极其微小,因此, 通常仅研究电磁场与电磁波的能量特性。 电磁场与电磁波既 然 是一 种 物质, 它 的存 在 和传 播 无需 依 赖于 任 何 媒质。 在没有物质存在的真空 环境 中, 电 磁场 与电 磁波 的 存在 和 传播 会 感到 更 加“ 自 由”。因此对于电磁场与电磁波来说, 真空环境通常被称为“自由空间”。当空间 存在媒质时,在电磁场的作用下媒质中会发生极化与磁化现象, 结果在媒质中又 产生二次电场及磁场,从而改变了媒质中原先的场分布, 这就是场与媒质的相互 作用现象。为了研究方便起见,我们先介绍真空中的电磁场, 然后再讨论媒质中 的电磁场。 已知静止电荷产生电场, 运动电 荷或 电流除 产生 电场 外, 还产生 磁场, 可 见   ii 前     言 电荷及电流是产生电磁场的源。应该指 出,电荷 及电 流也是 产生 电磁场 惟一 的 源。截止目前,人们尚未发现自然界中有磁荷及磁流存在。然而, 有时引入磁荷 及磁流的概念是十分有益的,但是, 它们仅是假想的。研究场与源的关系是电磁 理论的基本问题之一。我们将要介绍一 系列 数学 方程描 述场 与源,以及 场与 媒 质特性之间的关系。 现在,对于电磁现象的基本规律 已经 有了充 分的 认识,但 是,人们认 识这 些 规律经过了漫长的岁月和艰苦的历程。早在公元前 600 年希腊人就发现了摩擦 后的琥珀能够吸引微小物体;公元前 300 年我国发现了磁石吸铁的现象; 公元初 我国制成的世界上第一个指南针是古 代中 国四 大发明 之一。 后来,人们 发现 了 地球磁场的存在。 1785 年法 国科 学 家库 仑(1736—1806) 通 过实 验 创建 了著 名 的库仑定律,该定律描述了两个微小 带电体 之间 的作 用力与 其电 荷量及 间距 的 关系。 1820 年丹麦 人奥 斯特 (1777—1851) 发 现了 电 流产 生的 磁场。 同年 法 国 科学家安培(1775— 1836) 计算 了两 个电 流 之间 的作 用力。 1831 年 英国 科学 家 法拉第(1791—1867) 发现电磁感应现象,创建了电磁感应定律, 说明时变磁场可 以产生时变电场。 1873 年英 国科 学 家麦 克斯 韦 (1831—1879)提 出 了位 移电 流 的假设,认为时变电场可以产生时变磁场, 并以严格的数学方程描述了电磁场应 该遵循的统一规律,这就是著名的 麦克斯 韦方 程。该 方程说 明了 时变电 场可 以 产生时变磁场,同时又表明时变磁场可以产生时变电场, 因此麦克斯韦预言电磁 波的存在,后来在 1887 年被德国物理学家赫兹(1857—1894) 的实验所证实。在 这个基础上,俄国的波波夫及意大利的马可尼于 19 世纪末先后发明了用电磁波 作为媒体传输信息的技术,为逐步 实现当 今的 无线 通信、广播、雷达、遥控 遥测、 微波遥感、无线因特网、无线局域网、卫星定 位以 及光 纤通信 等信 息技术 奠定 了 基础。这些新技术的广泛应用又促进了电磁理论的发展。随着大容量的高性能 及高速度计算机出现,不但解决了很多电磁理论的计算问题, 同时也萌生了计算 电磁场与波的新方法,从而形成计算电磁学的新学科, 它是现代电磁学的重要分 支。 电磁场是矢量场。为了研究电磁场 特性,经 常应 用的基 本数 学工具 是矢 量 运算及分析。因此, 本书第一章综述 了矢 量分析 的主 要概 念、定理、公式 及其 应 用;第二章介绍静电场; 第三章介绍静电场的边值问题;第四章介绍恒定电流场; 第五章介绍恒定磁场; 第六章介绍电 磁感 应; 第七 章介绍 时变 电磁场; 第 八章 介 绍平面电磁波;第九章介绍导行电磁波; 第十章介绍电磁辐射及原理。第一章是 数学基础, 第二、三、四、五章为静 态场, 第 七、八、九、十章 为时 变场, 第六 章通 过 电磁感应定律建立了电场与磁场的联 系,从而 导出 了时变 电磁 场。最后 在附 录 中给出了电磁物理量的符 号、单 位与 量纲, SI 单位 的倍 数 单位, 矢 量恒 等 式, 正 交曲面坐标系,δ函数, 柱贝 塞 尔函 数, 勒让 德 函数 以及 电磁 波波 段 的划 分及 其 前     言 iii   主要应用等。 由上可知,本书介绍的时变电磁场内容极为丰富。此外, 在阐明基本理论的 同时,还列举了很多工程应用实例 和自然 界中 的电 磁现象。 为了 培养学 生分 析 与解决问题的能力以及进一步理解所述的基本理论,书中给出了很多例题, 并在 每章之后附有一定数量的思考题和习 题。为 了读 者阅读 醒目 起见,书中 重要 名 词、定理、概念和结论等皆以黑体表示。为了便于教学,编纂了题解, 制作了电子 教案。题解编入教学指导书,电子教案录入光盘。为了读者查阅方便, 书末备有 重要名词索引。对于内容较多 或较 深的 部分 章 节加 注了“ * ”号, 使 用者 可以 根 据具体情况进行适当简化和取舍。 本书采用国际单位制(SI) 。在电磁学中,这种单位制的四个基本单 位是: 长 度单位为 m ( 米), 质量单位为 kg(千克),时间单位为 s(秒), 电流单 位为 A (安 )。 对于正弦电磁场使用的时间因子为 ejωt 。 关 于“ 电 磁 场 与 电 磁 波”课 程 的 本 科 生 教 材 国 内 外 版 本 很 多 。 从 内 容 安 排 和 体系上来看,大致分为两种类型。一种可称为归纳法。它由库仑定律、毕奥 - 萨 伐定律及法拉第电磁感应定律出 发, 逐一 介绍 静电场、恒 定磁 场和 时变电 磁场, 其推理方向是由特殊到一般。这种传 统体 系起 点较低,比 较容 易接受。 但与 物 理学中电学部分重复太多, 学生甚 感厌 烦。同时, 从这些 基本 定律出 发, 逐一 推 演静态场的特性必然费时很多,导 致时变 场内 容受到 压缩。 另一 种可称 为演 绎 法。它从麦克斯韦方程出发,先论述时变电磁场, 然后把静态场归结为时变场的 一种特殊情况加以演绎,最后再介绍静态场, 其推理方向是由一般到特殊。这种 体系虽然压缩了静态场, 充实了时 变场 内容, 但 起点过 高, 学生 不易接 受。我 国 电 磁 理 论 学 术 前 辈,教 育 部 工 科 电 磁 场 理 论 教 材 编 审 组 成 员 、西 安 交 通 大 学 教 授 黄席椿先生于 1985 年提出, 应从论述矢量场散度和旋度特性的亥姆霍兹定理出 发,将电磁场的散度和旋度作为电磁场的首要问题, 逐一论述电磁场。这种新颖 体系既避免了归纳法与物理学重复,又没 有演 绎法 起点过 高的 缺陷。而 且对 于 电磁场的特性分析以及场与源之间的 内在 联系,给 予十分 严格 的阐述。 由于 静 态场的论述非常简洁严谨,节省的 篇幅让 给了 时变 场。遵循 黄席 椿教授 的创 新 思路,作者在西安交通 大学 任教 时 与该 校汪 文 秉教 授、章 锡 元 教授 共 同编 写 了 《电磁场与波》讲义。经本人两次试用 后, 统编 形成 了正式 教材。 又经数 次使 用 和修订,最后由西安交通大学出版社 1989 出版。 本书是根据 1989 年版本重新编写的, 因此基本特色与前相同。但是鉴于当 前本科生专业面拓宽, 各门课程学时 减少 的情况, 将传输 线、等效 源原理 及几 何 光学原理等删除,同时增加了电磁场与波在当前信息技术领域中新的应用。 在本书编写过程中,西南交通大 学电磁 所刘 运林 副教授 及王 敏锡副 教授 协 助编制了题解和电子教案。同时, 研 究生 官正涛、陈凯亚、张 双文 共同演 算了 书   iv 前     言 中全部习题。全书完稿后,西安交通大学汪文秉教授仔细审阅了全稿, 并提出很 多宝贵建议,进一步提高了本教材的素质。作者在此一并表示衷心的感谢。 承蒙高等教育出版社的编辑作了大量的审编工作,作者表示深切的谢意。 由于作者水平有限,书中定有不妥之处, 敬请广大读者提出宝贵意见。 为本书建立的网站是 http: lxy.swjtu.edu.cn e mi books e mfw e mfw .asp 网站中设有论坛专栏,这是一个互动式教与学的研讨平台, 热烈欢迎广大读者踊 跃登录参与。网站中还设有作者专栏,作者 将实 时地 在此网 站上 发布有 关本 书 的信息。 作者于西南交通大学 2002 年 5 月 1 日 目   录 第一章   矢量分析 …………………………………………………………………………… 1 1 - 1   标量与矢量 ………………………………………………………………………… 1 1 - 2   矢量的代数运算 …………………………………………………………………… 2 1 - 3   矢量的标积 ………………………………………………………………………… 3 1 - 4   矢量的矢积 ………………………………………………………………………… 4 1 - 5   标量场的方向导数与梯度 ………………………………………………………… 5 1 - 6   矢量场的通量、散度与高斯定理…………………………………………………… 8 1 - 7   矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理 …………………………………………… 12 1 - 8   无散场与无旋场…………………………………………………………………… 16 1 - 9   格林定理…………………………………………………………………………… 18   * 1 - 10   矢量场的惟一性定理 …………………………………………………………… 19   * 1 - 11   亥姆霍兹定理 …………………………………………………………………… 21   * 1 - 12   正交曲面坐标系 ………………………………………………………………… 23 思考题……………………………………………………………………………………… 30 习题………………………………………………………………………………………… 31 第二章   静电场 …………………………………………………………………………… 33 2 - 1   电场强度、电通及电场线 ………………………………………………………… 33 2 - 2   真空中的静电场方程……………………………………………………………… 34 2 - 3   电位与等位面……………………………………………………………………… 43 2 - 4   介质极化…………………………………………………………………………… 44 2 - 5   介质中的静电场方程……………………………………………………………… 48 2 - 6   两种介质的边界条件……………………………………………………………… 51 2 - 7   介质与导体的边界条件…………………………………………………………… 53   * 2 - 8   电容与部分电容…………………………………………………………………… 56 2 - 9   电场能量…………………………………………………………………………… 58 2 - 10   电场力 …………………………………………………………………………… 62 思考题……………………………………………………………………………………… 66 习题………………………………………………………………………………………… 66 第三章   静电场的边值问题 ……………………………………………………………… 71   * 3 - 1   电位微分方程……………………………………………………………………… 71   * 3 - 2   电位微分方程解的惟一性………………………………………………………… 74 3 - 3   镜像法……………………………………………………………………………… 75 3 - 4   直角坐标系中的分离变量法……………………………………………………… 81   ii 目   录   * 3 - 5   圆柱坐标系中的分离变量法……………………………………………………… 85   * 3 - 6   球坐标系中的分离变量法………………………………………………………… 88 思考题……………………………………………………………………………………… 92 习题………………………………………………………………………………………… 93 第四章   恒定电流场 ……………………………………………………………………… 97 4 - 1   电流及电流密度…………………………………………………………………… 97 4 - 2   电动势……………………………………………………………………………… 99 4 - 3   电流连续性原理 ………………………………………………………………… 102 4 - 4   恒定电流场的边界条件 ………………………………………………………… 103 4 - 5   恒定电流场的能量损耗 ………………………………………………………… 104   * 4 - 6   恒定电流场与静电场的比拟 …………………………………………………… 107 思考题 …………………………………………………………………………………… 109 习题 ……………………………………………………………………………………… 110 第五章   恒定磁场 ………………………………………………………………………… 112 5 - 1   磁感应强度、磁通及磁场线……………………………………………………… 112 5 - 2   真空中的恒定磁场方程式 ……………………………………………………… 114 5 - 3   矢量磁位与标量磁位 …………………………………………………………… 119 5 - 4   媒质磁化 ………………………………………………………………………… 120 5 - 5   媒质中的恒定磁场方程式 ……………………………………………………… 124 5 - 6   恒定磁场的边界条件 …………………………………………………………… 126 思考题 …………………………………………………………………………………… 130 习题 ……………………………………………………………………………………… 131 第六章   电磁感应 ………………………………………………………………………… 135 6 - 1   电磁感应定律 …………………………………………………………………… 135 6 - 2   自感与互感 ……………………………………………………………………… 137 6 - 3   磁场能量 ………………………………………………………………………… 141 6 - 4   磁场力 …………………………………………………………………………… 145 思考题 …………………………………………………………………………………… 149 习题 ……………………………………………………………………………………… 150 第七章   时变电磁场……………………………………………………………………… 153 7 - 1   位移电流 ………………………………………………………………………… 153 7 - 2   麦克斯韦方程 …………………………………………………………………… 155 7 - 3   时变电磁场的边界条件 ………………………………………………………… 157 7 - 4   标量位与矢量位 ………………………………………………………………… 160 7 - 5   位函数方程的求解 ……………………………………………………………… 162 7 - 6   能量密度与能流密度矢量 ……………………………………………………… 165 7 - 7   惟一性定理 ……………………………………………………………………… 167 7 - 8   正弦电磁场 ……………………………………………………………………… 168 目   录 iii   7 - 9   麦克斯韦方程的复数形式 ……………………………………………………… 169 7 - 10   位函数的复数形式……………………………………………………………… 170 7 - 11   能量密度与能流密度矢量的复数形式 ………………………………………… 171 思考题 …………………………………………………………………………………… 175 习题 ……………………………………………………………………………………… 175 第八章   平面电磁波……………………………………………………………………… 178 8 - 1   波动方程 ………………………………………………………………………… 178 8 - 2   理想介质中的平面波 …………………………………………………………… 179 8 - 3   导电媒质中的平面波 …………………………………………………………… 184 8 - 4   平面波的极化特性 ……………………………………………………………… 189 8 - 5   平面边界上平面波的正投射 …………………………………………………… 193 8 - 6   多层边界上平面波的正投射 …………………………………………………… 198 8 - 7   任意方向传播的平面波 ………………………………………………………… 202 8 - 8   理想介质边界上平面波的斜投射 ……………………………………………… 204 8 - 9   无反射与全反射 ………………………………………………………………… 208   * 8 - 10   导电媒质表面上平面波的斜投射 ……………………………………………… 212 8 - 11   理想导体表面上平面波的斜投射 ……………………………………………… 215   * 8 - 12   等离子体中的平面波…………………………………………………………… 217   * 8 - 13   铁氧体中的平面波……………………………………………………………… 221 思考题 …………………………………………………………………………………… 223 习题 ……………………………………………………………………………………… 223 第九章   导行电磁波……………………………………………………………………… 227 9 - 1   T E M 波、T E 波及 T M 波 ……………………………………………………… 228 9 - 2   矩形波导中的电磁波方程式 …………………………………………………… 231 9 - 3   矩形波导中电磁波的传播特性 ………………………………………………… 234 9 - 4   矩形波导中的 T E10 波 …………………………………………………………… 237   * 9 - 5   电磁波的群速 …………………………………………………………………… 242   * 9 - 6   圆波导 …………………………………………………………………………… 245 9 - 7   波导中的传输功率与传输损耗 ………………………………………………… 251 9 - 8   谐振腔 …………………………………………………………………………… 253 9 - 9   同轴线 …………………………………………………………………………… 258 思考题 …………………………………………………………………………………… 260 习题 ……………………………………………………………………………………… 260 第十章   电磁辐射及原理 ……………………………………………………………… 263 10 - 1   电流元辐射……………………………………………………………………… 263 10 - 2   天线的方向性…………………………………………………………………… 268 10 - 3   对称天线辐射…………………………………………………………………… 271 10 - 4   天线阵辐射……………………………………………………………………… 273   iv 目   录 10 - 5   电流环辐射……………………………………………………………………… 277 10 - 6   对偶原理 ………………………………………………………………………… 280 10 - 7   镜像原理 ………………………………………………………………………… 282 10 - 8   互易原理 ………………………………………………………………………… 286   * 10 - 9   惠更斯原理……………………………………………………………………… 289 10 - 10   面天线辐射 …………………………………………………………………… 292 思考题 …………………………………………………………………………………… 297 习题 ……………………………………………………………………………………… 298 附   录………………………………………………………………………………………… 300 一、符号、单位及量纲 …………………………………………………………………… 300 二、SI 单位的倍数单位 ………………………………………………………………… 302 三、矢量恒等式 ………………………………………………………………………… 302 四、正交曲面坐标系 …………………………………………………………………… 303 五、δ函数………………………………………………………………………………… 305 六、柱贝塞尔函数 ……………………………………………………………………… 306 七、勒让德函数 ………………………………………………………………………… 309 八、电磁波的波段划分及其主要应用 ………………………………………………… 311 索   引………………………………………………………………………………………… 313 参考文献 …………………………………………………………………………………… 319 第一章   矢 量 分 析 在前言中已经指出, 电磁场是矢 量场, 因 此, 矢量 分析是 研究 电磁场 特性 的 基本数学工具之一。本章将系统地叙述有关矢量分析的主要内容。我们首先在 直角坐标系中讨论矢量的定义,矢量的代数运算以及矢量的微分与积分运算, 然 后根据圆柱坐标系及球坐标系与直角坐 标系 的变 量之间 的关 系,推导出 圆柱 坐 标系及球坐标系中的矢量表示及其运 算规 则。在 这一章 中,还要 介绍矢 量分 析 中 几 个 重 要 定 理,即 高 斯 定 理 、斯 托 克 斯 定 理 、格 林 定 理 、惟 一 性 定 理 及 亥 姆 霍 兹 定理。 1 - 1   标量与矢量 仅 具 有 大 小 特 征 的 量 称 为 标 量 。 例 如 长 度 、面 积 、体 积 、温 度 、气 压 、密 度 、能 量及电位等物理量都是标量。不仅具 有大小 而且 具有方 向特 征的 量称为 矢量。 例如:力、位移、速度、加速度、电场 强度及 磁场 强度 等物理 量都 是矢量。 本书 以 黑斜体表示矢量。标量的空间分布构成标量场,矢量的空间分布构成矢量场。 图 1 - 1 - 1   矢量的表示 矢量 A 的几何表示是一条有向线段, 如图 1 - 1 - 1(a)所 示, 线段的 长度 表 示矢量 A 的大小,其指向表示矢量 A 的方向。 在直角 坐标系中,若 把代表矢 量 A 和 B 的有向线段的始端放在坐标系 的原 点, 如图 1 - 1 - 1(b) 所 示,则 不同 的 矢量,其终端坐标不同。矢 量 A 的终 端坐 标为 ( A x , Ay , Az ); 矢 量 B 的 终端 坐 标为( Bx , By , Bz ); 通 常, Ax , Ay , Az 称 为 矢量 A 的 三 个 相 应 的坐 标 分 量; Bx , By , Bz 称为 矢量 B 的 三个相 应的 坐标分 量。由 此可见, 在 三维 空间 中, 一个 矢 量可用其三个坐标分量来表示。反之,三 个标 量可 用一个 矢量 来代替。 这正 是 2 第一章   矢 量 分 析 矢量运算比标量运算简洁的原因。当然,表 示一 个矢 量的三 个标 量并不 是任 意 的,它们必须是矢量的三个坐标分 量。用三 个坐 标分 量表示 一个 矢量称 为三 维 空间矢量的代数表示。可以推知,在二维空间中, 一个矢量仅需要两个坐标分量 来表示,而在一维空间中, 一个矢量仅需要一个坐标分量。 通常,矢量的大小及方向均随空间坐标而变化, 若矢量的大小及方向均与空 间坐标无关,这种矢量称为常矢量。 1 - 2   矢量的代数运算 当矢量 A 与矢量 B 的大小及方向均相同时,则认为 A = B。因 此在同一 坐 标系中,只有当两个矢 量的 各个 相 应坐 标分 量 均相 同 时,才 可 认为 两 个矢 量 相 等。 矢量可以进行加法运算,且加法运算符合结合律和交换律, 即 结合律 ( A + B) + C = A + ( B + C) (1 - 2 - 1) 交换律 A+ B= B+ A (1 - 2 - 2) 两个矢量相减可以归结为相加运算,例如 A - B = A + ( - B) (1 - 2 - 3) 式中 - B 表示与矢量 B 大 小相 等方 向 相反 的矢 量。矢 量运 算的 几 何表 示如 图 1 - 2 - 1 所示。在 同一个坐标系中, 两个 矢量的加减运算就 是对应坐标分量 的相 加和相减。例如在直角坐 标系 中,若 矢量 A 的 坐标 分 量 为( Ax, Ay , Az ),矢 量 B 的坐 标分 量 为( Bx , By , Bz ), 则 A + B = C 的 合成 矢量 的坐 标 分量 为 ( Ax + Bx , Ay + By , Az + Bz ) 。 图 1 - 2 - 1   矢量加减 图 1 - 2 - 2   矢量与标量相乘     矢量与标量之间可以进行乘法运算。当矢量 A 与正 标量η相乘时,其乘 积 仍然是一个矢量, 但 各个 坐 标 分 量 乘以 η倍, 即 乘 积 ηA 的 坐 标 分量 为 (ηAx , ηA y ,ηA z ) 。可见,若 η> 1, 则乘积矢量伸长;若 0 < η< 1, 则乘积矢量缩短,如图 1 - 3   矢量的标积 3 1 - 2 - 2 所示。可见矢量与正标量相乘时,仅矢量的大小发生改变,其方向仍然保持 不变。显然,矢量 与负标量相乘 时,不 仅大小发生改 变,其 方向也恰好反 转。 矢量之间的乘法运算与标量之间,以及 标量 与矢 量之间 的乘 法运算 规则 截 然不同,矢量之间的乘法运算有两种形式: 标积和矢积。 1 - 3   矢量的标积 两个矢量的标积又称为点积或内积, 以点 号“·”表 示。在 直角坐 标系 中, 若 矢量 A 的坐标分量为 ( A x , Ay , Az ), 矢量 B 的坐标分量为( Bx , By , Bz ), 则矢 量 A 与矢量 B 标积的代数定义为 A·B = Ax Bx + Ay By + Az Bz (1 - 3 - 1) 由此可见,两个矢量的标积是一个标量。显然, 矢量标积的运算符合交换律,即 A·B = B· A 根据矢量标积的定义得知,矢量 A 与其本身的标积为 A·A = A2 = A 2 x + A 2 y + A 2 z (1 - 3 - 2) (1 - 3 - 3) 显然, A· A 为矢量 A 的大小。 矢量的 大小 称 为矢 量的 模, 以 绝对 值符 号 | A |或白体 A 表示,即 A = | A| = A 2 x + A 2 y + A 2 z 矢量模为 1 的矢量称为单位矢量。任一矢量 A 可写成 A A = | A| | A| (1 - 3 - 4) A 根据矢量与标量的乘法规则,得知上式中矢量 的直角坐标分量为 | A| Ax Ay Az ,, | A| | A| | A| 由于 Ax 2 Ay 2 Az 2 A A + + = 1, 可见矢量 的模 为 1, 所以 矢量 | A| | A| | A| | A| | A| 称为矢量 A 的单位矢量, 以 ea 表示, 即 A ea = | A | (1 - 3 - 5) 由此得 A = | A | ea (1 - 3 - 6) 式中 ea 是矢量 A 的单位矢量,其模为 1,方向与 A 相同。式 (1 - 3 - 6) 表明, 任 一矢量等于该矢量的模与其单位矢量的乘积。 4 第一章   矢 量 分 析 若 ex , ey , ez 分别表示 x 轴、y 轴、z 轴方向上的单位矢量, 则矢量 A 在三 个 坐标轴上的投影分别为 A x ex , Ay ey , A z ez , 那么矢量 A 为三个坐标轴 上投影的 合 成矢量,即 A = Ax ex + Ay ey + Az ez (1 - 3 - 7) 而矢量 A 的单位矢量 ea 可表示为 ea = | Ax A| ex + | Ay A| ey + | Az A| ez (1 - 3 - 8) 或者写为 ea = ex cos α+ ey cos β+ ez cos γ (1 - 3 - 9) 式中角度 α,β,γ分别为 矢量 A 与坐标 轴 x, y, z 的 夹角,cos α,cos β,cos γ称为矢量 A 的方向余弦。 矢量标积的几何意义如图 1 - 3 - 1 所示。 设 A = | A| ex , B = Bx ex + By ey , 若矢量 B 与 x 轴的 夹 角 为θ,则 Bx = | B|cos θ        By = | B|sin θ 图 1 - 3 - 1   矢量的标积 那么由式(1 - 3 - 1)得 A·B = | A || B|cos θ (1 - 3 - 10) 式中| B|cos θ是矢量 B 在矢量 A 方向 上的投 影大 小,| A |cos θ是矢 量 A 在 矢 量 B 方向上的投影大小。式(1 - 3 - 10) 表 明, 标积 A· B 等 于矢量 A 的 模与 矢 量 B 在矢量 A 的方 向上 的投 影大 小的 乘 积,或者 说等 于 矢量 B 的 模与 矢 量 A 在矢量 B 的方向上的投影大小的乘积。显然 0 A⊥ B A·B = | A || B| A ∥ B 1 - 4   矢量的矢积 矢量的矢积又称为叉积或外积,以叉号“ ×”表示。在直角坐标系中, 若矢量 A 和矢量 B 分别为: A = A x ex + Ay ey + Az ez B = Bx ex + By ey + Bz ez 则矢量 A 与矢量 B 矢积的代数定义可用行列式表示为 ex ey ez A× B = Ax Ay Az (1 - 4 - 1) Bx By Bz 1 - 5   标量场的方向导数与梯度 5 由此可见,两个矢量的矢积仍然是 一个矢 量。矢 量之 间的矢 积运 算不符 合交 换 律。读者根据定义可以证明: A× B = - ( B× A) (1 - 4 - 2) 矢量矢积的几何意义如图 1 - 4 - 1 所示。 设矢量 A = | A| ex , 矢 量 B = Bx ex + By ey , 若矢 量 A 与矢量 B 之间的夹角为θ, 则由式(1 - 4 - 1)得       A × B = ez | A|| B|sin θ (1 - 4 - 3) 可见,矢量( A× B)的方向与矢量 A 及矢量 B 垂直, 且由矢量 A 旋转到矢量 B,并与矢量( A × B)构成 右旋关 系, 矢 量 ( A × B ) 的 大 小 为 | A | | B |sin θ。 图 1 - 4 - 1   矢量的矢积 显然     0 A∥ B | A × B| = | A || B| A ⊥ B (1 - 4 - 4) 1 - 5   标量场的方向导数与梯度 标量场中各点标量的大小可能不等,因此某点标量沿着各个方向的变化率 可能不同。为了描 述 标量 场 的这 种 变化 特 性,通 常 引 入方向导数的概念。标量场在某点 的方向导 数表示 标 量场自该点沿某一方向上的变化率。 如图 1 - 5 - 1 所示, 标量场 Φ 在 P 点沿 l 方向 上 的方向导数 Φ l P 定义为 图 1 - 5 - 1   方向导数 Φ l P = lim Δ l→ 0 Φ( P′) - Φ( Δl P) 式中 Δl 为 P 点与 P′点之间的距离。 (1 - 5 - 1) 在直角坐标系中,方向导数 Φl 可写为 Φ l = Φ x x l + Φ y y l + Φz zl 若矢量 l 的方向余弦为 cos α,cos β,cos γ,则上式变为 Φ l = Φx cos α+ Φy cos β+ Φz cos γ (1 - 5 - 2) 若令 Φx , Φy , Φ z 为矢量 G 的三个坐标分量,即 G = ex Φ x + ey Φ y + ez Φ z (1 - 5 - 3) 6 第一章   矢 量 分 析 而矢量 l 的单位矢量 el 为 el = ex cos α+ ey cos β+ ez cos γ 那么,标量场 Φ沿矢量 l 方向上的方向导数 Φl 可以写为 Φ l = G·el (1 - 5 - 4) 矢量 G 称为标量场 Φ 的梯度, 以 grad Φ 表示,即 grad Φ = ex Φ x + ey Φ y + ez Φ z (1 - 5 - 5) 由此可见, 标量场 Φ 的梯度是 一个 矢量 场。由式 (1 - 5 - 4) 可见, 当 el 的方 向 与梯度方向一致时, 方向导 数 Φl 取得 最大 值。因此, 标 量场在 某点 梯度 的大 小 等于该点的最大方向导数,梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。 哈密顿引入劈形算子 (读作 Del)表示下面矢量 = ex x + ey y + ez z (1 - 5 - 6) 那么,根据式(1 - 5 - 5), 标量 场 Φ 的梯 度 grad Φ 可以 表示 为算 子 与标 量 Φ 的乘积,即 grad Φ = Ф (1 - 5 - 7) 标量 Φ( x, y, z)等于常数的空间曲 面称为 标量 场的等 值面。 所以, 某点 梯 度的三个坐标分量是标量场等值面通过 该点 法线 的三个 方向 导数,这就 意味 着 梯度的方向为等值面的法线方向。因此,梯度的方向与等值面垂直, 且指向标量 场数值增大的方向。 读者可以证明,梯度的运算符合下列规则:     C = 0     ( C 为常数) ( CΦ) = C Φ     ( C 为常数) (1 - 5 - 8) (1 - 5 - 9) (Φ + Ψ) = Φ + Ψ (1 - 5 - 10) (ΦΨ) = Φ Ψ + Ψ Φ (Φ Ψ) = ( Ψ Φ - Φ Ψ) Ψ2 (1 - 5 - 11) (1 - 5 - 12) F( Φ) = F′(Φ) Φ (1 - 5 - 13) 例 1   已知标量场 Φ( x, y, z) = x2 y + y2 z + 1, 求(2,1,3)处方 向导数的 最 大值和最小值。 解   根据梯度的定义式(1 - 5 - 5), 求得该标量场 Φ 的梯度 Φ 为 Φ = 2 xyex + ( x2 + 2 yz) ey + y2 ez 那么在(2,1,3)处的梯度为 Φ = 4 ex + 10 ey + ez , 其模为 | Φ| = 117, 因此, 在(2,1,3)处方向导数的最大值为 117, 而最小值为 - 117 。 1 - 5   标量场的方向导数与梯度 7 例 2   计算 1 R 及 ′ 1 R 。这里 R 为空间 P 点与 P′点之间的距离, R ≠ 0,如图 1 - 5 - 2 所示。 P 点 的 坐 标 为 ( x, y, z), P′点的坐标为( x′, y′, z′), 表示对 x, y, z 运算, ′表示对 x′, y′, z′运算。 解   令 P 点的位置矢量为 r, P′点的 位置 矢量为 r′, 则           r = xex + yey + zez r′= x′ex + y′ey + z′ez 再令 R = r - r′ 图 1 - 5 - 2   源点与场点 则 R = ( x - x′) ex + ( y - y′) ey + ( z - z′) ez | R | = ( x - x′)2 + ( y - y′)2 + ( z - z′)2 根据题意,算子 及 ′分别为 = ex x + ey y + ez z ′= ex x′+ ey y′+ ez z′ 因此 1 R = ex 1 xR + ey y 1 R + ez 1 zR = - 1 R3 [( x - x′) ex + ( y - y′) ey + ( z - z′) ez ] 即 1 R = - R R3 (1 - 5 - 14) 同理可得 ′ 1 R = R R3 (1 - 5 - 15) 由此可见 1 R =- ′ 1 R (1 - 5 - 16) 上述运算过程及其结果在电磁场计 算中 经常 遇到, 通常 以 ( x′, y′, z′)表 示 产生电磁场的源坐标,以( x, y, z)表示空间电磁场的场 坐标。这样, 图 1 - 5 - 2 中, P′表示源点, P 表示场点。当计算某一分布源在 空间某点 产生的 场强时, P′ 为动点, P 为定点;当计算空间场量的分布特性时或者空间某点各种场量之间的 关系时, P′为定点, P 为动点。 8 第一章   矢 量 分 析 1 - 6   矢量场的通量、散度与高斯定理 矢量 A 沿某一有向曲面 S 的面积分称为矢量 A 通过该有向曲面 S 的通量, 以 Ψ 表示,即 ∫ Ψ = A·d S S (1 - 6 - 1) 由此可见,若在有向曲面 S 上,有向面元 d S 处处 与矢 量 A 的 方向 保持垂 直,则 矢量 A 通过该有向曲面 S 的通量 Ψ 为零。若有向面元 d S 处处与矢量 A 的方 向保持相同或相反,则通量 Ψ > 0 或 Ψ < 0,因此, 矢量 通过 某一 有 向曲 面的 通 量既与矢量的大小有关,又与矢量的方向有关。 若有向曲面 S 是闭合的,根据矢量通过该 闭合有 向曲面的 通量可以 判断 该 矢量是进入还是穿出这个闭合面。当矢 量穿 出这 个闭合 面时,认 为闭合 面中 存 在产生该矢量场的源;当矢量进入这个闭合面时, 认为闭合面中存在汇聚该矢量 场的洞 (或汇)。闭 合 的有 向曲 面的 方向 通 常 规定 为 闭合 面 的外 法 线方 向。 因 此,当闭合面中有源时, 矢量通过该闭合面的通量一定为正;反之, 当闭合面中有 洞时,矢量通过该闭合面的通量一 定为负。 所以,前 述的 源称为 正源,而 洞称 为 负源。当然在既无源又无洞的无源区中,穿过任一闭合面的通量为零, 因为穿出 闭合面的通量等于穿入闭合面的通量。穿过闭合面的通量越大意味着闭合面中 的源越强。由物理学得知,真空中的电场强度 E 通过任一 闭合曲面 的通量等 于 ∮ 该闭合面包围的自由电荷的电荷量 q 与真空介电常数ε0 之比, 即 S E·d S = q ε0 。 可见,当闭合面中总电荷量为正时, 通量为正;当闭合面中总电荷量为负时, 通量 为负。电荷不存在的无源区中,穿 过任一 闭合 面的 通量为 零。这 一电学 实例 充 分 地 显 示 出 闭 合 面 中 正 源 、负 源 与 无 源 的 通 量 特 性 。 由上述讨论可知,根据矢量通过 某一闭 合面 的通 量性质 可以 判断闭 合面 中 源的正负特性, 以及存在与否。但是, 通 量仅 能表 示闭合 面中 源的总 量, 它不 能 显示源的分布特性。如果使包围某点的闭合面向该点无限收缩,那么, 穿过此无 限小闭合面的通量即可表示 该点 附近 的源的 特性。 因此, 我 们定义 当闭 合面 S 向某点无限收缩时,矢量 A 通过该闭合面 S 的通量与该闭合面包围 的体积之 比 的极限称为矢量场 A 在该点的散度,以 div A 表示, 即 ∮ A·dS div A = lim Δ V →0 S ΔV (1 - 6 - 2) 式中 Δ V 为闭合面 S 包围 的体 积。上 式表 明, 散度 是一 个 标量, 它 可 理解 为 通 过包围单位体积闭合面的通量。既然散 度代 表源 的强度,因 此在 源不存 在的 无 1 - 6   矢量场的通量、散度与高斯定理 9 源区中,各点的散度应等于零。 任一闭合面 S 所 包 围 的空 间 总 可 以分 成 两 个 区 域,其 表 面 分别 为 闭 合 面 S1 及 S2 ,如图 1 - 6 - 1 所示。 由于闭 合面 S1 及 S2 的相 邻部 分表 面 的外 法线 方 向恰好相反,因此通过 S 的通量等于通 过 S1 及 S2 的 通 量之和。由此可以推知,由于 S 包围的体积 V 可以认为 是由很多体积元 d V 组成的, 因此通 过 S 的通量 等于 包 围各个 d V 的闭合面通量之和。已知散度代表通过包围 图 1 - 6 - 1   高斯定理 单位体积的闭合面的通量,因此得 ∫ ∮ div A d V = A·d S V S (1 - 6 - 3) 式中 S 为包围体积 V 的表面,上 式称 为高 斯定 理。从数 学上 来看, 利用 高斯 定 理可以将矢量函数的面积分转化为标 量函 数的 体积分,或 反之。 从场的 观点 来 看,高斯定理建立了某一区域中的 场与包 围该 区域 边界上 的场 之间的 关系。 因 此,高斯定理是矢量分析中的重要定理之一。 为了导出矢 量 场 的散 度 在直 角 坐 标 系 中的表达式,在矢量场中取出一 个长方六 面 体,令其 六个 表面 分别 与 坐标 面平 行,如 图 1 - 6 - 2 所示。 设六面体的中心点 M 的坐标 为( x, y, z),位于 M 点的矢量 A 如图示。六 面体 的 左端面为 S1 ,右端 面为 S2 , 则 S1 的外法 线 方向为 - ex , S2 的外法线方向为 ex ,那么 矢 图 1 - 6 - 2   矢量场的散度 量场 A 通过左端面 S1 的通量为 ∫ ∫ ∫ A·d S1 = A·( - ex )d S1 = - Ax d S1 S1 S1 S1 若六面体很小, S1 上各点的 Ax 可以认为是相等的,因此, ∫ A·d S1 = - A x S1 x - Δx 2 , y, z ΔyΔz (1 - 6 - 4) 同理可得,矢量场 A 通过右端面 S2 的通量为 ∫S A·d S2 = Ax x + Δ2x, y, z ΔyΔz 2 (1 - 6 - 5) 将 A x x - Δ2x, y, z 及 A x x + Δ2x, y, z 在 M 点分别按泰勒级数展开,且略 去 高次项,得 10 第一章   矢 量 分 析 Ax x - Δ2x, y, z = A x ( x, y, z) - Δx 2 Ax xM Ax x + Δ2x, y, z = A x ( x, y, z) + Δx 2 Ax xM 将此结果分别代入式(1 - 6 - 4)及式(1 - 6 - 5) 中,求得矢量场 A 通 过左右端 面 的通量和为 ∫ A·d S = S1 + S2 Ax x ΔxΔyΔz M 同理可得矢量场 A 通过上下端面及前后端面的通量和分别为 Ay y ΔxΔyΔz M Az z Δ xΔyΔz M 那么,由此求得矢量场 A 通过包围 M 点的六面体表面的总通量为 ∮ A·d S = S Ax x + Ay y + Az z Δ xΔyΔz M (1 - 6 - 6) 式中Δ xΔyΔz = Δ V 为六面体的体积。将上式代入式(1 - 6 - 2)中, 得矢量场 A 在 M 点的散度为 div A = Ax x + Ay y + Az z (1 - 6 - 7) 这就是直角坐标系中散度的表示式。 考虑算子 的定义式(1 - 5 - 6) 及矢量标积定义式(1 - 3 - 1), 矢量场 A 的 散度可以表示为算子 与矢量 A 的标积,即 div A = · A (1 - 6 - 8) 上述的高斯定理也可用算子 表示为 ∫ ∮ ·A d V = A·d S V S 读者可以证明,散度运算符合下列规则       ·( A ± B) = · A ± ·B (1 - 6 - 9) (1 - 6 - 10) ·( C A) = C · A     ( C 为常数) (1 - 6 - 11) ·( ΦA ) = Φ · A + A· Φ (1 - 6 - 12) 例 1   求空间任一点( x, y, z)的位置矢量 r 的散度。 解   已知 r = xex + yey + zez 因此 ·r = x x + y y + z z = 3 例 2   计算 · 1 R ,式中 R = | r - r′|,如图 1 - 5 - 2 所示。 1 - 6   矢量场的通量、散度与高斯定理 11 解   由 1 - 5 节中例 2 得知,当 R≠0 时, 式中 1 R = - R R3 R = ( x - x′) ex + ( y - y′) ey + ( z - z′) ez R = ( x - x′)2 + ( y - y′)2 + ( z - z′)2 因此     · 1 R = · - R R3 x - x′ y - y′ z - z′ = - x R3 + y R3 + z R3 式中         x x - R3 x′ = 1 R3 - 3( x - R5 x′)2 y y - y′ R3 = 1 R3 - 3( y - R5 y′)2 z z - z′ R3 = 1 R3 - 3( z - z′)2 R5 因此 · 1 R = 3 R3 - 3 R3 = 0, R ≠0 若 R = 0,函 数 1 R 出现奇点, 上述微分运算不能进行。为了计算包括 R =0 在内的区域中 · 1 R 的数值,可令图 1 - 5 - 2 中的 P′点 移至坐 标原 点, 则位 置矢 量 r′ = 0, R = r,如图 1 - 6 - 3 所示。 以坐标 原 点 为 球 心 作 一 个 半 径 为 a 的 球,将 函数 · 1 R 对 该球 体 进 行积 分, 则 利用高斯定理,由式(1 - 6 - 9) 得 图 1 - 6 - 3   函数 · (1 R)的计算 ∫ ∮   · V 1 R dV = S ∮ 1 R ·d S = S - R R3 ·d S ∮ ∮ ∮ = - S R·en R3 d S = - S 1 R2 d S = - 1 a2 d S = - 4π S 由此得 ∫V - 1 4π · 1 R d V = 1   R = 0∈ V (1 - 6 - 13) 式中体积 V 包括了 R = 0 的 原点。已 知当 R ≠0 时, · 1 R = 0,因此,若 体 积 V 不包括 R = 0 的原点,则 12 第一章   矢 量 分 析 ∫V - 1 4π · 1 R d V = 0   R = 0| V (1 - 6 - 14) 根据附录五中三维δ函数的定义,由式 (1 - 6 - 13)及式 (1 - 6 - 14) 可见, 式 中 被 积 函 数 是 一 个 三 维 δ函 数,即 - 1 4π · 1 R = δ( R ) 由此得 · 1 R = - 4πδ( R) (1 - 6 - 15) 在直角坐标系中,根据梯度表示式(1 - 5 - 5) 及散度表示式(1 - 6 - 7)可知 · Φ= · ex Φ x + ey Φ y + ez Φ z = 2 Φ x2 + 2 Φ y2 + 2Φ z2 因此 · Φ可写为 · Φ= ( · )Φ= 2 Φ 式中 2 称为拉普拉斯算子,它在直角坐标系中的表示式为 2 2 2 2 = x2 + y2 + z2 (1 - 6 - 16) 那么,式(1 - 6 - 15)也可用算子 2 表示为 2 1 R = - 4πδ( R) (1 - 6 - 17) 算子 2 也可对矢量进行运算,但是对于矢量进行运算时已失去原有的梯 度 的散度概念,而仅是一种符号运算。例如 在直角坐 标系 中,算子 2 对 于矢 量 A 的运算表示为 2 2 2 2 A = x2 A + y2 A + z2 A 已知           A = A x ex + Ay ey + A z ez 因此得 2 A = ( 2 A x ) ex + ( 2 Ay ) ey + ( 2 Az ) ez 可见,在直角坐标系中,算子 2 对于矢量 A 的运算即表示为对 A 的各个坐标分 量进行运算。 1 - 7   矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理 矢量场 A 沿一条有向曲线 l 的线积分称为矢量场 A 沿该曲线 的环量,以 Γ 表示, 1 - 7   矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理 13 ∮ Γ= A·d l l (1 - 7 - 1) 由此可见,若在闭合有向曲线 l 上,矢量场 A 的方向处处与线 元 d l 的方向保 持 一致,则环量 Γ> 0;若处处相反,则 Γ< 0。可见,环量可以用来描述矢量场的旋 涡特性。由物理学得知,真空中磁感应强度 B 沿 任一闭 合有 向曲线 l 的 环量 等 ∮ 于该闭合 曲线 包 围 的 传 导电 流 强 度 I 与 真 空 磁 导 率 μ0 的 乘 积, 即 B·d l = l μ0 I,式中电流 I 的正方向 与 d l 的方 向构 成 右旋 关系。 因此, 环 量 可以 表示 产 生具有旋涡特性的源强度,但是它代表的是闭合曲线包围的总的源强度, 不能显 示源的分布特性。为了描述源的分布特性,在矢量场中任取一点 M ,围 绕 M 作 一条闭合的有向曲线 l, 该有向曲线 l 包围 的面 积为 Δ S, 令 en 为 Δ S 的 法向 单 位矢量,它与有向曲线 l 构成右旋关系,如图 1 - 7 - 1 所示。 图 1 - 7 - 1   矢量场的环量 图 1 - 7 - 2   斯托克斯定理 那么极限 ∮A ·dl li m ΔS→ 0 l ΔS 称为矢量 A 对于方向 en 的环量强 度。在同 一点 上, 矢量 A 对于 不同方 向的 环 量强度可能不等。我们定 义 一个 旋度 矢量, 以符 号 rot A 表 示矢 量 A 的 旋度 矢 量,该旋度矢量的方向是使 矢量 A 具 有最 大环量 强度 的方向,其 大 小等 于对 该 矢量方向的最大环量强度,即 ∮A ·dl rot A = lim ΔS→ 0 l m ax ΔS (1 - 7 - 2) 此式表明,矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线的最大环量, 因此,旋度代表了源的强度。在旋涡场源不存在的无源区, 旋度必然为零。 任一条闭合有向曲线 l 包围的区域总可分为两个部分, 其周 界分别为 l1 和 l2 , 如图 1 - 7 - 2 所示。由于闭合曲线 l1 和 l2 的相邻部分方向相反,因此, 矢量 A 沿着 l 的环量等于沿着 l1 及 l2 的环量之和。由此推知,由 于 l 包围 的面积 S 可以认为是由很多面元 d S 组成的,那么沿着 l 的环量等于沿着包围各个 d S 的 闭合曲线的环量总和。已知旋度代表单位面积的环量,因此得 14 第一章   矢 量 分 析 ∫ ∮ (rot A )·d S = A·d l S l (1 - 7 - 3) 式中 S 为 l 包围的面积,d S 的方向与 d l 的方 向构成 右旋 关系。 上式称 为斯 托 克斯定理, 利用此定理可将面积分 化为 线积分, 或反之。 从场 的观点 来看, 它 建 立了区域中的场与区域边缘上的场之 间的 关系。 因此,斯托 克斯 定理也 是矢 量 分析中重要定理之一。 现在让我们 导 出旋 度 在 直 角 坐标 系 中 的 表示式。已知旋度是一个矢量,它在 直角坐 标 中可以写为三个坐标分量,即 rot A = ex (rot A ) x + ey (rot A )y + ez (rot A )z 首先计算分量(rot A ) x 。为此,围绕 M 点 作一 个平行于 x = 0 平面 的 矩形 小 框,其 边长 分 别 为 Δy 和 Δz, 如图 1 - 7 - 3 所 示。令 M 点 为 矩形的中心, 其 坐标 为 ( x, y, z), 那 么 矢量 A 图 1 - 7 - 3   矢量场的旋度 在此矩形小框上的环量为 b c d a ∮ ∫ ∫ ∫ ∫ A·d l = A·d l + A·d l + A·d l + A·d l l a b c d 式中 b b b ∫ ∫ ∫ A·dl = A·ey dl = Ay d l a a a (1 - 7 - 4) 考虑到矩形框很小, ab 边上各点 A y 可以认为是相等的,那么 ∫b A·d l = Ay a x, y, z - Δz 2 Δy 同理可得 ∫d A·dl = - A y c x, y, z + Δz 2 Δy 将函数 Ay x, y, z - Δz 2 及 Ay x, y, z + Δz 2 对 M 点按泰勒级数展开,得 Ay x, y, z - Δz 2 = A y ( x, y, z) - Δz 2 Ay zM Ay x, y, z + Δz 2 = A y ( x, y, z) + Δz 2 Ay zM 将结果分别代入前两式中,得 b d ∫ ∫ A·d l + A·d l = - a c Ay z ΔyΔz M (1 - 7 - 5) 同理可得 c a ∫ ∫ A·d l + A·d l = b d Az y ΔyΔz M (1 - 7 - 6) 根据旋度的定义式(1 - 7 - 2), 得(rot A ) x 分量为 1 - 7   矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理 15 ∮ A·dl (rot A ) x = lim Δy→0 ab cd ΔyΔz Δz→ 0 将式(1 - 7 - 5)及式(1 - 7 - 6) 代入得 (rot A) x = Az y - Ay z 同理可以求得(rot A ) y 及(rot A) z 分量分别为 (rot A) y = Ax z - Az x (rot A) z = Ay x - Ax y 因此,在直角坐标系中, 旋度可用下面行列式表示 ex ey ez rot A = x y z (1 - 7 - 7) Ax Ay Az 考虑到算子 的定义式 (1 - 5 - 6)及矢积的定义式(1 - 4 - 1), 矢 量 A 的旋度 可 以写为算子 与矢量 A 的叉积,即 rot A = × A (1 - 7 - 8) 那么斯托克斯定理也可用算子 表示为 ∫ ∮ ( × A )·d S = A·d l S l (1 - 7 - 9) 读者可以证明,旋度运算符合下列规则 ×( A± B) = × A ± × B (1 - 7 - 10) ×( C A ) = C × A   ( C 为常数) (1 - 7 - 11) ×( ΦA ) = Φ × A + Φ× A (1 - 7 - 12) 例 1   证明 ×( C× r) = 2 C, 式中 C 为常矢量, r 为位置矢量。 证   令 C = Cx ex + Cy ey + Cz ez ,而   r = xex + yey + zez ex ey ez 则 C× r = Cx Cy Cz x yz 那么 × ( C × r) = ( Cx + Cx ) ex + ( Cy + Cy ) ey + ( Cz + Cz ) ez = 2 C 例 2   试证任何矢量场 A 均满足下列等式 ∫ ∮ ( × A )d V = - A×d S V S (1 - 7 - 13) 式中 S 为包围体积 V 的闭合表面,此式又称为矢量斯托克斯定理。 16 第一章   矢 量 分 析 证   设 C 为任一常矢量,则 ·( C × A) = A· × C - C· × A = - C· × A 那么对于任一体积 V,得 ∫ ∮ ·( C× A)d V = - C· V V 根据高斯定理,上式左端应为 × Ad V ∫ ∮             ·( C × A)d V = ( C × A )·d S V S ∮ ∮ = ( A×d S)·C = C· A ×d S S S 因此得 ∫ ∮ C· ( × A)d V = - C· A ×d S V S 由常矢量 C 的任意性,可知式(1 - 7 - 13)成立。 至此, 我们讨论了标量场的梯 度, 矢量 场的 散度及 旋度。 值得注 意的 是, 无 论梯度、散度还是旋度都是微分运算, 它 们表 示场 在某点 附近 的变化 特性, 场 中 各点的梯度、散度或旋度可能不同。 因此, 梯 度、散度 及旋度 描述 的是场 的点 特 性或称为微分特性。由于函数的连续性 是可 微的 必要条 件,因此 在场量 的不 连 续 处,也 就 不 存 在 前 面 定 义 的 梯 度 、散 度 或 旋 度 。 1 - 8   无散场与无旋场 由前两节得知,矢量场的散度及旋度反映了产生矢量场的源, 因此在有源区 中,散度或旋度一定不等于零,或者两 者均 不为 零。而在 无源 区中,散度 及旋 度 一定为零。下一节我们将会看到,一切矢量场的源只有两种类型, 即产生发散场 的散度源和产生旋涡场的旋度源。因此,在全空间中, 散度及旋度均处处为零的 场是不存在的。但是,散度或旋度处处为零的场是存在的。通常, 散度处处为零 的矢量场称为无散场,旋度处处为零的矢量场称为无旋场。 可以证明,任一矢量场 A 的旋度的散度一定等于零,即 ·( × A) = 0 (1 - 8 - 1) 为了证明该等式成立,可在矢量场中任 取一个体 积 V ,将 式(1 - 8 - 1)对 体 积 V 进行积分,由高斯定理得 ∫ ∮ ·( × A)d V = ( × A )·d S V S (1 - 8 - 2) 此闭合面 S 可用其表面上 的一 条闭合 有向 曲线 l 分 为两 个 有向 曲面 S1 及 S2 , 如图 1 - 8 - 1 所示。 1 - 8   无散场与无旋场 17 由斯托克斯定理,得 ∫ ∮ × A·d S1 = A·d l S1 l ∫ ∮ × A·d S2 = - A·d l S l 2 上面第二式右端 的负 号 是由 于 dl 的 方向 与 d S2 的 方 向构成左旋关系,将此结果代入式(1 - 8 - 2) 中,得 图 1 - 8 - 1   无散场 ∫ ·( × A )d V = 0 V 由于体积 V 是任取的,因 此,仅当 被积函 数为 零时,该体 积分 才等 于零。 由此, 式(1 - 8 - 1)成立。 式(1 - 8 - 1)又表明, 任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度,或者说, 任 何旋度场一定是无散场。正如第五章所述,由于恒定 磁场的磁 感应强度 B 的 散 度处处为零, 恒定磁场是一个 无散 场。因 此, 磁感 应强 度 B 可以 表 示为 矢量 磁 位 A 的旋度,即 B = × A。反 之,由矢 量磁位 A 的旋度构 成的矢量场 B,其 散 度一定处处为零。 还可证明,任一标量场 Φ的梯度的旋度一定等于零,即 × ( Φ) = 0 (1 - 8 - 3) 为了证明该等式成立, 在矢量场中任取 一个 有向面 S, 将 式(1 - 8 - 3)对 此 有向曲面进行积分,那么由斯托克斯定理, 得 ∫ ∮ [ × Φ]·d S = Φ·d l S l 由梯度与方向导数的关系式(1 - 5 - 4)得 ∮ ∮ ∮ l Φ·d l = l Φ·el d l = l Φl d l = 0 因此 ∮ ( × Φ)·d S = 0 S 由于有向曲面 S 是任 意的, 因此 仅当 被积 函 数为 零时, 该 面 积分 才等 于零。 即 式(1 - 8 - 3)成立。 式(1 - 8 - 3)又表明, 任一无旋场一 定可 以表 示为一 个标 量场的 梯度, 或 者 说,任何梯度场一定 是无 旋场。正 如 第二 章中 所述, 由于 静 电场 的 电场 强 度 E 的旋度处处为零,静 电场 为无 旋 场。因此,电 场 强度 E 可 以表 示为 标 量电 位 φ 的梯度, 通常令 E = - φ。反之, 由标 量电位 φ 的梯 度构 成的矢 量场 E, 其 旋 度一定处处为零。 18 第一章   矢 量 分 析 1-9 格林 定 理 设任意两个标量场 Φ 及 Ψ, 若在 区 域 V 中 具 有 连续 的 二 阶 偏 导数, 如 图 1 - 9 - 1 所示。那 么, 该 两个 标量 场 Φ 及 Ψ 满足 下列 等 式 ∫ ∮ ( V Ψ· Φ + Ψ 2 Φ)d V = Ψ S Φn d S (1 - 9 - 1) 式中 S 为包围 V 的闭合曲面, Φn 为 标量场 Φ 在 S 表 面 图 1 - 9 - 1   格林定理 的外法线 en 方向上的偏导数。根据方 向导 数与 梯度 的关 系式 (1 - 5 - 4), 上 式 右端又可写成 ∮ ∮ ∮       Ψ S Φn d S = Ψ( S Φ·en )d S = (Ψ S Φ)·d S (1 - 9 - 2) 式中面元 d S 的方向就是外法线 en 的方向, 则式(1 - 9 - 1)又可表示为 ∫ ∮ ( Ψ· Φ + Ψ 2 Φ)d V = ( Ψ Φ)·d S (1 - 9 - 3) V S 式(1 - 9 - 1)或者式(1 - 9 - 3) 称为标量第一格林定理,为了证明这个定理成立, 对矢量( Ψ Φ)应用高斯定理, 得 ∫ ∮ ·( Ψ Φ)d V = ( Ψ Φ)·d S V S 由式(1 - 6 - 12) 得 ·( Ψ Φ) = Ψ· Φ + Ψ 2 Φ 将此结果代入上式,即求得式(1 - 9 - 3) 。 若将式(1 - 9 - 1)中 Ψ 与 Φ 对调, 显然,等式仍然成立, 即 ∫ ∮ ( V Φ· Ψ + Φ 2 Ψ)d V = Φ S Ψn d S 将式(1 - 9 - 1)与上式相减, 得 ∫ ∮   ( Ψ 2 Φ - Φ 2 Ψ)d V = V S Ψ Φ n - Φ Ψ n dS 此式又可表示为 (1 - 9 - 4) ∫ ∮   ( Ψ 2 Φ - Φ 2 Ψ)d V = ( Ψ Φ - Φ V S 式(1 - 9 - 4)及式(1 - 9 - 5) 称为标量第二格林定理。 除了上述标量格林定理以外,还有矢量格林定理。 Ψ)·d S (1 - 9 - 5) 设任意两个矢量场 P 与 Q,若在区域 V 中具有 连续的二 阶偏 导数,则该 矢 * 1 - 10   矢量场的惟一性定理 19 量场 P 及 Q 满足下列等式 ∫   [( × P)·( × Q ) - P· × V    ∮ = ( P× × Q )·d S S × Q]d V (1 - 9 - 6) 式中 S 为包围 V 的闭合曲面, 面元 d S 的 方向 为 S 的 外 法线 方向, 上 式称 为 矢 量第一格林定理。为了证明这个定理成立,可对矢量[ P×( × Q)]应用高斯定 理,再利用矢量恒等式 ·( A × B) = B· × A - A· × B,即可证明。 与前类似,若将式(1 - 9 - 6) 中 P 与 Q 对 调, 所得 的等式 再与 式(1 - 9 - 6) 相减,即得下列等式 ∫  [ Q·( × × P) - P·( × × Q)]d V V    ∮ = [ P× × Q - Q × × P]·d S S (1 - 9 - 7) 此式称为矢量第二格林定理。 由上可见,上述各种格林定理,都是说 明区 域 V 中 的场与 边界 S 上 的场 之 间的关系。因此,利用格林定理可以 将区域 中场 的求 解问题 转变 为边界 上场 的 求解问题。此外, 格林 定理 说明 了两 种 标 量场 或 矢量 场 之间 应 该满 足 的 关系。 因此,如果已知其中一种场的分布特性, 即可利用格林定理求解另一种场的分布 特性。所以,格林定理在电磁理论中有广泛的应用。 * 1 - 10   矢量场的惟一性定理 位 于 某 一 区 域 中 的 矢 量 场,当 其 散 度 、旋 度 以 及 边 界 上 场 量 的 切 向 分 量 或 法 向分量给定后,则该区域中的矢量 场被惟 一地 确定。这 一结 论称 为矢量 场的 惟 一性定理。 采用反证法进行证明。若有两个矢量场 F1 及 F2 满足给 定的条件, 即在 区 域 V 中具 有相同的 散度及旋 度,在包围 区域 V 的边 界表面 S 上具 有相同的 法 向分量或切向分量,那么可以证明, 在区域 V 中必然 F1 = F2 。 为此,令 F1 - F2 = δF, 由于 F1 及 F2 在区域 V 中具有相同的散度及旋度, 因此 ·(δF) = · F1 - ·F2 = 0 (1 - 10 - 1) ×(δF) = × F1 - × F2 = 0 (1 - 10 - 2) 可见, 差场 δF 在区域 V 中是处处无散且无旋的。由于在区域 V 中差场δF 是无旋场,因此它一定可以表示为一个标量场 Φ的梯度,即可令 δF = Φ 20 第一章   矢 量 分 析 由于在区域 V 中, 差场 δF 是无散场, 因此 2 Φ = · Φ = ·(δF) = 0 (1 - 10 - 3) 根据标量第一格林定理式(1 - 9 - 1), 且令 Ψ = Φ,得 ∫ ∮ (Φ 2 Φ+ | V Φ|2 )d V = Φ S Φn d S 考虑到 2 Φ = 0, 因此上式变为 ∫ ∮ | V Φ|2 d V = Φ S Φn d S (1 - 10 - 4) 若给定的是边界 S 上 场 的 法向 分 量, 则 在边 界 上, 差 场 δF 的 法 向分 量 为 零,即 (δF)n = ( Φ)n = Φ n = 0( 在 S 上) 那么由式(1 - 10 - 4) 得 由于上式中被积函数 | ∫ | Φ|2 d V = 0 V Φ|2 ≥ 0, 若要 满足 上式, 只 可能 Φ = 0, 即 δF = 0, F1 = F2 。这就证明前述定理在给定散度、旋度及边界上场量的法向分量时成立。 若给定边界上的切向分量,则边界上差场的切向分量为零, 即 (δF)t = ( Φ)t = Φ t = 0   (在 S 上) 这就意味着, Φ沿边界 S 的切 线方 向上没 有变 化, 因此边 界面 S 是 标量 场 Φ的等值面,所以式(1 - 10 - 4)右端的面积分为 ∮ ∮ ∮ Φ S Φn d S = Φ S Φn d S = Φ S Φ·d S ∫ ∫ = Φ · Φd V = Φ 2 Φd V V V 考虑到 2 Φ = 0,因此,式(1 - 10 - 4)右端 的面 积分 仍然为 零,所以 上述 定理 在 给定边界上切向分量时仍然成立。 前已指出,矢量场的散度及旋度代表矢量场的源。因此, 上述惟一性定理表 明,区域 V 中的矢 量 场 被其 V 中 的源 及 边 界 值(或 称边 界 条 件)惟 一 地确 定。 对于无限大的自由空 间,只 要标量 场 Φ 满足 Φ∝ R 1 1+ ε , (ε≥ 0 ) ( 式 中 R 表示场 点至源点的距离), 则当边界面 S 趋向无限远处时, 式 (1 - 10 - 4)的 右端面积 分 仍然为零。这样,我们可以认为, 无限大的自由空间中的矢量场仅被其散度及旋 度惟一地确定。下一节介绍的亥姆霍兹 定理,将 给出 无限大 自由 空间中 的矢 量 场与其散度及旋度之间的定量关系。 * 1 - 11   亥姆霍兹定理 21 * 1 - 11   亥姆霍兹定理 若矢量场 F( r) 在无限区域中处处是单值 的, 且其导 数连 续有 界,源 分布 在 有限区域 V′中, 则当矢量场的散度及旋度给定后,该矢量场 F( r)可以表示为 F( r) = - Φ( r) + × A ( r) (1 - 11 - 1) 式中 ∫ Φ( r) = 1 4π V′ ′·F( r′) d V′ | r - r′| (1 - 11 - 2a) ∫ A( r) = 1 4π V′ ′× F( r′) | r - r′| d V′ (1 - 11 - 2b) 上述关系称为亥姆霍兹定理。该定理再 次表 明,无限 空间中 矢量 场被其 散度 及 旋度惟一地确定, 而且它给出了场与 其散 度及旋 度之 间的 定量关 系, 或者 说, 给 出了场与源之间的定量关系。下面证明这个定理。 根据δ( r - r′)函数的性质, 可知当体积 V ≥ V′时, 即 r′∈ V 时 ∫ F( r) = F( r′)δ( r - r′)d V′  r′∈ V V (1 - 11 - 3) 由式(1 - 6 - 17) 得知 2 1 | r - r′| = - 4πδ( r - r′) 则式(1 - 11 - 3) 变为 ∫ F( r) = - 1 4π V F( r′) 2 1 | r - r′| d V′ 考虑到微分算子 仅对 r 运算, 而积分仅对 r′求积, 故上式又可写为 ∫ F( r) = - 1 4π 2 F( r′) d V′ V | r - r′| (1 - 11 - 4) 利用矢量恒等式 × × A = ·A - 2 A ,上式变为 F( r) = - 1 4π      + 1 4π ∫ · V | F( r′) r - r′| d V′ ∫ × × V | F r ( r′) - r′| d V′ (1 - 11 - 5) 由此可见,若令 ∫ Φ( r) = 1 4π · V F( r′) d V′ | r - r′| (1 - 11 - 6a) ∫ A( r) = 1 4π × F( r′) d V′ V | r - r′| (1 - 11 - 6b) 22 第一章   矢 量 分 析 则式(1 - 11 - 5) 与式(1 - 11 - 1)完 全等同。 此外, 由式 (1 - 11 - 6b) 可知, 矢 量 A ( r)是一个旋度场, 因此它一定是无散的,即 · A( r) = 0 (1 - 11 - 7) 下面需要证明的是式(1 - 11 - 6) 与式 (1 - 11 - 2)在 无限 空间 中是等 同的。 为此,我们先将式(1 - 11 - 6a) 中的微分与积分次序对调,得 ∫ Φ( r) = 1 4π V F( r′) · d V′ | r - r′| (1 - 11 - 8) 再利用矢量恒等式 ·(ηA) = A· η+ η · A ,且考虑到 F( r′)仅为 r′函数, 而 对 r 运算, 因此 ·F( r′) = 0。那么,式 (1 - 11 - 8)中被积函数为 F( r′) 1 · = F( r′)· | r - r′| | r - r′| 又知 1 1 · =- ′ | r - r′| | r - r′| 则 F( r′) 1 ′·F( r′) F( r′) · = - F( r′)· ′ = - ′· | r - r′| | r - r′| | r - r′| | r - r′| 将其结果代入式(1 - 11 - 8) 中,再应用高斯定理, 得 ∫ ∮ 1 ′· F( r′) 1 F( r′) Φ( r) = d V′- ·d S′ (1 - 11 - 9) 4π V | r - r′| 4π S | r - r′| 考虑到源仅局限于 V′中, 因此上式第一项体积分实际上仅需在 V′中求积即可。 这样,我们只要能够证明,当体积 V 扩展到 无限空 间,边 界 S 位于 无限远 处时, 上式第二项积分为零,则由式(1 - 11 - 9) 即可 求得式 (1 - 11 - 2a)。 为此, 必 须 要求矢量场 F( r′)的振幅满足下列条件 | F( r)| ∝ 1 R1 + ε,   (ε> 0) (1 - 11 - 10) 式中 R = | r - r′|,那么对 无限 远处 的表 面 S, 式 (1 - 11 - 9) 中的 面 积分 为零。 对于电磁场来说,式(1 - 11 - 10) 条件是可以满足的。 下面再讨论式(1 - 11 - 6b), 将其改写为 ∫ A( r) = 1 4π V F( r′) × d V′ | r - r′| (1 - 11 - 11) 利用矢量恒等式 × (ηA ) = η× A + η × A, 同时 考虑 到 F ( r′) 仅 为 r′函 数,而 对 r 运算,故 × F( r′) = 0,则上式中被积函数为 F( r′) × = | r - r′| 1 × F( r′) | r - r′| 1 ′× F( r′) F( r′) =- ′ × F( r′) = - ′× | r - r′| | r - r′| | r - r′| * 1 - 12   正交曲面坐标系 23 将此结果代入式(1 - 11 - 11)中, 再利用矢量斯托克斯定理式(1 - 7 - 13),得 ∫ ∮ 1   A ( r) = 4π V ′× F( r′) | r - r′| d V′+ 1 4π F( r′) × d S′ S | r - r′| (1 - 11 - 12) 同理可知,对于无限空间, 只要矢量场 F( r′) 满足式(1 - 11 - 10)条件, 则上式 中 第二项为零,而第一项的体积分实际上仅需在 V′中求积。这样,对于无限空间, 由式(1 - 11 - 12)即可推出式(1 - 11 - 2b) 。 应该注意,计算 Φ( r)及 A( r) 的公式(1 - 11 - 2) 仅适用位于无 限空间中 的 矢量场, 对于 有 限 空 间 内的 矢 量 场 应 根据 式 (1 - 11 - 9) 及 (1 - 11 - 12) 计 算 Φ( r)及 A( r)的值。事实上,式 (1 - 11 - 9) 及 式 (1 - 11 - 12) 中 的 面积 分分 别 代表了边界 S 上场量的法向 分量 与 切向 分量,这 就 再次 表明,有 限 空间 中的 矢 量场被其散度、旋度及其边界条件惟一地确定。若该有限区域是无源的, 则场仅 决定于边界条件。此外,已知梯度场是无旋场, 旋度场是无散场,因此, 式(1 - 11 - 1) 又表明,任一矢量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和。 亥姆霍兹定理表明了如果已知矢量 场的 散度 及旋度 以后,即 可求出 该矢 量 场,因此,矢量场的散度及旋度特性是 研究 矢量 场的首 要问 题。今后,我 们在 讨 论各种电磁场时,首先必须讨论的就是其 散度及 旋度 特性。由 式 (1 - 11 - 1) 及 式(1 - 11 - 2) 亦可见,对于无限空间, 当矢量场的散度及旋度均为零时, Φ( r) = A ( r) = 0,则矢量场 F( r)也随之消 失,因 此无散 且无 旋的矢 量场 在无限 空间 是 不存在的,它只能存在于局部的无源区域之中。 * 1 - 12   正交曲面坐标系 已知在三维直角坐 标系 中, 使 用三 个坐 标 变量 ( x0 , y0 , z0 ) 可确 定 空 间 P0 点的位置,这就意味着使用 x = x0 , y = y0 , z = z0 三个 平面 可以 确 定三 维空 间 中任一点位置。一般说来,任意三个 相交的 曲面 均可 确定三 维空 间中任 一点 的 位置。如果三个曲面在空间是处处正交 的,则由 此建 立的坐 标系 称为正 交曲 面 坐标系。由三个相互正交的平面构成的直角坐标系是一种特殊的正交曲面坐标 系。 一个正交曲面坐标系由 u1 = 常数, u2 = 常数, u3 = 常数 的三 个正交 坐标 曲 面构成, u1 , u2 及 u3 称为坐标变量。令 eu1 , eu 2 及 eu 3 分别表示三个相应坐标 变 量的梯度方向上的单位矢量,显然这 三个单 位矢 量分 别垂直 于相 应的三 个坐 标 曲面。由于三个坐标曲面是处处正交的,因此三个单位矢量的关系为 eu × eu = eu 1 2 3 eu × eu = eu 2 3 1 (1 - 12 - 1a) (1 - 12 - 1b) 24 第一章   矢 量 分 析 以及 eu3 × eu1 = eu2 (1 - 12 - 1c) 0 i≠ j eui·euj = 1 i = j (1 - 12 - 2) 沿着 eu1 方向仅变量 u1 发 生改 变, 因此, 若一 条曲 线上 各 点的 切 线方 向 与 eu1 方向一致,则该曲线称 为变 量 u1 的坐 标轴。 u1 坐 标轴 描述 了变 量 u1 的 变 化方向及尺度。同理可定 义变 量 u2 及 u3 的坐 标轴, 它 们 分别 描述 变量 u2 及 u3 的变化方向及尺度。在三维空间中, 每两个坐标曲面的交线形成 第三个变 量 的坐标轴。 已知三维空间中的任一矢量可用三 个坐 标分 量来表 示,那么 在三维 正交 坐 标系( u1 , u2 , u3 )中, 矢量 A 可表示为 A = A1 eu + A2 eu + A3 eu 1 2 3 (1 - 12 - 3) 式中 A1 , A 2 , A 3 分 别为相 应的 坐标轴 上矢 量 A 的 坐标 分量。例 如, 在 直角 坐 标系中,矢量的表示如式(1 - 3 - 7) 所示。 除了直角坐标系外,常 用的两种 正交曲 面 坐标系是 圆 柱 坐标 系 和 球坐 标 系。圆 柱 坐 标 系是由一个圆柱面、一个 半无限大 的平面及 一 个无限 大 的 平 面 构 成,如 图 1 - 12 - 1 所 示。 图中 P0 点 的 位置 由 u1 = r0 的圆 柱 面, u2 = 0 的半无限大 平 面 及 u3 = z0 的 无限 大 平 面 确定。三个坐标变量为半径 r, 角度 及高 度 z,其 变 化 范 围 是 0 ≤ r < ∞,0 < ≤2π, - ∞ < z < + ∞ 图 1 - 12 - 1   圆柱坐标系 三个坐标轴上的单位矢量分别为 er , e , ez , 因此矢量 A 在 圆柱坐标 系中可表 示 为 A = A r er + A e + Az ez (1 - 12 - 4) 注意,在圆柱坐标系中只有 ez 是常矢量。由于空间各点的 er 及 e 方向不同, 因 此 er 及 e 都是变矢量。 球坐标系是 由 一 个 圆 球 面, 一 个 锥 面 与 一 个 半 无 限 大 的 平 面 构 成, 如 图 1 - 12 - 2 所示。 图中空间 P0 的位置由 u1 = r0 的球面, u2 = θ0 的 锥面以及 u3 = 0 的半 无 限大平 面 确 定。 三 个 坐 标 变 量 为 半 径 r, 角 度 θ及 , 其 变 化 范 围 是 0 ≤ r < + ∞,0 ≤θ< π,0≤ < 2π,三个坐 标轴 上的单 位矢 量分 别为 er 、eθ 及 e 。因此, * 1 - 12   正交曲面坐标系 25 图 1 - 12 - 2   球坐标系 矢量 A 在球坐标系中可以表示为 A = Ar er + Aθeθ + A e (1 - 12 - 5) 注意,在球坐标系中, er 、eθ 及 e 均不是常矢量。 在矢量分析中,经常对矢量函数进行微分与积分运算, 这种运算需要坐标变 量的微分变化对应于微分长度的变化,但是正交曲面坐标系中, 其坐标变量不一 定代表长度。例如, 圆柱坐标系中 的坐 标 变量 及 球 坐标 系中 坐标 变量 θ与 均代表角度。因此,为了能对各种坐标变量进行微分运算, 必须把非长度的坐标 变量的微分增量转化为微分长度。为此,可令微分长度为 d li = hi d ui (1 - 12 - 6) 式中 hi 称为相应的坐标变量 ui 的度量系数。 对于任一个有向长度的微分增量 dl 可以表示为 d l = eu1 d l1 + eu2 d l2 + eu3 dl3 (1 - 12 - 7) 或者记作 d l = eu1 ( h1 d l1 ) + eu 2 ( h2 dl2 ) + eu3 ( h3 d l3 ) 对于任一有向曲面的微分增量 d S 可表示为 d S = eu1 d S1 + eu2 d S2 + eu3 d S3 (1 - 12 - 8) d S1 = dl2 dl3 = h2 h3 d u2 d u3 式中 d S2 = dl1 dl3 = h1 h3 d u1 d u3 (1 - 12 - 9) d S3 = dl1 dl2 = h1 h2 d u1 d u2 它们分别表示有向面元 d S 在相应的坐标平面上的投影面积。 对于任一体积的微分增量可表示为 d V = dl1 dl2 dl3 = h1 h2 h3 d u1 d u2 d u3 (1 - 12 - 10) 26 第一章   矢 量 分 析 下面让我们 推 导 正 交 曲 面 坐 标 系 中 梯 度、散 度 及 旋 度 的 表 示 式。 根 据 式 (1 - 12 - 6),标量场 Φ在 eui 方向上的方向导数应为 Φ li = 1 hi Φ ui 但是由式(1 - 5 - 4)得知, 梯度 Φ 在 eui 方向上的分量就是 Φ 在 eui 方向上的 方 向导数,因此上式就是梯度 Φ 在 ui 上的分量,于是标量场 Φ 的梯 度可以表 示 为 Φ= eu1 h1 Φ u1 + eu2 h2 Φ u2 + eu3 h3 Φ u3 (1 - 12 - 11) 为了导出正交曲面坐标系中散度的表示式,在坐标系中取出一个六面体元, 其边长分别为 d l1 , dl2 及 d l3 , 如图 1 - 12 - 3 所示。 图 1 - 12 - 3   体元 d V 根据式(1 - 12 - 10), 该体元 d V 为 d V = h1 h2 h3 d u1 d u2 d u3 (1 - 12 - 12) 根据散度的定义式(1 - 6 - 2), 必须求 出矢 量场 A 通过 包围体 积元 的表 面 S 的 通量。由图 1 - 12 - 3 可见,矢量 A 通过该六面体前后两个端面的净通量应为 A1 h2 h3 + u1 ( A1 h2 h3 )d u1 d u2 d u3 - A 1 h2 h3 d u2 d u3 = u1 ( A1 h2 h3 )d u1 d u2 d u3 同理可以求得通过左右端面及上下端面的净通量分别为 (1 - 12 - 13a) u2 ( A2 h1 h3 )d u1 d u2 d u3 (1 - 12 - 13b) u3 ( A3 h1 h2 )d u1 d u2 d u3 (1 - 12 - 13c) * 1 - 12   正交曲面坐标系 27 将式(1 - 12 - 12)及式(1 - 12 - 13) 代入散度的定义式(1 - 6 - 2), 求得 ·A = 1 h1 h2 h3 u1 ( A 1 h2 h3 ) + u2 ( A 2 h1 h3 ) + u3 ( A3 h1 h2 ) (1 - 12 - 14) 为了导出在曲面坐标系中,矢量场旋度的表示式, 可以先分别计算旋度矢量 × A 在三个坐标轴方向上的分量( × A )1 、( × A )2 及( × A )3 , 然后相 加即得。 为了计算 ( × A )1 分 量, 在 u1 = 0 的 曲 面 上作 出 一 个 四 边 形 面 元, 其 边 长 为 dl2 和 d l3 ,如图 1 - 12 - 4 所示。考 虑 到式 (1 - 12 - 9),得知该面元 d S 为 d S = h2 h3 d u2 d u3 (1 - 12 - 15) 该面元上下两边对于矢量 A 沿该四边形环 图 1 - 12 - 4   面元 d S 量的贡献为 A2 h2 d u2 - A2 h2 + 该面元左右两边的贡献为 u3 ( A 2 h2 )d u3 d u2 = - u3 ( A2 h2 )d u2 d u3 - A3 h3 d u3 + A3 h3 + u2 ( A3 h3 )d u2 d u3 = - u2 ( A3 h3 )d u2 d u3 那么,根据旋度的定义式(1 - 7 - 2),求得( × A )1 分量为 ( × A )1 = 1 h2 h3 u2 ( h3 A3 ) - u3 ( h2 A2 ) 同理可以求得 ( × A )2 = 1 h1 h3 u3 ( h1 A1 ) - u1 ( h3 A3 ) ( × A )3 = 1 h1 h2 u1 ( h2 A2 ) - u2 ( h1 A1 ) 这样,矢量场 A 的旋度在曲面坐标系中可用下面行列式表示为 ×A= h1 1 h2 h3 h1 eu1 u1 h2 eu2 u2 h3 eu3 u3 (1 - 12 - 16) h1 A1 h2 A2 h3 A 3 已知圆柱坐标系的坐标变量 u1 = r 及 u3 = z,它们均为长度坐标, 因此度量 系数 h1 = h3 = 1, 坐标变量 u2 = 为角度坐 标, 那么 由图 1 - 12 - 5 可知, d l2 = rd ,因此圆柱坐标系的度量系数为 28 第一章   矢 量 分 析 图 1 - 12 - 5   圆柱坐标系中的微分体积 h1 = h3 = 1 h2 = r 那么线元 d l, 面元 d S 及体元 d V 在圆柱坐标系中可以表示为           d l = er d r + e rd + ez d z d S = er rd d z + e d rd z + ez rd rd d V = rd rd d z 圆 柱 坐 标 系 中 梯 度 、散 度 及 旋 度 可 以 表 示 为          Φ = er Φ r + e 1 r Φ + ez Φ z (1 - 12 - 17) (1 - 12 - 18a) (1 - 12 - 18b) (1 - 12 - 18c) (1 - 12 - 19) ·A = 1 r r( rAr ) + 1 r A+ Az z (1 - 12 - 20) er re ez × A= 1 r r z (1 - 12 - 21) Ar rA Az 由图 1 - 12 - 5 可知, 圆柱坐标变 量 r, , z 与直 角坐标变量 x, y, z 的关 系 为 x = rcos y = rsin (1 - 12 - 22a) z= z 及 r = x2 + y2 = arctan y x (1 - 12 - 22b) z= z 已知在球坐标系中,坐标变量 u1 = r 为长度 坐标, 坐标 变量 u2 = θ及 u3 = * 1 - 12   正交曲面坐标系 29 图 1 - 12 - 6   球坐标系中的微分体积 均为角度坐标。由图 1 - 12 - 6 可知,d l2 = rdθ, d l3 = rsinθd ,因 此球坐标 系 的度量系数为 h1 = 1 h2 = r (1 - 12 - 23) h3 = rsin θ 那么球坐标系中线元 d l, 面元 d S 及体元 d V 可表示为     d l = er d r + eθrdθ+ e rsin θd d S = er r2 sin θdθd + eθrsin θd rd d V = r2 sin θd rdθd + e rd rdθ (1 - 12 - 24a) (1 - 12 - 24b) (1 - 12 - 24c) 而 球 坐 标 系 中 的 梯 度 、散 度 及 旋 度 可 表 示 为     Φ = er Φ r + eθ 1 r Φ θ + e 1Φ rsin θ (1 - 12 - 25) ·A = 1 r2 r( r2 Ar ) + 1 rsin θ θ( Aθsin θ) + 1 rsin θ A (1 - 12 - 26) er reθ e rsin θ × A= 1 r2 sin θ r θ (1 - 12 - 27) Ar rAθ rsin θA 此外,由图 1 - 12 - 6 显而易见, 球坐标变量 r,θ, 与直角坐标变量 x, y, z 的关 系为 x = rsin θcos y = rsin θsin (1 - 12 - 28) z = rcos θ 30 第一章   矢 量 分 析 及 r = x2 + y2 + z2 θ= arctan x2 + y2 z (1 - 12 - 29) = arctan y x 利用直角坐标系、圆柱坐标系及 球坐标 系中 各个 坐标轴 上单 位矢量 之间 的 关系,可以导出矢量 A 在三种坐标系中的各个坐标分量之间的关系式如下: Ar cos sin 0 Ax A = - sin cos 0 Ay Az 0 0 1 Az Ar sin θcos sin θsin cos θ Ax Aθ = cos θcos cos θsin - sin θ Ay A - sin cos 0 Az Ar sin θ 0 cos θ A r Aθ = cos θ 0 - sin θ A A 01 0 Az (1 - 12 - 30) (1 - 12 - 31) (1 - 12 - 32) 思  考  题 1 - 1   什么是标量与矢量 ? 举例说明。 1 - 2   矢量加减运算及矢量与标量的乘法运算的几何意义是什么 ? 1 - 3   矢量的标积与矢积的代数定义及几何意义是什么 ? 1 - 4   什么是单位矢量 ? 写出单位矢量在直角坐标中的表示式。 1 - 5   梯度与方向导数的关系是什么 ? 试述梯度的几何意义,并写出梯度在直角坐标中 的 表 示式 。 1 - 6   什么是矢量场的通量 ? 通量值为正、负或零时分别表示什么意义 ? 1 - 7   给出散度的定义及其在直角坐标中的表示式。 1 - 8   试述散度的物理概念,散度值为正、负或零时分别表示什么意义 ? 1 - 9   试述高斯定理及其物理概念。 1 - 10   什么是矢量场的环量 ? 环量值为正、负或零时分别表示什么意义 ? 1 - 11   给出旋度的定义及其在直角坐标中的表示式。 1 - 12   试述旋度的物理概念,旋度值为正、负或零时分别表示什么意义 ? 1 - 13   试述斯托克斯定理及其物理概念。 1 - 14   什么是无散场和无旋场 ? 任何旋度场 是否一定是 无散的,任何 梯度场 是否一 定 是无旋的 ? 习   题 31 1 - 15   试述标量及矢量格林定理。 1 - 16   试述矢量场的惟一性定理,该定理如何推广到无限空间及无源空间。 1 - 17   试述亥姆霍兹定理,为什么必须研究矢量场的散度及旋度 ? 1 - 18   什么是度量系数 ? 它有什么用途 ? 给出圆柱坐标及球坐标的度量系数。 1 - 19   三种常用坐标系中坐标变量的变化范围如何 ? 给出三种坐标系的坐标变量之间 的 关 系式 。 习   题 1 - 1   已知三个矢量分 别为 A = ex + 2 ey - 3 ez ; B = 3 ex + ey + 2 ez ; C = 2 ex - ez 。试 求 ①| A |,| B|,| C|;② 单位矢量 ea , eb , ec ;③ A·B;④ A × B;⑤ ( A × B)× C 及( A × C)× B;⑥ ( A × C)·B 及( A× B)·C。 1 - 2   已知 z = 0 平面内的位置矢量 A 与 x 轴的夹角为α,位置矢量 B 与 x 轴的夹 角为 β, 试证 cos(α- β) = cos αcos β+ sin αsin β 1 - 3   已知空间三角形的顶点坐标为 P1 (0,1, - 2), P2 (4,1, - 3)及 P3 (6,2,5)。试问: ① 该三角形是否是直角三角形;② 该三角形的面积是多少 ? 1 - 4   已 知 矢 量 A = ex y + ey x, 两 点 P1 及 P2 的 坐 标 位 置 分 别 为 P1 (2,1, - 1) 及 P2 (8,2, - 1)。若取 P1 及 P2 之间的 抛物线 x = 2 y2 或直线 P1 P2 为积 分路径,试 求线积 分 ∫p1 A ·dl。 p2 1 - 5   设标量 Φ= xy2 + yz3 ,矢量 A = 2 ex + 2 ey - ez ,试 求标量 函数 Φ 在点 (2, - 1,1) 处沿矢量 A 的方向上的方向导数。 1 - 6   试证式(1 - 5 - 11),式(1 - 5 - 12)及式(1 - 5 - 13)。 1 - 7   已知标量函数 Φ= sin π 2 x sin π 3 y e - z ,试求该标量 函数 Φ 在点 P(1,2,3) 处 的 最大 变 化 率 及 其 方 向 。 1 - 8   若标量函数为 Φ= x2 + 2 y2 + 3 z2 + xy + 3 x - 2 y - 6 z, 试求在 P(1, - 2,1)点处的梯度。 1 - 9   试证式(1 - 6 - 11)及式(1 - 6 - 12)。 1 - 10   试求距离| r1 - r2 |在直角坐标、圆柱坐标及球坐标系中的表示式。 1 - 11   已知两个位置矢量 r1 及 r2 的终点坐 标分别为 ( r1 ,θ1 , 1 )及( r2 ,θ2 , 2 ),试 证 r1 与 r2 之间的夹角 γ为 cos γ= sinθ1 sin θ2 cos( 1 - 2 ) + cos θ1 cos θ2 1 - 12   试 求分 别 满足 方程 式 ·( f1 ( r) r) = 0 及 × ( f2 ( r) r) = 0 的 函数 f1 ( r) 及 f2 ( r)。     1 - 13   试证式(1 - 7 - 11)及式(1 - 7 - 12)。 32 第一章   矢 量 分 析 1 - 14   试证   × r = 0, × r r =0及 × r r3 = 0。 1 - 15   若 C 为常数, A 及 k 为常矢量,试证:   ① e C k·r = C ke Ck·r ; ② ·( AeC k·r ) = Ck·Ae C k·r ; ③ ×( Ae C k·r ) = Ck× Ae C k·r 。 1 - 16   试证   2 e - kr r = k2 e- kr r ,式 中 k 为常数。 1 - 17   试证   ( × E)× E = ( E· )E- 1 2 | E|2 1 - 18   已知矢量场 F 的散度 ·F = qδ( r),旋度 × F = 0,试求该矢量场。 1 - 19   已知某点在圆柱坐标系中的位置为 4, 2 3 π, 3 ,试求该 点在相 应的直 角坐标 系 及 球 坐标 系 中 的 位 置 。 1 - 20   已知直角坐标系中的矢量 A = aex + bey + cez ,式中 a, b, c 均为 常数, A 是常 矢 量吗 ? 试求该矢量在圆柱坐标系及球坐标系中的表示式。 1 - 21   已知圆柱坐标系中的矢量 A = aer + be + cez ,式中 a, b, c 均为 常数, A 是常 矢 量吗 ? 试求 ·A 及 × A 以及 A 在相应的直角坐标系及球坐标系中的表示式。 1 - 22   已知球坐标系中矢量 A = aer + beθ + ce ,式中 a, b, c 均为常数, A 是常矢量吗 ? 试求 ·A 及 × A,以及 A 在直角坐标系及圆柱坐标系中的表示式。 1 - 23   若标量函数 Φ1 ( x, y, z) = xy2 z,Φ2 ( x, , z) = rzsin ,Φ3 ( r,θ, ) = sin r2 θ, 试 求 2 Φ1 , 2 Φ2 及 2 Φ3 。 1 - 24   若 A( x, y, z) = xy2 z3 ex + x3 zey + x2 y2 ez   A( r, , z) = er r2 cos + ez r3 sin   A( r,θ, ) = er rsin θ+ eθ 1 r sin θ+ e 1 r2 cos θ 试求 ·A, × A 及 2 A。 ∫ 1 - 25   若矢量 A= er cos2 r3 ,1 < r < 2,试求 V ·Ad V ,式中 V 为 A 所在的区域。 ∮ 1 - 26   试求 ( er 3sin θ)·d S,式中 S 为球心位于原点,半径为 5 的球面。 S 第二章   静   电   场 在前言中已经指出,静止电荷 的周围 仅存 在电 场。当这 种静 止电荷 的电 荷 量不随时间变化时,由它产生的电场也不随时间变化, 这种电场称为静电场。但 是,电荷的静止状态是相对于观察 者而 言的。因 此,即使 对于 同一电 荷,若观 察 者的位置相对于电荷是静止的,则观察者所测出的是电场; 若观察者的位置相对 于电荷是运动的,则观察者除了能 测出电 场外 还可 测出磁 场。从 这个意 义上 来 看,电荷周围场的特性是与观察者和电荷之间的相对运动状态有关的。 本章在给出电场强度的定义后,首先讨论真空中的静电场, 然后讨论介质中 的静电场。在不同介质的交界面上,场量会发生突变, 这种场量在边界上的变化 规律称为边界条件。由第一章已知,边界条 件将 直接 影响边 界所 包围的 区域 中 的场分布,因此在这一章中我们将要讨论静电场的边界条件。最后, 我们还要介 绍电容及静电场的能量与力的计算。 2 - 1   电场强度、电通及电场线 已知电场的存在表现为对电荷的作用力,因此为了描述电场的强弱, 我们定 义,电场对某点单位正电荷的 作用 力称为 该点 的 电场 强度,以 E 表示。 电场 强 度的单位为 V m 。设试验电荷的电荷 (量)为 q,该电荷 q 受到的作用力为 F, 则 电场强度 E 为 E= F q (2 - 1 - 1) 显然,为了能显示场中某点的电场强度,这种试 验电荷 q 的体 积应 该足够 小,且 为了使试验电荷的引入不致影响原来的 场分 布,试验 电荷的 电荷 量也应 该足 够 小。 电场强度通过任一曲面的通量称为电通,以 Ψ 表示,即 ∫ Ψ = E·d S S (2 - 1 - 2) 由 1 - 6 节的通量定义可知,电通的大小 与电场 强度 E 及 面元 d S 的方向 有关, 它 可 以 大 于 零 、小 于 零 或 等 于 零 。 为了形象地描述电场强度的分布特性,法拉第提出使用一组曲线, 令曲线上 各点的切线方向表示该点的电场强度方向,这种曲线称为电场线。若线元 dl 的 34 第二章   静   电   场 方向表示曲线的切线方向,则电场线的矢量方程为 E×d l = 0 (2 - 1 - 3) 根据矢积的几何意义,只有当 dl 与 E 的方向 一致时,矢积才 为零,因此 式(2 - 1 - 3) 表示 d l 的方向处处与 E 的方向一 致。既然电 场线上 各点的 切线方 向表 示 该点的电场强度方向, 而两条相交的 曲线 在交点 处具 有两 个切线 方向, 因 此, 电 场线是不可能相交的。 若用电场线围成电场管, 如图 2 - 1 - 1 所 示。 那么,场所 存 在的 整 个 区 域 可由 电 场 管 覆 盖。显 然,任一条电 场 管的 不 同 横 断面 上 的 电 通 一定 是 相等的。 若规定各个电场管中 的电通 相等,那 么,电场 强度强的地方, 较细 的 电 场 管即 可 获 得 一 定的 电 通;反之,电 场 强 度弱 的 地 方,较 粗 的 电 场 管才 可 图 2 - 1 - 1   电场管 获得同样的电通。这样,若以各条电通相等的电场管轴线作为电场线, 则电场线 的疏密程度可以显示出电场强度的大小。按照 这个 原理,在 图 2 - 1 - 2 中绘 出 了带电的平行板之间的电场线分布,以及正 点电 荷和 负点电 荷周 围的电 场线 分 布情况。 图 2 - 1 - 2   电场线分布 由图可见,因为平行板之间的电 场是均 匀的,因 此电场 线也 是均 匀分布 的。正、 负点电荷的电场线截然不同, 离点电 荷愈 远, 电场 强度愈 弱, 因此 电场线 愈来 愈 稀。 2 - 2   真空中的静电场方程 由 1 - 11 节中亥姆霍兹定理得知,无限 空间 的矢 量场由 其散 度和旋 度惟 一 地确定。静电场是矢量场,矢量场的散度及旋度是研究矢量场特性的首要问题。 因此,首先需要讨论的是电场强度的散度及旋度特性。 物理实验表明,真空中静电场的电场强度 E 满足下列两个积分形式的方程 2 - 2   真空中的静电场方程 35 ∮S E·d S = q ε0 (2 - 2 - 1) ∮ E·d l = 0 l 式(2 - 2 - 1)称为高斯定律, 式中 ε0 为真空介电常数,其值为 ε0 = 8. 854187817 …×10 - 12 F m ≈ 316π×10 - 9 F m (2 - 2 - 2) 式(2 - 2 - 1)中 q 为闭合 面 S 包 围的电 荷 ( 量) 。高 斯定 律表 明, 真 空中 静电 场 的电场强度通过任一封闭曲面的电通等于该封闭曲面所包围的电荷(量) 与真空 介电常数之比。式(2 - 2 - 2)表明, 真空中静电场的电场强度沿任一条闭合曲线 的环量为零。 根据式(2 - 2 - 1)及式(2 - 2 - 2) 可以求出电场强度的散度及旋度。由矢量 场的高斯定理式(1 - 6 - 9)得 ∮ ∫ E·d S = ·E d V S V 考虑到体积 V 中的电量等于电荷体密度对体积 V 的积分,即 (2 - 2 - 3) ∫ q = ρd V V 式中 ρ为电荷体密度, 单位为 C/ m 3 。那么, 由式(2 - 2 - 1)得 (2 - 2 - 4) ∫ ∫ V ·E d V = 1 ε0 ρd V V 即 ∫V ·E - ρ ε0 dV=0 由于上式对于任何体积 V 均成立,因此被积函数应为零,从而求得 (2 - 2 - 5) ·E = ρ ε0 (2 - 2 - 6) 此式称为高斯定律的微分形式。它表明,真 空中 静电 场的电 场强 度在某 点的 散 度等于该点的电荷体密度与真空介电常数之比。 由矢量场的斯托克斯定理式(1 - 7 - 9)得 那么由式(2 - 2 - 2)得 ∮ ∫ E·d l = ( × E)·d S l S ∫ ( × E )·d S = 0 S 由于上式对于任一曲面 S 均成立,因此被积函数应为零,从而求得 × E=0 (2 - 2 - 7) 此式表明,真空中静电场的电场强度的旋度处处为零。这样, 我们求得了真空中 36 第二章   静   电   场 静电场方程的微分形式为 ·E = ρ ε0 (2 - 2 - 8) × E=0 (2 - 2 - 9) 上述微分方程表明,真空中静电场是有散无旋场。当然, 在电荷不存在的无源区 中,电场强度的散度也为零。 求出静电场的电场 强 度的 散 度及 旋 度以 后, 根 据 亥 姆霍 兹 定理, 电场 强 度 E 应为 E = - Φ+ × A (2 - 2 - 10) 式中 ∫ Φ( r) = 1 4π V′ ′· E( r′) | r - r′| d V′ ∫ A ( r) = 1 4π V′ ′× | r- Er(′r|′) d V′ 图 2 - 2 - 1   静电场求解 这里 r 及 r′的意义如图 2 - 2 - 1 所示。 V′为源所存在的 区域。考 虑到式 (2 - 2 - 8) 及式(2 - 2 - 9)得 ∫ Φ( r) = 1 4πε0 V′ ρ( r′) | r - r′| d V (2 - 2 - 11) A( r) = 0 (2 - 2 - 12) 则电场强度 E 为 E= - Φ (2 - 2 - 13) 标量函数 Φ 通常称为电位。因此,上式表明真空中静电场 在某点的 电场强度 等 于该点电位梯度的负值。由 1 - 8 节得知,只有无旋场才可以表示为标量场的梯 度。由于静电场是无旋场,因此式(2 - 2 - 13) 成立, 从而 再次 证实 了这个 结论。 按照国家标准,电位以小写希腊字母 φ表示,后述文中, 式(2 - 2 - 13) 中大写 Φ 将 换 写 为 小 写 φ,以 表 示 电 场 强 度 与 电 位 的 关 系 。 已知电荷分布函数 ρ( r′),根据式 (2 - 2 - 11)即可 求出空 间任一点 的电位, 2 - 2   真空中的静电场方程 37 再由式(2 - 2 - 13) 便可计算其电场强 度,这 是已 知电 荷分布 求解 电场强 度的 方 法之一。而且由于电位是标量,因此运算较为简便。从这个意义来看, 电位可以 认为是一个计算电场强度的辅助量。但是我们将在 2 - 3 节中指出,电位还具有 明确的物理意义。若将式(2 - 2 - 11) 直接代入式(2 - 2 - 13) 中,求得 ∫ ∫ E( r) = - V′ ρ( r′) 4πε0 | r - r′| d V′= - ρ( r′) V′ 4πε0 1 | r - r′| d V′ 那么利用式(1 - 5 - 14) 得 ∫ E ( r) = ρ( r′)( r - r′) V′ 4πε0 | r - r′|3 d V′ (2 - 2 - 14) 可见,已知电荷分布, 根据上式可以直接计算出其电场强度。 若电荷分布在某一表面上,其面密度以 ρS 表示; 当电荷分布在一条曲线上, 其线密度以 ρl 表示。考虑到电荷 d q 可表示为体电荷ρd V 或面电荷ρS d S 或 线 电荷ρl dl,根据式 (2 - 2 - 11), 可以求得真空中面电荷及线电荷产生的电位及 电 场强度分别为 ∫                 φ( r) = 1 4πε0 S′ ρS |r ( - r′) r′| d S′ (2 - 2 - 15) ∫ E( r) = 1 4πε0 ρS S′ ( r′)( |r- r- r′|3 r′) d S′ (2 - 2 - 16) 及 ∫ φ( r) = 1 4πε0 l′ |ρrl (-r′r)′|d l′ (2 - 2 - 17) ∫ E( r) = 1 4πε0 l′ ρl ( r′)( |r- r- r′|3 r′) d l′ (2 - 2 - 18) 上式中 ρS ,ρl 分别表示电荷的面密度和线密度。 由上述电位和电场强度的计算公式可见,无论电荷为何种分布, 电位及电场 强度均与电荷量的一次方成正比。因此,可 以利 用叠 加原理 计算 分布电 荷产 生 的电位和电场强度。事实上上述积分公式已经蕴涵了叠加原理的应用。 对于某些静电场,可以直接利用 高斯定 律(式 2 - 2 - 1)十分 简 便地 计算 电 场强度。但是要求必须能够找到一个曲 面,在这 个曲 面上各 点的 电场强 度的 分 布特性已知,才可直接利用高斯定 律求解 电场 强度。 具有这 种特 性的曲 面通 常 称为高斯面。应该指出,仅仅对于某些结构特殊的静电场才能找到这种高斯面, 因此,利用高斯定律计算静电场的电场强度仅适用于某些特殊的场分布。 最后,值得进一步指出的是静电场的方程 式(2 - 2 - 1)及 式(2 - 2 - 2)所 描 述静电场的一些特性。首先,应该认识到高 斯定律中 的电荷 量 q 应理解 为封 闭 面 S 所包围的全部正 负电 荷的 总和。 因此,若 通 过某 一 封闭 面 的电 通 为零, 并 38 第二章   静   电   场 不表示该封闭面内不存 在电 荷,也 可能 是 包围 的 正负 电 荷的 电 荷量 正 好 相等。 此外, 通过某一封闭面的电通为零, 也并 不表 示该 封闭面 内一 定不存 在电 场, 也 可能是进入的电通恰好等于穿出的电通。 式(2 - 2 - 2)表明, 真空中静电场 的电 场强 度的环 量处 处为零。 因此, 静 电 场的电场线是不可能闭合的,否则沿着一条闭合电场线的电场强度线积分, 由于 电场强度 E 与线 元 d l 的方 向 处 处保 持 一致, 其环 量 就不 可 能 为 零, 从 而 与 式 (2 - 2 - 2)矛盾。由此还可以证明,任意两点之间电场强度 E 的线积 分与路径 无 关。 如图 2 - 2 - 2 所 示, 在 a, b 之 间 任 取两 条 有向曲线 l1 和 l2 ,再将 l1 和 l2 的轨迹组成一条 闭合的有向曲线 l,则 ∫ ∫ ∫ E·d l = E·dl1 - E·d l2 l l1 l2 那么由式(2 - 2 - 2)得 ∫ ∫ E·dl1 = E·d l2 l1 l2 图 2 - 2 - 2   静电场的保守性 可见,静电场中任意两点之间电场强度的线积分与路径无关。 已知电 场强 度 E 为单 位正电 荷受 到的电 场作 用力, 因 此, 标积 E·dl 为 电 场力使单位正电荷移动 d l 时所作的功。由此可见,式 (2 - 2 - 2)表明,将单位 正 电荷移动一圈回到原处时,电场 力作的 功为 零,电荷没 有获 得任 何能量。 所以, 真空中的静电场和重力场一样,它是一种保守场。 至此,我们获得了真空中静电 场方程 式的 积分 形式和 微分 形式。根 据亥 姆 霍兹定 理, 又导 出 了在 已 知电 荷 分 布的 情 况下, 电 位计 算 公式 (2 - 2 - 11), 式 (2 - 2 - 15) 及式(2 - 2 - 17);电场强度计算公式(2 - 2 - 14), 式(2 - 2 - 16) 及式 (2 - 2 - 18) 。对于某些结构特殊的静电场, 直接利用高斯定律计算电场强度更为 简便。下面举例分别说明这些方法的应用。 例 1   计算点电荷的电场强度。 解   点电荷就是指体积为零,但具有一定电荷量的电荷。显然,这样的点电 荷实际中是不存在的。但是如果带电体 的尺 寸远 小于观 察距 离,这种带 电体 可 以近似为点电荷。由于点电荷的结构具 有球 对称 特点,因此 若点 电荷位 于球 坐 标的原点,它产生的电场强度一定与球坐标的方位角 θ及 无关, 电场线呈辐射 状。以点电荷为中心,作 一个 半径 为 r 的球 面,则 球面 上各 点 的电 场 强度 大 小 相等。若点电荷为正电荷,球面上各 点的电 场强 度方 向与球 面的 外法线 方向 一 致。利用高斯定律 2 - 2   真空中的静电场方程 39 上式左端积分为 ∮S E·d S = q ε0 ∮ ∮ ∫ E·d S = E·en d S = Ed S = 4πr2 E S S S 因此求得 E = q 4πε0 r2 或者以矢量形式表示为 E = q 4πε0 r2 er (2 - 2 - 19) 式中 er 为由点电荷指向场点的单位矢量。 我们也可以利用电位公式或电场强度公式计算点电荷产生的电场强度。当 点电荷位于坐标原点时,| r - r′| = r。 那么由式 (2 - 2 - 11) 可得 点电荷 的电 位 为 φ( r) = q 4πε0 r 则由式(2 - 2 - 13) 求得电场强度 E 为 E= - φ= - q 4πε0 1 r = q 4πε0 r2 er 若直接根据电场强度公式(2 - 2 - 16),同样可求得电场强度为 (2 - 2 - 20) (2 - 2 - 21) ∫ E = ρ( r′) er V′ 4πε0 r2 d V′= q 4πε0 r2 er 例 2   计算电偶极子的电场强度。 解   相距为 l 等值异性的两个点电荷,且 l 远 小于 观 察 点的 距 离, 这样 的 电 荷 组 合称 为 电 偶 极 子,如图 2 - 2 - 3 所示。如 前所 述,对于 两个 点电 荷构成的电偶极子,可以应用叠加原理计算 其电场 强度。也就是说,首先分别计算电偶极子中 的正负 电荷产生的电场强度或电位,然后计算两个 电位的 代数和或两个电场强度的矢量和,即可求出 电偶极 子的电位及电 场强 度。下 面通 过电 位叠 加 推 导出 电场强度,读者 可以 直接 通 过电 场强 度叠 加, 一定 图 2 - 2 - 3   电偶极子 会得到同样的结果。 设正电荷离开观察点的距离为 r+ ,负电荷离开观察点的距离为 r- ,则合成 电位为 40 第二章   静   电   场 φ= q 4πε0 r+ - q 4πε0 r- = q 4πε0 r- - r+ r+ r- 若观察距离远大于两电荷的间距 l,则可认为 er + 、er - 与 er 平行, 那么 r- - r+ = lcos θ r+ r- = r- l 2 cos θ r+ l 2 cos θ ≈ r2 因此 φ= q 4πε0 r2 lcos θ= q 4πε0 r2 ( l·er ) (2 - 2 - 22) 式中 l 的方向规定由负电荷指向正 电荷。 通常 定义乘 积 ql 为电 偶极子 的电 偶 极矩,简称电矩,以 p 表示,即 p = ql (2 - 2 - 23) 那么电偶极子的电位为 φ= p·er 4πε0 r2 = pcos θ 4πε0 r2 (2 - 2 - 24) 利用关系式 E = - φ, 求得电偶极子的电场强度为 E =- er φr + eθ 1 r φ θ + e 1φ rsin θ = er pcos 2πε0 θ r3 + eθ psin θ 4πε0 r3 (2 - 2 - 25) 上两式表明,电偶极子的电位与距离平方成反比, 电场强度的大小与距离的 三次方成反比。此外,无 论电 偶极 子 的电 位或 者电 场强 度 均 与方 位 角 θ有关。 这些特点与点电荷明显不同。图 2 - 2 - 4 绘出了电偶极子的电场线和等位线的 分布,可见电场线与电位面处处相互垂直,但是 该图中 心部分 并不 满足 rm l 条 图 2 - 2 - 4   电偶极子的电场线和等位面分布 2 - 2   真空中的静电场方程 41 件,故不适合。 例 3   设半径为 a,电荷体密度为 ρ的无限长圆柱 带电体位 于真空, 计算 该 带电圆柱体内外的电场强度。 解   选取圆柱 坐 标 系,令 z 轴 为圆 柱 的 轴 线, 如图 2 - 2 - 5 所示。由于 圆柱 是无 限长的,对 于任 一 z 值,上下均为无限长,因此场量与 z 坐标无 关。 又对于任一 z 为 常数 的 平面, 上下 是 对 称的, 因此 电场强度一定垂直 于 z 轴, 且与 径向 坐 标 r 一 致。 再考虑到圆柱结构具有旋 转对 称的 特点,场强 一定 与角度 无关。 取半径为 r,长 度为 L 的圆柱面与 其上下端面 构成高斯面。应用高斯定律 图 2 - 2 - 5   无限长圆柱 ∮S E·d S = q ε0 带电体 因电场强度方向处处 与圆 柱 侧面 S1 的 外法 线方 向 一致, 而 与上 下 端面 的外 法 线方向垂直,因此上式左端的面积分为 ∮ ∮ ∮ E·d S = E d S = E d S = 2πrL E S S1 S1 当 r < a 时,则电荷量 q 为 q = πr2 ρL 求得电场强度为 当 r > a 时,则电荷量 q 为 E = ρr 2ε0 er q = πa2 ρL (2 - 2 - 26) 求得电场强度为 E = π2πaε20ρrer (2 - 2 - 27) 上式中πa2 ρ可以认为是单位长度内的电 荷量, 那么, 柱外电 场可以 看作 为 位于轴上线密度为 ρl =πa2 ρ的线电荷 产生的 电场。 由此我 们推 导出线 密度 为 ρl 的无限长线电荷的电场强度为 E = ρl 2πε0 rer (2 - 2 - 28) 由此例可见,对于这种结构对称的无限长圆柱体分布电荷, 利用高斯定律计 算其电场强度十分简便。若根据电荷分布直接积分计算电场强度,显然不易。 42 第二章   静   电   场 例 4   求长度为 L,线密度为 ρl 的均匀线分布电荷的电场强度。 解   如图 2 - 2 - 6 所示,令圆柱坐标的 z 轴与线电荷 的 长 度 方 向 一 致, 且 线 电 荷 的 中 点为坐 标 原 点。由 于 结 构 旋 转 对 称, 场 强 与 方位角 无关。因为电场强度的方向无法事 先判断, 不能应用 高斯 定律 求 解其 电场 强度。 只能利用式(2 - 2 - 17)及 式(2 - 2 - 18) 进行 直接积 分,计 算 其 电 位 及 电 场 强 度。 这 里 利 用式 (2 - 2 - 18) 直接 计算 电场 强度。 读者 可 以通过计算 电 位 求 出 其 电 场 强 度, 结 果 一 定 相同。 因场量与 无关,为了 方便起见,可 令观 察点 P 位于 yz 平面, 即 = π2 ,如图 2 - 2 - 6 图 2 - 2 - 6   有限长线电荷 所示。 由式(2 - 2 - 18) 得 ∫ E = ρl 4πε0 L 2 - L 2 | r- r- r′ r′|3 d l′ 由图 2 - 2 - 6 可见, | r - r′| = rcsc α r - r′= rcsc α( ez cos α+ er sin α) z′= z - rcot α d z′= rcsc2 αdα 将这些结果代入上式,得 ∫ E = ρl 4πε0 α2 α 1 ez cos α+ er sin r2 csc2 α αrcsc2 αdα = ρl 4πε0 r[ (sin α2 - sin α1 ) ez - (cos α2 - cos α1 ) er ] (2 - 2 - 29) 当长度 L →∞时,α1 → 0,α2 →π,则 E = ρl 4πε0 2 er = ρl 2πε0 rer 此结果与式(2 - 2 - 28) 完全相同。 2 - 3   电位与等位面 43 2 - 3   电位与等位面 由式(2 - 2 - 13) 得知静电场的电位 φ与电场强度 E 的关系为 E= - φ 通过电位可以计算其电场强度。前已指出,电位不仅是计算辅助量, 而且具有明 确的物理概念。下面阐述电位的物理意义。 设电荷 q 受到的电场力为 F, 那么当该电荷在电 场力 F 的作用 下产生位 移 d l 时,电场力所作的功为 d W = F·dl = qE·d l 当该电荷由 P1 点移至 P2 点时, 电场力作的总功为 P P ∫ ∫ W = 2 d W = q 2 E·d l P1 P1 已知静电场是保守场,任意两点之间电场强度的线积分与路径无关, 因此对于上 式积分可以任选一条路径。将式(2 - 2 - 13)代 入上 式,且 考虑 到式 (1 - 5 - 4), 得 ∫ ∫ P W=-q 2( P1 P φ·el )d l = - q 2 P1 φld l = q(φ1 - φ2 ) 即 φ1 - φ2 = W q (2 - 3 - 1) 式中 φ1 及 φ2 分 别为 P1 点及 P2 点 的电位。 上式 表明, 静电 场 中 P1 点 和 P2 点之间的电位差等于单位正电荷在电场力作用下沿任一条路径由 P1 点移到 P2 点时,电场力所作的功。已知当电荷分布在有限区域时, 电位值至少与观察距离 的一次方 成反 比, 因此, 无 限远处 的电 位值 为零。这 样, 当 P2 点沿 任一 条路 径 移至无限远处时,由式(2 - 3 - 1) 求得 P1 点的电位为 φ1 = W q (2 - 3 - 2) 由此可见,静电场中某点的电位, 其物理意义是单位正电荷在电场力的作用 下,自该点沿任一条路径移至无限远处过程中电场力作的功。应该注意, 这里所 说的电位实际上是该点与无限远处之间 的电 位差,或 者说是 以无 限远处 作为 参 考点的电位。原则上, 可以 任 取一 点 作 为电 位 参考 点。 显然, 电位 的 参考 点 不 同,某点电位的值也不同。但是任意两点之间的电位差与电位参考点无关, 因此 电位参考点的选择不会影响电场强度的值。由 式 (2 - 2 - 13) 亦可见, 给 电位 加 上任一常数时,求得的电场强度仍然是相同的。当电荷分布在有限区域时, 通常 44 第二章   静   电   场 选择无限远处作为电位参考点,因为由式(2 - 2 - 11)可见, 此时无限远处的电位 为零。 电位分布确定了静电场的特性,为了形 象地 描述 静电场 的特 性可以 使用 电 位分布图。电位相等的曲面称为等位面,其方程为 φ( x, y, z) = C (2 - 3 - 3) 式中常数 C 等于电位值。由于电场强度的方向为电位 梯度的 负方向,而梯度 方 向总是垂直于等位面,因此电场线与等位面一定处处保持垂直,如图 2 - 3 - 1 所 示。若规定相邻的等位面之间的电位差 保持 恒定,那 么等位 面密 集处表 明电 位 变化较快,因而场强较强。这样, 等位面分布的疏密程度也可表示电场强度的强 弱。均匀电场的等位面必然是等间距的一系 列平面。图 2 - 3 - 1(b)及 (c)分 别 给出点电荷及平板电容器中(忽略边缘效应) 的电场线及等位面的分布特性。 图 2 - 3 - 1   电场线与等位面 至此,我们讨论的静电场均是处于真空中的电场。当空间存在介质时, 场与 介质之间将发生相互作用,下面几节 讨论在 静电 场的 作用下 介质 中发生 的物 理 现象及其对静电场的影响。 2-4 介质 极 化 由物理学得知, 物质 是由 原 子构 成 的, 原 子又 由 原子 核 及 其周 围 的电 子 组 成。原子核带正电荷, 电 子带 负 电荷, 因此 原 子核 与 电子 之 间 存在 着 相互 作 用 力。但是这种相互作用力的大小因物质不同而差别很大。导体中电子与原子核 之间的相互作用力很小, 在微弱的电 场作 用下, 电 子就会 发生 移动, 甚至 有可 能 逸出导体之外。所以,导体中的电子通常称为自由电子, 它们所携带的电荷称为 自由电荷。导体的导电能力正是这些自由电子所赋予的。介质与导体的情况不 同,其中自由电子很 少,大部 分电 子 被原 子 核 紧紧 束 缚于 其 周围。 在 电场 作 用 下,电子只能在原子和分子周围移 动。因 此,通常 认为介 质不 具有导 电能 力,是 一种绝缘体。当然, 如果 外加 电 场很 强, 介 质 中的 电 子也 可 能 脱离 原 子核 而 运 2-4 介 质 极 化 45 动,即形成自由电子,从而使得介 质能 够导 电,这种现 象称 为介 质击穿。 使介 质 发生击穿现象的电场强度称为击穿场强。各种介质的击穿场强不同。例如处于 正常气压下的空气, 其击穿场强为 3 × 106 V m , 硬橡 胶为 60 × 106 V m , 云母 为 100×106 V/ m 。 在低于击穿场强的电场作用下,介质中的电荷是不会自由运动的, 这些电荷 称为束缚电荷。由于原子核携带的正电 荷量 等于 全部电 子携 带的负 电荷 量,因 此介质中总的束缚电荷量为零,对外不显示带电效应。 根据介质中束缚电荷的分布特性,介质分子大致可分为两类, 即有极分子和 无极分子。无极分子中,原子的正负电荷中心重合, 因此对外产生的合成电场为 零。有极分子中,原子的正负电荷 中心并 不重 合,每个原 子形 成一 个电偶 极子。 由于这些电偶极子 杂乱无 章地排列, 导 致合成电 矩为零, 即 ∑ pi = 0, 式中 pi 为 第 i 个电偶极子的电矩,因 而对 外产 生的合 成电 场也 为零。 这种 无 极分 子与 有 极分子的物理模型如图 2 - 4 - 1(a) 及 ( b) 所 示。在 电场 的作 用下, 无极 分子 中 的正电荷顺电场方向移动,负电荷逆电场方向反向移动, 使得正负电荷的中心不 再重合,形成很多排列方向大致相同的电偶极子。若是有极分子, 其固有的电偶 极子在电场作用下也要发生转动,使各个电偶极子的排列方向也大致相同, 如图 2 - 4 - 1(c)及 (d)所示。 图 2 - 4 - 1   介质极化 可见,在电场作用下, 介质中束缚电荷发生位移,这种现象称为极化。通常, 无极分子的极化称为位移极化,有 极分子 的极 化称为 取向 极化。 无论哪 一种 极 化现象,极化结果使介质内部出现很多排列方向大致相同的电偶极子, 这些电偶 极子也产生电场。发生极化后的介质中 电 场应是外加电 场 与 电偶 极 子电 场 的合 成。 实际上,介质极化现象是逐渐形成 的,其 过 程可用图 2 - 4 - 2 来说明。 当外 加 电 场 Ea 加 到 介 质 中 以 后, 介 质中出现的电偶极子产生二次电场 Es,这 图 2 - 4 - 2   介质极化过程 46 第二章   静   电   场 种二次电场 Es 又影响外加电场, 从而导致介质 极化发生 改变, 使 二次电 场又 发 生变化。一直到合成电场产生的极化能 够建 立一 个稳态 的二 次电场,极 化状 态 达到动态平衡。由于电偶极子的电矩方向大致与外加电场一致,因此, 处于电偶 极子中央部分的最强的二次电场方向总 是与 外加 电场的 方向 相反,这就 导致 介 质中发生极化后的合成电场总是小于外加电场。 介质极化以后,介质中出现很 多排列 方向 大致 相同的 电偶 极子。为 了衡 量 这种极化程度,我们定义单位体积中电矩的矢量和 称为电极 化强度,以 P 表示, 即 N ∑ pi P= i=1 ΔV (2 - 4 - 1) 式中 pi 为体积 Δ V 中第 i 个电偶极子的电矩, N 为 Δ V 中电偶极子的数目。这 里 Δ V 应理解为物理无限小的体积。这 种物 理无 限小不 同于 数学无 限小,其 尺 度远大于分子和原子之间的间距,也就是远大于介质及场的微观不均匀性范围。 但是,物理无限小远小于介质及场的宏观不均匀性范围。因此, 引入物理无限小 就可以忽略介质及场的微观不均匀性。 实验结果表明, 大多数 介质 在 电场 的 作用 下 发生 极 化时, 其电 极 化 强度 P 与介质中的合成电场强度 E 成正比,即 P = ε0 χe E (2 - 4 - 2) 式中 χe 称为电极化率, 它是一个正实数。由 此可 见, 这类介 质的 电极化 强度 与 合成的电场强度的方向相同。电极化强度的某一坐标分量仅决定于相应的电场 强度的坐标分量。电极化率与电场方 向无关,这 类介 质称 为各 向同性 介质。 有 些介质并不是这样,其电极化强度的 某一坐 标分 量不 仅与电 场强 度相应 的坐 标 分量有关, 而且与电场强度的其他坐标 分量 也有关。 这类 介质的 电极 化强度 P 与电场强度 E 的关系可用下列矩阵表示 Px χ χ χ e1 1 e12 e1 3 Ex Py = ε0 χe2 1 χe22 χe2 3 Ey (2 - 4 - 3) Pz χ χ χ e3 1 e32 e3 3 Ez 由上可见,当电 场 强 度的 方 向 发 生 变 化 时, 产 生 的电 极 化 强 度 不 同。 例 如, 当 E = ex Ex 时,电极化率取决于 χe11 ,χe21 ,χe31 三个元素; 当 E = ey Ey 时, 电极化 率 决定于 χe1 2 ,χe2 2 ,χe3 2 三个元素。这就表明,介 质的电 极化率 与电 场强度 的方 向 有关,也就是极化特性与电场强度方向有关, 因此,这类介质称为各向异性介质。 晶体就是一种典型的各向异性介质。在 地球 磁场 的影响 下,地球 上空电 离层 的 电性能也会显示各向异性的特点。 2-4 介 质 极 化 47 空间各点电极化率相同的介质称为均匀介质,否则, 称为非均匀介质。电极 化率的值与电场强度的大小无关的介质 称为 线性 介质,否 则,称为 非线性 介质。 因此,若式(2 - 4 - 2) 中电极化率 χe 是一个正实常数, 则该式适用于线性均匀且 各向同性的介质。若式(2 - 4 - 3)中矩阵的各个元素都是一个正实常数, 则该式 适用于线性均匀各向异性的介质。应注意,介质的均匀与非均匀性, 线性与非线 性,各向同性与各向 异性 分别 代表 三 个 完全 不 同的 概 念,不 能混 淆。 电极 化 率 χe 与时间无关的介质称为 静止媒 质, 否则 称为 运动 媒质, 本 教材 仅 涉及 静止 媒 质。 已知发生极化以后,介质中出现了一些排列方向大致相同的电偶极子, 如图 2 - 4 - 3(a) 所示。显然,由图 可见, 在介 质表 面出 现面分 布的 束缚电 荷, 而且 由 于外加电场方向自左向右,因此,在这 块介质 的右 半部分 表面 出现 正束缚 电荷, 左半部分表面出现负束缚电荷。此外还可推知,若介质内部是不均匀的, 则极化 产生的电偶极子的分布也是不均匀的。 这样,在 介质 内部出 现束 缚电荷 的体 分 布,因而出现体分布的束缚电荷, 如图中虚线部分所示。下面让我们导出束缚电 荷的面密度 ρ′S 及体密度ρ′与电极化强度 P 的关系。这种因极化产生的面分 布 及体分布的束缚电荷又称为极化电荷。 图 2 - 4 - 3   束缚电荷的求解 如图 2 - 4 - 3(b)所示, 令已极化的介质块体 积为 V′, 若其内的 电极化强 度 分布函数为 P( r′), 则由式(2 - 2 - 24) 可以推知 d V′体积内的电矩 P( r′)d V′在 r 处产生的电位 dφ( r)为 dφ( r) = P( r′)·( r 4πε0 | r - -r′|r′3 )d V′ 因此体积为 V′的已极化介质块在 r 处产生的合成电位为 ∫ φ( r) = 1 4πε0 V′ P( r′)·( r - | r - r′|3 r′) d V′ 考虑到式(1 - 5 - 15),上式又可表示为 48 第二章   静   电   场 ∫ φ( r) = 1 4πε0 P( r′)· V′ ′ | r 1 - r′| d V′ 再利用矢量恒等式 ·(φA ) = φ · A + A· φ,上式积分可以分为两项, 即 ∫ ∫ φ( r) = 1 4πε0 V′ ′· P( r′) | r - r′| d V′- 1 4πε0 V′ ′·P |r- ( r′) r′| d V′ 利用高斯定理,上式第一项又可变为沿介质块表面的面积分, 即 ∮ ∫ φ( r) = 1 4πε0 S′ P( | rr′-)·r′d|S′- 1 4πε0 V′ ′·P( r′) | r - r′| d V′ (2 - 4 - 4) 将上式 与体 电荷 的电位 公式 (2 - 2 - 11) 及 面电荷 电位 公式 (2 - 2 - 15) 比较 可 见,上式第一项代表面 束缚 电荷 产 生的 电位, 第二 项 代表 体 束 缚电 荷 产生 的 电 位,由此求得束缚电荷的面密度 ρ′S 及体密度ρ′分别为 ρ′S ( r′) = P( r′)·en′ ρ′( r′) = - ′·P( r′) 若以 r 作 为变量表 示束缚电 荷的分 布函数, 则束 缚电荷的 面密度 ρ′S 及体密 度 ρ′与电极化强度 P 的关系可表示为下列一般形式 ρ′S ( r) = P( r)·en (2 - 4 - 5) ρ′( r) = - ·P( r) (2 - 4 - 6) 式(2 - 4 - 5)中的 en 为介质表面的外法线方向上的单位矢量。 此外,根据式(2 - 4 - 6) 不难推出介质中穿过任一闭合面的电极化强度的通 量与闭合面包围的束缚电荷 q′的关系为 ∮ q′= - P·d S S (2 - 4 - 7) 考虑到式(2 - 4 - 5), 则式(2 - 4 - 7)又表明, 任一介质块内部体分布的束缚电荷 与介质块的表面束缚电荷是等值异性的。 2 - 5   介质中的静电场方程 既然介质在电场的 作 用下 发生 的 极化 现 象归 结 为在 介 质 内部 出 现束 缚 电 荷,则介质中的静电场可以归结为自 由电荷 与束 缚电 荷在真 空中 共同产 生的 静 电场。这样,在介质内部,穿过任一闭合面 S 的电通应为 ∮S E·d S = 1 ε0 ( q + q′) 式中 q 为闭合面 S 中的自由 电荷, q′为 闭合 面 S 中的 束 缚电 荷。将 式(2 - 4 - 7) 代入上式,得 ∮ (ε0 E + P)·d S = q S 2 - 5   介质中的静电场方程 49 令 则上式可写为 D = ε0 E + P (2 - 5 - 1) ∮ D·d S = q S (2 - 5 - 2) 式(2 - 5 - 1)定义的 D 称为电通密度, 也称 电位移。 由式 (2 - 5 - 2) 可见, 介 质 中穿过任一闭合面的电通密度的通量等 于该 闭合 面包围 的自 由电荷,而 与束 缚 电荷无关。介质中束缚电荷的分布特性有时不易确定,因此, 对于介质中的静电 场,使用电通密度比电场强度较为方便。式(2 - 5 - 2)称 为介 质中 的高斯 定律, 它是介质中静电场方程的积分形式。 ∫ 利用矢 量 分 析 中 的 高 斯 定理 式 (1 - 6 - 9) 同 时 考 虑 到 q = ρd V , 则 式 V (2 - 5 - 2)可写为 ∫ ( ·D - ρ)d V = 0 V 因上式对于任何体积均成立,所以被积函数应为零, 从而求得 ·D = ρ (2 - 5 - 3) 此式表明,介质中电通密度在某点的散度等于该点自由电荷的体密度, 该式称为 介质中静电场方程的微分形式。 在静电场的作用下,介质中束缚电荷产生的电场仍然是静电场, 因此电场强 度的旋度仍然处处为零,即式(2 - 2 - 2) 和式(2 - 2 - 7)仍然成立。 和电场强度一样,电通密度也 可用一 系列 曲线 表示。曲 线上 某点的 切线 方 向与该点电通密度的方向相同,这 些曲线 称为 电通 密度线。 若规 定电通 密度 线 组成的相邻的通量管中电通密度的通量 相等,那 么电 通密度 线的 疏密程 度即 可 表示电通密度的大小。值得注意的是,电通密度线起始于正的自由电荷, 而终止 于负的自由电荷,与束缚电荷无关。 已知各向同性介质的电极化强度 P = ε0 χe E,将其代入式(2 - 5 - 1) 中,得 D = ε0 E + ε0 χe E = ε0 (1 + χe ) E 令 ε= ε0 (1 + χe ) (2 - 5 - 4) 则 D = εE (2 - 5 - 5) 式中 ε称为介质 的介 电常数。 已知 电极化 率χe 为正 实数, 因此, 一 切 介质 的 介 电常数均大于真空的介电常数。实际 中经常 使用 介电常 数的 相对 值,这 种相 对 值称为相对介电常数,以 εr 表示,其定义为 50 第二章   静   电   场 εr = ε ε0 = 1 + χe (2 - 5 - 6) 可见, 任何介质的相对介电常数总 是大 于 1 。表 2 - 5 - 1 给 出了 几 种介 质的 相 对介电常数的近似值。 表 2 - 5 - 1   几种介质的相对介电常数 介 质 εr 介 质 εr 空 气 1. 0 石 英 3. 3 油 2. 3 云 母 6. 0 纸 1. 3~4. 0 陶 瓷 5. 3~6. 5 有机玻璃 2. 6~3. 5 纯 水 81 石 腊 2. 1 树 脂 3. 3 聚乙烯 2. 3 聚苯乙烯 2. 6 式(2 - 5 - 5)仅适用于各向同性介质。对于各向异性介质, 由于电极化率具 有九个分量,因此介电常数也具有九个分量。这样, 各向异性介质的电通密度与 电场强度的关系可以表示为 Dx ε11 ε1 2 ε13 Ex Dy = ε21 ε2 2 ε23 Ey (2 - 5 - 7) Dz ε31 ε3 2 ε33 Ez 此式表明,对于各向异性介质,电通密 度的方 向与 电场强 度的 方向 不一定 相同, 电通密度某一分量可能与电场强度的各个(或者某些) 分量有关。电通密度和电 场强度的关系与外加电场的方向有关。 此外,均 匀介 质的介 电常 数与空 间坐 标 无关。线性介质的介电常数与电场强度的大小无关。静止媒质的介电常数与时 间无关。 对于均匀介质,由于介电常数与坐标无关, 因此将式(2 - 5 - 5)代入式(2 - 5 - 2) 及式(2 - 5 - 3)中, 得 ∮S E·d S = q ε (2 - 5 - 8) ·E = ρ ε (2 - 5 - 9) 当然,若仅在闭合面 S 上介电常数是均匀的,式 (2 - 5 - 8)也可应用。 对于均匀介质, 描述电场 强度 及 电位 与自 由 电荷 的 关系 式 (2 - 2 - 11), 式 (2 - 2 - 14),式(2 - 2 - 15), 式(2 - 2 - 16), 式(2 - 2 - 17) 以及 式(2 - 2 - 18) 仍 然成立,只需将其中的真空介电常数 ε0 换为介质的介电常数 ε即可。 2 - 6   两种介质的边界条件 51 现在让我们讨论一下 介 质中 束缚 电荷 的 分布 情 况。由 式 (2 - 4 - 6) 得知, ·P = - ρ′。可见, 在 ·P = 0 的区域中不存在 束缚电 荷的 体分布, 即 ρ′= 0, 又 知 P = ε0 χe E,代入求得 ·P = ·(ε0 χe E) = · χe 1 + χe D = 1 χe + χe · D + D· χe 1 + χe = 1 χe + χe ρ+ D· χe 1 + χe 由此可见, 对于均匀 介质, χe 1 + χe = 0。 因此, 在均 匀 介质 内 自 由电 荷 ρ= 0 的区域中, ·P = 0,因而束缚电荷的体密度 ρ′= 0。在 非均匀 介质中, 或者是 在 自由电荷存在的区域内,均有束缚电荷存在。 最后,应该指出,从物质的微观结构 来看,介 质中 的电荷 分布 及电场 分布 都 是变化很大的,前述的各种物理量都是指物理无限小范围内的宏观平均值。 2 - 6   两种介质的边界条件 至此,我们讨论的静电场位于无限大的均匀空间, 实际的空间可能存在多种 媒质。由于媒质的特性不同,引起场量在两种媒质的交界面上发生突变, 这种变 化规律称为静电场的边界条件。由于场 量在 边界 上发生 突变,函 数的连 续性 是 可导的必要条件,因而场量的散 度和旋度 在 边界上不存在,需要研究其变 化规律。本 节 讨论两种介质形成的边界条件,下一节讨 论 介质与导体形成的边界条件。 设边界上某 点 两 侧的 电 场强 度 方 向 如 图 2 - 6 - 1 所示。围绕该点且紧贴边界画 图 2 - 6 - 1   切向边界条件 一个有向矩形闭合曲线,其长度 为 Δl, 高 度为 Δh, 则 电场强 度沿 此矩形 曲线 的 环量为 2 3 4 1 ∮ ∫ ∫ ∫ ∫ E·d l = E·dl + E·d l + E·d l + E·dl l 1 2 3 4 为了求出边界上的场量关系,必须令 Δh→0, 则线积分 3 1 ∫ ∫ E·d l + E·dl = 0 2 4 为了求出边界上某点的场量关系, 必 须 令 Δl 足够 短, 以致 在 Δl 内 可以 认为 场 量是均匀的,则上述环量为 52 第二章   静   电   场 2 4 ∮ ∫ ∫ E·d l = E1·d l + E2·d l = E1tΔl - E2tΔl 1 3 式中 E1t 和 E2t分别表示介质 ① 和② 中 电场 强度 与边 界平 行 的切 向分 量。已 知 静电场中电场强度的环量处处为零,因此由上式得 E1t = E2t (2 - 6 - 1) 此式表明,在两种介质形成的边界上, 两侧的电场强度的切向分量相等,或者说, 电场强度的切向分量是连续的。由于 上述推 导并 未涉及 边界 两侧 的媒质 特性, 因此这个结论适用于任何媒质。 对于各向同性的线性介质,已知 D = εE, 代入式(2 - 6 - 1)得 D1t ε1 = D 2t ε2 (2 - 6 - 2) 此式表明,在两种各向同性的线性介质形成的边界上, 电通密度的切向分量是不 连续的。 为了讨论电通密度的法向分 量的变化 规 律,在边界上围绕某点画一个 圆柱面,其高 度 为 Δh,端面为 Δ S,如图 2 - 6 - 2 所示。令两 侧的 电通 密度 矢量 方向 如 图示,则 根 据介 质 中的 高斯 定律, 得知 电通 密度 通过 该 圆柱 面 的通量等于圆柱面所包围的自由电荷,即 图 2 - 6 - 2   法向边界条件 ∮ D·d S = q S 令 Δh→ 0, 则通过 侧面的 通量为零, 又 考虑到 Δ S 必 须足够小, 则 上述通 量 应为 ∮ D·d S = D2 nΔ S - D1 nΔ S S 式中 D1n 及 D2n 分别代表对应介质中电通密度与边界垂直的法线分量。边界法 线的方向 en 规定为由介质①指向介质②, 求得 D2 n - D1 n = q ΔS = ρS (2 - 6 - 3) 式中 ρS 为边界上存在于表面的自 由电 荷的面 密度。 考虑到 在两 种介质 的边 界 上通常不可能存在表面自由电荷,因此 D1n = D2n (2 - 6 - 4) 此式表明, 在两种介质边界上电通密 度的 法向分 量相 等, 或者 说, 电通密 度的 法 向分量是连续的。 对于各向同性的线性介质,由式(2 - 6 - 4) 得 2 - 7   介质与导体的边界条件 53 ε1 E1n = ε2 E2n (2 - 6 - 5) 此式表明,在两种各向同性的线性介质形成的边界上, 电场强度的法向分量不连 续的。这种现象是由于边界上介质的不 均匀 性而 产生的 束缚 电荷引 起的,正 束 缚电荷产生新的电场线,而负束缚电荷使电场线终止。 下面推导边界上束缚电荷与电场强度法向分量的关系。由于 D = ε0 E + P Dn = ε0 En + Pn 将此结果代入式(2 - 6 - 4)中, 得 ε0 ( E2 n - E1n ) = P1n - P2n ∮ 由式(2 - 4 - 7)知, P·d S = - q′,若将此表面 用于图 2 - 6 - 2 中的圆 柱面, 则 S 同理可得 P2n - P1n = - ρ′S (2 - 6 - 6) 代入前式,得 ρ′S = ε0 ( E2n - E1n ) (2 - 6 - 7) 注意,由于边界两侧介质中均存在束缚电荷, 因此上式中的束缚电荷面密度应理 解为净束缚电荷的面密度。此外,边界上存在束缚电荷, 使得边界两侧的电场线 数目不等。但是, 电通密 度线 的 数目 不 变, 这 是因 为 电通 密 度 仅与 自 由电 荷 有 关,与束缚电荷无关。当然, 由于边界两 侧的 电场 强度、电通 密度 的大小 和方 向 均不相同,则两侧的电场线及电通密度线的密度及方向均要发生变化。 2 - 7   介质与导体的边界条件 已知导体中含有大量自由电子,当孤立导体放入静电场中以后, 这些自由电 子将要发生运动,导致导体的电荷重新分布。由于自由电子逆电场方向移动, 因 此重新分布的电荷产生的二次电场与原 电场 方向 相反,使导 体中 的合成 电场 逐 渐削弱, 一直到导体中的合成电场为 零, 自由 电子 的运动 方才 停止, 因而 电荷 分 布不再改变, 这种状态 称为 静 电平 衡。 由此 可 见, 导 体中 是 不 可能 存 在静 电 场 的。 由于导体中静电场为零,则由式(2 - 5 - 3) 得 知, 导体内 部不 可能存 在自 由 电荷的体分布。所以,当导体处于静电平衡状态时, 自由电荷只能分布在导体的 表面上。因为导体中不存在静电 场, 因此 导体中 的电 位 梯度 φ = 0, 这 就意 味 着导体中电位不随空间变化。所以,处于静电平衡状态的导体是一个等位体, 导 体表面是一个等位面。 由上节得知,在任何边界上电 场强度 的切 向分 量都是 连续 的。既然 导体 中 54 第二章   静   电   场 的电场强度为零,导体表面的外侧不可能存在电场强度的切向分量。换言之, 电 场强度必须垂直于导体的表面,即 en × E = 0 (2 - 7 - 1) 式 中 en 为导体 表面 的外 法线方 向上 的单位 矢 量,如图 2 - 7 - 1 所示。 若导体 外存 在电 场,则导体 表面 可以存 在 表面自由电荷,那 么由式 (2 - 6 - 3), 且 考虑 到 D 1 = 0, 得 图 2 - 7 - 1   介质 - 导体边界 D2n = ρS (2 - 7 - 2) 或写成矢量形式为 en· D = ρS (2 - 7 - 3) 若导体周围是各向同性的线性介质, D = εE, 则导体表面的法向电场为 En = ρS ε (2 - 7 - 4) 式中 ε为导体周围介质的介电常 数。已知 导体 表面是 一个 等位 面, En = - φn, 代入上式得 φ n = - ρS ε (2 - 7 - 5) 考虑到导体中不存在静电场,因而电极化强度为零。由式(2 - 6 - 6) 得 P2 n = - ρ′S (2 - 7 - 6) 或写成矢量形式为 en· P = - ρ′S (2 - 7 - 7) 注意, 此结果与式(2 - 4 - 5)的 符号 恰好 相反是 因为 上式中 的 en 方向为 介质 表 面的内法线方向,而前式中的 en 方向为介质表面 的外法 线方向。考 虑到 D2 n = ε0 E2 n + P2n , 求得在此边界上位于介质一侧的束缚电荷面密度 ρ′S 为 ρ′S = ε0 En - ρS (2 - 7 - 8) 式中 En 为导体表面电场强度的法向分量,ρS 为导体表面自由电荷的面密度。 最后 值 得 讨论 的 是由 导 体围 成 的封 闭 空 腔的 情况。当空腔中没有自由 电荷 时,即使 腔外存 在电 荷,腔中也不可能存 在静电 场。其 原因 是由于 导体 内部没有静电场,因此 若沿腔 壁内 部作 一个闭 合曲 面,如图 2 - 7 - 2 所 示,则 通 过其 表 面 的 电 通一 定 为零。 这就表明,该 封闭曲面 内没有 电荷或者 是具有 图 2 - 7 - 2   导体空腔 2 - 7   介质与导体的边界条件 55 等量的正负电荷。若是前者, 腔中不 可能 存在电 场; 若是 后者, 腔 中有可 能存 在 电场。但是后种情况是不可能存在的,因为如果存在正负电荷, 那么这种电荷只 可能分布在导体的表面上, 如图 2 - 7 - 2 所示。 若以 正负电 荷之 间任一 根电 场 线和腔壁中任一根曲线组成一条闭合曲线,由于腔壁中没有电场, 沿该条闭合曲 线的电场强度的环量不为零,这就违背了静电场的基本特性, 也违背了导体是等 位体的特性。由此可见,封闭的导体腔可以屏蔽外部静电场的影响, 这种效应称 为静电屏蔽。显然,若腔体接地, 位于腔中电荷也不可能对外产生静电场。这种 导体空腔的静电屏蔽特性广泛应用于电气设备。 例   已知 半径 为 r1 的 导体球 携带 的正电 荷为 q, 该 导体 球被 内半 径为 r2 的导体球壳所包围, 球与球壳之 间填充介质, 其介电常 数为 ε1 , 球壳的外半径 为 r3 ,球壳的外表面敷有一层介质, 该 层介 质的外 半径 为 r4 , 介电 常数 为 ε2 , 其 外 部区域为真空,如图 2 - 7 - 3 所示。试求:① 各区域中的电场强度;② 各个表面 上的自由电荷和束缚电荷的面密度。 解   ① 由 于 结 构为 球 对称, 场 也是 球 对 称 的,可以应用 高斯 定 律。取球 面 作为 高斯 面,由 于电场必须垂直于导体表面,因而也垂直于高斯 面。 在 r < r1 及 r2 < r < r3 区域 中, 因 导 体 中 不可能存在静电场,所以 E = 0。 ∮ 在 r1 < r < r2 区域中, 由 D·d S = q,得 S 图 2 - 7 - 3   同心多层带电球 E1 = q 4πε1 r2 er 同理,在 r3 < r < r4 区域中,求得 E2 = q 4πε2 r2 er 在 r < r4 区域中, 求得 E0 = q 4πε0 r2 er ② 在 r = r1 的边界上, 自由电荷面密度 ρS = q 4πr21 束缚电荷的面密度为 ρ′S = ε0 E1 n - ρS = q 4πr21 1 εr1 -1 <0 56 第二章   静   电   场 在 r = r2 的边界上, 自由电荷的面密度 ρS2 = - q 4πr22 因 ρS2 = - D1n = - ε0 E1n - P1 n = - ε0 E1 n - ρ′S2 ,所以在 此边界 上,束 缚电荷的 面 密度为 ρ′S2 = - ε0 E1 n - ρS2 = q 4πr22 1 - 1 εr1 >0 在 r = r3 边界上, 自由电荷的面密度为 ρS3 = q 4πr23 束缚电荷的面密度为 ρ′S3 = ε0 E2 n - ρS3 = q 4πr23 1 εr2 -1 <0 在 r = r4 的边界上, 不存在自由电荷,净束缚电荷的面密度为 ρ′S4 = ε0 ( E0n - E2n ) = q 4πr22 1 - 1 εr2 >0 * 2 - 8   电容与部分电容 由物理学得知,平板电容器正极板上携带的电荷 q 与极板间的电 位差 U 的 比值是一个常数,此常数称为平板电容器的电容, 即电容为 C= q U (2 - 8 - 1) 电容的单位为 F。 孤立导体携带的电荷与 其 无穷 远处 作为 参考 点 的电 位 φ之 比 值也 是一 个 常数,此常数称为孤立导体的电容。实际上, 孤立导体的电容可以理解为孤立导 体与无限远处之间形成的电容。应注意,这 里认 为平 板电容 器以 及孤立 导体 的 电容只是一个与电位差无关的常数,是由于默认了周围介质是线性的。 已知电荷为 q, 半径为 a 的导体球, 其球外电场强度为 E( r) = q 4πεr2 er ,   r≥ a 式中 ε为导体球周围介质的介电常 数。因此, 以 无限 远处为 参考 点的导 体球 的 电位为 ∫ φ = ∞ a E·d r = 4πqεa,   r≥ a 那么由式(2 - 8 - 1)求得半径为 a 的孤立导体的电容为 * 2 - 8   电容与部分电容 57 C = 4πεa 电容的 单 位 F ( 法 拉 ) 太 大。例 如 半 径 大 如 地 球 的 孤 立 导 体 的 电 容 只 有 0. 708×10 - 3 F 。实际中,通常取 μF(微法 ) 及 pF( 皮法 ) 作为 电容单 位。1 μF = 10 - 6 F,1 pF = 10 - 12 F。 对于多导体之间的电容计算,需要引 入部 分电 容概念。 在这 种多导 体系 统 中,显然每个导体的电位不仅与导体本身电荷有关, 同时还与其他导体上的电荷 有关,因为周围导体上电荷的存在必然影响其周围空间静电场的分布, 而多导体 的电场是由它们共同产生的。 设空间存在 n 个导体,如图 2 - 8 - 1 所示。各导 体的电荷分别为 q1 , q2 ,…, qn ,相应的电位 为 φ1 , φ2 , …,φn 。若各个 导体 的 总 电荷 之 和 为 零, 则 称 该 多导 体系统构成一个封闭 系统。 注意,若系 统包 含整 个空 间,则总电 荷 应 包 括无 限 远 处 存 在的 电 荷。 这 样,各 个导体的电荷与电位的关系不会受到系统以外电场 图 2 - 8 - 1   多导体系统 的影响。 若空间介质是线性的,则每个导 体的电 位与 各个 导体上 电荷 的关系 也是 线 性的,即 φ1 = P11 q1 + P1 2 q2 + … + P1 n qn φ2 = P21 q1 + P2 2 q2 + … + P2 n qn ………… (2 - 8 - 2) φn = Pn1 q1 + Pn2 q2 + … + Pnn qn 此方程组也可表示为 q1 = a11 φ1 + a12 φ2 + … + a1 nφn q2 = a21 φ1 + a22 φ2 + … + a2 nφn ………… (2 - 8 - 3) qn = an1 φ1 + an2 φ2 + … + an nφn 或写成 q1 = C1 1 φ1 + C12 (φ1 - φ2 ) + … + C1 j (φ1 - φj ) + … + C1 n (φ1 - φn ) q2 = C2 1 (φ2 - φ1 ) + C2 2 φ2 + … + C2 j (φ2 - φj ) + … + C2 n (φ2 - φn )                       ………… qi = Ci1 (φ4 - φ1 ) + … + Ciiφi + … + Cij (φi - φj ) + … + Cin (φi - φn ) qn = Cn1 (φn - φ1 ) + Cn2 (φn - φ2 ) + … + Cnj (φn - φj ) + … + Cnnφn (2 - 8 - 4) 式中 Cii 称为第 i 个 导体的固有部 分电容; Cij 称为第 i 个导体与第 j 个导体之 间 58 第二章   静   电   场 的互有部分电容。 为了计算 Cii , 可令 φ1 = φ2 = … = φn ,则 qi = Ciiφi 即 Cii = qi φi (2 - 8 - 5) 为了计算 Cij , 可令 φj≠ 0,而其余电位皆为零, 则 qi = Cij ( - φj ) 则 Cij = - qi φj (2 - 8 - 6) 应注意,由于 φi 并不是第 i 个导体单独存在时的电 位,因 此 Cii 也并不是 第 i 个导体孤立存在时的电容。同样, Cij也并不是第 i 个导体与第 j 个导体之间 单 独存在时的电容。 例   已知同轴线的内导体半径为 a, 外导体的内半 径为 b, 内外 导体之间 填 充介质的介电常数为 ε。试求单位长度内内外导体之间的电容。 解   由于电场强度一定垂直于导体表面,因此,同轴线中电场强度方向一定 沿径向方向。又因结构对称,可以 应用高 斯定 律。设 内导体 单位 长度内 的电 荷 ∮ 为 q, 围绕内导体作一个圆柱面作为高斯面 S,则由 S E·d S = q ε 得 E = 2πqεrer 内外导体之间的电位差 U 为 ∫ U = b a Ed r = 2πqεln b a 因此同轴线单位长度内的电容为 C= q U = 2πε ln b a 2-9 电场 能 量 已知在静电场的作用下,带有正电荷的带电体会沿电场方向发生运动, 这就 意味着电场力作了功。静电场对外作功 必须 消耗 自身的 能量,可 见静电 场是 具 有能量的。如果静止带电体在外力作用 下由 无限 远处移 入静 电场中,外 力必 须 反抗电场力作功,这部分功将转变为静电场的能量储藏在静电场中, 使静电场的 能量增加。由此可见,根据电场力作 功或外 力作 功与 静电场 能量 之间的 转换 关 系,可以计算出静电场能量。下面我 们根据 外力 作功 与静电 场能 量之间 的关 系 2-9 电 场 能 量 59 导出静电场能量的计算公式。 首先计算电荷为 Q 的孤立带电体的能量。设带电体的电荷 Q 是从零开始 逐渐由无限远处移入 的。由 于开 始时 并无 电 场,移入 第一 个微 量 d q 时外 力 无 需作功。当第二个 d q 移入时, 外力必须克服 电场 力作功。 若获 得的电 位为 φ, 由式(2 - 3 - 2) 得知, 外力必须作 功 φd q。 因此, 电场能量的增量 为 φd q。 已知 带电体的电位随着电荷的逐 渐增 加而 不断 升 高,可见 电位 φ 是 电荷 q 的 函数。 那么当电荷增至最终值 Q 时,外力作的总功,也就是电荷为 Q 的带 电体具有 的 能量为 Q ∫ W e = φ( q)d q 0 已知孤立导体的电位 φ等于所携带的电荷 q 与电容 C 的比值,即 φ= q C 代入上式,求得电荷为 Q 的孤立带电体具有的能量为 We = 1 2 Q2 C = 1 2 ΦQ (2 - 9 - 1) 式中 Φ= Q C 是电 荷为 Q 的孤立带电体的电位。 对于 n 个带电体的总能量,也可以采用同样 的方法 进行计算。设 每个带 电 体的电荷均从零开始,且以同样的比例增长。若周围媒质是线性的, 则当各个带 电体的电荷增加一倍时,各个带电 体的电 位也 升高一 倍。设 第 i 个带电 体的 电 位最终值为 Φi , 电 荷 的最 终 值 为 Qi , 若 某 一 时刻 第 i 个 带 电 体的 电 荷 为 qi = αQi ,α< 1,则此时刻该带电体的电位 为 φi = αΦi 。那 么当各 个带 电体的 电荷 均 以同一比例 α增长,外力必须作的功,也就是带电系统的电场储能增量为 n n ∑ ∑ d W e = Φi d qi = Φi Qiαdα i= 1 i= 1 当各个带电体的电荷同时分别增 至最终 值 Q1 , Q2 ,…, Qn 时,该 系统的 总电 场 能为 n 1 ∫ ∫ ∑ W e = d W e = Φi Qi αdα i= 1 0 即 ∑ W e = n i= 1 1 2 Φi Qi (2 - 9 - 2) 对于孤立导体, n = 1, 则式 (2 - 9 - 2) 变为 式(2 - 9 - 1) 。应 注意, 式 (2 - 9 - 2)中 Φi 并不是电荷为 Qi 的第 i 个带 电体 单独 存在时 的电 位, 而是当 它处 于 n 个带电体系统中,各带电体的电荷分别为 Q1 , Q2 ,…, Qn 时,第 i 个带电体 具 有的电位。 60 第二章   静   电   场 当带电体的电荷为连续的体 分布、面 分布或 线分 布电 荷时, 由 d q = ρd V = ρS d S = ρl dl,求得这种分布电荷的带电体总能量为 ∫ ∫ ∫ W e = V 1 2 φρd V = S 1 2 φρS d S = l 1 2 φρl d l (2 - 9 - 3) 式中 φ为体元 d V ,面元 d S 或线元 d l 处 的电位,积分区 域为 电荷 所在的 空间。 这样,若已知带电体的电荷及电位分布,即可 根据 式(2 - 9 - 3)计 算静电 场的 能 量。应该指出,上面计算多导体的静电场能量 时, 假定各导体的电荷是同时增长的。虽然这是一种 特殊情 况,但是 电场 建立过 程中 外力作 的功 与场 的建立过程无关,否则就违反了能量守恒定律。 从场的观点 来 看, 静电 场的 能 量分 布 在电 场 所占据的整个空间。现在讨论如何计算静电场的 能量分 布 密 度。设 两 个 导 体 携 带 的 电 荷 分 别 为 Q1 和 Q2 , 其表面 积分 别 为 S1 和 S2 , 如 图 2 - 9 - 1 所示。 图 2 - 9 - 1   带电系统的能量 已知电荷分布在导体的表面上,则该系统的总能量为 ∮ ∮ W e = S 1 2 φρS d S + S 1 2 φρS d S 1 2 又知 ρS = D·en′ = - D·en 式中 en′为导体表面的 外法 线 方向 上的 单位 矢量, en 为 导体 表 面的 内 法线 方 向 上的单位矢量。将此式代入上式,得 ∮ ∮ W e = - 1 2 S φD·d S - 1 2 φD·d S S 1 2 式中 d S = en d S。若在无限远处再作一个无限大的球面 S∞ , 由于电 荷分布在 有 限区域,无限远处的电位及场强均趋于零。因此, 积分 ∮ φD·d S→0 S ∞ 那么,上面的储能公式可记作 ∮ ∮ ∮ ∮ W e = - 1 2 S1 φD·d S - 1 2 S2 φD·d S - 1 2 S∞ φD·d S = - 1 2 φD·d S S 式中 S = S1 + S2 + S∞ ,该闭合面 S 包围 了静 电场 所占据 的整 个空间。 利用 高 斯定理,上式可记作 ∫ W e = - 1 2 V ·(φD)d V 2-9 电 场 能 量 61 ∫ = - 1 2 (φ · D + D· φ)d V V 考虑到区域中没有自由电荷,则 · D = 0,又 E = - φ,代入上式, 求得 ∫ W e = V 1 2 D·E dV (2 - 9 - 4) 由此可见,静电 场的能量密度是 1 2 D· E 。 电场的总能量是将 其密度对电场存 在 的整个空间求积。静电场的能量密度以小写字母 we 表示,即 we = 1 2 D· E (2 - 9 - 5) 对于各向同性的线性介质, D = εE, 代入后得 we = 1 2 εE 2 (2 - 9 - 6) 此式表明,各向同性的线性介质中, 某点的能量密度等于该点介电常数与电场强 度平方的乘积之半。该式又表明,静电场能量与场强平方成正比。因此, 能量不 符合叠加原理。这就是说,虽然几个 带电体 在空 间产 生的电 场强 度等于 各个 带 电体分别产生的电场强度的矢量和,但是, 其总能量并不等于各个带电体单独存 在时具有的各个能量之和。事实上,这是因为当第二个带电体引入系统时, 外力 必须反抗第一个带电体对第二个带电体 产生 的电 场力而 作功,此 功也转 变为 电 场能量, 通常这份能量 称为 互有 能, 而 带电 体 单独 存 在时 具 有的 能 量 称为 固 有 能。前面我们计算 n 个带电 体的 能 量时, 令 各个 带 电体 的电 荷同 时增 长, 这 样 既包括了固有能又计及了互有能。 例   计算半径为 a, 电荷为 Q 的导体球具有的能量。 导体周围 介质的介 电 常数为 ε。 解   可采用三种方法进行计算。 方法一,已知半径为 a,电荷为 Q 的导体球的电位 φ为 φ= Q 4πεa 利用式(2 - 9 - 1), 得 We = Q2 8πεa 方法二,已知导体表面是一个等位面, 根据式(2 - 9 - 3), 得 ∮ W e = 1 2 S 4πQεaρS d S = Q2 8πεa 结果同上。 方法三,根据 电场能量 密度公式 (2 - 9 - 4) 计算 其能量。已 知电荷 为 Q 的 导体球外的电场强度为 62 第二章   静   电   场 E = Q 4πεr2 因此,能量密度为 we = Q2 32π2 εr4 那么,将能量密度对球外整个空间进行积分, 得 ∫ ∫ ∫ W e = 2π d 0 π ∞ dθ 0 a we r2 sin θd r = Q2 8πεa 可见,结果仍然同前。 2 - 10   电 场 力 已知某点的电场强度在数值上等于单位正电荷在该点受到的电场力,因此, 点电荷 q′受到的电场力为 F = q′E (2 - 10 - 1) 若式中 E 为点电荷 q 产生电场强度, 则由式(2 - 2 - 19) 得 E = q 4πεr2 er (2 - 10 - 2) 式中 ε为该点电荷周围介质的 介电 常数。 将式 (2 - 10 - 2) 代 入式 (2 - 10 - 1) 中,求得点电荷 q′受到点电 荷 q 的作用 力, 或者说 点电荷 q 对于 点电 荷 q′的 作 用力为 F = qq′ 4πεr2 er (2 - 10 - 3) 式中 er 为由 点电荷 q 指 向点电荷 q′的单 位矢量。上 式就是 法国科学 家库仑 根 据实验总结归纳的库仑定律。根据库仑 定律 可以 得出静 电场 的很多 性质,它 是 物理学中研究静电场性质的主要依据。静电场对于带电粒子具有力的作用获得 了 广 泛 的 应 用,例 如 静 电 复 印 、静 电 除 尘 以 及 静 电 喷 漆 等 。 已知带电体的电荷分布,原则上 可以根 据库 仑定 律计算 出带 电体电 荷之 间 的电场力。但是,对于电荷分布复杂的带电系统, 根据库仑定律计算电场力是非 常困难的,有时甚至无法求积。为了 计算具 有一 定电 荷分布 的带 电体之 间的 电 场力,通常采用虚位移法。这种方法 是假定 带电 体在 电场作 用下 发生一 定的 位 移,根据位移过程中电场能量的变化 与外力 及电 场力 所作的 功之 间的关 系计 算 电场力。 为了说明虚位移方法,以平板电容器为例,如图 2 - 10 - 1 所示。 设两极板上的电荷分别为 + q 及 - q, 板间 距离 为 l。为 了计 算方 便, 假 定 在电场力作用下,极板之间 的距 离增 量 为 dl。众 所 周知, 两 极板 间 的相 互作 用 2 - 10   电   场   力 63 力实际上导致板间距离 减小,因 此,按 照 我 们的 假 定,求 出的 作 用力 应 为 负值。 既然认为作用力 F 导致位移 增加,因 此,作用力 F 的方向为位 移的 增 加方 向。这 样, 为 了产 生 d l 位 移增量,电场 力作 的 功 应 为 F·d l = F dl。 根据 能 量守恒定律, 这 部分 功 应等 于电 场能 量 的减 小 值, 即 Fdl= - d W e 图 2 - 10 - 1   虚位移法 由此得 F= - d We dl q= 常数 (2 - 10 - 4) 式中“ q = 常数”的脚注是说明当极板位 移时, 极板上 的电荷没 有发 生变化, 这 样 的带电系统称为常电荷系统。 已知平板电容器的能量为 We = 1 2 q2 C 对于常电荷系 统,发 生位移 时电荷 q 未变,只 有电容 C 改变了。已 知平板电 容 器的电容 C = εlS, 式中 S 为极 板的 面 积, l 为两 极板 的间 距。将 这 些结 果代 入 式(2 - 10 - 4) 中,求得平板电容器两极板之间的作用力为 F= - q2 2εS (2 - 10 - 5) 式中负号表明了作用力的实际方向是指 向位 移减 小的方 向,这正 是我们 先前 所 预料的。 在上述计算过程中,假定发生 位移时 极板 上的 电荷未 发生 改变。如 果假 定 发生位移时,电容器始终与电源相连, 这样,在虚位移过程中, 两极板的电位保持 不变,这种系统称为常电位系统。 下面可 以证 明,根据这 种常 电位 系统的 假定, 也可以计算平板电容器两极板之间的作用力,所得结果完全相同。 设在电场力作用下,极 板间 距的 增 量为 d l。由 于电 容改 变, 为 了保 持电 位 不变,正极板的电荷增量为 d q, 负极板的电荷增量为 - d q。设正、负极板的电位 分别为 φ1 及 φ2 ,则电场能量的增量为 d We = 1 2 φ1 d q - 1 2 φ2 d q = 1 2 Ud q 式中 U = φ1 - φ2 为两极板之间的电压。 为了将 d q 电荷移至电位 为 φ1 的 正极板, 将 - d q 电 荷移 至电 位为 φ2 的 负 极板,外源必须作的功为 φ1 d q + φ2 ( - d q) = U d q = 2d W e 64 第二章   静   电   场 由此可见,外源作的功恰好是电场能增量的两倍。 根据能量守恒定律,外源作功的一部分供给电场力作功, 另一部分转变为电 场能的增量,因此 2d W e = Fdl + d W e 由此得 F = d We dl φ= 常数 (2 - 10 - 6) 值得强调的是, 式(2 - 10 - 4)及式 (2 - 10 - 6) 具有 明显的 物理 意义。因 为 在常电荷系统中, 由于系统不与外源 相连, 系 统能 量的增 加必 须由电 场供 给, 因 而电场能量减少。在常电位系统中,外源 始终与 系统 相连,保 持电位 不变,因 此 外源提供能量将导致电场能量增加。 已知平板电容 器的 能 量又 可写 为 We = 1 2 U2 C, C = εS l , 代 入 式 ( 2 - 10 - 6),即可求得与式(2 - 10 - 5)相同的结果。 例 1   利用虚位移法计算平板电容器极板上受到的表面张力。 解   利用虚位移概念,假定由于 同一极 板上 的同 性电荷 相斥 产生的 表面 张 力为 F 。在此表面张力 F 的作用下, 使极板面积扩大了 d S, 则电场 力作的功 为 Fd S, 根据能量守恒定律,这部分功应等于电场能量的减小值, 即 Fd S = - d W e 由此得 F= - d We dS q= 常数 已知平板电容器的能量 We = 1 2 q2 C ,且 C = εlS, 代入上式,得 (2 - 10 - 7) F = q2 l 2εS2 (2 - 10 - 8) 若虚位移时,极板与外源相连,因而电位保持不变。那么,表面张力 F 应为 F = d We dS φ= 常数 (2 - 10 - 9) 将 We = 1 2 U2 C, C = εS l 代入, 其 结果同 上。 比较式(2 - 10 - 4) 与式(2 - 10 - 7), 式(2 - 10 - 6) 与式 (2 - 10 - 9), 可见, 它们在形式上完全相同。因此,如果将式 (2 - 10 - 4) 及式 (2 - 10 - 6)中 的变 量 l 理解为一种广义坐标,则 l 可以 代表 位移、面积、体 积甚 至 角度。 企图 改变 这 种广义坐标的作用力称为对于该 广义 坐标 的广 义力。显 然, 对于 不同的 广义 坐 标,其广义力的含义不同。对于位移而言,广义力就是普通概念的力,单位为 N ; 2 - 10   电   场   力 65 对于面积,广义力为表面张力, 单位为 N/ m ;对于 体积, 广义力 为膨胀力 或压力, 单位为 N/ m 2 ; 对于角 度, 广义力为 转矩, 单位为 N·m 。若规 定广义力 的方向 仍 然为广义坐标增加的方向,那么,广 义力与 广义 坐标的 乘积 仍然 等于功。 这样, 式(2 - 10 - 4) 与式(2 - 10 - 6) 可分别改写为 F= - We l q= 常数 (2 - 10 - 10) F= We l φ= 常数 (2 - 10 - 11) 两式中的微分符号变为偏微分是考虑 到系统 的能 量可能 与几 种广 义坐标 有关。 l 代表对应于广义力的广义 坐标。 由上 两式 可见, 带电 系统 的能 量 与多 少种 广 义坐标有关,就存在多少种广义力。当带电系统的某一广义坐标发生变化时, 若 带电系统的能量没有发 生变 化,也 就不 存 在使 该 广义 坐 标发 生 变化 的 广 义力。 例如,平板电容器的能量不仅与 极板间 距有 关,同时也 与极 板面 积有关。 因此, 平板电容器极板之间存在作用力,每个极板又要受到表面张力的作用。 法拉第认为电场线是一种力线,它具有纵向收缩与横向扩张的趋势, 因而可 用电场线描述电场力的作用,这种方法非常直观。读者可以利用这个概念, 判断 平板电容器存在的电场力。 例 2   计算带电肥皂泡的膨胀力。 解   设肥皂泡的电荷为 q, 半径为 a。利 用常 电荷 系统 公式 (2 - 10 - 10), 令式中广义坐标 l 代表体积 V ,则受到的膨胀力 F 为 F= We V q=常数 已知半径为 a, 电荷为 q 的带电球的电位为 φ= q 4πε0 a 因此,其能量为 We = 1 2 φq = q2 8πε0 a 已知球的体积为 V = 4 3 πa3 d V = 4πa2 d a 代入上式,得 F= - 1 4πa2 We a = q2 32π2 ε0 a4 66 第二章   静   电   场 思 考 题 2 - 1   电场强度的定义是什么 ? 如何用电场线描述电场强度的大小及方向 ? 2 - 2   试述真空中静电场方程及其物理意义。 2 - 3   已知电荷分布后,如何计算电场强度 ? 2 - 4   给出电位与电场强度的关系式,说明电位的物理意义。 2 - 5   什么是等位面 ? 它与电场线的关系如何 ? 为什么 ? 2 - 6   电场与介质相互作用后,会发生什么现象 ? 2 - 7   电极化强度的定义是什么 ? 电极化强度与极 化电荷的面 密度及 体密度 的关系 如 何? 2 - 8   试述介质中静电场方程的物理意义。什么 是电通 密度及 介电常 数 ? 为 何介质 的 相对介电常数永远大于 1 ? 2 - 9   什么是均匀与非均匀、线性与非线 性、各向 同性与 各向异 性的介 质 ? 三 者之间 是 否有联系 ? 2 - 10   试述静电场的边界条件。 2 - 11   极化电荷是否仅存在于两种非均匀介质的交界面上 ? 自由电荷是否仅存在于导 体的表面 ? 2 - 12   处于静电场中的任何导体是否一定是等位体 ? 静电场的电场强度是否一定垂直 于任何导体的表面 ? 2 - 13   电容的定义是什么 ? 如何计算多导体之间的电容 ? 2 - 14   如何计算带电系统的能量 ? 点电荷的能量是多少 ? 为什么 ? 2 - 15   如何计算电场力 ? 什么是广义力及广义坐标 ? 如何利用电场线判断电场力的方 向? 习   题 2 - 1   若真空中相距为 d 的两个电荷 q1 及 q2 的电荷量分别为 q 及 4 q,当点 电荷 q′位 于 q1 及 q2 的连线上时,系统处于平衡状态,试求 q′的大小及位置。 2 - 2   已知真空中有三个点电荷,其电荷量及位置分别为 q1 = 1 C, P1 (0,0,1); q2 = 1 C, P2 (1,0,1); q3 = 4 C, P3 (0,1,0) 试求位于 P(0, - 1,0)点的电场强度。 2 - 3   直接利用式(2 - 2 - 14)计算电偶极子的电场强度。 2 - 4   已知真空中两个点电荷的电荷量均为 2×10 - 6 C,相距为 2 cm ,如习 题图 2 - 4 所 示。试求:① P 点的电 位;② 将电荷 量为 2×10 - 6 C 的点 电荷由无限 远处缓慢地 移至 P 点 时 ,外 力 所 作 的 功 。 2 - 5   通过电位计算有限长线电荷的电场强度。 2 - 6   已知分布在半径为 a 的半圆周上的电 荷线密 度ρ1 = ρ0 sin ,0≤ ≤π,试求圆 心 习   题 67 习题图 2 - 4 处 的 电场 强 度 。 2 - 7   已知真空中半径为 a 的圆环上均匀地分布着线电荷,其密度为 ρl ,试求通过 圆心 的 轴 线上 任 一 点 的 电 位 及 电 场 强 度。 2 - 8   设宽度为 W ,面密度为 ρS 的带状电荷位于真空中,试求空间任一点的电场强度。 2 - 9   已知均匀分布的带电圆盘半径为 a,电荷面密度为 ρS ,位 于 z = 0 平 面,且盘 心与 原点重合,试求圆盘轴线上任一点电场强度 E。 2 - 10   已知电荷密度为 ρS 及 - ρS 的 两块 无限 大面电 荷分 别位 于 x = 0 及 x = 1 平 面 上,试求 x > 1,0 < x < 1 及 x < 0 区域的电场强度。 2 - 11   若在球坐标系中,电荷分布函数为 0, 0< r< a ρ= 10 - 6 , a< r< b 0, r> b 试求 0 < r < a, a < r < b 及 r > b 区域的电通密度 D 。 2 - 12   若带电球的内外区域中的电场强度为 E = er q r2 ,r > a qar, r < a 试 求 球内 外 各 点 的 电 位 。 2 - 13   已知球坐标系中空间电场分布函数为 r3 ,   r≤ a E = er a5 r2 ,   r≥ a 试 求 空间 的 电 荷 密 度 。 2 - 14   已知真空中的电荷分布函数为 r2 , 0≤ r≤ a ρ( r) = 0, r> a 式中 r 为球坐标系中的半径,试求空间各点的电场强度。 2 - 15   已知空 间电场 强度 E = 3 ex + 4 ey - 5 ez ,试 求(0,0,0)与(1,1,2) 两点间 的电 位 68 第二章   静   电   场 差。 2 - 16   已知 同轴圆柱电 容器的内导 体半径为 a,外导体的 内半径为 b。若填充介质 的 相对介电常数 εr = 2。试求在外导体 尺寸不 变的情 况下,为了获 得最 高耐 压,内 外导 体半 径 之比。 2 - 17   若在一个电荷密度为 ρ,半径为 a 的均匀带电球中,存在一个半径为 b 的球形空 腔,空腔中心与带电球中心的间距为 d,试求空腔中的电场强度。 2 - 18   已知介质圆柱体的半径为 a,长度为 l,当沿轴线方向发生均匀极化时,电极化强 度为 P,试求介质中束缚电荷在圆柱内外轴线上产生的电场强度。 2 - 19   已知内半 径为 a,外半径为 b 的均匀介质球壳的介电常数为ε,若在球心放 置一 个电荷量为 q 的点电荷,试求:① 介质壳内外表面上的束缚电荷;② 各区域中的电场强度。 2 - 20   将一块无限大的厚度为 d 的介质板放在均匀电场 E 中,周 围媒质为真 空。已知 介质板的介电常数为 ε,均匀电场 E 的方向与介质板法线的夹角为θ1 ,如习题图 2 - 20 所示。 当 介 质板 中 的 电 场 线 方 向 θ2 = π 4 时 ,试 求 角 度 θ1 及 介 质 表 面的 束 缚 电 荷 面 密 度 。 习题图 2 - 20 2 - 21   已知两个导体球的半径分别为 6 cm 及 12 cm ,电荷量均为 3×10 - 6 C,相距很远。 若以导线相连,试求:① 电荷移动的方向及电荷量;② 两球最终的电位及电荷量。 2 - 22   已知两个导体球的重量分别为 m 1 = 5 g, m 2 = 10 g,电荷量均为 5×10 - 6 C,以无 重量的绝缘线相连。若绝缘线的长度 l = 1 m ,且远大 于两球的半 径,试求:① 绝缘线切 断的 瞬时,每个球的加速度;② 绝缘线切断很久以后,两球的速度。 2 - 23   如习题图 2 - 23 所示,半 径为 a 的导体球中有两个较小的球形空 腔。若在 空腔 中心分别放置两个点电荷 q1 及 q2 ,在距离 rm a 处放置另一个点电荷 q3 ,试求三个点电荷受 到 的 电场 力 。 习题图 2 - 23 习   题 69 2 - 24   证明位于无源区中任一球面上电位 的平均值等 于其球心 的电位,而与 球外的 电 荷 分 布特 性 无 关 。 2 - 25   已知可变电容器的最大电容量 C max = 100 pF,最小电容量 C min = 100 pF,外 加直 流电压为 300 V ,试求使电容器由最小变为最大的过程中外力必须作的功。 2 - 26   若使两个电容均为 C 的真空电容器充 以电压 U 后,断开 电源相 互并联,再将 其 中之一填满介电常数为 εr 的理想介质,试求:① 两个电容器的最终电位;② 转移的电荷量。 2 - 27   设同轴圆柱电容器的内导体半径为 a,外导体半径为 b,其内一 半填充介电 常数 为 ε1 的介质,另一半填充介质的介电常数为 ε2 ,如习题图 2 - 27 所示。当外加电压为 U 时, 试求:① 电容器中的电场强度;② 各边界上的电荷密度;③ 电容及储能。 习题图 2 - 27 习题图 2 - 28     2 - 28   一平板电容器的结构如习题图 2 - 28 所示,间距为 d,极板面积为 l× l。试求: ① 接上电压 U 时,移去介质前后电容 器中的 电场强 度、电 通密度、各 边界上 的电荷 密度、电 容及储能;② 断开电源后,再计算介质移去前后以上各个参数的值。 2 - 29   若平板电容器的结构如习题图 2 - 29 所示,尺寸同上题,计算上题中各种情 况下 的 参 数。 2 - 30   已知两个 电容器 C1 及 C2 的电荷 量分 别为 q1 及 q2 ,试求两者 并 联后 的 总储 能。若 要求 并联 前 后的 总储 能不变,则两个电容器的电容及电荷量应满足什么条件 ? 2 - 31   若平板电容器中介电常数为 ε( x) = ε2 - d ε1 x + ε1 平板面积为 A,间距为 d,如习 题图 2 - 31 所 示。试 求平板 电 容 器的 电 容 。 习题图 2 - 29 习题图 2 - 31 习题图 2 - 32     2 - 32   若平板空气电容器的电压为 U ,极板面积为 A,间距为 d,如习题图 2 - 32 所示。 70 第二章   静   电   场 若将一块厚度为 t(t < d)的导体板平行地插入该平板电容器中,试求外力必须作的功。 2 - 33   已知线密度 ρl = 10 - 6 C m 的 无限 长线 电荷 位 于(1,0, z)处,另 一面 密 度 ρS = 10 - 6 C/ m 2 的无限大面电荷分布在 x = 0 平 面。试求位 于 1 2 ,0 ,0 处电荷 量 q = 10 - 9 C 的 点 电 荷受 到 的 电 场 力 。 2 - 34   已知平板电容器的极板尺寸为 a× b,间距为 d,两板间 插入介 质块的 介电常 数 为 ε,如习题图 2 - 34 所示。试求:① 当接上电压 U 时,插入介 质块受 的力;②电源 断开后, 再 插 入介 质 时 , 介 质块 的 受 力 。 习题图 2 - 34 第三章   静电场的边值问题 由第二章获悉,根据电荷分布 可以通 过几 种途 径求解 静电 场问题。 但是 实 际中对于很多静电场问题通常并不知道电荷分布,此时只能根据边界条件, 通过 求解电位满足的微分方 程,从而 获 知电 场的 分 布特 性,这 就 是 静电 场 的边 值 问 题 。 本 章 将 介 绍 求 解 电 位 微 分 方 程 的 一 种 基 本 方 法 ——— 分 离 变 量 法 。 这 种 用 来 求解电位微分方程的方法对于 11 种坐标系都是行之有效的, 但是本章仅介绍直 角坐标系、圆柱坐标 系及 球坐 标系 中 的 分离 变 量法。 此 外, 对 于某 些 特殊 的 边 界,如无限大平面, 无限大的劈,无限长的圆柱以及圆球边界, 还介绍了另一种求 解静电场的方法———镜像法。应该指出, 本 章介 绍的 这些方 法不 仅适用 于静 电 场,在一定条件下,也可推广到恒定磁 场及 时变 电磁场。 此外,还 有其他 方法 求 解静电场的边值问题,限于 篇幅 这 里不 予介 绍,读 者 可以 参 考 有关 电 磁理 论 书 籍。 无论是分离变量法 还 是镜 像 法, 都 是 基于 电 位微 分 方程 及 其惟 一 性 定理。 因此本章首先介绍电位微分方程及其解的惟一性。 * 3 - 1   电位微分方程 由式(2 - 2 - 13) 知,电位 φ与电场强度 E 的关系为 E= - φ 对上式两边取散度,得 ·E = - 2 φ 已知在线性各向同性的均匀介质中,电场强度 E 的散度为 ·E = ρ ε 将其代入上式,求得各向同性的线性均匀介质中, 电位满足的微分方程式为 2 φ= - ρ ε (3 - 1 - 1) 该方程称为泊松方程。 对于电荷密度 ρ= 0 的无源空间,式 (3 - 1 - 1)变为 2 φ= 0 (3 - 1 - 2) 上式称为拉普拉斯方程。在静电场中通常需要获知具有一定形状的无源区中的 72 第三章   静电场的边值问题 电位分布及电场分布,此时, 即需求解电位满足的拉普拉斯方程。 这里让我们讨论如何求解泊松方程式(3 - 1 - 1)。已知分布在 V′中的电荷 ρ( r′)在无限大的自由空间产生的电位为 ∫ φ( r) = 1 4πε V′ |ρr(-r′r)′|d V′ (3 - 1 - 3) 因此,上式就是电位微分方程式(3 - 1 - 1) 在自由空间的解。读者可以将其代入 式(3 - 1 - 1), 即可验证。 为了求出方程式(3 - 1 - 1)的通解, 我们 定义一 个格林 函数 G ( r, r′), 它 满 足下列方程 2 G ( r, r′) = - δ( r - r′) (3 - 1 - 4) 根据δ( r - r′) 的 性 质, 比 较 式 (3 - 1 - 1) 及 式 (3 - 1 - 4) 可 见, 满 足 方 程 式 (3 - 1 - 4)的格林函数 G ( r, r′)可以理解为位于 r′处的点源在 r 处产生的电位, 因此,格林函数又称为点源函数。在第十章中, 我们将会介绍另一种形式的格林 函数。格林函数的引入是为了求解给定 的微 分方 程,因此对 于结 构不同 的微 分 方程,需要定义不同的格林函数[16] 。 已知式(3 - 1 - 1)在自由空间的解为式(3 - 1 - 3),由此推知式(3 - 1 - 4) 在 自由空间的解 G0 ( r, r′)为 ∫ G0 ( r, r′) = 1 4π δ( r - V′ | r - rr′′|) d V′ 考 虑到 对于 点源, r′为 常 数,因 此 | r 1 - r′| 可移 出积 分式, 得 G0 ( r, r′) = 1 4π( r - r′) 则泊松方程在自由空间的解可用式(3 - 1 - 5)的格林函数表示为 (3 - 1 - 5) ∫ φ( r) = 1 ε ρ( r′) G0 ( r, r′)d V′ V′ (3 - 1 - 6) 式中 V′是源所占据的区域。 若所讨 论 的 静 电 场 位 于 有 限 区 域 V 中, 利 用 标 量 第 二 格 林 定 理 式 (1 - 9 - 5), 并令 Φ = φ, Ψ = G0 ( r, r′), 得 ∫ [ G 0 ( r, r′) 2 φ- φ 2 G0 ( r, r′)]d V V ∮ = [ G0 ( r, r′) φ - φ G 0 ( r, r′)]·d S S * 3 - 1   电位微分方程 73 将式(3 - 1 - 1)及式(3 - 1 - 4) 代入,得 ∫ ∫ - V G0 ( r, r′)ρ(εr)d V + φ( r)δ( r - r′)d V V ∮ = [ G0 ( r, r′) φ - φ G0 ( r, r′)]·d S S 即 ∫ φ( r′) = V G0 ( r, r′)ρ(εr) d V + ∮ [ G0 ( r, r′) φ( r) - φ( r) G0 ( r, r′)]·d S S 由式(3 - 1 - 5)可见, 格林函数 G0 ( r, r′)具有下列对称特性 G0 ( r, r′) = G0 ( r′, r) (3 - 1 - 7) (3 - 1 - 8) 将式(3 - 1 - 7)中的 r 与 r′对调, 且考虑到式(3 - 1 - 8), 得 ∫ φ( r) = V G0 ( r, r′)ρ(εr′) d V′+ ∮ [ G0 ( r, r′) ′φ( r′) - φ( r′) ′G0 ( r, r′)]·d S S (3 - 1 - 9) 上式即为式 (3 - 1 - 1)的通解, 式中 S 为包 围区 域 V 的 边界表 面。对于 无限 大 的自由空间, 表面 S 趋向无限远处, 由于 G0 ( r, r′)与 距离 成反比, 电 位 φ至 少 与距离一次方成反比,而 d S 与距离平方成正比,所以,对无限远处的 S 表面,式 (3 - 1 - 9)中的面积分为零。若电荷 ρ( r′)仅局限于 V′中,则 式(3 - 1 - 9)中 的 体积分仅对 V′求积即可。这样, 式(3 - 1 - 9)变为式 (3 - 1 - 6)。从而再次证明 了式 (3 - 1 - 2 ) 是 式 (3 - 1 - 1) 在 自 由 空 间 的 解。 若 V 为 无 源 区, 那 么 式 (3 - 1 - 9)中的体积分为零。因此, 第二项面积分可以认为是泊松方程在无源区 中的解,或者认为是拉普拉斯方程以格林函数表示的积分解。 由以上讨论得知,静电场的边值 问题归 结为 在给 定边值 条件 下求解 泊松 方 程或者拉普拉斯方程。我们知道,数 学物理 方程 描述 的是物 理量 随空间 和时 间 的变化规律。对于某一特定的区域和时 刻,方程 的解 取决于 物理 量的初 始值 与 边界值,这些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件, 两者又统称为该方 程的定解条件。静电场的场量与时间无 关,因此 电位 所满足 的泊 松方程 及拉 普 拉斯方程的解仅取决于边界条件。根据给定的边界条件求解空间任一点的电位 就是静电场的边值问题。通常给定的边 界条 件有 三种类 型:第一 种边界 条件 给 定的是边界上的物理量,这种边值问题又称为狄利克雷问题; 第二类边界条件是 给定边界上物理量的法向导数值,这种边值问题又称为诺依曼问题; 第三类边界 条件是给定一部分边界上的物理量及另 一部 分边 界上物 理量 的法向 导数 值,这 74 第三章   静电场的边值问题 种边值问题又称为混合边值问题。 对于任何数学物理方程需要研 究解 的存 在、稳定 性及 惟一 性问题。 解的 存 在是指在给定的定解条件下,方程是否有解; 解的稳定性是指当定解条件发生微 小变化时,所求得的解是否会发生 很大的 变化。 解的 惟一性 是指 在给定 的定 解 条件下所求得的解是否惟一。由于实际 中定 解条 件是由 实验 得到的,不 可能 取 得精确的真值,因此,解的稳定性具 有重要 的实 际意义。 静电 场是 客观存 在的, 因此电位微分方程解的存在是确信无疑的。泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定 性在数学中已经得到证明[4][5] 。下一 节我们 将 证明 电位 微分 方程 解 的惟 一性。 并介绍静电场中通常遇见的边界特性。 * 3 - 2   电位微分方程解的惟一性 我们已知,静电场的边值问题归 结为在 给定 的边 界条件 下求 解电位 微分 方 程。现在证明,电位满足的泊松方程 在给定 第一 类边 界条件 或第 二类边 界条 件 时,也就是当边界上的电位或者电位的法向导数值给定时, 其解是惟一的。 这里采用反证法予以 证明。 设静 电场 存在 的区 域 为 V ,其 边界 表 面为 S。 如果在给定第一类或第二类边界条件时, V 中存在两 个电位 函数 φ1 及 φ2 均 满 足泊松方程,即 2 φ1 = - ερ,   2 φ2 = - ρ ε 令 φ1 - φ2 = δφ,显然电位差 δφ满足拉普拉斯方程, 即 2 (δφ) = 0 利用标量第一格林定理,并令 Φ = Ψ = δφ,则由式 (1 - 9 - 1)得 ∫ ∮ [| δφ|2 + δφ 2 (δφ)]d V = V δφ S n(δφ)d S (3 - 2 - 1) 将式(3 - 2 - 1)代入, 得 ∫ ∮ | δφ|2 d V = V δφ S n(δφ)d S (3 - 2 - 2) 由此可见,当边界表面 S 上的电位或其 法向 导数给 定时,在 S 表 面上的 电位 差 δφ或其法向导数 n(δφ)应该为零, 即式(3 - 2 - 2)的右端面积分为零, 即 ∫ | (δφ)|2 d V = 0 V (3 - 2 - 3) 由于上式中的被积函数非负,因此只有当被积函数为零时积分值才为零, 由此得 3- 3   镜   像  法 75 (δφ) = 0 (3 - 2 - 4) 此式表明,电位差 δφ是一个常数, 即 φ1 - φ2 = 常数 由此可见,若边界上电位 值给 定, 则 在边 界上 φ1 = φ2 。因 此, 既然 φ1 与 φ2 的 差值是一个常数,这个常数应该处处为零, 显然在 V 中 φ1 = φ2 。这 就说明了 当 边界上的电位给定时,泊松方程的 解是惟 一的。 如果 给定的 是边 界上的 电位 法 向导数值,那么 φ1 与 φ2 的差值不一定为零,但由于 φ1 与 φ2 只相差一个常数, 电场强度 E = - φ, 因此这个常数并 不影 响电场 强度。 也就是 说, 根据 φ1 或 φ2 求得的电场强度是相同 的,从 这个 意义 来看, 我们 仍然 可以认 为 电位 微分 方 程的解是惟一的。 实际中静电场的边界通常是由导 体形 成的。 此时,若给 定导 体上的 电位 值 就是第一类边界,若给定导体上的电荷就 是第二 类边 界。由式(2 - 7 - 5)得知, 导体表面上的电荷密度与电位 导数 的关 系为 φ n = - ρεS , 可 见, 表面 电荷 给定 等 于给定了电位的法向导数值。因此,当导体上的电荷给定时, 空间静电场的解也 是惟一的。 由以上讨论得知,对于导体边界的静电场问题, 当边界上的电位或电位的法 向导数给定时,或导体表面电荷密度给定时, 空间的静电场被惟一地确定。这个 结论称为静电场惟 一 性定 理。读 者可 以 证 明, 该 定理 同 样适 用 于非 均 匀 介质。 应注意,对于非均匀介质, 电位满足的微分方程应为 ·(ε φ) = - ρ。 电位微分方程解的惟一性以及静电 场惟 一性 定理非 常重 要,下面介 绍的 镜 像法及分离变量法都基于这些定理。 3-3 镜 像 法 对于某些静电场边值问题的求解可以采用镜像法。这种方法的实质是以一 个或几个等效电荷代替边界的影响,将原来 具有 边界 的非均 匀空 间变成 无限 大 的均匀自由空间,从而使计算过程大为简化。根据惟一性定理得知, 这些等效电 荷的引入必须维持原来的边界条件不变,从而保证原来区域中静电场不变, 这是 确定等效电荷的大小及其位置的依据。 这些 等效 电荷有 时处 于镜像 位置,因 此 称为镜像电荷,而这种方法称为镜 像法。镜 像法 的关 键是确 定镜 像电荷 的大 小 及其位置。但是,仅仅对于某些特殊 的边界 以及 特殊 分布的 电荷 才有可 能确 定 其镜像电荷,因此, 镜像法具有一定的局限性。下面讨论几种可以应用镜像法求 解的静电场问题。 第一,点电荷与无限大的导体平面。 76 第三章   静电场的边值问题 设某一点 电 荷 q 位 于 无 限 大 的 平 面 导 体 附 近,离开 导体 平 面 的 距 离为 h, 如 图 3 - 3 - 1 所 示。 若以 一个 处 于镜 像 位置 的 点 电荷 q′代 替 边 界的影 响,使 整个 空间 变 成均 匀的 介电 常数 为 ε 的空间,则空间任一点 P 的电位 由 q 及 q′共 同产 生,即 φ= q 4πεr + q′ 4πεr′ 图 3 - 3 - 1   平面边界的镜像法 (3 - 3 - 1) 在平面边界上任一点, r = r′= r0 , 则电位为 φ= q + q′ 4πεr0 (3 - 3 - 2) 已知导体是等位体,分布在有限区 域的电 荷在 无限远 处产 生的 电位为 零,因此, 无限大导体平面的电位为零。由式(3 - 3 - 2) 可见, 若 令 q′= - q, 则 由 q 及 q′ 在原先的平面边界上产生零电位,这就保证了边界条件不变, 因而上半空间的静 电场不变。这样,把原来的 边值 问题, 变成 为由 两个 点电 荷 q 及 q′在均 匀空 间 产生的静电场问题。此结果与 2 - 2 节中例 2 求得的电偶极子情况完全相同。 其电场线与等位面的分布特性恰如图 2 - 2 - 4 的上半 部分 所示。由 此可 见, 电 场线处处垂直于导体平面,而零电位面与导体表面吻合。 当点电荷 q 位于无限大的导体平面附近时,导体 表面将 产生 异性的 感应 电 荷,因此,上半空间的电 场取 决于 原 先的 点 电 荷及 导 体表 面 上的 感 应电 荷。 可 见,上述镜像法的实质是以一个异性 的镜像 点电 荷代 替导体 表面 上异性 的感 应 电荷的作用。根据电荷守恒定律,镜像点电荷 q′的 电荷量 应该等于 这些感应 电 荷的总电荷量,读者可以根据导体表 面电荷 密度 与电 场强度 或电 位的关 系证 明 这个结论。此外,应该注意上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立, 因为在 上半空间中,源及边界条件未变。 对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜像法。但是仅当这种导 体劈的夹角等于 π的整数分之一时, 才 可求出 其镜 像电 荷。为了 保证这 种劈 形 边界的电位为零,必须引入几个 镜像电 荷。图 3 - 3 - 2 给出 了对 于夹 角 为 π/ 3 的导电劈而引入的 5 个镜像电荷的位置。 当连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时,根据叠加原理得知, 同 样可以应用镜像法求解。 第二,点电荷与导体球。 首先讨论点 电 荷 位 于 接 地 导 体 球 附 近 时, 如 何 计 算 球 外 电 场 强 度。 如 图 3 - 3 - 3所示, 导体球的半径为 a, 点电荷 q 离开球心的距离为 f。 3- 3   镜   像  法 77 图 3 - 3 - 2   导电劈的镜像法 图 3 - 3 - 3   接地导体球的镜像法     为了等效导体球边界的影响,令点电荷 q′位 于球心 与点电荷 的连线上。 那 么,球面上任一点电位为 φ= q 4πεr + q′ 4πεr′ 可见,为了保证球面上任一点电位为零, 必须选择镜像电荷 q′为 q′= - rr′q 因此为了使得镜像电荷具有一个确定的值, 必 须使 比值 rr′对 于球 面上任 一点 均 具有同一数值。由图 3 - 3 - 3 可见, 若 三角形 △ O Pq′与 △ O qP 相似, 则需 rr′= a f = 常数,由此确定了镜像电荷的值应为 q′= - a f q (3 - 3 - 3) 镜像电荷离球心的距离 d 应为 d= a2 f (3 - 3 - 4) 这样, 根据 q 及 q′即 可计 算 球外 空间 任一 点的 电 场强 度。同样 可 以 证明, 接地导体球面上的感应电荷总电量应等于 q′。 若导体球不接地,则位于点电荷一侧的导体球表面上的感应电荷为负值, 而 导体球另一侧表面上的感应电荷为 正值。导 体球 表面上 总的 感应 电荷应 为零。 因此, 对于不接地 的导 体 球, 若 引入 上 述 的 镜 像电 荷 q′, 为 了 满 足电 荷 守 恒 定 律,必须再引入一个镜像电荷 q″, 且令 q″= - q′。显然,为了保证球 面边界是 一 个等位面, 镜像电荷 q″必须 位 于球 心。事 实上, 由 于球 不 接地, 因 此, 其 电位 不 等于零。由于 q 及 q′在球面边界上形成 的电位为 零, 因此必须 引入第二 个镜 像 电荷 q″以提供一定的电位。 读者还可进一步讨论,对于不接地的导体球, 若给定了电位值或所携带的电 78 第三章   静电场的边值问题 荷,如何确定其镜像电荷的值及其位置。 第三,线电荷与带电的导体圆柱。 如图 3 - 3 - 4 所示, 在半径为 a, 单位长度内的电荷量为 - ρl 的无限长导体 圆柱附近平行放置一根线密度为 ρl 的无限长线电荷, 线电荷与圆柱 轴线之间 的 距离为 f。 在圆柱轴线与线电荷之间,离轴线的 距 离为 d 处, 平行放置一根镜像电荷 - ρl 。由 式(2 - 2 - 28) 知,无限长线电荷 产生的电 场 强度为 E = ρl 2πεr er 图 3 - 3 - 4   导体圆柱的镜像法 因此,离 ρl 线电荷 r 处,以 r0 为参考点的电位为 ∫ φ= - r r E d r = 2ρπlεln r0 r 0 若令镜像线电荷 - ρl 产 生 的电 位也 取相 等的 r0 作为 参考 点, 则 ρl 与 - ρl 在圆柱面上 P 点共同产生的电位为 φP = 2ρπlεln r0 r - 2ρπlεln r0 r′ 即 φP = 2ρπlεln r′ r 已知导体圆柱是一个 等位 体, 因 此, 为 了满 足 该 边界 条 件, 要 求比 值 rr′为 常数。 与前同理,可令 rr′= a f = d a 由 此得 d= a2 f 读者可以想像与实际导体圆柱处于 对称 位置 的右侧,也 应存 在一个 圆柱 等 位面,如图 3 - 3 - 5 中虚线所示。根 据这个 结论 可以 计算两 根平 行导体 圆柱 间 的电容。若图 3 - 3 - 5 代表两根半径为 a 的平行 导体圆柱,则 可设想有 两根 平 行的异 性 线 电荷 ρl 及 - ρl 存 在, 它 们在 两侧形成圆柱形等位面。 若 已知 两 根 导 体 圆柱 的 轴 线 间 距为 D ,则 D = f+ d= f+ a2 f 图 3 - 3 - 5   平行导体圆柱 3- 3   镜   像  法 79 由此得 f= 1 2 ( D± 考虑到通常 D 及 f 均比 a 大得多,应取 D2 - 4 a2 ) f= 1 2 ( D + D2 - 4 a2 ) (3 - 3 - 5) 已知左侧圆柱导体的电位为 而右侧圆柱导体的电位应为 φ1 = 2ρπlεln a f φ2 = - 2ρπlεln a f 由于 a < f,可见 φ1 < 0,φ2 > 0, 那么两根导体圆柱之间单位长度内电容为 C1 = φ2 ρl - φ1 = πε ln f a 将式(3 - 3 - 5)代入, 得 若 D m a,则 C1 = πεln D 2a + D 2a 2 -1 (3 - 3 - 6) C1 = πε ln D a (3 - 3 - 7) 考虑到 ln( x + x2 - 1) = arcosh x,( x > 1),式(3 - 3 - 6) 又可表示为 C1 = πε arcosh D 2a (3 - 3 - 8) 第四,点电荷与无限大的介质平面。 上面讨论的镜像关系均适用于导体边界,对于无限大的介质平面边界问题, 也可采用镜像法。如图 3 - 3 - 6(a)所示, 点电荷 q 位于两 种介质形 成的无限 大 平面边界附近,此时上下空间的场是由点 电荷 q 及 其边界 上的束 缚电荷 共同 产 生的。为了求解上半空间的场, 可 用 镜像 电荷 q′等 效边 界上 束缚 电 荷的 作用, 将整个空间变为介电常数为 ε1 的均 匀空 间, 如 图 3 - 3 - 6( b) 所 示。对 于下 半 空间,可用位于原点电荷 q 处的 q″等效原来 的点电荷 q 与 边界上 束缚电 荷的 共 同作用,将整个空间变为介电常数为 ε2 的 均匀空间, 如图 3 - 3 - 6(c) 所示。 显 然,这样的等效是合理的。因为任何矢量场是由源及其边界条件共同决定的, 图 3 - 3 - 6 (a) 的 上 半 空 间 与 图 3 - 3 - 6 ( b) 的 上 半 空 间 的 点 电 荷 未 变, 而 图 3 - 3 - 6 (a) 的下 半 空 间与 图 3 - 3 - 6(c) 的 下半 空 间仍 然 保持 无 源空 间 。现 在 80 第三章   静电场的边值问题 图 3 - 3 - 6   介质平面的镜像法 的问题是必须迫使由图 3 - 3 - 6(b)所 求得 的场与 由图 3 - 3 - 6(c) 求得 的场 在 边界上符合图 3 - 3 - 6(a) 的 边界 条 件, 即电 场切 向 分量 保持 连续, 电通 密度 的 法向分量应该相等,故在边界上应该满足 E1t + E′1t = E″2t (3 - 3 - 9a) D1n - D′1n = D″2 n (3 - 3 - 9b) 式中 E1 及 D1 是由原点电荷 q 产生的, E′1 及 D′1 是由 q′产生的, E″2 及 D″2 是由 q″产生的, en 的方向由介质①指向介质②。根据 这种边 界条件即 可确定 镜像 电 荷 q′及 q″的值。已知点电荷 q, q′及 q″产生的电场强度分别为 E1 = q 4πε1 r2 er ; E′1 = q′ 4πε1 ( r′)2 er′; E″2 = q″ 4πε2 ( r″)2 er″ 为了满足式(3 - 3 - 9)边界条件, 由图 3 - 3 - 6(b)及图 3 - 3 - 6(c)求得 qcos 4πε1 θ r20 + 4qπ′cεo1srθ20 = q″cos θ 4πε2 r20 qsin θ 4πr20 - q′sin 4πr20 θ = q″sin θ 4πr20 即 1 ε1 ( q + q′) = q″ ε2 q - q′= q″ 求得 q′= ε1 ε1 - ε2 + ε2 q;   q″= 2ε2 ε1 + ε2 q 由此可见,镜像电荷 q′及 q″完全取决于 两种介 质的介电 常数。当 ε1 = ε2 时, 边 界消失,因此 q′= 0, q″= q,完全符合预料的结果。 例   已知同轴线的内 导体 半径 为 a, 内 外导 体 间的 电位 差 为 U , 外导 体 接 地,其内半径为 b, 如图 3 - 3 - 7 所示。试求内外导体之间的电位分 布函数以 及 电场强度。 解   对于这种边值问题,镜像 法不 适用,只 好求解 电位 方程。为 此,我们 选 用圆柱坐标系。由于场 量 仅与 坐标 r 有 关, 因此, 电位 所满 足 的拉 普 拉斯 方 程 3 - 4   直角坐标系中的分离变量法 81 在圆柱坐标系中的 展开 式只 剩下 包 含变 量 r 的 一项, 即 电位微分方程为 2 φ= 1d r dr r dφ dr =0 由此得 φ= C1 ln r + C2 已知 r = a 时,φ= U ; r = b 时,φ= 0。 图 3 - 3 - 7   同轴线 因此得 C1 ln a + C2 = U C1 ln b + C2 = 0 由此解得常数 C1 及 C2 分别为 C1 = ln U a b ;  C2 = - Uln b ln a b 那么该同轴线中的电位函数 φ及电场强度 E 分别为 φ= U ln r b ln a b E= - φ= er - φ r = - er r ln U a b 由此例可见,对于给定的边值问题, 为了利用给定的边界条件以确定求解过 程中出现的积分常数,选择适当的坐标系是非常重要的。对于平面边界, 圆柱面 边界及球面边界必须分别选用直角坐标系、圆柱坐标系及球坐标系。此外, 由于 同轴线中的电位函数仅与一个坐标变量 r 有关,因此 原先的 三维 拉普拉 斯方 程 简化为一维微分方程,因而可采用 直接积 分方 法求 解这类 边值 问题。但 一般 说 来,静电场的边值问题与空间三个坐标变量有关。为了求解三维拉普拉斯方程, 一种有效的方法就是分离变量法。这种方法是将原先的三维偏微分方程通过变 量分离简化为三个独立的常微分方程,从而使求解过程比较简便。前已指出, 分 离变量法对于 11 种坐标系都是行 之有效 的, 下面 几节仅 分别 介绍 直角坐 标系、 圆柱坐标系及球坐标系中的分离变量法。 3 - 4   直角坐标系中的分离变量法 电位满足的拉普拉斯方程式(3 - 1 - 2)在直角坐标系中的展开式为 2 φ x2 + 2φ y2 + 2 φ z2 = 0 (3 - 4 - 1) 设其解可写为三个坐标变量函数的乘积,即 φ( x, y, z) = X( x) Y ( y) Z( z) (3 - 4 - 2) 82 第三章   静电场的边值问题 式中函数 X ( x), Y ( y), Z( z)分别为变量 x, y, z 的函数。将 式(3 - 4 - 2)代 入 式(3 - 4 - 1)中, 两边再除以 X ( x) Y ( y) Z( z),得 1 d2 X X d x2 + 1 d2 Y Y d y2 + 1 Z d2 Z d z2 = 0 (3 - 4 - 3) 显然,式中每项 仅与一个变量有关。 因此,将上式对变量 x 求导,第二及第 三项 为零, 求 得 第 一 项 对 x 的 导 数 为 零, 说 明 了 第 一 项 等 于 常 数。 同 理, 将 式 (3 - 4 - 3)分别对变量 y 及 z 求导, 得知第二项及第三项也分别等于常数。令各 项的常数分别为 - k2x , - k2y , - k2z , 即 1 d2 X X d x2 = - k2x 1 d2 Y Y d y2 = - k2y 1 Z d2 Z d z2 = - k2z 上述方程可改写为 d2 X d x2 + k2x X = 0 d2 Y d y2 + k2y Y =0 d2 Z d z2 + k2z Z = 0 (3 - 4 - 4a) (3 - 4 - 4b) (3 - 4 - 4c) 式中 kx , ky , kz 称为分离常数, 它们可以是实数或虚数。显然,由于式(3 - 4 - 3) 成立,三个分离常数 kx , ky , kz 并不是独立 的, 由式 (3 - 4 - 3) 可知, 它们 必须 满 足下列方程 k2x + k2y + k2z = 0 (3 - 4 - 5) 由上式可见,经过变量分离后,三维偏微分方 程式(3 - 4 - 1)被简化 为三 个 一维常微 分 方 程,如 式(3 - 4 - 4)所 示。常 微分 方 程的 求 解 较为 简 便,而 且 式 (3 - 4 - 4)所表示的三个常微分方程又具有同一结构, 因此它们解的形式也一定 相同。 式(3 - 4 - 4a) 的通解为 X( x) = A e- jk x x + B ejk x x (3 - 4 - 6) 式中 A, B 为待定常数。上式也可写成三角函数形式 X( x) = Csin kx x + Dcos kx x (3 - 4 - 7) 式中 C, D 为待定常数。 式(3 - 4 - 4)中的分离 常数 可 为虚 数。当 kx 为 虚 数时, 令 kx = jα, 则 式 (3 - 4 - 6)变为 3 - 4   直角坐标系中的分离变量法 83 X( x) = Aeαx + Be- αx (3 - 4 - 8) 而式(3 - 4 - 7)变为双曲函数 X( x) = Csinh αx + Dcosh αx (3 - 4 - 9) 式(3 - 4 - 4b) 及式(3 - 4 - 4c)的解具有上述完全相同的形式。 这些解的 线 性组合仍然是方程的解。解的形式的选 择是 非常 重要的,它 完全 取决于 给定 的 边界条件。解中各个常数也取决于给定的边界条件。将三个方程求得的解代入 式(3 - 4 - 2)中, 即得式(3 - 4 - 1)的解。 例   两个相互平行的半无限大接地导体平面,间距为 d,其有限端被电位 为 φ0 的导电平面封闭, 且与无限 大接地 导体 平面 绝缘, 如图 3 - 4 - 1 所 示。试 求 三个导体平面形成的槽中电位分布。 解   选 取 直 角 坐 标 系, 如 图 (3 - 4 - 1)所 示。 由 于 导 电 平 面 沿 z 轴 无限 延 伸 , 槽 中 电 位 分 布 函 数 一 定 与 z 无关,因 此,这 是 一 个二 维 场 的 问 题 。电 位所满足 的拉普拉斯 方程式 (3 - 4 - 1) 变为    2φ x2 + 2 φ y2 = 0 (3 - 4 - 10) 图 3 - 4 - 1   导电槽中场分布 根据题意,槽中电位应满足的边界条件可表示为 φ(0, y) = φ0 (3 - 4 - 11a) φ(∞, y) = 0 (3 - 4 - 11b) φ( x,0) = 0 (3 - 4 - 11c) φ( x, d) = 0 (3 - 4 - 11d) 利用分离变量法,式(3 - 4 - 10)的解为 φ( x, y) = X ( x) Y ( y) (3 - 4 - 12) 为了满足式(3 - 4 - 11c)及式(3 - 4 - 11d)的边界条件, 应选 Y( y) 的解为 Y ( y) = Asin ky y + Bcos ky y 由边界条件式(3 - 4 - 11c)知, y = 0 时,φ= 0,因此上式中常数 B = 0 。为了满足 式(3 - 4 - 11d), 分离常数 ky 应为 ky = ndπ, n = 1,2,3,… (3 - 4 - 13) 那么 Y ( y) = Asin ndπy 已知 k2x + k2y = 0, 将式(3 - 4 - 13) 代入,得 kx =j nπ d (3 - 4 - 14) 84 第三章   静电场的边值问题 可见,分离常数 kx 为虚数, 故 X ( x)的解应为 X ( x) = Ce ndπx + De- ndπx 由边界条件式(3 - 4 - 11b)得知, x = ∞时,φ= 0。因此, 上式中常数 C = 0, 即 X ( x) = De- ndπx (3 - 4 - 15) 将式(3 - 4 - 14) 及式(3 - 4 - 15) 代入式(3 - 4 - 12) 中,得 nπ φ( x, y) = Ce- d x sin ndπy (3 - 4 - 16) 式中常数 C = A D 。由 边界条 件式 (3 - 4 - 11a) 知, 当 x = 0 时,φ = φ0 , 代入 式 (3 - 4 - 16) 中,得 φ0 = Csin ndπy 上式右端为变量, 而左端为常量,因此不能 成立, 这 就表 明式 (3 - 4 - 16) 不能 满 足边 界 条 件 式 ( 3 - 4 - 11a) 。 为 此, 取 式 (3 - 4 - 16 ) 的 和 式 作 为 方 程 式 (3 - 4 - 10) 的解,即 ∞ ∑ φ( x, y) = Cn e- ndπx sin n= 1 ndπy (3 - 4 - 17) 为了满足式(3 - 4 - 11a)边界条件, 由上式得 ∑∞ φ0 = Cn sin n=1 ndπy ,0 < y < d (3 - 4 - 18) 上式右端为傅里叶级数。利用 傅里 叶级 数的正 交性,可 以求出 系数 Cn 。 为此, 式(3 - 4 - 18) 两边乘以 sin mdπy , 并在区间 0≤ y≤ d 内对 y 求积分, 得 ∫ ∑∫     d φ0 sin 0 mdπy dy = ∞ n=1 d Cn sin 0 ndπy sin mdπy d y (3 - 4 - 19) 上式左边积分为 d ∫ φ0 sin 0 mdπy d y = 2 dφ0 mπ , 0, m 为奇数 m 为偶数 (3 - 4 - 20) 利用傅里叶级数的正交性,得 ∫d Cn sin 0 ndπy sin mdπy d y = Cn 2 d , 0, m=n m≠n (3 - 4 - 21) 由此可 见, 式 (3 - 4 - 19) 中 只 有 m = n 一 项 存 在, 其 余 各 项 皆 为 零。 将 式 (3 - 4 - 20) 及式(3 - 4 - 21) 代入式(3 - 4 - 19) 中,得系数 Cn 为 Cn = 4φ0 nπ , 0, n 为奇数 n 为偶数 * 3 - 5   圆柱坐标系中的分离变量法 85 将此结果代入式(3 - 4 - 17),求得槽中电位分布函数为 ∑ φ( x, y) = 4φ0 π ∞ n 1 n e - ndπx sin ndπy (3 - 4 - 22) 式中 n = 1,3,5,…。由上式可见, 当 n 增 大或 x m d 时, 级数 收敛很 快, 因此 仅 取前几项即可。当 xm d 时,项 数可取 更少 一些。当 xn d 时,级 数 收敛 很慢, 应多取几项。根据式(3 - 4 - 22) 结果, 在图 3 - 4 - 1 中绘出 了槽 中电场 线及 等 位面的分布,图中虚线表示电位分布, 实线表示电场线分布。 * 3 - 5   圆柱坐标系中的分离变量法 电位所满足的拉普拉斯方程在圆柱坐标系中的展开式为 1 r r r φ r + 1 r2 2 φ 2 + 2φ z2 = 0 (3 - 5 - 1) 令其解为 φ( r, , z) = R( r)Φ( ) Z( z) (3 - 5 - 2) 代入式(3 - 5 - 1)中, 得 rd R dr r d d R r + 1 d2 Φd Φ 2 + r2 d2 Z Z d z2 =0 (3 - 5 - 3) 上式中第二项仅为变量 的函数,而第一项及第三项与 无关,因此将上式对 求导,得知第二项对 即 的导数为零, 可见第二项应为常数,令 1 d2 Φd Φ 2 = - k2 d2 d Φ 2 + k2 Φ = 0 (3 - 5 - 4) (3 - 5 - 5) 式中 k 为分离常数。由前节知,它可 以是 实数 或虚数。 对于 很多实 际问 题,变 量 的变化范围为 0≤ < 2π,那 么此时场量随 的变化一定是 以 2π为周期 的 周期函数。因此,方程式(3 - 5 - 4)的解 一 定是 三 角函 数,且 常 数 k 一定 是 整 数,以保证函数 Φ( )的周期为 2π。令 k = m , m 为整 数, 则方程 式 (3 - 5 - 4) 的解为 Φ( ) = Asin m + Bcos m (3 - 5 - 6) 式中 A, B 为待定常数。 考虑到式(3 - 5 - 4), 则式(3 - 5 - 3)可以写为 1d R rd r r d d R r - m2 r2 + 1 Z d2 Z d z2 = 0 (3 - 5 - 7) 上式左边第一项仅为变量 r 的函 数, 第二 项 仅为 变量 z 的函 数, 因 此按 照前 述 理由,它们应分别等于常数, 令 86 第三章   静电场的边值问题 1 d2 Z Z d z2 = k2z (3 - 5 - 8) 即 d2 Z d z2 - k2z Z = 0 (3 - 5 - 9) 式中分离常数 kz 可为实数或虚数, 其解 的形 式可 取三角 函数, 双 曲函数 或指 数 函数。当 kz 为实数时, 可令 Z( z) = Csin kz z + Dcos kz z (3 - 5 - 10) 式中 C, D 为待定常数。 将式(3 - 5 - 8)代入式(3 - 5 - 7) 中,得 r2 d2 R d r2 + r dR dr + ( k2z r2 - m2 ) R = 0 (3 - 5 - 11) 若令 k2z r2 = x2 , 则上式变为 x2 d2 R d x2 + x d d R x + ( x2 - m2 ) R = 0 (3 - 5 - 12) 该式为标准的贝塞尔方程,其解为贝塞尔函数, 即 R ( r) = EJ m ( kz r) + F N m ( kz r) (3 - 5 - 13) 式中, E, F 为待定常数,J m ( kz r)为 m 阶第一类柱贝塞尔函数, N m ( kz r)为 m 阶 第二类柱贝塞尔函 数。各 类贝 塞 尔函 数的 特性 详见 附 录六。由 于 当 r = 0 时, N m ( kz r) → ∞, 因 此, 若 r = 0 位 于 场 区, 那 么 仅 可 取 第 一 类 柱 贝 塞 尔 函 数 J m ( kz r) 作为贝塞尔方程的解。 至此,我们得知方程式(3 - 5 - 1) 的解应为式(3 - 5 - 6), 式(3 - 5 - 10) 及式 (3 - 5 - 13) 的乘积或取其线性组合。 若所讨论 的 静 电 场 与 z 无 关, 则 由 式 (3 - 5 - 8) 可 知 kz = 0。 那 么, 式 (3 - 5 - 11) 变为 r2 d2 R d r2 + r dR dr - m2 R =0 (3 - 5 - 14a) 此方程的解为指数函数,即 R ( r) = Erm + Fr- m (3 - 5 - 14b) 若所 讨 论 的 静 电 场 与 无 关, 则 m = 0。 若 场 量 又 与 z 无 关, 则 式 (3 - 5 - 11) 的解为 R ( r) = A0 ln r + B0 (3 - 5 - 15) 考虑到以上各种情况,方程式(3 - 5 - 1) 的解可取下列形式 ∞ ∑ φ( r, ) = A0 ln r + rm ( A m sin m + B m cos m ) m =1 * 3 - 5   圆柱坐标系中的分离变量法 87 ∞ ∑ + r- m ( C m sin m + D m cos m ) m =1 (3 - 5 - 16) 例   设一根无限长、半径为 a 的导体 圆柱放入无限大 的均匀静电场 E0 中, E0 方向垂直于导体圆柱,如图 3 - 5 - 1 所示。试求导体圆柱外的电场强度。 图 3 - 5 - 1   均匀场中导体圆柱 解   选取圆柱坐标系,令 z 轴为 圆 柱轴 线,电 场 强度 E0 的 方向 与 x 轴 一 致,即 E0 = E0 ex 。 当导体圆柱处于静电平衡时, 圆 柱内 的电场 强度 为零, 圆 柱为等 位体, 圆 柱 表面电场强度切向分 量为 零,且 柱外 的电 位分 布函 数 应与 z 无 关。那 么,解 的 形式可取式(3 - 5 - 16),它应满足下列两个边界条件: ① 由于圆柱表面电场强度的切向分量为零,即 E = -e 1 r φ =0 r= a 因此, φ =0 r= a (3 - 5 - 17) ② 无限远处电位可表示为 φ( ∞, ) = - E0 x = - E0 rcos (3 - 5 - 18) 式(3 - 5 - 18) 成立 是显而易 见的, 因为在 r→∞ 区域, 圆柱 的影响可 以忽 略, 场 未受到任何扰动。根据 E = - φ, 取式 (3 - 5 - 18) 定义 的电位函 数的梯度 负 值,即求得给定的均匀场 E0 。 式(3 - 5 - 18 ) 表 明, 当 r → ∞ 时, 电 位 为 r 和 cos 的 函 数, 可 见 式 (3 - 5 - 16) 中系数 A0 = A m = C m = 0,且 m = 1。因此电位函数为 φ( r, ) = B1 rcos + D1 r cos (3 - 5 - 19) 88 第三章   静电场的边值问题 将此结果代入式(3 - 5 - 17),得 - B1 asin - D1 a sin =0 即 D1 = - B1 a2 (3 - 5 - 20) 又知当 r→∞时,φ= - E0 rcos ,得 B1 rcos = - E0 rcos 即 B1 = - E0 (3 - 5 - 21) 将此结果代入式(3 - 5 - 20) 中,得 D1 = E0 a2 (3 - 5 - 22) 将式(3 - 5 - 21) 及式(3 - 5 - 22) 代入式 (3 - 5 - 19) 中, 求得 柱外 电位分 布函 数 为 φ( r, ) = - E0 rcos + E 0 a2 r cos (3 - 5 - 23) 则柱外电场强度为   E =- φ= - er φ r - e 1 r φ - ez = er 1 + a2 r2 E0 cos -e 1- a2 r2 φ z E0 sin (3 - 5 - 24) 根据所得的结果,图 3 - 5 - 1 中绘出了圆柱外电场线及等位面的分布,实线 表示电场线,虚线表示等位面。 * 3 - 6   球坐标系中的分离变量法 电位满足的拉普拉斯方程在球坐标系中的展开式为 1 r2 r r2 φ r + 1 r2 sin θ θ sin θ φ θ + r2 1 sin2 θ 2 φ2 = 0 令其解为 φ( r,θ, ) = R( r)Θ(θ) Φ( ) 代入式(3 - 6 - 1)中, 得 sin2θ d R dr r2 dR dr + sin θ d Θ dθ sinθddΘθ + 1 d2 Φd Φ 2 = 0 与前同理,上式第三项应为常数, 令 1 d2 Φd Φ 2 = - m2 即 d2 d Φ 2 + m2 Φ= 0 (3 - 6 - 1) (3 - 6 - 2) (3 - 6 - 3) (3 - 6 - 4) (3 - 6 - 5) * 3 - 6   球坐标系中的分离变量法 89 由上节得知, 当 0 ≤ < 2π时, 上式 的解 一定是 三角 函数, 且 m 一定是 整 数, 因 此 Φ( ) = Asin m + Bcos m (3 - 6 - 6) 将式(3 - 6 - 4)代入式(3 - 6 - 2) 中,得 1d Rdr r2 dR dr + 1 Θsin d θdθ sin θddΘθ - m2 sin2 θ =0 (3 - 6 - 7) 可见,上式中第一项仅为 r 的 函 数,第二 项与 r 无 关,因 此,与前 同 理第 一项 应 为常数。为了便于进一步求解,令 1d Rdr r2 dR dr = n( n + 1) (3 - 6 - 8) 式中 n 为整数。上式又可展开为 r2 d2 R d r2 + 2 r d d R r - n( n + 1) R = 0 (3 - 6 - 9) 这是一个尤拉方程,其通解为 R( r) = C rn + D rn + 1 (3 - 6 - 10) 将式(3 - 6 - 8)代入式(3 - 6 - 7) 中,得 d dθ sin θddΘθ +Θ n( n + 1 )sin θ- m2 sin θ =0 (3 - 6 - 11) 令 cos θ= x,则 dΘ dθ = dΘd x d x dθ = - sin θ dΘ dx = - (1 - 1 x2 ) 2 dΘ dx 那么式(3 - 6 - 11) 又可表示为 d dx (1 - x2 ) dΘ dx +Θ n( n + 1) - 1 m2 - x2 =0 (3 - 6 - 12) 由附录七知,上式为连带勒让 德方 程,其 通解 为第 一类 连 带勒 让德 函数 P m n ( x) 与第二 类连 带 勒让 德函 数 Q m n ( x) 之和, 其中 m< n。根 据 勒让 德函 数特 性 得 知,当 n 是 整 数 时 , P m n ( x)及 Q m n ( x )为 有 限 项 多 项 式。 因 此, 我 们在 建 立 方 程 式 (3 - 6- 8)时, 要求 n 为整数。根据第二类连带勒让德函数 Q m n ( x)的特性可知, 当 x = ±1 时, Q m n ( x)→ ± ∞。 因此, 当场 存在 的 区域 包 括 θ= 0 或 π时, x = ±1,只能取第一类连带勒让德函数 Pnm ( x) 作为式(3 - 6 - 12) 的解。所 以,通 常 取 Θ(θ) = P m n ( x) = P m n (cos θ) (3 - 6 - 13) 将式(3 - 6 - 6), 式(3 - 6 - 10) 及式(3 - 6 - 13) 代入式(3 - 6 - 2)中, 再取其 线性组合,式(3 - 6 - 1) 的通解为 90 第三章   静电场的边值问题 n ∞ φ( r,θ, ) = ∑ ∑ ( A m sin m + B m cos m ) m =0 n= 0 ( Cn rn + Dn r- ( n + 1 ) ) P m n ( cos θ) (3 - 6 - 14) 对于某些静电场,若其场量与 无关, 则 m = 0 。那么 P0n ( x) = P n ( x)称 为 第一类勒让德函数,此时, 方程式(3 - 6 - 1)的通解为 ∞ ∑ φ( r,θ) = ( Cn rn + Dn r- ( n + 1) ) P n (cos θ) n= 0 (3 - 6 - 15) 例   设半径为 a, 介电常数为 ε的介质球放在无限大的真空中,受到其内 均 匀电场 E0 的作用, 如图 3 - 6 - 1 所 示。试 求介 质球内的电场强度。 解   取球坐标系, 令 E0 的方向与 z 轴一 致 ,即 E0 = E0 ez 。 显 然 , 此 时 场 分 布 以 z 轴 为 旋转 对 称, 因 此 与 无 关 。 这 样, 球 内 外 的 电 位分 布 函 数 可 取式 (3 - 6 - 15) 形 式 。 令 φi 为球内电位,φo 为球外电位, 则 ∞ ∞ ∑ ∑ φi( r,θ) = Cn rn P n (cos θ) + D r- ( n + 1) n n=0 n= 0 P n (cos θ) (3 - 6 - 16) 图 3 - 6 - 1   均匀电场中介质球 ∞ ∞ ∑ ∑ φo ( r,θ) = An rn P n (cos θ) + Bn r- ( n + 1) P n (cos θ) n= 0 n= 0 式中系数 Cn 、Dn 及 An 、Bn 取决于边界条件。 (3 - 6 - 17) 球内外电位函数应该满足下列边界条件: ① 球心电位 φi (0,θ) 应为有限值; ② 与前节同理,无限远处电位应为 φo (∞,θ) = - E0 rcos θ= - E0 rP1 (cos θ); ③ 球内电位 φi 与球外电位 φo 在 r = a 的球面上应该连续,即 φi ( a,θ) = φo ( a,θ) ④ 根据边界上电通密度法向分量的连续性,得知球面 上内外电 位的法向 导 数应满足 -ε φi r = r= a - ε0 φo r r= a 考虑到边界条件①,式(3 - 6 - 16)中系数 Dn 应为零,即 ∞ ∑ φi( r,θ) = Cn rn P n (cos θ) n=0 (3 - 6 - 18) 为了满足边 界 条 件 ②, 式 (3 - 6 - 17) 中除 了 A 1 以外 的 系数 An 应皆 为 零, 且 * 3 - 6   球坐标系中的分离变量法 91 A 1 = - E0 。即 ∞ ∑ φo ( r,θ) = - E0 rP1 (cos θ) + Bn r - ( n + 1) P n (cos θ) n=0 再考虑到边界条件③,由式(3 - 6 - 18)及式(3 - 6 - 19)得 (3 - 6 - 19) ∞ ∞ ∑ ∑     Cn an P n (cos θ) = - E0 aP1 (cos θ) + Bn a - ( n + 1 ) P n (cos θ) n= 0 n= 0 (3 - 6 - 20) 为了进一步满足边界条件④,由式(3 - 6 - 18)及式(3 - 6 - 19), 得 ∞ ∞ ∑ ∑ - εr n Cn an - 1 P n (cos θ) = E0 P1 (cos θ) + ( n + 1) Bn a - ( n + 2 ) P n (cos θ) n= 0 n=0 (3 - 6 - 21) 式中 εr = εε0 。 由于对于所有的 θ值式(3 - 6 - 20)及 式(3 - 6 - 21) 均成 立, 因此等 式两 边 对应的各项系数应该相等。故由式(3 - 6 - 20) 得 C0 = B0 a (3 - 6 - 22a) C1 a = - E0 a + B1 a2 (3 - 6 - 22b) Cn an = Bn an + 1 , n≥2 (3 - 6 - 22c) 由式(3 - 6 - 21) 得 0= B0 a2 (3 - 6 - 23a) - εr C1 = E0 + 2 B1 a3 (3 - 6 - 23b) - nεr Cn an - 1 = ( n + 1) an + 2 Bn , n≥2 (3 - 6 - 23c) 求解上述方程组,得 B0 = C0 = 0 (3 - 6 - 24a) B1 = E0 a3 εr - 1 εr + 2 (3 - 6 - 24b) C1 = - 3 εr E0 +2 (3 - 6 - 24c) Bn = Cn = 0, n ≥2 (3 - 6 - 24d) 将此结果代入式(3 - 6 - 18) 及式(3 - 6 - 19) 中,得 92 第三章   静电场的边值问题 φi ( r,θ) = - 3 εr E0 +2 rcos θ= - 3 εr E0 +2 z φo ( r,θ) = - E0 rcos θ+ εr εr - + 1 2 E0 a3 r2 (3 - 6 - 25) (3 - 6 - 26) 由式(3 - 6 - 25) 求得球内的电场强度为 Ei = - φi z ez = 3 E0 ε0 ε+ 2ε0 ez (3 - 6 - 27) 此结果表明,球内电场仍然保持为均匀 电场。因为 εr > 1, 球 内场 强低于 球外 场 强,这是由于介质球被极化后出现的 束缚电 荷产 生的 电场抵 消了 一部分 外加 电 场所导致的。 可以设想,如果在无限大的介电常数为 ε的均匀介质中存在球形气泡, 那么 仅将式(3 - 6 - 27) 中 ε0 与 ε对 调, 即 可推 知当 外 加均 匀电 场为 E0 = ez E0 时, 气泡中的电场强度 Ei 应为 Ei = 3εE0 ε0 + 2ε ez (3 - 6 - 28) 此式表明, 气泡中的场强高于气泡 外的 场强。因 此, 在实 际中, 应 尽量避 免作 为 绝缘材料使用的变压器油或环氧树脂 中出 现气 泡。否则,由 于气 泡中电 场较 强 会导致电压击穿,从而绝缘性能显著恶化。 思 考 题 3 - 1   推导线性各向同性的均匀介质中的电位微分方程。对于非均匀介质应如何修 改 ? 有源区及无源区中电位微分方程有何不同 ? 3 - 2   什么是格林函数 ? 电位满足的泊松方程式,其特解与通解是什么 ? 并说明解的物 理 意 义。 3 - 3   什么是电磁场的初值问题和边值问题 ? 什么是狄利克雷、诺依曼和混合边值问题 ? 3 - 4   试证电位微分方程解的惟一性。什么是静电场惟一性定理及其用途。 3 - 5   试述镜像法原理及其应用。 3 - 6   给出点电荷及线电荷与无限大导体平面的镜像关系。 3 - 7   给出点电荷与导体球的镜像关系。 3 - 8   给出无限长线电荷与平行的圆柱导体的镜像关系。 3 - 9   为什么无限远处不能作为无限长线电荷的零电位点 ? 3 - 10   试述分离变量法的步骤及其应用。 3 - 11   直角坐标系中三个分离常数 kx , ky , kz 是否能够同时为实数或虚数 ? 3 - 12   函数 φ1 ( r,θ) = Crcos θ及φ2 ( r,θ) = Cr - 2 cos θ是否是拉普拉斯方程在球 坐标 系中的解 ? 习   题 93 习   题 3 - 1   已知在直角坐标系中四个点电荷分布如习题图 3 - 1 所示,试求电位为零的平 面。 3 - 2   试证当点电荷 q 位于无限大的导体平面附近时,导体表面上总感应电荷等于 - q。 3 - 3   根据镜像法,说明为什么只有当劈形导体的夹角为 π的整数分之一时,镜像 法才是有效的;当点电荷位 于两块 无限大平 行导体 板之间 时,是否 也可 采用镜 像法 求 解。 3 - 4   一根无限长的线电荷平行放置在一块无限 大的导体平 面附近,如习 题图 3 - 4 所 示。已知线电荷密度 ρl = 10 C m ,离开平面的高 度 h = 5 m ,空间 媒质的 相对介 电常数 εr = 4。试求:① 空间任一点场强及能量密度;② 导体表面 的电荷密 度;③ 当线 电荷的 高度增 加 一 倍 时, 外 力 对 单 位长 度 内 的 线 电 荷 应 作 的 功 。 习题图 3 - 1 习题图 3 - 4     3 - 5   在无限大的导体平面上空平行放置一根半径为 a 的圆柱导 线。已知圆柱导 线的 轴线离开平面的距离为 h,试求单位长度圆柱导线与导体平面之间的电容。 3 - 6   一根无限长线电荷平行放置在夹角 60°的导电劈 的中央部位,离开两壁 的距离 为 h,如习题图 3 - 6 所示。若线电荷的线密度为 ρl ,试求其电位分布函数。 3 - 7   已知点电荷 q 位于两块无限大的接地的平行导体板之间,如习题图 3 - 7 所示。 两 极 间距 为 d ,点 电 荷 位 于 d 3 处, 试 求 两 板间 的 电 位 分 布 。 习题图 3 - 6 习题图 3 - 7 习题图 3 - 8     3 - 8   试证位于半球形导体上空的点电荷 q 受到的力的大小为 F = q2 1 6πε0 d2 1+ ( 16 a3 d4 - d5 a4 )2 式中 a 为球半径, d 为电荷与球心的间距,ε0 为真空介电常数,如习题图 3 - 8 所示。 94 第三章   静电场的边值问题 3 - 9   当孤立的不带电的导体球位于均匀电场 E0 中,使用 镜像法求出 导体球表面 的电 荷 分 布。 ( 提 示: 利 用 点 电 荷与 导 体 球 之 间 的 镜 像 关 系 。) 3 - 10   试证位于半径为 a 的导体球外的点电荷 q 受到的电场力大小为 F= - q2 a3 (2 4πε0 f3 ( f2 f2 - - a2 ) a2 )2 式中 f 为点电荷至球心的距离。若将该球接地后,再计算点电荷 q 的受力。 3 - 11   在半径为 a 的接地导体 球附近,沿径 向放置 一根 长度为 l 的 线电 荷,如 习题 图 3 - 11所示。已知线电荷密度为 ρl ,近端离球心的距离为 D,试求镜像电荷及其位置。 习题图 3 - 11 习题图 3 - 12     3 - 12   在半径为 a 的接地导体球附近,横向放置一根长度为 l 的线电 荷,如习 题图 3 - 12 所示。已知线电荷密度为 ρl ,线电荷中心离球心的距离为 D,试求镜像电荷及其位置。 3 - 13   已知一个不接地的半径为 a 的导体球携带的电荷为 Q ,若电荷为 q 的点电 荷移 向 该 带电 球 , 试 问 当点 电 荷 受 力 为 零 时 离 球 心 的距 离 。 3 - 14   试证位于内半径为 a 的导体球形空腔中的点电荷 q 受到的电场力大小为 F = q2 ad 4πε0 ( a2 - d2 )2 式中 d 为点电荷离球心的距离。再计算腔中电位分布以及腔壁上的电荷分布。 3 - 15   半径为 a 的不接 地的导 体球中 含有半 径 为 b 的球形空腔,如习题图 3 - 15 所示。若在导体 球外,离球心 f 处放置一个电量为 q 的点电荷,在空 腔中离腔 心 d1 处 放 置 另 一 个 电 量 为 q′的 点 电 荷, 腔心与 球心间 距为 d2 ,且 腔心、球心 、点电 荷 q 及 q′ 均在一 条直线 上 ,试 求 腔 中 及导 体 球 内 外 任 一 点 场 强。 3 - 16   已知点电荷 q 位于半径为 a 的导体 球附 近,离球心的距离为 f,试求:① 当导体球 的电位为 φ 时的镜像电荷;② 当 导体 球的 电荷 为 Q 时 的镜像 电 习题图 3 - 15 荷。 3 - 17   设点电荷 q 位于导体球壳附 近,已 知球壳 的内半 径为 a,外半径 为 b,点电荷 离 球心的距离为 f,壳内为真空。当球壳的电位为 φ(φ< 0)时,试求:① 球壳内外 电场强度;② 球壳外表面上最大电荷密度;③ 当距离 f 增加一倍时,系统能量改变多少 ? 3 - 18   证明无源区中电位分布函数不可能具有最大值或最小值。 习   题 95 3 - 19   已 知 无 限 大 的 平 板 电 容 器 中 的 电 荷 密 度 ρ = kx2 , k 为常数,填充介质的介电常数为 ε,上、下 板间电位差 为 U ,下板接地,板间距为 d,如习题图 3 - 19 所示。试求电位分 布 函 数。 3 - 20   试证 直角坐标系中的电位函数 φ1 = Cz ( x2 + y2 + z2 ) 3 2 及 球 坐 标系 中 电 位 函 数 φ2 = C r 均满 足 拉 普 拉 斯 方 程 , 习题图 3 - 19 式中 C 为常数。 3 - 21   已知长方体金属腔的内部尺寸为 a× b× c,如习 题图 3 - 21 所 示。若 侧壁及 底 板均接地,上盖电位为 φ,试求腔内的电位分布函数。 3 - 22   一根半径为 a 的介质圆柱放在均匀电场 E0 中,如习题图 3 - 22 所示。若介质圆 柱的介电常数为 ε,试求柱内外的电场强度。 习题图 3 - 21 习题图 3 - 22     3 - 23   若无限长的导体圆柱腔的内半径为 a,腔壁被纵向地分裂成两部分,各部分 的电 位如习题图 3 - 23 所示,试求腔内外的电位分布。 习题图 3 - 23 习题图 3 - 24     3 - 24   若无限长的导体圆柱腔的内半径为 a,腔壁被纵向地分裂成四部分,各部分 的电 位如习题图 3 - 24 所示,试求腔内外的电位分布。 3 - 25   当半径为 a 的导体球位于均匀电场 E0 中,如习题图 3 - 25 所示。利用分离变量 法 求 解球 外 场 强 及 球 面 上 的 电 荷 分布 。 3 - 26   若在内半径为 r1 ,外半径为 r2 ,介电常数为 ε的介质球壳中,同心地放置一个半 径为 a 的导体球( a < r1 ),如习题图 3 - 26 所示。若导体球的电荷为 q,根据电位微分方程求 出 电 位分 布 函 数 。 96 第三章   静电场的边值问题 习题图 3 - 25 习题图 3 - 26     3 - 27   一个无限长的导体圆锥,夹 角为 2α,垂直 地放在 无限大 的导体 平面上。若导 体 圆锥电位为 φ0 ,导体平面电位为零,如习题图 3 - 27 所示,试求空间电位分布。 3 - 28   若在厚度为 d 的无限大导体板上方 h 处,放置一个点电荷 q,如习题图 3 - 28 所 示 。试 求 导 体 板 上 下 方 的 电 场 强度 。 习题图 3 - 27 习题图 3 - 28 第四章   恒定电流场 已知当孤立导体放入静电场中时,导体 中的 自由 电子在 电场 力作用 下发 生 移动,使导体中出现分布电荷。这些电荷在导体中将产生二次电场, 力图抵消外 加电场的作用。在外加电场未被抵消以前,导体中的电荷分布不断改变, 直到导 体中的电场为零时,电荷运动方才停 止,电荷 分布不 再改 变,这种 状态称 为静 电 平衡。处于静电平衡状态的导体中不可 能存 在自 由电荷 的体 分布,电荷 只能 位 于导体表面,整个导体成为等位体。 如果将一块导体与电源的两个极板 相连,由 于两 个电极 之间 始终存 在一 定 的电位差,在导体中形成电场,迫使自由 电子 维持 连续不 断的 定向运 动,从而 形 成电流,或者说,导体中出现了电流场。 若外 加电 压与时 间无 关,导体中 的电 流 强度是恒定的,这种电流场称为恒定电流场。为了维持这种恒定电流, 导体中的 电场也必须是恒定的,这种电场称 为恒定 电场。 恒定 电场和 静电 场一样 与时 间 无关,但它是由外加电压导致的,并可在 导体 中存 在,而静电 场是 由静止 电荷 产 生的,不可能存在于导体中。 本章将从电流角度讨论导电媒质中恒定电流场的方程式及边界条件。由于 均匀导电媒质中的恒定电流场是无旋 场,因此,它 与静电 场很 类似,有时 可以 直 接利用静电场的结果求解均匀导体媒质中的恒定电流场。 4 - 1   电流及电流密度 电流是电荷的有规则的运动。根据电流形成的机理,电流分为两种: 传导电 流与运流电流。传导电流是导体中的自由电子(或空穴) 或者是电解液中的离子 运 动 形 成 的 电 流;运 流 电 流 是 电 子 、离 子 或 其 他 带 电 粒 子 在 真 空 或 气 体 中 运 动 形 成的电流。在通常情况下,导体中的自由电子处于随机的热运动状态, 向各方向 运动的几率是均等的。因此,自由电子的平均速度为零。当外加电场时, 电子在 外电场的作用下发生有规则的定向运 动,从而 形成 传导电 流。电 子在运 动过 程 中,必然要与原子晶格发生碰撞而消耗功能, 自由路程很短,因此, 电子的平均漂 移速度是很低的,其数量级也不过是 10 - 5 ~10 - 4 m s。 为了描述电流大小, 我 们 定义, 单位 时 间 内穿 过 某一 截 面的 电 荷 量称 为 电 流,以 I 表示。电流的单位为 A(安)。根据这个定义,电流 I 与电荷 q 的关系为 98 第四章   恒定电流场 I= dq dt (4 - 1 - 1) 在导电媒质中,穿过同样截面 的电流 在各 处可 能不同。 为了 描述电 流分 布 的不均匀性,引入 电流 密度 的概 念。电 流密 度是 矢 量,以 J 表 示。电 流密 度 的 方向为正电荷的运动方 向,其 大小 为单 位 时间 内 垂直 穿 过单 位 面积 的 电 荷量。 因此,穿过任一有向面元 d S 的电流 d I 与电流密度 J 的关系为 d I = J·d S 那么,穿过任一截面 S 的电流 I 为 ∫ I = J·d S S (4 - 1 - 2) 此式表明,穿过某一截面的电流就是穿过该截面电流密度的通量。 对于大多数导电媒质,在 外源 的作 用 下,媒质 中某 点的 传导 电 流密 度 J 与 该点的电场强度 E 成正比,即 J = σE (4 - 1 - 3) 单位为 A m2 。式中 σ称 为 电 导 率, 其 单 位为 S m 。σ值 愈 大 表 明导 电 能 力 愈 强,即使在微弱的电场作用下, 也可以形成很强的电流。电导率为无限大的导体 称为理想导电体。显 然, 在 理 想导 电 体 中, 无 需电 场 推动 也 可形 成 电流。 由 式 (4 - 1 - 3)可见, 在理想导电体中是不可能存在恒定电场的,否则, 将会产生无限 大的电流,从而产生无限大的能量。但是, 任何能量总是有限的。电导率为零的 媒质,不具有导电能力,这种媒质称为 理想 介质。 应该指 出,无论 理想导 电体 或 理想介质, 实际中都是不存在的。但 是, 金属 的电 导率很 高, 可以 近似当 作理 想 导电体。电导率极低的绝缘体可以视为理想介质。表 4 - 1 - 1 中给出了几种常 用媒质的电导率。媒质的电导率与温度有关,表中所列数据是在常温下测得的。 表 4 - 1 - 1   媒质的电导率 媒 质 电 导 率 σ(S m) 媒 质 电 导 率 σ(S m) 银 6 .17 × 107 海 水 4 紫 铜 5 .80 × 107 淡 水 10 - 3 金 4 .10 × 107 干 土 10 - 5 铝 3 .54 × 107 变 压器油 10 - 11 黄 铜 1 .57 × 107 玻 璃 10 - 12 铁 1 07 橡 胶 10 - 15 由上表可见,银的电导率最高。但是, 银是一种活泼金属,容易氧化, 会导致电导 4- 2   电   动  势 99 率大大下降。金的电导率比银略低,但其 性能 非常 稳定。为 了获 得长期 稳定 的 导电特性,应使用金。 若在恒定电流场中,沿着电流方向取一个长度为 l, 截面积为 S 的微小圆柱 形体积, 如图 4 - 1 - 1 所示。因体积 很小, 其 中电 流密度 可视 为均匀 分布, 又 因 电流密度 J 与柱体端面垂直,因此,通过该圆柱端面的电流 I 为 I = JS = σE S     若圆柱两端的电位差为 U,则电场强度 E= U l , 代入上式,得 U = ElI σE S =σlS I 令 1 σS = R 图 4 - 1 - 1   传导电流 (4 - 1 - 4) R 称为圆柱 的纵向电阻。那么,圆柱两 端的电位差 U 与通过圆柱的电 流强度 I 的关系为 U = IR (4 - 1 - 5) 这就是我们所熟知的欧姆定律,它 描述了 某区 域中 电位差 与电 流的关 系。已 知 式(4 - 1 - 3) 描 述 的 是 某 点的 电 流 密 度 与电 场 强 度 之 间的 关 系, 因此, 关 系 式 (4 - 1 - 3)通常称为欧姆定律的微分形式。 运流电流的电流密度并不与电 场强度 成正比,而 且 电流密度的方向 与 电 场强 度 的方 向 也可 能 不同。 若 电 荷密度 为 ρ的 电 荷, 其 运 动 速 度 为 v , 则 在 d t 的 时 间 内,电荷的位移为 vd t。若沿 着电荷 的运 动方向 取一 个 圆柱体,其端面面积为 S, 长度为 vd t, 如图 4 - 1 - 2 所 图 4 - 1 - 2   运流电流 示。 那么在 d t 的时 间 内, 穿 过 端面 S 的 电 荷 量 为 d q = ρSvd t, 因 此电 流 I = ρSv。这样, 运流电流的电流密度 J 与运动速度v 的关系为 J = ρv (4 - 1 - 6) 与 介 质 的 极 化 特 性 一 样,媒 质 的 导 电 性 能 也 表 现 出 均 匀 与 非 均 匀 、线 性 与 非 线性以及各向同性与各向异性等特点,这些特性的含义与前相同。式(4 - 1 - 3) 仅适用于各向同性的线性媒质。 4-2 电 动 势 已知为了维持导电媒质中的电流,必须依靠外源。这些外源是非电的能源, 它们可以是 电 池、热电 偶 或 发 电 机 等。本 节 讨 论 这 种 外 源 的 作 用 过 程。 如 图 10 0 第四章   恒定电流场 4 - 2 - 1所示,首先将外接的导电媒质移 去,讨论 开路 情况下 外源 内部的 作用 过 程。 外源中存在 对带电粒 子有作用 力的非 静电 力,在这种非静电力作用 下,外源 中的 正电荷 不断 地移向正极板 P,负电荷不断地移向负极板 N,这 些极板上的电荷在外源中形成电场 E,其方向由 正极板指向负 极 板,而 且 随 着极 板 上 电 荷 的增 加 不断增强。显 然,由 极 板 上 电荷 产 生 的 电 场力 阻 止正电荷继续 向 正 极板 移 动,同 时 也 阻 止 负电 荷 继续向负极板 移 动,一 直 到 极板 电 荷 产 生 的电 场 图 4 - 2 - 1   外源与导电媒质 力等于外源中 的 非 电力 时, 外源 的 电 荷 运 动方 才 停止,极板上的电荷也就保持恒定。 既然外源中的非静电力表现为对电 荷的 作用 力,所以通 常认 为这种 非静 电 力是由外源中存在的外电场产生的,其电场 强度 仍然 定义为 对单 位正电 荷的 作 用力, 以 E′表示。由于外电场 使正 电荷 移向正 极板, 负 电荷移 向 负极 板, 因此, 外电场 E′的方向由负极板指向 正极 板。可见, 在外 源中 外电 场 E′的方 向与 极 板电荷形成的电场 E 的方向恰好相反。 由上可见, 当外源与外电路 断开 时, 外源中 的外 电场 E′与极 板 电荷 的电 场 E 等值反向,外源中合成电场为零,电荷运动停止。若外源的极板之 间接上导 电 媒质,正极板上的正电荷通过导电媒质移向负极板; 负极板上的负电荷通过导电 媒质移向正极板。因而导致极板上电荷 减少,使 得外 源中由 极板 电荷形 成的 电 场 E 小于外电场 E′, 外电场又使外源中的正 负电 荷再次 移动, 外 源不断 地向 正 极板补充新的正电荷,向负极板补 充新的 负电 荷。极 板上的 电荷 通过导 电媒 质 不断流失,外源又不断地向极板补充新电荷, 从而维持了连续不断的电流。由此 可见,为了在导电媒质中产生连续不断的电流, 必须依靠外源。当达到动态平衡 时,极板上的电荷分布保持不变。这样, 极板电荷在外源中以及在导电媒质中产 生恒定电场, 且在外源内部保 持 E = - E′, 在 包括 外源 及导 电媒 质 的整 个回 路 中维持恒定的电流。注意,极板上的电荷分布虽然不变, 但是极板上的电荷并不 是静止的。它们是在不断地更替中保持分布特性不变,因此, 这种电荷称为驻立 电荷。导电媒质中的恒定电场就是这 种驻 立电 荷产生 的。注 意,驻立电 荷是 在 外源作用下形成的。一旦外源消失,驻立电荷也将随之逐渐消失。 外电场 E′仅存在于外源内部,因此, 外电场 E′沿着如图 4 - 2 - 1 所示的 回 路积分一周时,其值并不为零, 这就表明,由非静电力产生的外电场不是保守场。 换言之, 当电荷沿回路围绕一周时, 外 电场 必须 作功, 或者 说外 源必须 作功。 通 常定义,外电场 E′由负极板 N 到正极板 P 的线积分称为外 源的电 动势, 以 e 表 4- 2   电   动  势 101 示,即 P ∫ e = E′·d l N (4 - 2 - 1) 达到动态平衡时,在外源内部 E′= - E,所以上式又可写为 P ∫ e = - E·d l N (4 - 2 - 2) 由极板上驻立电荷产生的恒定电场 与静 止电 荷产生 的静 电场一 样,也是 一 种保守场。这种恒定电场存在于外源内 部及 导电 媒质中,它 沿任 一闭合 回路 的 线积分应为零,即 ∮ E·d l = 0 l (4 - 2 - 3) 由此可得 N P ∫ ∫ E·d l + E·dl = 0 P N (4 - 2 - 4) 上式中第一项积分经过导电媒质,第二项 积分 经过 外源内 部。已 知外源 极板 间 的电压降 U 定义为 N ∫ U = E·d l P (4 - 2 - 5) 那么,由式(4 - 2 - 2) 、式(4 - 2 - 4) 及式(4 - 2 - 5)得 e= U (4 - 2 - 6) 此式表明, 外源的电动势等于外电路 中的 电压降, 或者从 能量 的观点 来看, 外 源 中的外电场对单位正电荷所作的功等于导电媒质内恒定电场对单位正电荷所作 的功。 考虑到在无外源的导电媒质中, J = σE,那么, 式(4 - 2 - 3)可写成 ∮l σJ·dl = 0 (4 - 2 - 7) 对于均匀导电媒质,上式变为 ∮ J·dl = 0 l 根据斯托克斯定理,由式(4 - 2 - 7) 得 × J σ =0 对于均匀导电媒质,则此式变为 ×J=0 此式表明,均匀导电媒质中, 恒定电流场是无旋的。 (4 - 2 - 8) (4 - 2 - 9) (4 - 2 - 10) 10 2 第四章   恒定电流场 4 - 3   电流连续性原理 由物理学中的电荷守恒定律得知,通过 任一闭合 面电流 密度 J 的通 量等 于 闭合面中所包含的电荷时间减少率,即 ∮ J·d S = - S q t (4 - 3 - 1) 式中 q 为驻立电荷。 设闭合面 S 包围的体积 V 中驻立电荷的体密度为ρ, 则 ∫ q = ρd V V 代入式(4 - 3 - 1), 得 ∮ ∫ J·d S = - S V ρtd V 已知恒定电流场中的电荷分布与时间无关,即 ρt = 0, 由上式得 (4 - 3 - 2) ∮ J·d S = 0 S (4 - 3 - 3) 此式表明,在恒定电流场中, 电流密度通过任一闭合面的通量为零。如果以一系 列的曲线描述电流场,令曲线上各点的切线方向表示该点电流密度的方向, 这些 曲线称为电流线。那么,式(4 - 3 - 3) 表明电流线是连续闭合的。它和电场线不 同,电流线没有起点和终点, 这一结论称为电流连续性原理。 根据高斯定理,由式(4 - 3 - 2) 得 ·J = - ρ t (4 - 3 - 4) 此式为电荷守恒原理的微分形式。因此,对于恒定电流场, 得 ·J = 0 (4 - 3 - 5) 此式表明,恒定电流场是无散的。 已知导电媒质中的传导电流密度 J = σE,代入上式, 得 ·(σE ) = σ ·E + E· σ= 0 由此得 ·E = - E· σ σ (4 - 3 - 6) 若导电媒质的介电常数 ε是均匀的,则由式(2 - 5 - 9) 得 ·E = ρ ε (4 - 3 - 7) 式中 ρ为驻立电荷的体密度。那么, 由式(4 - 3 - 6)及式 (4 - 3 - 7)得 4 - 4   恒定电流场的边界条件 103 ρ= - - εE· σ σ (4 - 3 - 8) 由此可见, 只有当导电 媒质 的 电导 率 σ不 均匀 时, 才 有可 能存 在驻 立 电荷 的 体 分布。在电导率均匀的导电媒质 中, 电导 率 σ的梯 度 σ= 0, 因此, 驻立 电荷 的 体密度为零,这就表明, 均匀导电媒质中的驻立电荷只能分布在导电媒质的表面 上。但应指出,这种状态的建立是需要一定时间的。不过, 在良导体中这段时间 极其短暂。现在让我们定量地计算建立这种状态所需的时间。 设导电媒质是均匀的,即 其介 电 常数 ε及 电导 率 σ均与 空 间无 关,则 由 式 (4 - 3 - 4)得 ·E = - 1 σ ρ t 考虑到式(4 - 3 - 7), 求得均匀导电媒质中驻立电荷体密度随着时间变化的方程 式为 ρt + εσρ= 0 (4 - 3 - 9) 此方程的解为 ρ= ρ0 e- εσt = ρ0 e - t τ (4 - 3 - 10) 式中 ρ0 为 t = 0 时刻驻立电荷的体密度,常数 τ为 τ= ε σ (4 - 3 - 11) 由式(4 - 3 - 10) 可见,均匀导电媒质 中驻立 电荷 的体 密度随 着时 间增加 按指 数 规律很快衰减,最终变 为零。当经过的时间 t = τ时, 电荷体密度 ρ减至初 始值 ρ0 的 1 e, 常数 τ称为弛豫时间。显然,τ值决定了电荷体密度的衰减 快慢,τ值 愈小, 则电荷体 密 度衰 减 愈 快。 根据 媒 质 的 介 电 常 数 ε及 电 导 率 σ即 可 由 式 (4 - 3 - 11) 计算弛豫时间。结果表明,良导体的弛豫时间是非常短暂的, 已知铜 的电导率 σ= 5.8×107 S m , 因金属中不可能 存在束缚 电荷, 其介 电常数 可以 视 为 ε0 。那么, 由式(4 - 3 - 11) 求得 铜的 弛豫 时 间 τ= 1.52 × 10 - 19 s。良 好的 绝 缘材料,因电导率很低, 其弛豫时间大约长达几小时或几天。导体放入静电场中 达到平衡的过程,也就是导体处于恒定电场中达到稳定的过程, 因此弛豫时间也 可以代表导体达到静电平衡过程所需的时间。 4 - 4   恒定电流场的边界条件 恒定电流场的边界条件是指两种 导电媒 质的 边界上 电流 密度 的变化 规律。 与静电场一样,为了导出恒定电流场的边界条件, 必须基于导电媒质中恒定电流 10 4 第四章   恒定电流场 场方程。由前得知,恒定电流场方程的积分形式为 ∮l σJ·dl = 0 ∮ J·d S = 0 S 其微分形式为 × J σ =0 ·J = 0 恒定电流场边界条件的推导方法同前。根据积分形式的恒定电流场方程可 导出边界两侧电流密度的切向分量关系为 J1t σ1 = J2t σ2 (4 - 4 - 1) 而边界两侧电流密度的法向分量关系为 J1n = J2n (4 - 4 - 2) 由上两式可见,在两种导电媒质的边界两侧, 电流密度矢量的切向分量是不连续 的,但其法向分量连续。 已知导电媒质中电流密度 J 与恒定电场 E 的关系 为 J = σE, 那 么根据上 述 恒定电流场的边界条件可以导出导电媒质中恒定电场的边界条件为 E1t = E2t σ1 E1n = σ2 E2 n (4 - 4 - 3) 已知理想导电体内部不可能存在电场,那么, 式(4 - 4 - 3)表明, 理想导电体 表面不可能存在切向恒定电流。因此,当电 流由 理想 导电体 进入 一般导 电媒 质 时,电流线总是垂直于理想导电体表面。实际中, 在良导体与一般导电媒质形成 的边界上,可近似为这种情况。 4 - 5   恒定电流场的能量损耗 在导电媒质中, 自由电子移动时 要与 原子晶 格发 生碰 撞, 结果产 生热 能, 这 是一种不 可 逆 的 能量 转 换。 这种 能 量 损 失 将由 外 源不断补给,以维持恒定的电流。 设在恒定 电流场 中,沿 电流方 向取一个 长度为 d l,端面为 d S 的小圆柱体, 如图 4 - 5 - 1 所示。该 圆柱体的 两 个 端 面分 别 为 两 个 等位 面。 若 在电 场 力作用下,d t 时间内 有 d q 电 荷自 圆柱 的 左端 面移 图 4 - 5 - 1   损耗功率计算 4 - 5   恒定电流场的能量损耗 105 至右端面,那么电场力作的功为 d W = d qE·d l = E d qd l 电场损失的功率 P 为 P = dW dt = E d d qt d l = EId l = EJd Sd l 式中 d Sdl= d V 为小圆柱的体积。由上式求得单位体积中的功率损失为 pl = EJ = σE2 = J2 σ (4 - 5 - 1) 当 J 和 E 的方向不同时,上式可以表示为下面一般形式 pl = E·J (4 - 5 - 2) 设图 4 - 5 - 1 中圆柱体两端的电位差为 U ,则 E = dUl,又 知 J= I dS , 那么 单 位体积中的功率损失可表示为 pl = d UI Sd l = UI dV 可见,圆柱体中的总功率损失为 P = pl d V = U I (4 - 5 - 3) 这就是电路中的焦耳定律。式(4 - 5 - 2)称为焦耳定律的微分形式, 它表示某点 的功率损耗等于该点的电场强度与电流密度的标积。 例 1   已知一平板电容器由两层非理想介质串联构成,如图 4 - 5 - 2 所示。 其介电常数分别为 ε1 和 ε2 , 电导 率分 别为 σ1 和 σ2 , 厚度 分别 为 d1 和 d2 。 当 外加恒定电压为 U 时,试求两层 介质中 的电 场强 度,单位体 积中 的电场 储能 及 功率损耗。 解   由于电 容器 外不 存在电 流,可以 认为电容器中的电流 线与 边界 垂直,则由 式(4 - 4 - 2)得 E1 σ1 = E2 σ2 又 由此解得 E1 d1 + E2 d2 = U 图 4 - 5 - 2   平板电容器中恒定电流场 E1 = σ2 d1 σ2 + d2 σ1 U E2 = σ1 d1 σ2 + d2 σ1 U 两种介质中电场储能密度为 we1 = 1 2 ε1 E21 ,   w e2 = 1 2 ε2 E 2 2 10 6 第四章   恒定电流场 两种介质中单位体积的功率损耗为 pl1 = σE21 ,   pl2 = σE 2 2 值得注意的是, 当 σ1 = 0 时, E1 = U d1 , E2 = 0, w e2 = 0, pl2 = 0; 当 σ2 = 0 时, E1 = 0, w e1 = 0, pl1 = 0, E2 = U d2 。 请 读 者 自 行 解 释 为 什 么 会 出 现 这 些 结 果 。 例 2   设一段环形导电媒质,其 形状 及尺 寸如 图 4 - 5 - 3 所 示。计 算两 个 端面之间的电阻。 解   显然,必须选用 圆柱 坐标系。 设两 个端 面之间的电位差为 U ,且令 当角度 = 0 时, 电位 φ1 = 0 当角度 = π2 时,电位 φ2 = U 那么, 由 于导 电 媒 质 中 的 电 位 φ 仅 与 角 度 有 关,因此电位 φ满足的方程式为 d2 d φ 2 = 0 此式的通解为 图 4 - 5 - 3   环形导电块 φ= C1 + C2 利用给定的边界条件,求得 φ= 2U π 导电媒质中的电流密度 J 为 J = σE = -σ φ= - eσr φ = - e 2σU πr 那么由 φ= π2 的端面流进该导电媒质的电流 I 为 ∫ ∫ I = J·d S = S S -e 2σU πr ·( - e td r) ∫ = 2σU t π b a dr r = 2σU π tln b a 因此该导电块的两个端面之间的电阻 R 为 R= U I = π 2σtln b a * 4 - 6   恒定电流场与静电场的比拟 107 * 4 - 6   恒定电流场与静电场的比拟 比较一下无外源区( E′= 0) 中均匀导电媒质 内的恒 定电流场 方程与 无源 区 (ρ= 0)中均匀介质内的静电场方程, 可以发现两者非常相似。               恒定电流场             静电场 ( E′= 0) (ρ= 0) ∮J·dl = 0 l ∮ E·d l = 0 l ∮ J·d S = 0 S ×J=0 ·J = 0 ∮ E·d S = 0 S × E=0 ·E = 0 由此可见, 两者非常相似, 恒定 电流 场的 电流 密 度 J 相 当于 静电 场 的电 场强 度 E, 电流线相当于电场线。由于静电场的无旋性,电场强度 E 可用电位函数 φ表 示为 E = - φ,且在无 源区 中, 电位满 足拉 普拉 斯方 程, 即 2 φ = 0 。同 样, 由 于恒定电流场的无旋性,电流密度 J 也可用位函数 Ψ 表示为 J = - Ψ, 且 2 Ψ = · Ψ = - ·J = 0 可见,位函数 Ψ 也满足拉普拉 斯方程,即 2 Ψ = 0。 因此,当 恒定电流场与静 电 场的边界条件相同时,电流密度的 分布与 电场 强度 的分布 特性 完全相 同。根 据 这种类似性,可以利用已经获得的 静电场 的结 果直 接求解 恒定 电流场。 或者 在 恒定电流场容易实现且便于测量时,可用边 界条 件与 静电场 相同 的电流 场来 研 究静电场的特性,这种方法称为静 电比拟。 物理 学中 的静电 比拟 实验就 是通 过 导电媒质中的恒定电流场来研究静电场的特性。 现以导电媒质的电阻计算为例,说明如 何利 用已 经获得 的静 电场结 果求 解 恒定电流场。如图 4 - 6 - 1 所示,在两个 电极之间 分别存 在电 导率 为 σ的均 匀 导电媒质和介电常数为ε的 均匀 介质。两 电极 之间在 外源 作用下, 维持 恒定 电 图 4 - 6 - 1   两电极间的电流场与静电场 10 8 第四章   恒定电流场 流。根据上述结论,两电极间的电流线也是电场线。若电极上的电荷分别 为 + Q 及 - Q ,两电极间的电位差为 U ,则两电极之间的电容为 C= Q U (4 - 6 - 1) 式中电荷 Q 及电位差 U 又可分别表示为 ∮ ∮ Q = D·d S = ε E·d S S S (4 - 6 - 2a) ∫ U = E·dl l (4 - 6 - 2b) 式中 S 为包围 正 电 极 的 闭合 面, l 为 由 正 电极 至 负 电 极 的 任 一 条 路 线。 将 式 (4 - 6 - 2)代入式(4 - 6 - 1) 中,得 ∮ε E·d S C= S ∫ E·d l l 根据欧姆定律,两电极之间的电阻 R 应为 (4 - 6 - 3) R= U I 式中电流 I 及电位差 U 又可表示为 (4 - 6 - 4) ∮ ∮ I = J·d S = σ E·d S S S ∫ U = E·dl l (4 - 6 - 5a) (4 - 6 - 5b) ∮ 式中 S 及 l 的意义同上。注意,这里略去 了进入正 电极的 电流线, 否则 J·d S S = 0。将式(4 - 6 - 5) 代入式(4 - 6 - 4)中得 ∫E·dl R= l ∮σ E·d S S (4 - 6 - 6) 这样,由式(4 - 6 - 3) 及式(4 - 6 - 6)求得两电极间的电容 C 与电阻 R 的关系为 R = ε Cσ (4 - 6 - 7) 考虑到两电极间的电导 G= 1 R ,则电 导与 电容的 关系 为 G = σ ε C (4 - 6 - 8) 思 考 题 109 由此可见,若已知两电极之间的电容,根 据上 述两式,即 可求 得两 电极间 的电 阻 及电导。 例如,已知面积为 S, 间距为 d 的平板电容器的电容 C = εS d ,若 填 充的 非 理 想介质的电导率为 σ,则平板电容器极板间的漏电导为 G = εσ·εdS = σS d 又由 2 - 8 节的例题得 知, 单位 长度 内同 轴 线的 电容 C1 = ln 2πε ( b a) , 式 中 b 为外导体内半径, a 为内导体的外半径。那么,若同轴线的填充介质 具有的电 导 率为 σ,则单位长度内同轴线的漏电导 G1 = 2πσ ln( b a) (4 - 6 - 9) 此外,由式(3 - 3 - 6)得 知双导线之间单 位长度内的电容 C1 = ln(πDεa), D m a。 式中 D 为两根导线的轴线间距, a 为导线半径。若导线之间存在电导率 为 σ的 导电媒质,则双导线间单位长度内的漏电导 G1 为 G1 = ln(πDσa),   D m a (4 - 6 - 10) 读者可以直接根据恒定电流场方程式计算上述参数,一定会获得相同的结果。 思 考 题 4 - 1   什么是传导电流和运流电流 ? 4 - 2   什么是理想介质和理想导体 ? 4 - 3   给出传导电流密度与电场强度的关系式。 4 - 4   什么是外源及电动势 ? 在恒定电流场中,电动势与恒定电场的关系如何 ? 4 - 5   什么是驻立电荷 ? 它与静止电荷有什么不同 ? 4 - 6   什么是弛豫时间 ? 它与媒质的电参数关系如何 ? 4 - 7   试述电流连续性原理。 4 - 8   给出恒定电流场方程式的积分形式和微分形式。 4 - 9   试述恒定电流场的边界条件。 4 - 10   如何计算导电媒质的热耗 ? 4 - 11   在什么条件下,恒定电流场与静电场可以比拟 ? 其对应关系如何 ? 4 - 12   在什么条件下,导体中可以存在恒定电场 ? 在理 想导电 体中是 否也可 存在恒 定 电场 ? 11 0 第四章   恒定电流场 习   题 4 - 1   已知一根长直导线的长度为 1 k m ,半径为 0.5 m m ,当两端外加电压为 6 V 时,线 中 产 生的 电 流 为 1 6 A ,试求:① 导 线 的电 导 率 ; ② 导 线 中 的 电场 强 度 ; ③ 导 线 中 的损 耗 功 率 。 4 - 2   设同轴线内导体半径为 a,外导体的内半径为 b,填充媒质的电导率为 σ。根据恒 定 电 流场 方 程 , 计 算单 位 长 度 内 同 轴 线 的 漏 电 导。 4 - 3   设双导线的半径为 a,轴线间距为 D,导线之间的媒质电导率为 σ,根据电流 场方 程 ,计 算 单 位 长 度 内双 导 线 之 间 的 漏 电 导 。 4 - 4   已知圆柱电容器的长度为 L,内外电极半径分别为 a 及 b,填充的介 质分为两层, 界面半径为 c。在 a < r < c 区域中,填充媒质的参数 为 ε1 σ1 ;在 c < r < b 区 域中,媒质参 数 为 ε2 σ2 。若接上电动势为 e 的电源,试求:① 各区域中的电流密度;② 内外导体表面上 以及 介 质 表面 上 的 驻 立 电 荷 密 度 。 4 - 5   已知环形导体块尺寸如习题图 4 - 5 所示。试 求 r = a 与 r = b 两个表 面之间 的 电阻。 4 - 6   若两个同心的球形金属壳的半径为 r1 及 r2 ( r1 < r2 ),球壳之间 填充媒质的 电导 率 σ= σ0 1+ k r ,试 求 两 球 壳 之间 的 电 阻 。 4 - 7   已知截断的球形圆锥尺寸范围为 r1 ≤ r≤ r2 ,0≤θ≤θ0 ,电导率为 σ,试求 r = r1 及 r = r2 两个球形端面之间的电阻。 4 - 8   若上题中电导率 σ= σ0 r1 r ,再 求 两 球 面 之间 的 电 阻 。 4 - 9   若两个半径为 a1 及 a2 的 理想导 体球埋 入无限 大的 导电 媒质 中,媒 质的 电参 数 为 ε及σ,两个球心间距为 d,且 dm a1 , dm a2 ,试求两导体球之间的电阻。 4 - 10   将半径为 25 m m 的半球形导体球 埋入地 中,如习题 图 4 - 10 所 示,该 导体球 与 无限远处之间的电阻称为导体球的接地电 阻。若 土壤的 电导率 σ= 10 - 6 S m ,试求 导体球 的 接 地 电阻 。 习题图 4 - 5   习题图 4 - 10 习   题 111     4 - 11   当恒定电流通过无限大的非均匀 导电媒质时,试证任 意一点的 电荷密 度可以 表 示为 ρ= E· ε- ε σ σ 4 - 12   若一张矩形导电纸的电导率为 σ,面积为 a× b,四周电位如习 题图 4 - 12 所示。 试求: ① 导电纸中电位分布; ② 导电纸中电流密度。 4 - 13   已知电导率为 σ的无限大的导电媒质中 均匀电流密 度 J = ex J0 。若 沿 z 轴 方向 挖出半径为 a 的无限长圆柱孔,如习题图 4 - 13 所示,试求导 电媒质 中的电 位分布。(提示: 当 r→∞时,电位 φ→ - Jσ0 rcos ) 习题图 4 - 12   习题图 4 - 13   第五章   恒 定 磁 场 在前言中已经指出,运动电荷或电流周围, 除电场外还存在磁场。磁场与电 场不同,它表现为对运动电荷有力的作用, 对于静止电荷没有作用力。当电流恒 定时,产生的磁场不随时间变化, 这种磁场称为恒定磁场。本章仅讨论恒定磁场 的基本特性,即恒定磁 场方 程式、边界 条件 以 及恒 定 磁场 与 媒 质之 间 的相 互 作 用。关于电感、恒定磁场的能量与力 将在下 一章 介绍 电磁感 应定 律之后 再进 行 讨论,这样安排有助于读者对于这 些概念 获得 更深 刻的理 解。如 同讨论 静电 场 一样,我们先介绍真空中的恒定磁场, 再分析媒质中的恒定磁场。 5 - 1   磁感应强度、磁通及磁场线 为了描述磁场的强弱,引入磁 感应强 度。已 知磁 场表现 为对 运动电 荷有 力 的作用,因此,可以根据运动电荷或电流 元受 到的 作用力,或 者根 据小电 流环 在 磁场中受到的力矩描述磁场的强弱。这里先根据运动电荷受到的作用力定义磁 感应强度,再进一步推导出电流元受到的磁场力以及小电流环受到的力矩。 实验发现,运动电荷在磁场中受 到的作 用力 不仅 与电荷 量及 运动速 度的 大 小成正比,而且还与电荷的运动方向有关。电荷沿某一方向运动时受力最大, 而 垂直此方向运动时受 力为 零。我们 定义, 受 力为 零的方向为零线方向,如图5 - 1 - 1 所示。 设最大作 用 力 的大 小 为 F m , 则 实 验发 现 沿 偏离零线方向 α角度运动时,受力为 Fm sin α,作 用力 F 的大小与电荷量 q 及速度大小 v 的乘积 成正比。由此我们定义一个矢 量 B,令 其大 小为 Fm qv ,其 方 向 为 零 线 方 向, 那 么 矢 量 B 与电荷量 图 5 - 1 - 1   磁感应强度 q,运动速度 v 以及作用力 F 的关系为 F= qv×B (5 - 1 - 1) 这个矢量 B 称为磁感应强度, 单位为 T (特) 。式(5 - 1 - 1) 表明, 当 电荷运动 速 度 v = 0 时, 受力 F = 0; 当运动方向与 B 平 行时, 受力 也为 零; 当运动 方向 与 B 垂直时,受力最大。可见, 式(5 - 1 - 1)完全符合上述实验结果。同时它还表明, 运动电荷受到的磁场力始终与电荷的运动方向垂直,因此, 磁场力无法改变运动 5 - 1   磁感应强度、磁通及磁场线 113 电荷速度的大小,只能改变其运动方向, 磁场与运动电荷之间没有能量交换。例 如显像管中依靠恒定磁场控制电子束方 向实 现扫 描,依靠高 压强 电场加 速电 子 束中的运动电荷。 根据上述磁感应强度 B 的定义,可以导出电流元在磁 场中受到 的力以及 小 电流环在磁场中受到的力矩。电流元是一小段载流导线,以矢量元 dl 的大小 表 示电流元的长度,其方向表示电流的方向,如 图 5 - 1 - 2 所示。 若电流元的电流为 I,则 Id l = d d q t d l = ddltd q = v dq 由式 (5 - 1 - 1) 求得 电流 元 在磁 感应 强度 为 B 的磁 场 中 受到的力 F 应为 F = Id l× B (5 - 1 - 2) 图 5 - 1 - 2   电流元 此式表明,当电流元的电流方向与磁感应强度 B 平行时,受力 为零;当电流元 的 方向与 B 垂直时,受力最大。由此 可见,电 流 元在 磁场 中的 受力 方 向始 终垂 直 于电流的流动方向。 下面再计算小电流环受到的力矩。 为了 分析 方便起 见,设小 电流环 为四 根 长度为 l 的电流元围成的平面方框,电流方向如图 5 - 1 - 3 所示。 图 5 - 1 - 3   方形小电流环 如果观察点的距离远大于小电流环的尺寸,这种小电流环又称为磁偶极子。 由于小环面积很小,在小环的平面 内可以 认为 磁场 是均匀 的。那 么当磁 感应 强 度 B 与电流环所在平面平行时, 如图 5 - 1 - 3(a) 所示, 则 ab 及 cd 两条 边不 受 力, ad 及 bc 两条边受力方向相反,因此, 使电流环受到一个转矩 T,其大小为 T = Fl = IlBl = Il2 B = IS B 式中 S = l2 为电流环的面积。当电 流环 的平 面与 B 垂 直时, 如 图 5 - 1 - 3 (b) 所示,各边受力方向指向外侧,相互抵消,电流环受 到的力矩 为零。当 B 与电 流 环平面的法线方向夹角为θ时, 如图 5 - 1 - 3(c) 所示, 则 B 可 分解 为 Bn 及 Bt 两个分量,其中 Bn 垂直于小环平面, Bt 平行于小环平面, 因此,小环受到的转矩 11 4 第五章   恒 定 磁 场 大小为 T = IS Bt = IS Bsin θ 若定义有向面 S 的方向与电流方向构成右旋关系,则上式可写成矢量形式 T = I( S× B) (5 - 1 - 3) 可以证明,此式适用于任何形状的小电 流环。通 常, 乘积 IS 称为 小电流 环的 磁 矩,以 m 表示,即 m = IS (5 - 1 - 4) 则式(5 - 1 - 3)可写为 T = m× B (5 - 1 - 5) 此式表明,当电流环的磁矩 m 方向与 磁感 应强度 B 的方 向平 行时,受到 的力 矩 为零;当两者垂直时, 受到的力矩最大。 磁感应强度 B 通过某一表面 S 的通量称为磁通,以 Φ 表示,即 ∫ Φ= B·d S S (5 - 1 - 6) 磁通的单位为 W b( 韦)。 磁感应强度也可用一系列有向曲线来表示。曲线上某点的切线方向为磁感 应强度矢量的方向,这些曲线称为磁场线。磁场线的矢量方程为 B×d l = 0 (5 - 1 - 7) 当然, 磁场线也不可相交。与电场线 一样, 若 以磁 场线构 成磁 场管, 且规 定相 邻 磁场管中的磁通相等,则磁场线的疏密程度也可表示磁场的强弱, 磁场线密表示 磁感应强度强。 5 - 2   真空中的恒定磁场方程式 与静电场一样,首先需要研究 的是恒 定磁 场的 散度及 旋度 特性。物 理学 实 验表明,真空中恒定磁场的磁感应强度 B 满足下列两个方程 ∮                         B·d l = μ0 I l (5 - 2 - 1) ∮ B·d S = 0 S (5 - 2 - 2) 式(5 - 2 - 1) 称为安 培环路 定律, 式中 μ0 为真 空磁导 率,μ0 = 4π× 10 - 7 H m , I 为闭合曲线包围的电流。可见,安培环路定律表明, 真空中恒定磁场的磁感应强 度沿任一 闭 合曲 线 的环 量 等于 曲 线包 围 的电 流 与真 空 磁导 率 的 乘 积。式 (5 - 2 - 2)表 明,真 空中恒 定磁场通 过任一闭 合面的 磁通为零。 由此可 见,与 电 流线一样, 磁场线也是处处闭合的, 没有 起点 与终点, 这 种特 性称 为磁通 连续 性 5 - 2   真空中的恒定磁场方程式 115 原理。此外,由式(5 - 2 - 1) 还可看到,若积分回路恰好是一根闭合的磁场线, 则 积分值一定不为零。这就表明,一 定有电 流穿 过闭 合磁场 线界 定的面 积。已 知 电流线是闭合的,因此电流线与磁场线相互交链。 由斯托克斯定理得 ∮ ∫ B·d l = ( × B )·d S l S 考虑到电流 I 与电流密度 J 的关系为 那么由式(5 - 2 - 1)得 ∫ I = J·d S S ∫ ( × B - μ0 J)·d S = 0 S 由于上式对于任何表面都成立,因此, 被积函数应为零,从而求得 × B = μ0 J (5 - 2 - 3) 此式表明,真空中某点恒定磁场的磁 感应强 度的 旋度 等于该 点的 电流密 度与 真 空磁导率的乘积。 另外,由高斯定理得 那么由式(5 - 2 - 2)得 ∮ ∫ B·d S = ·Bd V S V ∫ ·Bd V = 0 V 由于此式处处成立,因此被积函数应为零, 即 ·B = 0 (5 - 2 - 4) 此式表明,真空中恒定磁场的磁感应强度的散度处处为零。 于是由上述结果,求得真空中恒定磁场方程的微分形式为 × B = μ0 J (5 - 2 - 5) ·B = 0 (5 - 2 - 6) 此结果表明,真空中恒定磁场是 有旋无 散的。 当然,在电 流不 存在 的无源 区中, 磁感应强度的旋度也为零。 根据亥姆霍兹定理,磁感应强度 B 应为 B = - Φ+ × A 式中 (5 - 2 - 7) ∫ Φ( r) = 1 4π V′ ′·B( r′) | r - r′| d V′ ∫ A( r) = 1 4π V′ ′× B( r′) | r - r′| d V′ (5 - 2 - 8a) (5 - 2 - 8b) 11 6 第五章   恒 定 磁 场 如前所述,式中 r 为场点坐标, r′为源点坐标。 考虑到式(5 - 2 - 5)及式(5 - 2 - 6),则由式(5 - 2 - 8) 求得 Φ( r) = 0 (5 - 2 - 9a) ∫ A ( r) = μ0 4π V′ | J( r′) r - r′| d V′ (5 - 2 - 9b) 那么,由式(5 - 2 - 7) 得 B= ×A (5 - 2 - 10) 此结果表明,对于真空中恒 定磁场,某 点磁 感应强 度等 于该点 矢量 函 数 A 的 旋 度,该矢量函数称为矢量磁位,也称磁矢位。由 1 - 8 节得知,任一无散场可以表 示为某一矢量场的旋度,因此, 式(5 - 2 - 10) 也可由 ·B = 0 求得。 已知电流分布,利用式(5 - 2 - 9b)可以求出任一点的矢量磁位, 再根据(5 - 2 - 10) 即可计算该点的磁感应强度。若将式(5 - 2 - 9b) 直接代入式(5 - 2 - 10) 中,考虑到算子 对 r 运算,积分对 r′运算,两者可以对调, 因而求得 ∫ B( r) = μ0 4π V′ × J( r′) | r - r′| d V′ (5 - 2 - 11) 式中 × J( r′) | r - r′| = 1 | r - r′| × J( r′) + | r 1 - r′| × J( r′) 由于 J( r′)为 r′的函数, 而 仅对 r 运算, 因此 × J( r′) = 0, 又知 1 | r - r′| = - r- |r - r′ r′|3 将这些结果代入式(5 - 2 - 11) 中得 ∫ B( r) = μ0 4π J( r′)× ( r - V′ | r - r′|3 r′) d V′ (5 - 2 - 12) 此式称为毕奥 - 萨伐定律。已知电流分 布以 后,根据 此式即 可计 算空间 任一 点 的磁感应强度。 电流可以分布在体积中,也可 分布在 表面 上或 细导线 中。例 如在恒 定电 流 场中,当导体为很薄的曲面时, 则流过该导体表面上的电流可以认为仅分布在曲 面内,这种面分布的电流称为表面电流,表面电流密度的单位为 A m 。半径可以 忽略的细导线中的电流 称为 线 电流,线 电流 无密 度 可 言,仅 以电 流 I 表示。 体 电 流 、面 电 流 及 线 电 流 之 间 的 关 系 为 Jd V = JS d S = Id l (5 - 2 - 13) 式中 d l 的方向为线电 流的 方向。考 虑 到这 些关 系, 再 根 据式 (5 - 2 - 9b) 及 式 (5 - 2 - 12),可以导出面电流产生的矢量磁位及磁感应强度分别为 ∫ A ( r) = μ0 4π S′ JS |r ( - r′) r′| d S′ (5 - 2 - 14) 5 - 2   真空中的恒定磁场方程式 117 ∫ B( r) = μ0 4π JS ( r′)×( r - S′ | r - r′|3 r′) d S′ 线电流产生的矢量磁位及磁感应强度分别为 (5 - 2 - 15) ∫ A ( r) = μ0 4π Id l′ l′ | r - r′| (5 - 2 - 16) ∫ B( r) = μ0 4π Id l′×( r - r′) l′ | r - r′|3 (5 - 2 - 17) 某些恒定磁场根据安培环路定律式(5 - 2 - 1)计算磁感应强度将十分简便。 为此,必须找到一条封闭曲线,曲线上各 点的 磁感 应强度 大小 相等,且方 向与 曲 线的切线方向一致,那么式(5 - 2 - 1) 的矢量积分变为标 量积分, 且 B 可由积 分 号移出,那么即可求出 B 值。但是只有对于某些特殊的磁 场分布才 有可能找 这 样一条封闭曲线,利用安培环路定律直接计算磁感应强度。 至此,我们获得了真空 中恒 定 磁 场方 程 的积 分 形式———式 (5 - 2 - 1) 与 式 (5 - 2 - 2)和微分形式———式(5 - 2 - 5)与 式 (5 - 2 - 6)。在 已知 电流分 布的 情 况下,根据亥姆霍兹定理, 又推导出了矢量磁位的计算公式———式(5 - 2 - 9)、式 (5 - 2 - 14)及 式 (5 - 2 - 16) 和 磁 感应 强 度 的 计 算公 式———式 (5 - 2 - 12)、式 (5 - 2 - 15) 及式(5 - 2 - 17) 。利用这 些公式 即可 根据电 流分 布计 算恒定 磁场。 对于某些分布特殊的恒定磁场利用安培环路定律计算恒定磁场更为简便。下面 举出几例,说明这些计算方法的应用。 例 1   计算无限长电流为 I 的线电流产生的磁感应强度。 解  取 圆 柱 坐 标 系, 如 图 5 - 2 - 1 所 示。 令 z 轴 沿 电 流 方 向。 由 式 (5 - 2 - 17) 得知,d l×( r - r′)的方向为 B 的方向。由 图可见, 这个 叉积方向 为 圆柱坐标系中的 e 方向。因此,磁感应强度 B 的方向为 e 方向,即 B = Be (5 - 2 - 18) 此式表明,磁场线是以 z 轴为 圆心的 一系列的 圆。 显然,此时磁场分布以 z 轴对称,且与 无关。又 因线电流 为 无 限 长, 因 此, 场 量 一 定 与 变 量 z 无 关,所以,以线电流为圆心的 磁场 线上 各点磁 感应 强度相等。此时, 沿半 径 为 r 的 磁场 线 上 磁感 应 强度的环量为 ∮ B·dl = B2πr 根据安培环路定律,得 图 5 - 2 - 1   长直导线 B = μ0 I 2πr (5 - 2 - 19) 11 8 第五章   恒 定 磁 场 可以证明,此式也适用 于具 有一 定 截面,电 流 为 I 的 无 限 长的 圆 柱导 线 外 的恒定磁场。 例 2   计算半径为 a,电流为 I 的小电流环产生的磁感应强度。 解   取球坐标系, 令坐标原 点位 于电流 环的 中心, 且电 流环 的平 面位 于 xy 平面内,如图 5 - 2 - 2 所示。 图 5 - 2 - 2   小电流环 由于结构对称, 场量一定与 平面,即 = 0 平面内。 根据式(5 - 2 - 16) 得 无关。 为了计 算方 便, 令所 求的场 点位 于 xz ∫ ∫ A ( r) = μ0 4π l′ I|(rr′-) dr′l|′= μ0 I 4π l′ | r e′ - r′| d l′ 由图 5 - 2 - 2(a)知 r = ( rsin θ) ex + ( rcos θ) ez r′= ( acos ′) ex + ( asin ′) ey 所以 | r - r′| = r 1+ a r 2 -2 a r sin θcos ′ 考虑到 rm a,再利用近似式(1 - x) - 1 2 ≈1 + x 2 ,则 | r 1 - r′|≈ 1 r 1+ a r sin θcos ′ 由图 5 - 2 - 2(b)知, d l′= ad ′ e′ = ey cos ′- ex sin ′ 将这些结果代入上式,得 ∫ A( r) = μ0 Ia 4πr 2π 0 1+ a r sin θcos ′ ( ey cos ′- ex sin ′)d ′ 5 - 3   矢量磁位与标量磁位 119 = ey μ0 Ia2 sin θ 4 r2 上面计算中场点位于 xz 平面 ( = 0)。对于空间任一点,考虑到 e = - ex sin + ey cos , 则上式可以表示为如下的一般形式 A ( r) = e μ0 ISsin θ 4πr2 (5 - 2 - 20) 式中 S =πa2 为小电流环 的面积。 考虑到 小电 流环 的磁 矩 m = ez IS, 上 式可 表 示为 A( r) = μ0 m × 4πr3 r (5 - 2 - 21) 此式适用于磁矩为 m,位于坐标原点的任何取向的磁偶极子。根据 B = × A, 则由式(5 - 2 - 20) 求得 B ( r) = μ0 IS 4πr3 [ er 2cos θ+ eθsin θ] (5 - 2 - 22) 上述结果表明,小电流环产生的 矢量磁 位 A 与距 离 r 的 平方 成反 比,磁 感应 强 度 B 与距离 r 的立方成反比。而且,两者均与场点所处的方位有关。 5 - 3   矢量磁位与标量磁位 矢量磁位 A 与磁感应强度 B 的关系为 B= ×A 根据电流分布,通过矢量磁位直接 积分可 以计 算磁 感应强 度。矢 量磁位 与电 位 不同,它没有任何具体的物理意义, 矢量磁位纯粹是一个计算辅助量。利用矢量 磁位求解恒定磁场必须获知电流分布,但是有时电流分布不可能给出, 此时必须 利用边界条件求解恒定电磁场的方程,从而求得场分布。为此, 需要导出矢量磁 位应该满足的微分方程。由 1 - 11 节得知 · A = 0, 利用矢量恒等式 × × A = ·A - 2 A 求得 2 A = - ×B 考虑到式(5 - 2 - 5), 得 2 A = - μ0 J (5 - 3 - 1) 可见,矢量磁位 A 满足矢量泊松方程。式(5 - 2 - 9b)是 方程 式(5 - 3 - 1)的 特 解,即自由空间中的解。在无源区中, J = 0,则式 (5 - 3 - 1)变为 2 A=0 (5 - 3 - 2) 12 0 第五章   恒 定 磁 场 此式表明,在无源区中矢量磁位 A 满足矢量拉普拉斯方程。已知在 直角坐标 系 中,矢量泊松方程及拉普拉斯方程均可分解为三个坐标分量的标量方程。因此, 第三章中介绍的格林函 数法 以 及各 种分 离变 量法 均 可分 别 用 来求 解 矢量 磁 位 A 的各个直角坐标分量所满足的标量泊松方 程及拉 普拉斯 方程。 此外,前述 镜 像法也可适用于求解恒定磁场。 将式(5 - 2 - 10) 代入式(5 - 1 - 6)中, 求得磁通 Φ 与矢量磁位 A 的关系为 再利用斯托克斯定理,得 ∫ Φ = ( × A )·d S S ∮ Φ = A·d l l (5 - 3 - 3) 式中 l 为包围面积 S 的闭合边界。由此可见,利用矢量磁位 A 计算磁通十分 简 便。 在无源区中,因 J = 0, 得 × B = 0 。可 见, 无源 区中 磁感 应 强度 B 是无 旋 的。因此,无源区中磁感应强度 B 可以表示为一个标量场φm 的梯度, 令 B = - μ0 φm (5 - 3 - 4) 式中标量 φm 称为标量磁位。因 ·B = 0,由上式得 2 φm = 0 (5 - 3 - 5) 可见,标量磁位 φm 满足拉 普 拉斯 方程。 这样, 根 据 边界 条件, 求 解 标量 磁位 满 足的拉普拉斯方程式(5 - 3 - 5), 可得标量磁位,然后由式(5 - 3 - 4) 即可求出磁 感应强度。但应注意,标量磁位的 应用仅 限于 无源 区。例如 若用 标量磁 位求 解 ∮ 上节例二时,为了保证闭合积分 B·d l = 0,积分路径不允许穿过 电流环。标 量 l 磁位只能局限于无源区,它的应用受到一定的限制。关于标量磁位的应用, 有兴 趣 的 读 者 可 以 参 阅 文 献[2 ]。 5-4 媒质 磁 化 我们知道,原子中的电子在自己的轨道上围绕原子核不断旋转, 从而形成一 个闭合的环形电流,这种环形电流相当于一个磁偶极子, 它具有的磁矩称为轨道 磁矩。另一方面, 电子及原子核本身 还要 自旋, 因 而也相 当于 形成磁 偶极 子, 其 磁矩称为自旋磁矩。在通常情况下,由于热运动的结果, 这些磁偶极子的排列方 向杂乱无章, 使得宏观的合成磁矩 为零, 对 外不 显示磁 性。当 外加磁 场时, 由 于 媒质中这些带电粒子处于运动状态,因此 它们 受到 磁场力 的作 用。在磁 场力 的 作用下, 这些带电粒子的运动方向发 生变 化, 甚至 产生新 的电 流, 导致各 个磁 矩 5-4 媒 质 磁 化 121 重新排列, 宏观的合成 磁矩 不 再为 零, 这 种 现象 称 为 磁化。 与 介质 极 化过 程 一 样,磁化过程可用图 5 - 4 - 1 说明。 磁 化结 果 出 现 的 合成 磁 矩 产 生 二次 磁场 Bs , 这种二次磁场影响外加磁场 Ba , 导致磁化状态发生改 变,从而 又使 二次磁 场发生变化,一直 到媒质 中的 合成 磁场产 生的磁化能够建立 一个稳 定的 二次磁 场, 图 5 - 4 - 1   媒质磁化过程 磁化状态达 到平 衡。但是, 与 极化 现象不 同的是,磁化结果使媒质中的合成磁场可能减弱或增强, 而介质极化总是导致合 成电场减弱。 根据媒质的磁化过程,可以把媒质的磁性能分为三种类型: 第一类,抗磁性。这种媒质在正常情况下, 原子中的合成磁矩为零。当外加 磁场时, 电子除了仍然自旋及轨道运 动外, 轨 道还 要围绕 外加 磁场发 生运 动, 这 种运动方式称为进动。分析表明,电 子进动 产生 的附 加磁矩 方向 总是与 外加 磁 场的方向相反,导致媒质中合成磁场减弱。因此, 这种磁性能称为抗磁性,如银、 铜 、铋 、锌 、铅 及 汞 等 属 抗 磁 性 媒 质 。 第二类, 顺磁性。这种媒质在正 常情 况下, 原 子中的 合成 磁矩并 不为 零, 只 是由于热运动结果,宏观的合成磁矩为零。在外加磁场的作用下, 除了引起电子 进动,从而产生抗磁性以外,磁偶极子的 磁矩 方向 朝着外 加磁 场方向 转动,这 种 特性由图 5 - 1 - 3(c) 显而易见。因 此, 使得 合成 磁场增 强, 这种 磁性能 称为 顺 磁 性 。 如 铝 、锡 、镁 、钨 、铂 及 钯 等 属 顺 磁 性 媒 质 。 第三类,铁磁性及亚铁磁性。上 述抗磁 性及 顺磁 性物质 的磁 化现象 均不 显 著。铁磁性及亚铁磁性媒质在外磁场作用下。会发生显著的磁化现象。这种媒 质内部存在“磁畴”,每个“ 磁畴”中磁矩方向相同, 但是各个“磁畴”的磁矩方向仍 然杂乱无章,彼此不同, 对外不显示磁性。 在外磁 场作 用下, 大 量“ 磁畴”发生 转 动,各个“ 磁畴”方向趋向一致, 且畴界面积还会扩大,因而产生较强的磁性, 这种 磁 性 能 称 为 铁 磁 性,例 如 铁 、钴 、镍 等 。 这 种 铁 磁 性 媒 质 的 磁 性 能 还 具 有 非 线 性, 且存在磁滞及剩磁现象。还有一类金属 氧化 物,它们 的磁化 现象 比铁磁 媒质 稍 弱一些,但剩磁小,且电导率很低,这类媒 质称 为亚 铁磁媒 质。例 如铁氧 体等 就 是亚铁磁性媒质。由于其电导率很低,高频电磁波可以进入内部, 且能产生一些 可贵的特性,使得铁氧体在微波器件中获得广泛的应用。 由上可见, 无论哪 一种 磁 性能 媒 质, 磁 化 结果 都 在媒 质 中产 生 了磁 矩。 因 此,为了衡量磁化程度,我 们定 义,单 位 体积 中 磁矩 的 矢 量和 称 为磁 化 强度, 以 M 表示,即 12 2 第五章   恒 定 磁 场 N ∑ mi M= i= 1 ΔV (5 - 4 - 1) 式中 mi 为 Δ V 中第 i 个磁偶极子具有的磁矩。Δ V 为物理无限小体积, 也就 是 说,其尺寸远大于分子、原子的间距, 而远 小于 媒质 及场的 宏观 不均匀 性。媒 质 发生磁化后,出现的磁矩是由于媒质中形成新的电流产生的, 这种电流称为磁化 电流。实际上,磁化电流是由于媒质内电子的运动方向改变, 或者产生新的运动 方式形成的。但是形成磁化电流的电子 仍然 被束 缚在原 子或 分子周 围,所以 磁 化电流又称为束缚电流。磁化 电流 密度 以 J′表 示。下面 推导 磁化电 流密 度 J′ 与磁化强度 M 的关系。 设已磁化的一块媒质的体积为 V′, 如图 5 - 4 - 2 所示。若 磁化强 度为 M , 则 d V′内的磁矩为 ( M d V′), 由 式 (5 - 2 - 21) 求得该磁矩产生的矢量磁位 d A 为 d A( r) = μ0 4π M× |r ( - r - r′) r′|3 d V′ 则体积 V′内部磁矩产生的矢量磁位 A 为 ∫ A( r) = μ0 4π V′ M ×( r - r′) | r - r′|3 d V′ ∫ = μ0 4π M× V′ ′| r 1 - r′| d V′ 图 5 - 4 - 2   磁化电流的求解 因 M ( r′)× ′ | r 1 - r′| = | r 1 - r′| ′× M ( r′) - ′× M ( r′) | r - r′| 代入上式,得 ∫ ∫ A( r) = μ0 4π V′ ′× M ( r′) | r - r′| d V′- μ0 4π V′ ′× M ( r′) | r - r′| d V′ (5 - 4 - 2) 利用矢量恒等式 ∫ ∮ ( × A )d V = ( en × A )d S V S 上式右端第二个积分可表示为 ∫ ∮ V′ ′× M ( r′) | r - r′| d V′= S′ en × | M r ( - r′) r′| d S′ 式中 S′为包围 V′的闭合面, en 为 S′的外法线。那么式(5 - 4 - 2) 变为 ∫ ∮     A( r) = μ0 4π V′ ′× M ( r′) | r - r′| d V′+ μ0 4π S′ M ( r′)× en | r - r′| d S′ (5 - 4 - 3) 5-4 媒 质 磁 化 123 将此式与式(5 - 2 - 9b) 及式(5 - 2 - 14) 比较 可见, 上 式第一 项为 体分布 的磁 化 电流产生的矢量磁位,第二项为面分布的磁化电流产生的矢量磁位, 因此求得 J′= × M (5 - 4 - 4) J′S = M × en (5 - 4 - 5) 式中 J′为体分布的磁化电流密度, J′S 为面分布的磁化电流密度。利 用斯托克 斯 定理,由式(5 - 4 - 4) 求得通过面积 S 的磁化电流 I′为 ∫ ∫ ∮ I′= J′·d S = ( × M )·d S = M·d l S S l (5 - 4 - 6) 此式表明,在磁化媒质中, 磁化强度沿任一闭合回路的环量等于闭合回路包围的 总磁化电流。 例   已 知半 径为 a, 长 度为 l 的圆 柱形 磁性 材料, 沿轴 线方 向获 得均 匀 磁 化。若磁化强度为 M ,试求位于圆柱轴线 上,距 离远大 于圆 柱半径 P 点 处由 磁 化电流产生的磁感应强度。 解   取圆柱坐标系,令 z 轴与圆柱轴线一致,如图 5 - 4 - 3 所示。 由于是均匀磁 化,磁化 强度与 坐标 无关,因 此, J′= × M = 0, 即体 分 布的 磁 化电 流 为 零。又 知 表面磁化电流密度 J′S = M × en , 式 中 en 为表 面的 外法线方向上单位矢。因 M = ez M , 所以表 面磁化 电流密度仅存在于圆柱侧 壁,上下 端面 的磁化 电流 密度为零,因此 J′S = M × en = M ez × er = M e 可见这 种 表 面 磁 化 电 流 在 侧 壁 上 形 成 环 形 电 流。 位于 z′处 宽度 为 d z′的环 形 电流 为 J′S d z′, 那 么由 图 5 - 4 - 3   均匀磁化圆柱 式( 5 - 2 - 22) 求 得 该 环 形 电 流 在 轴 线 上 z 处 ( zm a)产生的磁感应强度 d B 为 dB = ez μ0 a2 2( z - M z′)3 d z′ 那么侧壁上全部磁化电流在轴线上 z 处产生的合成磁感应强度为 ∫ B = ez μ0 a2 2 M l 0 ( z 1 - z′)3 d z′ = ez μ0 a2 4 M 1 ( z - l)2 - 1 z2 12 4 第五章   恒 定 磁 场 5 - 5   媒质中的恒定磁场方程式 由前节得知, 在外加 磁 场的 作 用 下, 媒 质发 生 磁化 后, 内 部 出现 磁 化 电流。 因此,磁化媒质内部的磁场相当于传导 电流 I 及磁 化电流 I′在真 空中产 生的 合 成磁场,这样,磁化媒质中磁感应强度 B 沿任一闭合曲线的环量为 将式(5 - 4 - 6)代入, 得 令 则式(5 - 5 - 2)又可记作 ∮ B·d l = μ0 ( I + I′) l ∮l B μ0 - M ·d l = I B μ0 - M= H (5 - 5 - 1) (5 - 5 - 2) (5 - 5 - 3) ∮ H·d l = I l (5 - 5 - 4) 式中 H 称为磁场强度,其单位是 A m (安 米)。上式表 明,媒质中的 磁场强度 沿 任一闭合曲线的环量等于闭合曲线包围的传导电流,更确切地说, 应等于闭合曲 线包围的传导电流之和。式(5 - 5 - 4)称为媒质中的安培环路定律。 利用斯托克斯定理,由式(5 - 5 - 4) 求得 ×H= J (5 - 5 - 5) 此式表明,媒质中某点磁场强度的旋度等于该点传导电流密度, 该式称为媒质中 安培环路定律的微分形式。由于磁场强度仅与传导电流有关,因此, 磁场强度的 引入简化了媒质中磁场强度的计算,正如使 用电 通密 度可以 简化 介质中 静电 场 的计算一样。 媒质中的磁化电流并不影响磁场线处处闭合的特性,因此, 媒质中磁感应强 度通过任一闭合面的通量仍为零,因而磁感应强度的散度仍然处处为零, 所以式 (5 - 2 - 2)及式(5 - 2 - 6) 仍然成立。 对于大多数媒质,磁化强度与磁场强度成正比, 即 M = χm H (5 - 5 - 6) 式中比例常数 χm 称为磁化 率。已 知极 化率 为正 实 数, 但磁 化率 可 以是 正实 数 或负实数。 将式(5 - 5 - 6)代入式(5 - 5 - 3) 中,得 B = μ0 (1 + χm ) H 令 μ= μ0 (1 + χm ) (5 - 5 - 7) 5 - 5   媒质中的恒定磁场方程式 125 则 B = μH (5 - 5 - 8) 式中 μ称为磁导率。磁导率通常用相对值表示,相对磁导率 μr 定义为 μr = μ μ0 = 1 + χm (5 - 5 - 9) 由前节磁性能分 析 得 知, 抗 磁 性 媒 质 磁 化 以 后 使 磁 场 减 弱, 因此 χm < 0, μ< μ0 ,μr < 1; 顺 磁 性媒 质 磁化 以 后 使磁 场 增强, 因此 χm > 0, μ > μ0 , μr > 1。 但是,无论抗磁性或者顺磁性媒质, 其磁化现象均很微弱,因此, 可以认为它们的 相对磁导率基本上等于 1。铁 磁性 媒质 的磁 化现 象 非常 显著,其 磁 导率 可以 达 到很高的数值。表 5 - 5 - 1 中给出三种类型媒质的相对磁导率的数值。近年来 研发的新型高分子磁性材料,其相对磁导率可达到与介电常数同一数量级。 表 5 - 5 - 1   媒质的相对磁导率 媒质 μr 媒质 μr 媒质 μr 金 0.999 6 铝 1.000 021 镍 2 50 银 0.999 8 镁 1.000 012 铁 4 000 铜 0.999 9 钛 1.000 180 磁性合金 105 与介质的电性能一样, 媒质的磁 性能 也有均 匀与 非均 匀、线性与 非线 性、各 向同性与各向异性等特点。若媒质的磁 导率 不随 空间变 化,则称 为磁性 能均 匀 媒质;反之, 则称为磁性能非均匀媒质。若磁导率与外加磁场强度的大小及方向 均无关,磁感应强度与磁场强度成正比, 如式(5 - 5 - 8)所示, 则称为磁性能各向 同性的线性媒质。磁性能各向异性的 媒质, 其磁 导率 具有 9 个分 量, B 与 H 的 关系为 μ1 1 μ12 μ13 B = μ2 1 μ22 μ23 H (5 - 5 - 10) μ3 1 μ32 μ33 铁氧体在恒定磁场作用下,即可产生各向异性的磁性能。 由式(5 - 4 - 4)及式(5 - 5 - 6),得 J′= × M = χm × H + χm × H = χm × H + χm J 由此可见,只有当 J = 0 及 χm = 0 时, 磁化 电流 J′= 0, 也就 是说, 只有 在无 传 导电流, 且磁性能均匀的媒质中, 磁化 电流 方才 消失。换 言之, 磁 化电流 仅存 在 于磁性能非均匀处以及传导电流附近。 对于磁性能均匀线性且各向同性的媒质,由于磁导率与空间坐标无关, 因此 12 6 第五章   恒 定 磁 场 得 ∮ B·d l = μI l × B = μJ (5 - 5 - 11a) (5 - 5 - 11b) 及 ∮ H·d S = 0 (5 - 5 - 12a) S ·H = 0 (5 - 5 - 12b) 此外,因 × B = μJ,由亥姆霍兹定理得 ∫ A ( r) = μ 4π V′ | Jr(-r′r)′|d V′ (5 - 5 - 13) 它所满足的微分方程式为 2 A = - μJ (5 - 5 - 14) 式(5 - 5 - 13) 是式(5 - 5 - 14) 的一个特解,即自由空间的解。 上述一系列结果表明,对于均匀线性的各向同性媒质, 只要将真空中恒定磁 场方程式中的真空磁导率 μ0 换为媒质磁导率 μ即可应用。 至此, 我们讨论了媒质的极化性 能、导电 性能 以及磁 化性 能, 它们分 别用 介 电常数 ε、电导率 σ及磁导率 μ来描述。三者的物理意义完全不同, 它们也没 有 什么内在的联系。对于各向同性的线性媒质已知该三个参数满足的方程分别为 D = εE J = σE B = μH 这三个方程称为媒质特性方程或结构 方程。 它们 分别从 媒质 的极化、导 电及 磁 化三个不同的性能描述了媒质与场之间的相互作用。 5 - 6   恒定磁场的边界条件 恒定磁场边界条件的推导与静 电场的 情况 完全类 似。读 者可 以自行 推导, 下面仅给出结果。 设边界两侧的磁导率分别为 μ1 及 μ2 , 如图 5 - 6 - 1(a)所 示。由于 恒定 磁 场中通常不存在表面电流,那么根据媒质中的安培环路定律式(5 - 5 - 4),得 H1t = H 2t (5 - 6 - 1) 此式表明,恒定磁场强度的切向分量是连续的。对于各向同性的线性媒质, 上式 又可表示为 B1t μ1 = B 2t μ2 (5 - 6 - 2) 5 - 6   恒定磁场的边界条件 127 图 5 - 6 - 1   恒定磁场的边界条件 此式表明,磁感应强度的切向分量是不连续的。 对于上述边界,根据磁通连续性原理式(5 - 2 - 2),得 B1n = B2n (5 - 6 - 3) 此式表明,磁感应强度的法向分量是连续的。对于各向同性的线性媒质, 由上式 求得 μ1 H 1n = μ2 H 2n (5 - 6 - 4) 上述结果表明,在两种磁各向同性的线性媒质形成的边界上, 磁场强度的切 向分量相等,但法向分 量不 等;磁 感应 强 度 的法 向 分量 相 等,但 切向 分 量 不等。 因此,边界两侧磁场强度及磁感应 强度的 大小 及方 向均要 发生 变化。这 种不 连 续性实际上是由于边界上存在的表面磁化电流引起的。因为由式(5 - 6 - 1)及 式(5 - 5 - 3)求得 B1t - B2t = μ0 ( M 1t - M 2t ) (5 - 6 - 5) ∮ 再由式(5 - 4 - 6)知, M·d l = I′。将此积分用于图 5 - 6 - 1(b)所 示的矩形 回 l 路,得 M 1t - M 2t = J′S (5 - 6 - 6) 将此式代入式(5 - 6 - 5)中, 得 B1t - B2t = μ0 J′S (5 - 6 - 7) 由此可见,磁感应强度的切向分量不 连续是 由于 边界 上存在 表面 磁化电 流所 导 致的。由于边界两侧媒质中均存在磁化电流,因此,式(5 - 6 - 7)中的表 面磁 化 电流应理解为边界上的净磁化电流。考虑到回路方向与回路界定的有向面方向 形成右旋关系,式(5 - 6 - 6) 又可写成下面矢量形式 ( M 1 - M 2 ) × en = J′S (5 - 6 - 8) 式中 en 的方向由媒质①指向媒质②。 磁导率为无限大的媒质称为理想导磁体。在理想导磁体中不可能存在磁场 强度,否则, 由 B = μH 的关 系式 可见, 将需 要无 限大 的磁 感 应强 度。产 生无 限 大的磁感应强度需要无 限大 的电 流,因 而需 要 无限 大 的 能量, 显然 这 是不 可 能 的。因此,在理想导磁体中不可能存在磁 场强度。 由式(5 - 6 - 1)得 知,边界 上 12 8 第五章   恒 定 磁 场 磁场强度的切向分量是连续的,可见, 在理想导磁体表面上不可能存在磁场强度 的切向分量,换言之,磁场强度必须垂 直于 理想 导磁体 表面。 当然,在理 想导 磁 体内部仍然存在磁感应强度。实际中,虽然 不存 在磁 导率为 无限 大的理 想导 磁 体,但是磁导率很高的铁磁媒质可以近似视为理想导磁体。不过, 铁磁材料的相 对磁导率的最大值大约为 105 数量级, 因此,把铁磁材料当作理想导 磁体的近 似 程度低于把金属当作理想导电体的近似程度。 例 1   在具有气隙的环形 磁芯 上紧 密绕 制 N 匝线 圈,如 图 5 - 6 - 2 所示。 环形磁芯的磁导率为 μ,平均半径为 r0 , 线圈的半径为 an r, 气隙宽度为 d 。当 线圈中的恒定电流为 I 时, 若忽 略 散逸 在线 圈外 的漏 磁 通, 试 求磁 芯 及气 隙 中 的磁感应强度及磁场强度。 解   因忽略了漏磁通,则磁 感应强度 的方向 沿环 形 圆周,可见,磁感 应 强 度在 气 隙中 与 两个 端 面垂 直。 由 边界条件知,气隙 中磁 感应 强度 Bg 等于 磁芯 中 的磁 感 应强度 Bf ,即 Bg = Bf μ0 Hg = μHf 围绕 半 径为 r0 的 圆周, 利用 媒质 中 的安 培环 路 定 律,且考虑到 r0 m a,可以 认为线 圈中 的磁 场均匀 分布, 图 5 - 6 - 2   环形线圈 则 ∮ H·d l = N I Bg μ0 d + Bf μ ( 2πr0 - d) = NI 考虑到 Bg = Bf , 得 Bg = Bf = e μ0 μNI μd + μ0 (2πr0 - d) 气隙中的磁场强度 Hg 为 Hg = Bg μ0 = e μN I μd + μ0 (2πr0 - d) 磁芯中的磁场强度 Hf 为 Hf = Bf μ = e μ0 N I μd + μ0 (2πr0 - d) 例 2   设一根载有恒定电流 I 的无限长导线与无限大的理想导磁平面平行 放置,如图 5 - 6 - 3 所示。导线与平面间的距离为 h, 试求上半空间任一点磁 场 强度。 解   采用镜像法。设在镜像位置放置一根无 限长的 恒定 电流 I′,那 么上 半 5 - 6   恒定磁场的边界条件 129 空间任一点合成磁场强度由式(5 - 2 - 19) 求得 H= H1 + H2 = e I 2πr + e I′ ′2πr′ 由于理 想 导 磁 体表 面 的 磁 场 强度 的 切 向 分量必须为零,因 此为了 满足 这个 边界条 件必须要求 I′= I, 因为在边界上, r = r′, = 2π- ′。由此获悉镜像 电流与 原电流 大小相等方 向相 同。取直 角坐 标系, 则由 图5-6- 3知 e = ey cos - ex sin e ′= ey cos ′- ex sin ′ 图 5 - 6 - 3   理想导磁平面与恒定电流 式中 cos = x r ; cos ′= rx′; sin = y- r h sin ′= y+ h r′ 而距离 r = x2 + ( y - h)2 r′= x2 + ( y + h)2 因此合成磁场为 H = I 2π x2 x + (y - h)2 + x2 x + (y + h)2 ey - x2 y- h + ( y - h)2 + x2 y+ h + ( y + h)2 ex 对于边界上任一点, y = 0, 得 H = π( Ix x2 + h2 ) ey 由此可见,所得结果满足前述的边界条件, 即磁场强度垂直于边界。 例 3   一根无限长的电流为 I 的线 电流, 位于 两种 媒质 形成 的 无限 大的 平 面边界附近,两种媒质的磁导率分别为 μ1 及 μ2 ,试求两种媒质中的恒定磁场。 解   设电流 I 位于媒质②中, 如图 5 - 6 - 4(a) 所示。 由于边界 不均匀处 出 现磁化电流,因此,上半空 间的 磁场 是由 电 流 I 及 边界 上的 磁 化电 流 共同 产 生 的。为了考虑这种磁化电流的影响,求解上半空间磁场时, 可在镜像位置放一同 方向的镜像电流 I′,整个空间变为磁导率为 μ2 的均匀 空间, 上半空 间的磁场 由 电流 I 及镜像电流 I′共同产生。求解下半空间时, 以同向电流 I″代 替电流 I, 整 个空间变为磁导率为 μ1 的均匀空间。显然, 这样处理是合理的。因为根据惟一 性定理,场是由源及其边界条件共同决定的。现在这 样假定后,图 5 - 6 - 4(b) 上 13 0 第五章   恒 定 磁 场 图 5 - 6 - 4   两种磁性媒质 半空间仍然为有源区,图 5 - 6 - 4(c) 下半 空间为无 源区。因此 为了维持 边界 条 件不变,应使根据假定求出的上半空 间及下 半空 间的 场在边 界上 满足恒 定磁 场 的边界条件,即 H 1t = H2t , B1 n = B2 n 。为此,根据式(5 - 2 - 19)得 I - I′= I″ μ2 I + μ2 I′= μ1 I″ 解此方程组,得 I′= μ1 μ1 - μ2 + μ2 I I″= 2μ2 μ1 + μ2 I 那么媒质①中 H1 = μ2 πr(μ1 I + μ2 ) e B1 = μ1 H1 媒质②中 H2 = 2πIre + (μ1 - μ2 ) I 2πr′(μ1 + μ2 ) e′ B2 = μ2 H2 由此可见,若媒质①为理想导磁体, 即 μ1 = ∞, 则 H1 = 0 但是 B1 = μ1 H = μπ2 rIe 此时,镜像电流 I′= I, I″= 0。这些结果与前例完全相同。 思 考 题 5 - 1   磁感应强度的定义是什么 ? 5 - 2   运 动电荷 、载 流导线 以及闭 合电流 环路在 恒定磁 场中受 到的影 响有何 不同 ? 5 - 3   试述真空中恒定磁场方程式及其物理意义。 习   题 131 5 - 4   已知电流分布如何求解恒定磁场 ? 5 - 5   什么是矢量磁位和标量磁位 ? 给出它们应该满足的微分方程式及其应用条件。 5 - 6   磁场与媒质之间相互作用后,会发 生什么现象 ? 什 么是顺 磁性媒 质、抗 磁性媒 质 和铁磁性媒质 ? 5 - 7   什么是磁化强度 ? 它与磁化电流的关系如何 ? 5 - 8   试述媒质中恒定磁场方程式及其物 理意义。什么 是磁场 强度及 磁导率 ? 相对 磁 导率是否可以小于 1 ? 5 - 9   什么是均匀与非均匀、线性与非线 性、各向 同性与 各向异 性的磁 性能 ? 三者之 间 有无联系 ? 5 - 10   试述恒定磁场的边界条件。 5 - 11   理想导电体(σ= ∞)中是否 可以存 在恒定 磁场 ? 理想 导磁体 (μ= ∞)中是否 可 以存在静电场 ? 5 - 12   介电常数 ε、电导率 σ及磁导率 μ分别描述媒质的什么特性 ? 习   题 5 - 1   在均匀线性各向同性的非磁性导电媒 质(即 μ= μ0 )中,当存在恒 定电流 时,试 证 磁感应强度应满足拉普拉斯方程,即 2 B = 0。 5 - 2   设两个半径相等的同轴电流环沿 x 轴放置,如习题图 5 - 2 所示。试证在中点 P 处,磁感应强度沿 x 轴的变化率等于零,即 dB dx = d2 B d x2 = 0 5 - 3   已知边长为 a 的 等边三 角形 回路 电流 为 I,周 围媒 质为 真空,如 习题 图 5 - 3 所 示 。试 求 回 路 中 心 点 的 磁 感 应 强度 。 习题图 5 - 2 习题图 5 - 3 习题图 5 - 5     5 - 4   已知无限长导体圆柱半径为 a,通过的电流为 I,且电流 均匀分布,试求柱内 外的 磁 感 应强 度 。 5 - 5   已知无限长导体圆柱的半 径为 a,其内 部存在 的圆柱 空腔半 径为 b,导 体圆柱 的 轴线与空腔圆柱的轴线之间的间距为 c,如 习题图 5 - 5 所示。若导 体中均 匀分布 的电流 密 度为 J = ez J0 ,试求空腔中的磁感应强度。 13 2 第五章   恒 定 磁 场 5 - 6   两条半无限长直导线与一个半圆环导线形成一个电流回路,如习题图 5 - 6 所示。 若圆环半径 r = 10 cm ,电流 I = 5 A,试求半圆环圆心处的磁感应强度。 5 - 7   若在 y = - a 处放置一根无限长线电流 I,电流的流动方向为 z 轴正方 向;在 y = a 处放置另一根无限长线电流 I,该电流的流动方向为 x 轴正方向,如习题 图 5 - 7 所示。试 求 坐 标原 点 处 的 磁 感 应 强 度 。 习题图 5 - 6 习题图 5 - 7     5 - 8   已知宽度为 w 的带形电流的面密度 JS = ex JS ,位于 z = 0 平面内,如习题图 5 - 8 所示。试求 P(0,0, d)处的磁感应强度。 5 - 9   已知电流环半径为 a,电流为 I,电流环位于 z = 0 平面,如习题 图 5 - 9 所示。试 求 P(0,0, h)处的磁感应强度。 习题图 5 - 8 习题图 5 - 9     5 - 10   当半径为 a 的均匀带电圆盘的电荷面密度为ρS ,若圆盘绕其轴线以角速度 ω旋 转 ,试 求 轴 线 上 任 一点 磁 感 应 强 度 。 5 - 11   已知位于 y = 0 平面内的表面电流 JS = ez JS0 ,试证磁感应强度 B 为 - μ0 JS0 2 ex , y> 0 B= μ0 JS0 2 ex , y< 0 5 - 12   已知 N 边正多边形的外接圆半径为 a,当通过的电流为 I 时,试证多边形中心的 习   题 133 磁 感 应强 度 为 B = en μ2π0 NaItan π N 式中 en 为正多边形平面的法线方向上的单位矢量。若 N→∞时,中心 B 值多大 ? 5 - 13   若表面电流 JS 位于 x = x′平面内,试证 × B = μ0 JSδ( x - x′) 式中δ( x - x′)为在 x′处取极值的一维δ函数。 5 - 14   若位于圆柱坐标系中( r0 , 0 )处的 无限 长线 电流 的电 流为 I,方 向与 正 z 轴 一 致 ,试 证 磁 感 应 强 度为 × B = ezμ0 Iδ( r - r0 )δ( r0 - 0) 5 - 15   若无限长的半径为 a 的圆柱体中电流密度分布函数 J = ez ( r2 + 4 r), r≤ a,试求 圆 柱 体内 外 的 磁 感 应 强 度 。 5 - 16   证明矢量磁位 A 满足的方程式 2 A = - μ0 J 的解为 ∫ A = μ0 4π V′ | J( r′) r - r′| d V′ ( 提 示 :利 用 函 数 2 1 | r - r′| 在 r′处的奇点特性) 5 - 17   已知空间 y < 0 区域为 磁性 媒质,其相 对磁 导率 μr = 5 000, y > 0 区域为 空气。 试求:①当空气中的磁感应强度 B0 = ( ex 0.5 - ey 10) m T 时,磁性媒质中的磁感应 强度 B;② 当磁性媒质中的磁感应强度 B = ( ex 10 + ey 0.5) m T 时,空气中的磁感应强度 B0 。 5 - 18   已知均匀绕制的长螺线管的匝数为 N ,长度为 L,半径为 a,电流为 I,如习 题图 5 - 18 所示。试求: ① 螺线管内部中点 O 的磁感应强度; ② 螺线管外部 P 点的磁感应强度,图中 dm L, dm a。 习题图 5 - 18 5 - 19   根据式(5 - 2 - 9b),证明 ·A = 0。 5 - 20   证明在边界上矢量磁位 A 的切向分量是连续的。 5 - 21   磁导率为 μ的磁棒插 入电流 为 I 的螺线 管中,若单位 长螺线 管的 匝数 为 N ,磁 棒的半径为 a,螺线管的 内径为 b( b > a)。试求:① r < a 及 a < r < b 区域中的磁 感应强 度 13 4 第五章   恒 定 磁 场 B、磁场强度 H 及磁化强度 M ;②磁棒中的磁化电流密度 J′及磁棒表面的表面磁化电流 密度 J′S 。 5 - 22   已知半径为 a 的铁氧体球内部的磁 化强度 M = ez M 0 ,试 求:① 球内磁 化电流 密 度 J′及球面的表面磁化电流密度 J′S ;②磁化电流在球心处产生的磁感应强度 B。 5 - 23   当磁矩为 25 A·m 2 的磁针位于磁感应强度 B = 2 T 的均 匀磁场 中,试 求磁针 承 受 的 最大 转 矩 。 5 - 24   已知体积 为 1 m 3 的 均匀 磁 化 棒 的 磁 矩 为 10 A·m 2 ,若 棒 内 磁 感 应 强度 B = ez 0.02 T, ez 为轴线方向。试求棒内磁场强度。 5 - 25   已知位于坐标原点的 磁化球的半径为 a,若球内的磁 化强度 M = ( A z2 + B) ez , 式中 A , B 均为常数,试求球内及球面上的磁化电流。 第六章   电 磁 感 应 上一章讨论了恒定磁场的基本特 性, 本章将 介绍 电磁 感应、电感、磁 场能 量 及磁场力。为了有助于理解电感、磁场能量及磁场力的物理概念, 首先介绍电磁 感应定律。 6 - 1   电磁感应定律 由物理学得知,穿过闭合线圈 中的磁 通 Φ 发 生变 化 时,线圈 中产 生的 感 应 电动势 e 为 e= - dΦ dt (6 - 1 - 1) 式中电动势 e 的参考方向规定为与 磁通方 向构 成右旋 关系。 因此,上式 表明 当 磁通随着时间增加时, e < 0, 表明 感应 电动 势的 实 际方 向与 规 定的 参 考方 向 相 反;反之,当磁通减少时, e > 0,表明电 动势的 实际 方向与 规定 的参 考方向 相同。 已知回路中感应电动势的方向与感应电流方向相同,因此, 线圈中感应电流产生 的感应磁通方向总是阻碍原有磁通的变化,所以感应磁通又称为反磁通。 闭合线圈中产生感应电流意味着导 线中 存在 电场推 动电 荷运动,这 种电 场 称为感应电场,以 E 表示。感应电场强度沿线圈回路的闭 合线积分 等于线圈 中 的感应电动势 e,即 ∮ E·d l = l dΦ dt (6 - 1 - 2) 又 ∫ Φ= B·d S S 式中 S 为线圈界定的面积。由上两式求得 ∮ ∫ E·d l = - l t B·d S S (6 - 1 - 3) 式中微分符号改为偏微分符号是考虑到时变的磁感应强度 B 还与空间坐标有 关。式 (6 - 1 - 3)称为电磁感应定律, 它 表明 穿过 线圈中 的磁 场变化 时, 导线 中 产生感应电场。实际上,感应电场的存在与回路中是否有导线无关, 导线的作用 只是显示感应电动势的存在。因此,电磁感应定律表明, 时变磁场可以产生时变 电场。电磁感应定律是时变电磁场的基 本定 律之 一,也是下 一章 将要介 绍的 描 述时变电磁场著名的麦克斯韦方程组中的方程之一。 13 6 第六章   电 磁 感 应 根据斯托克斯定理,由式(6 - 1 - 3) 得 ∫S ( × E) + B t ·d S = 0 (6 - 1 - 4) 由于该式对于任一回路面积 S 均成立,因此,其被积函数一定为零,即 × E= - B t (6 - 1 - 5) 此式称为电磁感应定律的微分形式,它表明, 某点磁感应强度的时间变化率负值 等于该点时变电场强度的旋度。 可以证明,式(6 - 1 - 1) 对于任一闭合回路都成立。当线圈在恒定磁场中运 动时,产生的效果相当于静止线圈中的磁通发生变化,如图 6 - 1 - 1 所示。 设线 圈 的 面 积为 S, 自 时 刻 t1 至 时 刻 t2 线圈扫过的面积为 S′。若在 t1 时刻 线圈中 的 磁通为 Φ1 , t2 时 刻线 圈 中的 磁 通 为 Φ2 , 穿 出 S′面的磁通为 Φ′, 那 么, 穿 过 由两 个 线 圈面 积 S 及侧面 S′组成的闭合面的磁通为 ∮ B·d S = - Φ1 + Φ2 + Φ′ S (6 - 1 - 6) 式中 Φ1 前 的 负号 是 考 虑到 t1 时 刻 穿过 线 圈 的磁通方向与闭合 面的 外 法线 方向 恰好 相反。 图 6 - 1 - 1   感应电动势 ∮ 因为 B·d S = 0, 由上式得 S Φ2 - Φ1 = - Φ′ 可见,d t 时间内穿过线圈的磁通增量 dΦ 为 dΦ = Φ2 - Φ1 = - Φ′ (6 - 1 - 7) ∫ 考虑到 Φ′= B·d S′, 得 S′ ∫ B·d S′= - dΦ S′ (6 - 1 - 8) 线圈中产生的感应电动势,也可 认为是 线圈 导线 切割磁 场线 感应产 生的 电 动势。那么,当线圈的运动速度为 v 时, 若线元 dl 内的自由电荷为 q,则 d l 受到 的电场力 F 为 F= qv×B (6 - 1 - 9) 可见,线元 dl 处的感应电场为 E= F q = v×B (6 - 1 - 10) 6 - 2   自感与互感 137 所以 dl 中的感应电动势 de 为 d e = E·dl = ( v × B)·d l 或写为 d e = (d l× v )·B (6 - 1 - 11) 若 dt 时间内 d l 的位移为 d h,则线圈运动速度为 v = d d ht,代入上式, 得 de = d l× d d h t ·B 因此,闭合线圈中的感应电动势 e 为 ∮ e = l dl× d h dt ·B 考虑到 d l× d h = d S′为侧面的有向面元, 代入上式,得 ∫ e = S′ B· d S′ dt (6 - 1 - 12) 那么,由式(6 - 1 - 8) 及式(6 - 1 - 12) 即可证明式(6 - 1 - 1)成立。 6 - 2   自感与互感 已知线性媒质的磁导率与磁感应强 度的 大小 无关,因而 位于 线性媒 质中 的 单个闭合回路电流产生的磁感应强度与 回路 电流 成正比,所 以穿 过回路 的磁 通 Φ也与回路电流 I 成正比。与回路电流 I 交链的磁通Φ称为回路电流 I 的磁通 链,以 Ψ 表示,令 Ψ 与 I 的比值为 L,即 L= Ψ I (6 - 2 - 1) 式中 L 称为回路的电感,单位 为 H (亨)。由 该定 义 可见,电 感又 可 理解 为与 单 位电流交链的磁通链。在线性媒质中,单个 回路 的电 感仅与 回路 的形状 及尺 寸 有关, 但与回路中电流无关。应注意, 磁 通链 与磁 通不同, 磁 通链 是指与 某电 流 交链的磁通。若交链 N 次, 则磁 通链增 加 N 倍; 若 部分 交链, 则 必 须给 予适 当 的折扣。例如对于 N 匝回路组 成的 环形 线圈, 由于 穿过 线圈 的 磁通 Φ 与线 圈 中的电流 I 交链 N 次,对于回路电流 I 相当于磁通增加 N 倍,因此与回路电流 I 交链的磁通链为 Ψ = NΦ。所以, 由 N 匝回路组成的线圈的电感为 L= Ψ I = NΦ I (6 - 2 - 2) 磁通与回路电流部分交链的情况见本节例 2 所述。 若有两个回路存在,如图 6 - 2 - 1 所示。与回路电流 I1 交链的磁通链是 由 两部分磁通形成的,其一是 I1 本身 产生 的磁 通形成 的磁 通链 Ψ11 , 另一 是电 流 I2 在回路 l1 中产生的磁通形成的磁通链 Ψ1 2 。 13 8 第六章   电 磁 感 应 图 6 - 2 - 1   自感与互感 同理,与回路电流 I2 交链的磁通链 Ψ2 是由本身产生 的磁通链 Ψ2 2 和电 流 I1 在回路 l2 中产生的磁通链 Ψ2 1 共同形成的,即 Ψ1 = Ψ11 + Ψ12 (6 - 2 - 3a) Ψ2 = Ψ21 + Ψ22 (6 - 2 - 3b) 若周围媒质是线性的,则比值 Ψ1 1 I1 , Ψ12 I2 , Ψ22 I2 及 Ψ21 I1 均为常数, 令 L11 = Ψ1 1 I1 (6 - 2 - 4) M 12 = Ψ1 2 I2 (6 - 2 - 5) 式中 L1 1 称为回路 l1 的自感, M 1 2 称为回路 l2 对 l1 的互感。同理定义 L22 = Ψ2 2 I2 (6 - 2 - 6) M 21 = Ψ2 1 I1 (6 - 2 - 7) 式中 L2 2 称为回路 l2 的自感, M 2 1 称为回路 l1 对 l2 的互感。 将上述参数 L1 1 , L2 2 , M 12 及 M 2 1 代入式(6 - 2 - 3)中, 得 Ψ1 = L11 I1 + M 12 I2 (6 - 2 - 8a) Ψ2 = M 21 I1 + L22 I2 (6 - 2 - 8b) 可以证明,在线性均匀媒质中 M 12 = M 21 (6 - 2 - 9) 为了证明这个等式,由式(5 - 3 - 3) 求得电流 I1 在回路 l2 中产生的磁通链为 ∮ Ψ2 1 = A1·d l2 l2 式中 A1 为电流 I1 在回路 l2 所在处产生的矢量磁位, 因此 (6 - 2 - 10) 6 - 2   自感与互感 139 ∮ ∮ A1 ( r) = μ 4π l 1 | I1 r2 ( r1 ) - r1 | d l1 = μI1 4π d l1 l 1 | r2 - r1 | 代入式(6 - 2 - 10) 中,得 ∮∮ Ψ21 = μI1 4π l2 d l1·d l2 l1 | r2 - r1 | (6 - 2 - 11) 那么将此结果代入式(6 - 2 - 7)中, 得 ∮∮ M 21 = μ 4π l2 d l1·d l2 l1 | r2 - r1 | (6 - 2 - 12a) 同理可得 ∮∮ M 12 = μ 4π l1 d l2·d l1 l2 | r1 - r2 | (6 - 2 - 12b) 由于 d l1·d l2 = d l2·d l1 ,| r2 - r1 | = | r1 - r2 |, 所 以比 较式 (6 - 2 - 12a) 及 式(6 - 2 - 12b)可见, M 21 = M 12 。式(6 - 2 - 12a)及 式(6 - 2 - 12b) 为任 意两 个 回路之间的互感公式。由此两式可见,若 dl1 与 d l2 处 处保持垂 直, 则互感 M 1 2 = M 2 1 = 0; 若处处保持平行, 则互 感 M 值 达 到最 大。因 此在 实际 的电 路 中, 如 果需要增强两个线圈之 间的 耦合, 应彼 此平 行 放置; 若要 避 免 两个 线 圈相 互 耦 合,则应相互垂直。此外,应注意互感可 正可 负,其值 正负取 决于 两个线 圈的 电 流方向,但电感始终应为正值。实际上, 由式(6 - 2 - 8)可以推知, 若互磁通与原 磁通方向相同,则使磁通链增加, 互感应为正值;反之, 若互磁通与原磁通方向相 反,则使磁通链减少, 互感为负值,利用这条规则可以判断互感的正负。 例 1   计算无限长直导线与矩形线圈之间的互感。设 线圈与导线平行,周围媒质为真空,如图 6 - 2 - 2 所示。 解   建立圆柱坐 标 系, 令 z 轴方 向 与电 流 I1 一 致, 如 图 6 - 2 - 2 所示,则 I1 产生的磁感应强度为 B1 = μ0 I1 2πr e (6 - 2 - 13) 与线圈电流 I2 交链的磁通链 Ψ21 为 ∫ Ψ21 = B1·d S S2 图 6 - 2 - 2   长直导线 若线框电流如图 6 - 2 - 2 所 示的 顺 时针 方向,则 d S 与 B1 与矩 形 线 圈 方向相同。将式(6 - 2 - 13) 代入上式,得 ∫ Ψ21 = μ0 I1 2π a D+ b D 1 r d r = μ0 I1 2π a ln D+ b D 那么由式(6 - 2 - 7)求得互感 M 21 为 14 0 第六章   电 磁 感 应 M21 = Ψ21 I1 = μ20πaln D+ b D (6 - 2 - 14) 可见 M 21 > 0,这是因为当 导 线的 电流 向上, 线圈 电流 为顺 时针 方 向时, I2 产 生 的磁通方向与互磁通 Φ21 方向相同, 因此使电流 I2 的磁通链增加, M 2 1 为正。反 之,若线圈电流为逆时针方向时, 则 B1 与 d S 反向, M 21 为负。但 在任何 线性 媒 质中, M 12 = M 21 。 例 2   计算载有直流电流的同轴线单位长度内的电感。设同轴线内导体的 半径为 a; 外导体的内半径为 b, 外半径为 c, 如图 6 - 2 - 3(a) 所示。 解   在同轴线中取一单位长度,沿长度方向形成一个矩形回路,内边宽度为 a,外边宽度为 c - b, 如图 6 - 2 - 3(b) 所示。 现将同轴 线中内 外导体中 的电 流 合并到矩形回路中,内导体中电流归并为矩形回路的内边电流, 外导体中电流归 并为矩形回路的外边电流。 图 6 - 2 - 3   同轴线的电感 同轴线单位长度的电感定义为 L1 = Ψ I 式中 I 为同轴线中的电流, Ψ 是单位长度内与电流 I 交链的磁通链。由图 6 - 2 - 3(a)可见, 与电流 I 交链的磁通链由 三部 分磁通 形成: 外 导体 中的磁 通、内外 导 体之间的磁通以及内导体中的磁通。但 由于 外导 体通常 很薄,穿 过其内 的磁 通 可以忽略。已知内外导体之间的磁感应强度为 Bo = μ2π0 rIe 该磁场形成的磁通称为外磁通,以 Φo 表示,则单位长度内的外磁通为 ∫ ∫ ∫       Φo = Bo·d S = S b Bo·e d r = a b a Bo d r = μ2π0 Iln b a (6 - 2 - 15) 该外磁通与电流 I 完全交链,故外磁通与磁通链 Ψo 相等。 6-3 磁 场 能 量 141 又知内导体中的磁感应强度值 Bi 为 Bi = μ0 Ir 2πa2 这部分磁场形成的磁通称为内磁通,以 Φi 表示。那么, 如图 6 - 2 - 3 所示, 穿过 宽度为 d r 的单位长度截面的内磁通 d Φi 为 d Φi = μ0 2π Ir a2 d r 但是这部分磁通仅与内导体中自内导体轴线 位置 0 至 r 之 间部 分电流 I′交链, 而不是与总电流 I 交链,因此,对于总电流 I 来 说,这 部分磁 通折 合成与 总电 流 I 形成的磁通链应为 d Ψi = II′d Φi = μ0 Ir3 2πa4 dr 由此求得内导体中的磁场对总电流 I 提供的磁通链 Ψi 为 ∫ Ψi = a 0 d Ψi = μ0 I 8π (6 - 2 - 16) 由式(6 - 2 - 15) 及式(6 - 2 - 16) 求得 与总 电流 I 交链 的总磁 通链 为 Ψo + Ψi, 因此,同轴线的单位长度内电感为 L1 = Ψo + I Ψi = μ2π0 ln b a + μ0 8π (6 - 2 - 17) 式中第一项称为外电感,第二项称为内电感。由后面分析得知, 同轴线的内外导 体可以当作理想导电体, 在这种理想 导电 体中不 可能 存在 时变电 磁场, 因 此, 当 同轴线工作于时变电磁场时,内外导体中的磁通皆可忽略, 只需考虑内外导体之 间的磁通,因而同轴线单位长度内的电感等于外电感, 即 L1 = μ2π0 ln b a (6 - 2 - 18) 6-3 磁场 能 量 已知穿过闭合回路的磁通发生变化时,在回路中产生感应电动势, 因而回路 中产生感应电流。此时,产生电流 所需的 能量 是由 外部磁 场提 供的。若 在回 路 中加入外源,回路中产生电流。在电流建立过程中, 回路中产生的反磁通企图阻 碍电流增长, 为了克服反磁通产生的 反电 动势, 以 维持电 流达 到一定 数值, 外 源 必须作功。若电流变化非常缓慢,可以不考虑辐射损失, 则外源输出的能量全部 储藏在回路电流周围的磁场中,上述能量转换说明了磁场可在回路中产生电流, 而外源又可向磁场提供能量。由此可 见,磁场 是具 有能量 的。根 据外源 在建 立 14 2 第六章   电 磁 感 应 磁场过程中所作的功即可计算磁场能 量。首 先计 算单个 回路 的磁场 能量,然 后 再计算 N 个回路的磁场能量。 设单个回路的电流从零开 始逐 渐缓 慢地 增加 到最 终值 I, 因 而 回路 磁通 也 由零值逐渐缓慢地 增 加到 最终 值 Φ。已 知回 路中 产生 的 反电 动势 等 于回 路 磁 通变化率的负值,即 e = - ddΦt 。因此, 为了克服 这个反电 动势, 外源必 须在回 路 中产生电压 U = - e,即 U = dΦ dt 若时刻 t 回路中的电流为 i( t),则此时回路中的瞬时功率为 P( t) = i( t) U = i( t) dΦ dt 在 dt 时间内外源所作的功为 d W = P( t)d t = i( t)dΦ (6 - 3 - 1) 由式(6 - 2 - 1) 得 知, 任 一 时 刻 单 个 回 路 的 磁 通 链 与 回 路 电 流 的 关 系 为 Ψ( t) = Li( t),又知单个回路电流的磁通链即是穿过回路的磁通, 因此 Φ( t) = Li( t) 将此结果代入式 (6 - 3 - 1)中, 同 时考虑到 在线性 媒质中, 回路 电感 L 与 电流 i 无关,求得 d t 时间内外源所作的功为 d W = Li( t)d i 当回路电流增至最终值 I 时,外源所作的总功 W 为 ∫ W = I 0 Li( t)d i = 1 2 LI2 外源付出的总功在回路中 建立 的电 流为 I, 而该 电流 在其 周 围建 立磁 场。因 电 流增长很慢,辐射损失可以忽略, 外源所作的功完全转变为周围磁场的能量。若 以 W m 表示磁场能量,则电感为 L,电流为 I 的回路具有的磁场能量 W m 为 Wm = 1 2 L I2 (6 - 3 - 2) 由上式亦可见,若已知回路电流及其磁场能量, 则回路电感为 L = 2 W I2 m (6 - 3 - 3) 对于某些回路利用上式计算电感是很方便的。 考虑到回路电感 L = Ψ I,则电流 为 I 的单 个回 路周围 的磁 场能量 又可 表 示为 Wm = 1 2 ΨI (6 - 3 - 4) 6-3 磁 场 能 量 143 式中 Ψ 为与电流 I 交链的磁通链。 对 N 个 回路,可 令 各个 回路 电流 均以 同 一比 例由 零值 缓慢 地 增加 到最 终 值。根据能量守恒定律,最终的总能量应与建立过程无关, 因此这样的假定是允 许的。已知各回路磁通链与各个回 路电 流之 间的关 系是 线性的, 第 j 个 回路 的 磁通链 Ψj 为 Ψj = M j1 I1 + M j2 I2 + … + Ljj Ij + … + M jN IN 因此,当各回路电流以同一比例增长时, 各回路磁通链也以同一比例增加。设第 j 个回路在某一时刻 t 的电流 ij ( t) = α( t) Ij , 式中 Ij 为电流最终值,α为比例系 数,其范围为 0 < α< 1。那 么,由式(6 - 3 - 1)知,在 d t 时 间 内,外源 在 N 个 回 路中所作的功为 N N ∑ ∑ d W = ij ( t)d Ψj ( t) = Ij Ψjαdα j= 1 j= 1 当各个回路电流均达到最终值时,外源所作的总功 W 为 ∫ W = d W 由此求得具有最终值电流的 N 个回路产生的磁场能量为 1N ∫ ∑ W m = Ij Ψjαdα 0 j= 1 即 ∑N Wm = j= 1 1 2 Ij Ψj (6 - 3 - 5) 这样,若已知各个回路的电流及磁通链, 由上式即可计算这些回路共同产生的磁 场能量。 已知静电场的能量可以根据标量电 位进 行计 算,而磁场 能量 可以根 据矢 量 ∮ 磁位进行计算。由式(5 - 3 - 3)知, 回路磁通可用矢 量磁位 A 表 示为 Φ = A· l d l,因此第 j 个回路的磁通链 Ψj 也可用矢量磁位 A 表示为 ∮ Ψj = A·d l lj 式中 A 为周围回路电流在第 j 个回路所在处产生的合成矢量磁位。将上式代 入式(6 - 3 - 5)中, 得 ∑ ∮ W m = N j= 1 1 2 Ij A·d lj lj (6 - 3 - 6) 以上讨论了 N 个回路电流产生的磁场能量,根据式(6 - 3 - 5)或式(6 - 3 - 6) 均可计算 N 个回路电流产 生的 磁场能 量。若电 流连 续地 分 布在 体积 V 中, 电 流密度为 J, 已知 Idl = Jd V ,则式 (6 - 3 - 6)变为体积 分, 此时磁场 能量可以 表 示为 14 4 第六章   电 磁 感 应 ∫ W m = 1 2 A·Jd V V (6 - 3 - 7) 式中 V 为体分布的电流密度 J 所占据的体积。 同理,若电流分布在表面 S 上,因 Jd V = JS d S, 则产生的磁场能量为 ∫ W m = 1 2 A·JS d S S (6 - 3 - 8) 式中 S 为面分布的电流密度 JS 所在的面积。 至 此 我 们 得 知,根 据 矢 量 磁 位 可 以 计 算 线 电 流 、面 电 流 及 体 电 流 产 生 的 磁 场 能量。下面再讨论磁场能量的分布密度。 已知 × H = J, 代入式(6 - 3 - 7)中, 得 ∫ W m = 1 2 A· × H d V V 利用矢量恒等式 ·( H × A ) = A· × H - H· × A, 上式又可写为 ∫ ∫ W m = 1 2 V ·( H × A)d V + 1 2 H· × Ad V V (6 - 3 - 9) 已知上式中 V 为电流所在的区域,显然,若将积分区域扩大到无限远处,上式 仍 然成立。令 S∞ 为位 于 无 限远 处 的 半 径 为无 限 大 的 球 面,则 由 高 斯定 理 知, 式 (6 - 3 - 9)第一项 ∫ ∮ 1 2 V ·( H × A)d V = 1 2 ( H × A)·d S S∞ 当电流分布在有限区域时,磁场强度与距离平方成反比, 矢量磁位与距离一次方 成反比,因此位于无限远处的面积分 ∮ ( H × A)·d S→0 S ∞ 即对于无限大空间,式(6 - 3 - 9) 的第一 项积 分为 零,再 考虑 到 × A = B, 则 由 此求得 ∫ W m = V 1 2 ( H·B ) d V (6 - 3 - 10) 式中 V 为磁场所占据的整个空间。显然,上式中的被积函数代表磁场能量的 分 布密度。若以小写字母 w m 表示磁场能量密度,则 wm = 1 2 H· B (6 - 3 - 11) 对于各向同性的线性媒质, B = μH , 因此磁场能量密度又可表示为 wm = 1 2 μH 2 (6 - 3 - 12) 此式表明,在各向同性的线性媒质中, 某点磁场能量密度等于该点磁导率与 6- 4   磁   场  力 145 磁场强度平方的乘积之半。由于磁场能 量与 磁场 强度平 方成 正比,因此 与电 场 能量一样,磁场能量也不符合叠加原理。 例   计算同轴线中单位长度内的磁场能量。设同轴线中通过的恒定电流为 I, 内导体的半径为 a, 外导体 的厚度 可以 忽略, 其半 径为 b, 内外 导 体之 间为 真 空。 解   由式(6 - 2 - 17) 知,同轴线单位长度内的电感为 L = μ0 8π + μ2π0 ln b a 因此由式(6 - 3 - 2)求得单位长度内同轴线中磁场能量 W ml 为 W ml = μ0 I2 1 6π + μ0 I2 4π ln b a (6 - 3 - 13) 我们也可以利用式(6 - 3 - 10) 计算同轴线的磁场能量。已知内导体中的磁 场强度为 Hi = Bi μ0 = Ir 2πa2 因此内导体中单位长度内的磁场能量为 ∫ ∫ W mi = V 1 2 μH 2 i dV = a 0 1 2 μ0 Ir 2πa2 2 2πrd r = μ0 I2 16π 又知内外导体之间的磁场强度 Ho 为 Ho = Bo μ0 = I 2πr 所以内外导体之间单位长度内的磁场能量为 ∫b W mo = a 1 2 μ0 H 2 o 2πrd r = μ0 I2 4π ln b a 那么单位长度内同轴线的磁 场 能量 为 ( W mi + W m o ), 此结 果与 式 (6 - 3 - 13) 完 全相同。 此外,由上可见,根据同轴线中的电 流,求得 同轴 线中单 位长 度内的 磁场 能 量 如 式(6 - 3 - 13) 所示。再根据式(6 - 3 - 3) L = 2 W I2 m ,即可求得单位长度同轴 线的电感,其结果与式(6 - 2 - 17)完全相同。显而易见, 通过磁场能量计算电感 十分简便。 6-4 磁 场 力 已经指出磁场对于运动电荷、电流元及小电流环均有作用力, 现在让我们讨 论两个任意形状的电流回路之间的作用力。设有两个任意形状的回路电流分别 14 6 第六章   电 磁 感 应 为 I1 和 I2 ,如图 6 - 4 - 1 所示。 图 6 - 4 - 1   磁场力计算 已知磁场对于电流元 Id l 的作用力 F = Id l× B,因此, 由回 路电流 I1 产 生 的磁场 B1 对于电流元 I2 d l 的作用力 d F21 为 d F2 1 = I2 d l2 × B1 由式(5 - 2 - 17) 知,电流 I1 产生的磁感应强度 B1 为 ∮ B1 ( r) = μ0 4π l1 I1 d l1 ×( r2 - r1 ) | r2 - r1 |3 因此, B1 对于整个回路电流 I2 的作用力 F21 为 ∮∮ F21 = μ0 4π l 1 I2 d l2 × [ I1 d l1 ×( r2 - r1 )] l 2 | r2 - r1 |3 (6 - 4 - 1) 同理可以求出回路电流 I2 产生的磁场 B2 对于整个回路 l1 的作用力 F1 2 为 ∮∮ F12 = μ0 4π l1 I1 d l1 × [ I2 d l2 ×( r1 - r2 )] l2 | r1 - r2 |3 (6 - 4 - 2) 上述式(6 - 4 - 1)和式(6 - 4 - 2) 两式称为安培定律。根据牛顿定律得知, F21 = - F12 。这个结论很容易证明。为了证明方便起见,令 eR 21 为差矢量 ( r2 - r1 ) 的 单位矢量, eR 12 为 差矢 量 ( r1 - r2 ) 的 单 位 矢量, 且 | r2 - r1 | = R2 1 ,| r1 - r2 | = R1 2 ,则式 (6 - 4 - 1)及式(6 - 4 - 2)可以分别记作 ∮∮ F21 = μ0 4π l1 I2 dl2 ×[ I1 d l1 × eR21 ] l2 R2 21 (6 - 4 - 3) ∮∮ F12 = μ0 4π l1 I1 dl1 ×[ I2 d l2 × eR12 ] l2 R2 12 (6 - 4 - 4) 显然式中 eR21 = - eR 12 ,   R1 2 = R2 1 利用恒等式 A ×( B × C ) = B( A·C) - C( A·B),得 6- 4   磁   场  力 147 I2 d l2 ×[ I1 dl1 × eR 21 ] R2 21 = I1 I2 (dl2·eR 21 )d l1 R2 21 - (d l2·d l1 R2 21 ) eR 21 代入式(6 - 4 - 3)中得 ∮∮ ∮∮     F21 = μ0 I1 I2 4π l1 l2 (dl2·eR 21 )dl1 R2 21 - l1 (dl2·dl1 ) eR21 l2 R2 21 (6 - 4 - 5) 已知 2 1 R21 eR 21 =2 R21 式中 2 的下标 2 表示对回路 l2 上的坐标点( x2 , y2 , z2 )进行微分,因此式(6 - 4 - 5) 中第一项积分可以表示为 ∮∮ ∮ ∮ l1 l2 d l1 (d l2·eR21 R2 21 ) = - d l1 l1 l2 2 1 R21 ·d l2 (6 - 4 - 6) 又因 1 R12 对坐标点( x2 , y2 , z2 ) 的全微分为 d2 1 R12 = x2 1 R2 1 d x2 + y2 1 R21 d y2 + z2 1 R21 d z2 1 1 即 d2 R2 1 = 2 R21 ·d l2 将此结果代入式(6 - 4 - 6)中, 得 ∮∮ ∮ ∮ l1 l2 d l1 (d l2·eR 21 R2 21 ) = - d l1 l1 d2 l2 1 R2 1 (6 - 4 - 7) ∫ 由于不定积分 d2 1 R2 1 = 1 R21 为变量( x2 , y2 , z2 )的单值函数, 因此, 围绕 l2 回 ∮ 路一周,定积分 d2 l2 1 R21 = 0, 即式(6 - 4 - 5)中的第一项积分为零。这样, 由 式(6 - 4 - 5)求得回路电流 I1 产生的磁场对于回路 l2 的作用力可以表示为 ∮∮ F21 = - μ0 I1 I2 4π l1 l2 ( d l1·d R2 21 l2 ) eR 21 (6 - 4 - 8) 由此可见,因 dl1·d l2 = d l2·d l1 , eR 21 = - eR 12 , 所以 F2 1 = - F12 已知回路电流分布,利用上述 安培定 律可 以计 算回路 之间 的磁场 力。但 是 如果回路形状复杂,上 述积 分计 算 是很 困难 的,甚 至 无法 求 得 严格 的 解析 表 达 式。为了计算磁场力, 类似于计算电 场力, 可 采用 虚位移 方法, 利 用能量 关系 可 以获得计算磁场力的简便方法。这里我们直接利用前述广义力和广义坐标的概 念,推导出计算磁场力的一般公式。 14 8 第六章   电 磁 感 应 设在电流 I1 产生的磁场广义力 F 的作用 下,使 得回路 l2 的 某一广 义坐 标 变化的增量为 d l, 同时磁场能量的增量 为 d W m 。那么, 两个 回路 中的外 源所 作 的总功 d W 应该等于磁场广义力所作的功与磁场能量的增量之和,即 d W = d W m + Fdl (6 - 4 - 9) 下面分为两种情况进行讨论。 第一,若电流 I1 和 I2 不变, 这种情况称为常电流系统,则 d Wm = 1 2 I1 d Ψ1 + 1 2 I2 d Ψ2 (6 - 4 - 10) 由式(6 - 3 - 1)知, 当两回路的磁通链发生变化时,外源所作的功分别为 d W 1 = I1 d Ψ1 (6 - 4 - 11a) d W 2 = I2 d Ψ2 (6 - 4 - 11b) 那么由式(6 - 4 - 10) 及式(6 - 4 - 11) 得 d W = 2d W m 将此式代入式(6 - 4 - 9)中, 求得广义力 F 为 F= Wm l I=常数 (6 - 4 - 12) 第二, 若各回路中的 磁 通链 不 变, 即 磁 通未 变, 这 种 情况 称 为常 磁 通 系统。 由于各个回路的磁通未变,因此,各个回 路位 移过 程中不 会产 生新的 电动 势,因 而外源所作的功为零,即 d W = 0,那么由式(6 - 4 - 9) 得 F= - Wm l Φ= 常 数 (6 - 4 - 13) 注意, 已规定广义力的方向为广义坐 标的 增加方 向, 因此, 如 果按 上述公 式求 得 的广义力数值为负,则表明广义力的实际方向为广义坐标的减小方向。 磁 场 力 的 应 用 非 常 广 泛,例 如 电 磁 铁 、磁 悬 浮 轴 承 以 及 磁 悬 浮 列 车 等 。 例 1   计算无限长的载流导线与矩形电流环之间的作用力。电流环的尺寸 及位置,如图 6 - 4 - 2 所示。 解   利用虚位移方法,且设位移过程中系统为常 电流 情况,则导线与电流环之间的相互作用力为 F= Wm l I=常数 式中 Wm = 1 2 I1 Ψ1 + 1 2 I2 Ψ2 又知 Ψ1 = L11 I1 + M 1 2 I2 Ψ2 = M 21 I1 + L2 2 I2 图 6 - 4 - 2   导线与 电流环的作用力 思 考 题 149 且 M 12 = M 21 = M ,则 Wm = 1 2 I21 L1 1 + 1 2 I22 L2 2 + I1 I2 M 取广义坐标 l 为间距 D,因 L11 及 L22 与 D 无关, 因此相互作用力 F = I1 I2 M D 又由式(6 - 2 - 14) 知,导线与线圈之间的互感 M 为 M = μ20πaln D+ b D 代入上式得 F= - I1 2π( I2 D μ0 ab + b) D 式中负号表明,作用力的实际方向为间距 D 减 小的方 向,这 就意味 着 F 为吸 引 力。若两个电流之一的方向与图示方向相反, 则 M 为 负, F > 0, 表 明 F 为排 斥 力。 例 2   计算电磁铁的吸引力。设磁 铁的 端面为 S, 气隙 长度 为 l, 气 隙中 的 磁感应强度为 B0 , 如图 6 - 4 - 3 所示。 解   由于铁心可以近似当作理想导磁体,铁心 中的 磁 场强 度 H = 0, 因而 铁 心 中没 有 磁能 分 布。 这样,电磁铁产生的磁场能量可以近似地认 为仅分 布在两个气隙中,因此总磁能 W m 为 Wm =2 1 B20 2 μ0 Sl = B20 Sl μ0 又知气隙中的磁通 Φ = B0 S, 代入上式得 Wm = ( Φ)2 l μ0 S 图 6 - 4 - 3   电磁铁 由此可见,为了计算电磁铁的吸引力, 将系统当作常磁通系统较为简便。由 式(6 - 4 - 13) 得 F= - Wm l Φ = 常数 = - ( Φ)2 μ0 S = - B 2 0 S μ0 式中负号表明 F 为吸引力。此 外,由上 述结 果可 见,电 磁铁 的吸 引 力与 磁铁 的 横截面面积及气隙中磁感应强度的平方成正比。 思 考 题 6 - 1   什么是感应电动势 ? 15 0 第六章   电 磁 感 应 6 - 2   什么是电磁感应定律 ? 6 - 3   什么是自感与互感 ? 如何进行计算 ? 6 - 4   是否在任何媒质中,线圈的电感都与电流无关 ? 6 - 5   如何计算载流系统的磁场能量 ? 6 - 6   如何计算磁场力 ? 习   题 6 - 1   一个半径为 a 的导体圆盘位 于均匀 恒定磁 场 B0 中,恒定磁 场 B0 的方 向垂直 于 圆盘平面,若该圆盘以角速度 ω绕其轴线旋转,求圆盘中心与边缘之间的电压。 6 - 2   一个面积为 a× b 的矩形线圈位于双导线之 间,位置如习题图 6 - 2 所示。两导线 中电流方向始终相反,其变化规律为 I1 = I2 = 10 sin(2π×109 t) A,试求线圈中的感应电动势。 习题图 6 - 2 习题图 6 - 3     6 - 3   设带有滑条 A B 的两根平行导线的终端并联电阻 R = 0.2 Ω,导线 间距为 0.2 m , 如习题图 6 - 3 所示。若正弦电磁场 B = ez 5sin ωt T 垂直 穿过该 回路,当滑条 A B 的位置 以 x = 0.35(1 - cos ωt) m 规律变化时,试求回路中的感应电流。 6 - 4   一个面积为 a× b 的矩 形导线框位 于磁场 B = ey By 中,如习题图 6 - 4 所 示。若 线框以角速度 ω绕其轴匀速旋转,在 t = 0 时刻框平面与 y = 0 平面重合,试求当 By = B0 和 By = B0 cos ωt 时线框中的感应电动势。 习题图 6 - 4 习题图 6 - 5 习   题 151     6 - 5   两个半径均为 a 的圆环导线沿 x 轴同轴地放置,如习题图 6 - 5 所示。若线圈 A 中通过恒定电流 I,线圈 B 以速度 v 向正 x 方向运动,且间距 dm a,试证线 圈 B 中的感 应电 动势为 e= - 3μ0πIa4 2 d4 v 6 - 6   已知双导线中的电流 I1 = - I2 ,导线半径 a 远小于间距 d,计算单位长度内 双导 线 的 内电 感 与 外 电 感 。 6 - 7   若无限长直导线 与半 径为 a 的 圆环 导 线平 行放 置,电 流方 向 如习 题图 6 - 7 所 示 。计 算 直 导 线 与 圆 环 之 间 的 互感 。 习题图 6 - 7 习题图 6 - 8     6 - 8   若无限长直导线与边长为 a 的等边三角形线框平行放置,电流方向如习题图 6 - 8所示。计算直导线与三角形线框之间的互感。 6 - 9   已知同轴线的内导体半径为 a,外导体的内外半径分别为 b 及 c,内外导体之间为 空气,当通过恒定电流 I 时,计算单位长度内同轴线中的磁场储能及电感。 6 - 10   已知某区域内均匀电场 E = ez E0 ,均匀磁场 B = ex B0 ,若速度 v = ey v0 的电子进 入 该 区域 时 , 试 求 电子 的 运 动 轨 迹 。 6 - 11   已知两根平行导线中电流分别为 I1 = 10 A, I2 = 15 A ,线间距离 d = 10 c m ,试求 当电流 I1 与 I2 同向及反向时,单位长度导线之间的作用力。 6 - 12   若宽度为 w 的无 限长 带状 电流 与无限 长线 电流 平行 放置,如 习题 图 6 - 12 所 示。若带状电流密度 JS = - ez JS0 ,线电流为 I,试求两者之间的作用力。 习题图 6 - 12 习题图 6 - 13     6 - 13   已知 半径为 a 的圆环与半径为 b 的圆环平行同轴地沿 x 轴放置,电流 方向如习 15 2 第六章   电 磁 感 应 题图 6 - 13 所示。若 am b,试证两圆环间的作用力为 F= ex 24μ0 I1 I2 b2 a2 55 6 - 14   已知螺线管单位长度内的匝数为 N,内插磁 棒的磁导率 为 μ,截面积 为 S,如 习 题图 6 - 14 所示。试证当螺线管电流为 I 时,图示位置的磁棒所受的作用力。 习题图 6 - 14 第七章   时变电磁场 前面我们讨论了静止电荷产生的静电场以及恒定电流产生的恒定磁场。根 据第六章介绍的电磁感应现象得知,时变磁场可以产生时变电场。在本章中, 首 先将会看到一个相反的现象,即时 变电场 可以 产生 时变磁 场。这 两个相 反的 过 程充分表明: 时变电场与时变磁场能 够相 互转化, 两者不 可分 割, 它们构 成统 一 的时变电磁场。我们将讨论描述时变电 磁场 特性 的麦克 斯韦 方程,时变 电磁 场 的边界条件,求解方法, 能量关系以及惟一性定理。尤其要介绍的是随着时间按 正弦函数变化的时变电磁场,这种时变电磁场称为正弦电磁场或时谐电磁场。 本 章 涉 及 的 空 间 媒 质 是 线 性 、各 向 同 性 、不 随 时 间 变 化 的 静 止 媒 质 。 7-1 位移 电 流 在第四章中,我们讨论过自由电 子在导 体中 和电 解液中 形成 的传导 电流 以 及电荷在气体中形成的运流电流,这些电 流都 是电 荷运动 形成 的。现在 介绍 的 位移电流不是电荷的运动,而是一种人为定义的概念, 但是这种人为定义的电流 对于分析与描述时变电磁场特性是非常有益的。 根据前述的电荷守恒定律得知 ∮ J·d S = - S q t 相应的微分形式为 ·J = - ρ t 在静态场中,由于电荷分布不随时间变化, 因此 (7 - 1 - 1) (7 - 1 - 2) 相应的微分形式为 ∮ J·d S = 0 S ·J = 0 后两式称为电流连续性原理,式中 J 应理解为传导电流与运流电流之和。 对于时变电磁场,因电荷随时间变化, 不可能根据电荷守恒定律推出电流连 续性原理。但是电荷守恒及电流连续是 客观 存在 的物理 现象,为 此必须 扩充 前 述的电流概念。众所周知,随时间变 化的时 变电 流可 以通过 真空 电容器 或理 想 介质电容器,因此在串接这种电容器的回路中, 时变电流仍然保持连续。这种电 15 4 第七章   时变电磁场 容器中的电流既不是传导电流也不可能是运流电流,而是将要介绍的位移电流。 静电场的高斯定律 ∮ D·d S = q S 同样适用于时变电场。将上式代入(7 - 1 - 1)中, 得 ∮S J+ D t ·d S = 0 (7 - 1 - 3) 相应的微分形式为 · J+ D t =0 (7 - 1 - 4) 显然,式中 D t 具有电 流密 度量 纲,英国 物理 学家 麦克 斯韦称 它为 位移电 流 密度, 以 Jd 表示,即 Jd = D t (7 - 1 - 5) 将式(7 - 1 - 5)代入式(7 - 1 - 3) 及式(7 - 1 - 4)得 ∮ ( J + Jd )·d S = 0 S (7 - 1 - 6a) ·( J + Jd ) = 0 (7 - 1 - 6b) 由此可见, 引入位移电流概念 以后, 时变 电流 ( J + Jd ) 仍 然是 连续 的, 由 于此 时 包括了传导电流、运流电流及位移电流, 因此,式(7 - 1 - 6) 称为全电流连续性原 理。 由位移电流定义(7 - 1 - 5)可见, 位移电流密度是电通密度(电位移) 的时间 变化率, 或 者说是电 场的时 间变化率。 在静电 场中, 由于 D t = 0, 自 然不存在 位 移电流。在时变电场中,电场变化愈快, 产生的位移电流密度也愈大。若某一时 刻电场的时间变化率为零,即使电场很强, 产生的位移电流密度也为零。在电导 率较低的媒质中,位移电流密度有可能大于传导电流密度。但是, 在良导体中传 导电流占主导地位,而位移电流可以忽略不计。 在时变电场中,由于位移电流 存在,麦克 斯韦 认为位 移电 流也 可产生 磁场, 因此前述的安培环路定律中必须增加一项位移电流,即 ∮ ∫ H·d l = ( J + Jd )·d S l S 将式(7 - 1 - 5)式代入, 得 ∮ ∫ H·d l = l S J+ D t ·d S 相应的微分形式为 (7 - 1 - 7) 7 - 2   麦克斯韦方程 155 × H = J+ D t (7 - 1 - 8) 式(7 - 1 - 7)及式(7 - 1 - 8) 称为全 电流 定律。该 定律表 明, 时变 磁场是 由传 导 电 流 、运 流 电 流 以 及 位 移 电 流 共 同 产 生 的 。 已 知 位 移 电 流 是 由 时 变 电 场 形 成 的, 由此可见,时变电场可以产生时变磁场。电磁感应定律表明, 时变磁场可以产生 时变电场,因此,麦克斯韦引入位移电流 概念 以后,认 为时变 电场 与时变 磁场 相 互转化的特性可能会在空间形成电磁波。这一英明预见,后来在 1888 年被德国 学者赫兹的实验所证实。 7 - 2   麦克斯韦方程 静态场中的高斯定律及磁通连续性原理对于时变电磁场仍然成立,那么, 考 虑到电磁感应定律式(6 - 1 - 10) 及上节所述的全电流定律式(7 - 1 - 7), 麦克斯 韦归纳了下述四个方程式用以描述时变电磁场,即 ∮ ∫ H·d l = l S J+ D t ·d S ∮ ∫ E·d l = - l S Bt·d S (7 - 2 - 1a) (7 - 2 - 1b) ∮ B·d S = 0 S (7 - 2 - 1c) ∮ D·d S = q S (7 - 2 - 1d) 上述四个方程称为麦克斯韦方程的积分形式。它们相应的微分形式为 × H = J+ D t (7 - 2 - 2a) × E= - B t (7 - 2 - 2b) ·B = 0 (7 - 2 - 2c) ·D =ρ (7 - 2 - 2d) 可见, 麦克斯韦第一方程式是全电流 定律; 第 二方 程是电 磁感 应定律; 第 三方 程 是磁通连续性原理;第四方程是高斯定律, 这组方程全面地描述了时变电磁场的 特性。由微分形式的麦克斯韦方程式可 见,时变 电磁 场的时 变电 场是有 旋有 散 的,时变磁场是有旋无散的。但是,时 变电磁 场中 的电场 与磁 场是 不可分 割的, 因此,时变电磁场是有旋有散场。但是在电荷及电流均不存在的无源区中, 时变 电磁场是有旋无散的。电场线与磁场线相互交链,自行闭合, 从而在空间形成电 磁波。此外,由式(7 - 2 - 2a)及式(7 - 2 - 2b)还可见, 时变电场的方向与时变 磁 场的方向处处相互垂直。 15 6 第七章   时变电磁场 为了完整地描述时变电磁场的特性,麦 克斯 韦方 程还应 包括 说明电 荷及 电 流关系的电荷守恒定律以及说明场量与媒质特性关系的方程,即 ·J = - ρ t (7 - 2 - 3) D = εE (7 - 2 - 4) B = μH (7 - 2 - 5) J = σE + J′ (7 - 2 - 6) 式(7 - 2 - 6)中的附加项 J′代表产生时变电磁场的电流源或非电的外源。 应该 指 出, 麦 克 斯 韦 方 程 组 中 各 个 方 程 不 是 完 全 独 立 的。例 如, 利 用 式 (7 - 2 - 3),由式 (7 - 2 - 2a) 可以推 导出式 (7 - 2 - 2d)。为此, 对 式(7 - 2 - 2a) 两边取散度,得 0 = ·J + t( · D ) 将式(7 - 2 - 3)代入上式, 得 t( · D - ρ) = 0 即 ·D - ρ= 常数 考虑 到 t = 0 时, D = 0, ρ = 0, 因 此 上 式 中 常 数 应 为 零。 这 样, 即 求 得 式 (7 - 2 - 2d) 。 我们 也 可 由 式 ( 7 - 2 - 2b ) 直 接 推 导 出 式 ( 7 - 2 - 2c) 。 为 此, 对 式 (7 - 2 - 2b) 两边取散度,得 0 = - t( ·B) 即 ·B = 常数 考虑到 t = 0 时, B = 0, 因此,上式中常数应为零。这样, 即求得式(7 - 2 - 2c)。 对于不随时间变化的静态场,即 E t = D t = H t = B t = 0 则上述麦克斯韦方程变为前述的静电场 方程 和恒 定磁场 方程,电 场与磁 场不 再 相关,彼此独立。 麦克斯韦方程是宏观电磁学的理论 基础,麦 克斯 韦也因 此获 得电磁 学之 父 的称号。随着深入分析与讨论,对于 麦克斯 韦方 程的 深刻理 念将 会有更 进一 步 认识。这里我们引用相对论的奠基 者爱因 斯坦 (1879 —1955) 在 他所著 的《物 理 学演变》一书中关于麦克斯韦方程的 一段评 述:“ 这个 方程的 提出 是牛顿 时代 以 来物理学上的一个重要事件,它是关于场的定量数学描述, 方程所包含的意义比 我们指出的要丰富得多。在简单的形式 下隐 藏着 深奥的 内容,这 些内容 只有 仔 7 - 3   时变电磁场的边界条件 157 细地研究才能显示出来。方程是表 示场的 结构 的定律。 它不 像牛 顿定律 那样, 把此处发生的事件与彼处的条件联系起 来,而是 把此 处的现 在的 场只与 最邻 近 的刚过去的场发生联系。假使我们已知 此处 的现 在所发 生的 事件,借助 这些 方 程 便 可 预 测 在 空 间 稍 微 远 一 些,在 时 间 上 稍 微 迟 一 些 所 发 生 的 事 件 。” 麦克斯韦方程除了对于科学技术的 发展 具有 重大意 义外,对 于人类 历史 的 进 程 也 起 了 重 要 作 用,正 如 美 国 著 名 的 物 理 学 家 弗 曼 在 他 所 著 的《弗 曼 物 理 学 讲 义》中写道“ 从人类历史的漫长远景来看———即使过一万年之后回头来看———毫 无疑问,在 19 世纪中发生的最有意义的事件将判定是麦克斯韦对于电磁定律的 发现,与这一重 大 科 学事 件 相 比 之 下, 同 一 个 十 年中 发 生 的 美 国 内 战 (1861 — 18 65 )将 会 降 低 为 一 个 地 区 性 琐 事 而 黯 然 失 色”。 处于信息时代的今天, 从婴儿监 控器 到各种 遥控 设备、从 雷达到 微波 炉、从 地 面 广 播 电 视 到 太 空 卫 星 广 播 和 电 视 、从 地 面 移 动 通 信 到 宇 宙 星 际 通 信 、从 室 外 无线局域网到室内蓝牙技术以及全球卫 星定 位导 航系统 等,无不 利用电 磁波 作 为传播媒体。无线信息高速公路更使人 们能 在任 何地点、任 何时 间同任 何人 取 得 联 系,发 送 所 需 的 文 本 、声 音 或 图 像 信 息 。 电 磁 波 的 传 播 还 能 制 造 一 种 身 在 远 方的感觉,形成无线虚拟现实。电磁波获得如此广泛的应用, 更使我们深刻地体 会到 19 世纪的麦克斯韦和赫兹对于人类文明和进步的伟大贡献。 7 - 3   时变电磁场的边界条件 我们已经深有体会,边界条件对于场的研究具有重要意义, 因此必须讨论时 变电磁场的边界条件。原则上说,适 合静态 场的 各种 边界条 件可 以直接 推广 到 时变电磁场。 第一, 在任何边界上电场强 度的切向分量是 连续的。因为对 于时变 场, 利用 式(7 - 2 - 1b),只要磁感应强度的时间变化率是有限的,采用前述相同的方法可得 E1t = E2t (7 - 3 - 1) 或写成矢量形式 en ×( E2 - E1 ) = 0 (7 - 3 - 2) 式中 en 为由媒质①指向媒质②的边界法向单位矢量。 对于各向同性的线性媒质,式(7 - 3 - 1) 又可表示为 D1 t ε1 = D2t ε2 (7 - 3 - 3) 第二,在任何边界上, 磁感应强度的法向分量是连续的。因为磁通连续性方 程式(7 - 2 - 1c)在时变场中仍然成立, 由此求得 B1n = B2n (7 - 3 - 4) 15 8 第七章   时变电磁场 或写成矢量形式 en·( B2 - B1 ) = 0 (7 - 3 - 5) 式中 en 的意义同前。对于各向同性的线性媒质, 式(7 - 3 - 4)又可表示为 μ1 H 1n = μ2 H 2n (7 - 3 - 6) 第三,电通密度的法向分量边界条件与媒质特性有关。在一般情况下, 由高 斯定律式(7 - 2 - 1d) 求得 D2n - D1 n = ρS (7 - 3 - 7) 或写成矢量形式 en·( D2 - D1 ) = ρS (7 - 3 - 8) 式中 en 的意义同前,ρS 为边界表面上自由电荷的面密度。 对于两种理想介质形成的边界,由于不可能存在表面自由电荷, 因此 D1n = D2n (7 - 3 - 9) 此式表明,两种理想介质形成的边界上, 电通密度的法向分量是连续的。对于各 向同性的线性介质,上式又可表示为 ε1 E1n = ε2 E2n (7 - 3 - 10) 第四,磁场强度的切向分量边界条件也与媒质特性有关。在一般情况下, 由 于边界上不可能存在表面电流,根据式(7 - 2 - 1a), 只要电通密度的时间变化 率 是有限的,采用前述同样方法可得 H1t = H 2t (7 - 3 - 11) 或写成矢量形式 en ×( H2 - H1 ) = 0 (7 - 3 - 12) 式中 en 的意义同前。此式表明, 在一般边界上,磁场强度的切向分量是 连续的。 但是在理想导电体表面上可以形成表面 电流,此 时磁 场强度 的切 向分量 是不 连 续的。下面详细地讨论这种边界条件。 设边界由理想介质与理想导电体形 成,已知 在理 想导电 体内 部不可 能存 在 电场, 否则将会导致无限大的电流, 因此, 理 想导 电体 内部也 不可 能存在 时变 磁 场,否则这种时变磁场在理想导电 体内部 会产 生时 变电场。 在理 想导电 体内 部 也不可能存在时变的传导电流,否则 这种时 变的 传导 电流在 理想 导电体 内部 会 产生时变磁场。由此可见,在理想导 电体内 部不 可能 存在时 变电 磁场及 时变 的 传导电流,它们只可能分布在理想导电体的表面。 已知在任何边界上,电场强度的 切向分 量及 磁感 应强度 的法 向分量 是连 续 的,因此理想导体表面上不可能存在电场切向分量及磁场法向分量, 只可能存在 法向电场及切向磁场,也就是说,时变电 场必 须垂 直于理 想导 电体的 表面,而 时 变磁场必须与其表面相切,如图 7 - 3 - 1 所示。 7 - 3   时变电磁场的边界条件 159 因 D1 n = 0, 由式(7 - 3 - 7)得 D2 n = ρS 或写成矢量形式 en· D = ρS 图 7 - 3 - 1   理想导电体边界条件 式中 en 为 理 想导 电 体 表 面 的外 法 向 单 位 矢 量。 由于理想导电体表面存 在表 面 电流, 设 表 面电 流 密度 JS 的方 向 与积 分 回 路构成右旋关系,因 H 1t = 0,由式 (7 - 2 - 1a)得 H2t = JS 或写成矢量形式 en × H = JS 综上所述,由理想介质与理想导电体形成的边界条件如下: en × E = 0 (7 - 3 - 13) en × H = JS (7 - 3 - 14) en· D = ρS (7 - 3 - 15) en·B = 0 (7 - 3 - 16) 应该指出, 这种理 想导 电 体实 际 上 是不 存 在的。 但 是, 电 导率 很 高的 良 导 体,尤其当频率很高时, 由于存在集肤效应(见 8 - 3 节), 使时变电磁场集中在表 面附近,此时即可近似地当作理想导电体。 例   已知内截面为 a× b 的矩形金属 波导 中的时变电磁场的各分量为 Hz = H z0 cos π a x sin( ωt - kz z) Hx = H x0 sin π a x cos(ωt - kz z) Ey = Ey0 sin π a x cos(ωt - kz z) 图 7 - 3 - 2   金属波导 其坐标如图 7 - 3 - 2 所示。试求波导中的位移 电流 分 布 和 波 导 内 壁 上 的 电 荷 及 电 流 分 布。 波导内部为真空。 解   ① 由式(7 - 1 - 5)得位移电流为 Jd = D t = - ey Ey0 ωεsin π a x sin(ωt - kz z)     ② 在 y = 0 的内壁上, 16 0 第七章   时变电磁场 ρS = ey·(εEy ) = εEy JS = ey × ( H x + H z ) = - ez H x + ex H z 在 y = b 的内壁上 ρS = - ey·(εEy ) = - εEy JS = - ey × ( H x + H z ) = ez H x - ex H z 在 x = 0 及 x = a 的侧壁上,因 Ey = 0, 所以 ρS = 0。 在 x = 0 的侧壁上, H x = 0, JS = ex × ez H z0 sin(ωt - kz z) = - ey H z0 sin(ωt - kz z) 在 x = a 的侧壁上, H x = 0, JS = - ex × ez [ - H z0 sin( ωt - kz z)] = - ey H z0 sin(ωt - kz z) 根据这些结果绘出的矩形波导内壁电流分布如图 9 - 4 - 2(b)所示。 7 - 4   标量位与矢量位 设媒质是线性均匀且各向同性的,那么对式(7 - 2 - 2a)两边取旋度, 再将 式 (7 - 2 - 2b) 代入,整理后得 × × H + με 2H t2 = ×J (7 - 4 - 1) 对式(7 - 2 - 2b) 两边取旋度,再将式(7 - 2 - 2a)代入, 整理后得 × × E + με 2E t2 = -μ J t (7 - 4 - 2) 利用矢 量 恒 等 式 × × A = · A - 2 A, 同时 考 虑 到 式 (7 - 2 - 2c) 及 式 (7 - 2 - 2d),上述两式变为 2 H - με 2H t2 = - ×J (7 - 4 - 3a) 2 E - με 2E t2 =μ J t + 1 ε ρ (7 - 4 - 3b) 由此可见,时变电磁场的场强与场源的关系比较复杂, 直接求解式(7 - 4 - 3)需 要较多的数学知识。为了简化求解过程,引 入标 量位 与矢量 位作 为求解 时变 电 磁场的两个辅助函数将是行之有效的[16] 。 已知时变磁场是无散场,因此它可以表示为矢量场 A 的旋度,即可令 B= ×A (7 - 4 - 4) 式中 A 称为矢量位。将式 (7 - 4 - 4)代入式(7 - 2 - 2b)中,得 × E = - t( × A) 7 - 4   标量位与矢量位 161 即 × E+ A t =0 由此可见,矢量场 E + A t 为 无 旋场, 因 此它 可以 用 一 个标 量 场 φ 的 梯 度 来 表 示,即可令 E+ A t = - φ 式中 φ称为标量位。由此得 E= - A t - φ (7 - 4 - 5) 注意,这里的矢量位 A 及标量位φ均是时间及空间函数。当它 们与时间 无 关时,矢量位 A 及标量位φ与场量的关系和静态 场完全相 同,因此矢量 位 A 又 称为矢量磁位,标 量位 φ又 称 为 标 量 电位。 下 面 进一 步 推 导 位 函数 与 源 的 关 系。 将式(7 - 4 - 4)和式(7 - 4 - 5) 代 入式 (7 - 2 - 2a) 及式 (7 - 2 - 2d)中, 整 理 后得 × × A = μJ - με 2A t2 + φ t · A t + · φ= - ρ ε 再利用矢量恒等式 × × A = ·A - 2 A ,上两式又可表示为 2 A- ( · A ) = με 2A t2 + φ t - μJ (7 - 4 - 6a) 2 φ+ t( ·A) = - ρ ε (7 - 4 - 6b) 根据亥姆霍兹定理得知,只有当矢量场的散度及旋度共同给定后, 这个矢量场才 被惟一地确定。已知规定了矢 量场 A 的 旋度, × A = B, 必 须再 规 定其 散度。 原则上,其散度值可以任意给定, 但是为了简化计算,由式(7 - 4 - 6) 可知,若令 ·A = - με φ t (7 - 4 - 7) 则式(7 - 4 - 6)可以简化为 2 A - με 2A t2 = - μJ 2 φ- με 2 φ t2 = - ρ ε (7 - 4 - 8a) (7 - 4 - 8b) 式(7 - 4 - 7)称为洛伦兹条件, 它说明了 A 与 φ应满足的关系。由上可 见,按 照 洛伦兹条件规定 A 的 散 度 后, 式 (7 - 4 - 6) 被 简 化 为 式 (7 - 4 - 8 )。 原 来 式 16 2 第七章   时变电磁场 (7 - 4 - 6a)与式 ( 7 - 4 - 6b) 是 两 个 相 互 关 联 的 方 程, 而 式 (7 - 4 - 8a) 及 式 (7 - 4 - 8b) 为两个独立方程。矢量位 A 仅与电 流 J 有关, 标量位 φ 仅与电荷ρ 有关。已知电流分布,根据式(7 - 4 - 8a) 即 可求出 矢量 位 A ; 已知 电荷分 布, 由 式(7 - 4 - 8b) 即可 求出 标 量 位 φ。求 出 A 及 φ 以 后, 根 据 式 (7 - 4 - 4) 及 式 (7 - 4 - 5)即可求出电场与磁场。这样, 麦克斯韦方程的求解归结为位函数方程 的求解,而且 求 解 过 程 显 然 得 到 了 简 化, 因 为 方 程 式 ( 7 - 4 - 8a) 与 方 程 式 (7 - 4 - 8b) 结构完全相同,求解方法也完全一样。 原来方程式(7 - 4 - 3a)和式 (7 - 4 - 3b) 为两 个结构 复杂 的矢量 方程, 在 三 维空间中需要求解 6 个坐标分量, 而方程式 (7 - 4 - 8a) 和式 (7 - 4 - 8b) 分别 为 一个矢量方程和一个标量方程,且结构较为简单,在三维空间中仅需求解 4 个坐 标分量。尤其在 直 角 坐标 系 中, 方程 式 (7 - 4 - 8a) 可 以 分 解 为 三 个 结 构 如 同 (7 - 4 - 8b) 一样的标量方程。因此,实际上等于求解一个标量方程。由此可见, 位函数 A 及φ的引入显著地简化了麦克斯韦方程的求解。 此外,已知 A 仅与电流有关,φ仅与电荷有关,但是时 变电磁场 中的电流 与 电荷不是独立的,它们必须符合电荷守恒定律, 即 ·J = - ρt。因此, 说明 A 与 φ关系的洛伦兹条件一定符合电 荷守恒 定律,读 者可 以直接 根据 洛伦兹 条件 式 (7 - 4 - 7)推出电荷守恒定律。 位函数方程式(7 - 4 - 8)为非齐次波动方程, 关于它的求解方法将在下一节 介绍。对于静态场,由于矢量磁位 A 及标量电位φ均与时间无关, 式(7 - 4 - 8) 变为泊松方程,其解应与静态场一致, 这一结论将在下节得到证实。 7 - 5   位函数方程的求解 直接求解方程式(7 - 4 - 8) 需要 较多 的 数学 知识[1 6] , 这 里我 们 根据 静态 场 的结果,采用类比的方法, 推出其解。 首先推导标量位函数方程式(7 - 4 - 8b) 的解, 为 此设场 源为 位于坐 标原 点 的时变点电荷,求出其解后, 采用叠加原理推出任意分布的时变体电荷的解。当 场源是位于坐标原点的时变点电荷时,其场分布一定具有球对称特点, 即场量仅 为变量 r 的 函数,与 球坐标 变量 θ及 无关。 那么,在 除坐标 原点 以外 整个 空 间,位函数 φ满足的方程式为 2 (φr) r2 - 1 v2 2 (φr) t2 = 0    0 < r<∞ (7 - 5 - 1) 式中 v= 1 με (7 - 5 - 2) 7 - 5   位函数方程的求解 163 式(7 - 5 - 1)为函数 φr 的齐次波动方程,其通解为 φr = f1 t- r v + f2 t+ r v (7 - 5 - 3) 由后述分析得知, 式中第二项不符 合实 际的物 理条 件, 应该 舍去。因 此, 求得 位 于原点的时变点电荷产生的标量电位为 f1 φ( r, t) = t- r v r (7 - 5 - 4) 已知位于原点的静止点电荷 q = ρd V 产生的电位为 φ( r) = ρd V 4πεr (7 - 5 - 5) 将式(7 - 5 - 5)与式(7 - 5 - 4) 比较可见,函数 f1 t- r v 为 f1 t- r v ρ = t- r v 4πε dV 代入式(7 - 5 - 4), 求得位于原点的时变点电荷产生的标量位为 dφ( r, t) = ρ t- r v 4πεr dV 式中 r 为体元 d V 至场点的距离。     对于位于 V′中的任意体分布电 荷,如 图 7 - 5 - 1 所示。点 电荷 ρd V′的 位 置矢量为 r′, 则全部电荷在 r 处产生的电位由上式积分求得 ∫ φ( r, t) = 1 4πε ρ r′, t - | r - v r′| V′ | r - r′| d V′ (7 - 5 - 6) 为了求出矢量位函数 A ,可将矢量位函数 方程 式(7 - 4 - 8a) 在直角 坐标 系 中展开,则各个分量均满足结构相同的非齐次标量波动方程式, 即 2 Ax - με 2 Ax t2 = - μJx 2 Ay - με 2 Ay t2 = - μJy 2 Az - με 2 Az t2 = - μJz 显然,对于每一个分量 均可求得 结构如 同 式(7 - 5 - 6) 的解。 三 个分 量 合成 后, 矢 量 位 A 的解为 图 7 - 5 - 1   标量位函数的求解 16 4 第七章   时变电磁场 ∫ A ( r, t) = μ 4π J V′ r, t - | r - v r′| | r - r′| d V′ (7 - 5 - 7) 式中 V′为电流 J 的分布区域。 现在让我们详细讨论式(7 - 5 - 6)及式(7 - 5 - 7) 解的物理意义。两式均表 明,空间某点在时刻 t 产生的标量位或矢量位必须根据 t - | r - v r′| 时刻 的 场 源 分布函数进行求积。换言之,位于 r 处 t 时刻 的场 强不 是 由同 一时 刻 t 的源 的 分布决定的,而是取决于比 t 时刻超前的 t - | r - v r′| 时 刻的源 分 布。这 就 意 味 着,位于 r′处 的 源 产 生 的 场 传 到 r 处 需要 一 段 时 间, 这段 时 差 就 是 | r - v r′|。 已 知| r - r′|为源点至场点的距离,因此 v 代 表电磁波 的传播速 度。由式 (7 - 5 - 2) 可见,电磁波的传播速度与媒质的特性有关。在真空中, 最新测得的数据为 v = 1 = 299 792 458 ≈3×108 m s ε0 μ0 (7 - 5 - 8) 这就是光波在真空中的传播速度,或简称为光速。光速通常以 c 表示。 值得注意的是,既然空间场强不是取决于同一时刻的源特性, 那么即使在同 一时刻源已消失,只要前一时刻源 还存在,它 们原 来产生 的空 间场 强仍然 存在, 这就表明源已将电磁能量释放到空间,而空间电磁能量可以脱离源单独存在, 这 种现象称为电磁辐射。显然,只有时变电磁场才具有这种辐射特性, 而静态场完 全被源所束缚。当静止电荷或恒定电流 一旦 消失,它 们所产 生的 静电场 或恒 定 磁场也随之失去,因而静态场又称 为束缚 场。位 于时 变电荷 或电 流附近 的时 变 电磁场,由于距离很近,引起的时差很小,场 强随 时间 的变化 基本 上与源 的变 化 同步,所以近处的时变场称为似稳场; 反之,离开时变源很远的地方, 由于时差很 大,辐射效应显著, 所以远处的时变场称为辐射场。此外,还可以看到, 若源随时 间变化很快,空间场强的滞后现象更加显著, 即使在源附近也会有显著的电磁辐 射现象。所以似稳场和辐射场的区域划 分不 仅取 决于空 间距 离,也与源 的变 化 快慢有关。关于这些辐射特性将在第十章详细介绍,这里我们已经初步认识到, 为了向空间辐射电磁能量,必须使用变化很快的高频电流激励发射天线, 而通常 50 H z 交流电不可能有效地辐射电磁能量。 由上分析得知,空间各点的标量电位 φ和矢量磁位 A 随着时间 的变化总 是 落后于源,因此, 位函数 φ及 A 通常称为滞后位。此外,前已指出, 式(7 - 5 - 3) 中的第二项 f2 t+ r v 不符合实 际的 物理 条件,现在 看来 这是很 明显 的。因 为 时间因子 t+ r v 意味 着场 比 源超 前, 这就不 符合 先有 源 后有场 的 因果关 系,所 以 7 - 6   能量密度与能流密度矢量 165 应予舍去。当然,因 子 t+ r v 又可写 为 t - ( -vr), 那 么, f2 t+ r v 又可 理解 为 向负 r 方向传播的波,也就是来自无限远处的反射波,但是对于点电荷所在的 无 限大的自由空间,这种反射波是不可能存在的。 上面我们求出了体分布的电荷及电流产生的标量位和矢量位。对于面分布 及线分布的电 荷及 电 流, 可 以类 似 推 出 它 们产 生 的 标 量 位 和 矢 量 位。 考 虑 到 ρd V ρS d S ρl d l 及 Jd V JS d S Idl,求得面电荷及面电流产生 的位函数 分 别为 ∫ φ( r, t) = 1 4πε ρS S′ r′, t - | r - r′| v | r - r′| d S′ (7 - 5 - 9a) ∫ A( r, t) = μ 4π JS S′ r′, t - | r - v r′| | r - r′| d S′ (7 - 5 - 9b) 线电荷及线电流产生的位函数分别为 ∫ φ( r, t) = 1 4πε ρl l′ r′, t - | r - v r′| | r - r′| d l′ (7 - 5 - 10a) ∫ A( r, t) = μ 4π I l′ r′, t - | r - v r′| | r - r′| d l′ (7 - 5 - 10b) 这样,已知源分布以后,即可求出空间任 一点 的标 量电位 及矢 量磁位,然 后根 据 式(7 - 4 - 4)及式(7 - 4 - 5) 求出同一点的电场强度及磁场强度。应注意上述公 式仅可用于均匀线性各向同性的媒质。 7 - 6   能量密度与能流密度矢量 静电场的能量密度 we 公式,恒 定磁 场 的能 量密 度 w m 公式 以 及恒 定电 流 场的损耗功率密度 pl 公式完全可以推广到时变电磁场,因为某一时刻的场给 定 时,其能量也即确定。那么, 对于时变电磁场,在各向同性的线性媒质中, 这些公 式为 we ( r, t) = 1 2 εE 2 ( r, t) (7 - 6 - 1) w m ( r, t) = 1 2 μH 2 ( r, t) pl ( r, t) = σE2 ( r, t) (7 - 6 - 2) (7 - 6 - 3) 16 6 第七章   时变电磁场 已知时变电磁场的能量以电场及磁 场两 种方 式储存,因 此时 变电磁 场的 能 量密度为 w ( r, t) = 1 2 [εE2 ( r, t) + μH2 ( r, t)] (7 - 6 - 4) 由于时变场的场强随空间及时间而变,因此, 时变场的能量密度也是空间及 时间的函数,而且时变电磁场的能 量还会 流动。 为了 衡量这 种能 量流动 的方 向 及强度,引入能量流动密度矢量,其方向 表示 能量 流动方 向,其大 小表示 单位 时 间内垂直穿过单位面积的能量, 或者 说, 垂直 穿过 单位面 积的 功率, 所以 能量 流 动密度矢 量 又称 为 功率 流 动密 度 矢量。该 矢 量在 英 美书 刊 中 称为 坡 印 廷 (Poynting)矢量, 在俄罗斯书 刊中 称为乌 莫夫 (Умов) 矢 量。能量 流 动密 度矢 量 或简称为能流密度矢量以 S 表示。根据上面定 义,可 见能流 密度矢量 的单位 为 W/ m 2 。下面导出能流密度矢量 S 与电场强度 E 及磁场强度 H 的关系。 设无外源 J′的区域 V 中,媒质是线性且各向同性的, 其参数为 ε,μ,σ, 则此 区域中电磁场满足的麦克斯韦方程为 × H = σE + ε E t (7 - 6 - 5a) ×E= -μ H t (7 - 6 - 5b) ·(μH ) = 0 (7 - 6 - 5c) ·(εE) = 0 (7 - 6 - 5d) 利用矢量恒等式 ·( E × H ) = H· × E - E· × H, 将上式代入,整理后得 ·( E × H ) = - μH 2 t2 - εE2 t2 - σE2 将上式两边对区域 V 求积分,得 ∫ ∫ ∫ V ·( E × H )d V = - t V 1 2 (εE2 + μH 2 )d V - σE2 d V V 已知 ∫ ∮ ·( E× H )d V = ( E× H )·d S V S 代入上式,得 ∮ ∫ ∫ ( E× H)·d S + S σE2 d V = - V t V 1 2 (εE2 + μH2 )d V 考虑到式(7 - 6 - 3)及式(7 - 6 - 4),上式又可改写为 (7 - 6 - 6) ∫ ∮ ∫ - t wd V = V ( E × H )·d S + S pl d V V (7 - 6 - 7) 上式称为时变电磁场的能量定理,任何满足式(7 - 6 - 5) 的时变电磁场均必须服 从该定理。式(7 - 6 - 7)中各 项具有 明显 的物理 意义: 左 端为 体积 V 中 单位 时 间内减少的储能, 右端第二 项为 体积 V 中 单位 时间内 损耗 的能量。 因此, 根 据 7 - 7   惟一性定理 167 能量守恒定律,右端第一项代 表单 位时 间内 穿出 闭 合面 S 的 能量, 可见 时变 电 磁场存在能量流动。显然,矢量 E× H 代表垂直穿 过单位 面积的功 率,因此,它 就是前述的能流密度矢量 S,即 S = E× H (7 - 6 - 8) 这样,已知某点的 E 及 H, 由上 式 即可 求 出 该点 的 能流 密 度矢量。式(7 - 6 - 8) 表 明, S 与 E 及 H 垂 直, 又 知 E ⊥ H ,因此, S、E 及 H 三 者在 空间 是相 互 垂直 的, 且由 E 至 H 与 S 构成右旋关系,如图 7 - 6 - 1 所示。 根据矢积运算法则,求得能流密度矢量的瞬时值为 S( r, t) = E( r, t) H ( r, t) (7 - 6 - 9) 可见,能流密度矢量 的瞬 时值 等于 电 场强 度与 磁场 强度 的 瞬时值的乘积。只 有 当两 者同 时达 到最 大 值时, 能 流密 度 图 7 - 6 - 1   能流 密度矢量 才达到最大。若某一时刻电场强度或磁 场强 度为 零,则在该 时刻 能流密 度矢 量 为零。 7 - 7   惟一性定理 麦克斯韦方程描述了时变电磁场随 空间 及时 间的变 化规 律,因此必 须讨 论 当其初始条件和边界条件给定后,方程的 解是 否是 惟一的。 时变 电磁场 的惟 一 性定理表明:在闭合面 S 包围 的区 域 V 中,当 t = 0 时 刻的 电 场强 度 E 及磁 场 强度 H 的初始值给定时,又在 t > 0 的时间内,只要边界 S 上的电场强度切向分 量 Et 或磁场强度的切向分量 Ht 给 定后, 那 么 在 t > 0 的 任一 时刻, 体 积 V 中 任一点的电磁场由麦克斯韦方程惟一 地确 定。为 了证明 这个 定理,可利 用由 麦 克斯韦方程导出的能量原理式(7 - 6 - 7), 采用反证法进行证明[2] 。 设区域 V 中有两组解 E1 H1 及 E2 H2 均满足麦克斯韦方 程,且 具有相同 的 初始条件及边界条件。由于该方程是线性的,因此, 差场 δE = E1 - E2 及 δH = H1 - H2 一定满足麦克斯韦方程,当然 它们也 应该 满足能 量关 系式(7 - 6 - 7)。 将差场 δE 及δH 代入式(7 - 6 - 7)中得 ∮ ∫           (δE ×δH )·d S + σ(δE)2 d V S V ∫   = - t V 1 2 [ε(δE )2 + μ(δH )2 ]d V (7 - 7 - 1) 式中 (δE ×δH ) = (δEt ×δHt ) + (δEt ×δH n ) + (δEn ×δHt ) + (δEn ×δH n ) 式中 Et , Ht 和 En , H n 分别代表 S 表 面上 场强的 切向 分量和 法向 分量。因 En 16 8 第七章   时变电磁场 与同点的 H n 的方向一致,δEn ×δH n = 0。虽然 Et 与同点的 H t 方向不一致, 但 是,若边界上切向分量 Et 或 H t 给定后, 则 差场 δEt = 0 或 δHt = 0, 因 此 δEt × δHt = 0。这样 δE ×δH = (δEt ×δH n ) + (δEn ×δH t ) 又因矢量(δEt ×δH n )及 矢量 (δEn ×δHt )的 方向 与 d S 的 方向 垂 直, 因此, 若 边 界上电场或磁场的切向分量给定后,式(7 - 7 - 1) 中左边第一项面积分为零,得 ∫ ∫ t V 1 2 [ε(δE )2 + μ(δH )2 ]d V = - σ(δE )2 d V V (7 - 7 - 2) 因为上式右边被积函数大于或等于零,故右边数值小于或等于零, 即 ∫t V 1 2 [ε(δE )2 + μ(δH )2 ]d V ≤0 若在 t = 0 时刻, 场的初 始值 已 经给 定, 那 么, 在 t = 0 时 刻, 差 场 δE = δH = 0。 因此, t = 0 时刻 ∫V 1 2 [ε(δE )2 + μ(δH )2 ]d V = 0 因其积分值的时间导数小于零或等于零,这 就意 味着 该积分 随时 间的增 加逐 渐 减小或与时间无关。由此获知,该积分值小于或等于零。但是, 该被积函数代表 能量密度,它只可能大于或等于零, 因此,在任何时刻被积函数应等于零, 即 1 2 [ε(δE )2 + μ(δH )2 ] = 0 于是,只可能 δE = δH = 0, 即 E1 = E2 , H1 = H2 。上述定理得到证明。 上述证明过程中认为媒质具 有一定 的电 导率 σ。对 于理 想介 质, 可 以作 为 σ→0 的极限情况处理。 7 - 8   正弦电磁场 我们已知,时变电磁场是时间及 空间 的函数, 也就是 说,场强 的大小 及方 向 均可能随着时间或空间而变化。前面讨 论时 变电 磁场的 各种 特性时,均 未涉 及 场强随着时间的变化规律,即前述各 种特性 分析 对于 任何时 间变 化规律 的时 变 电磁场都是适合的。 现在我们讨论一种特殊的时变电磁场,其场强的方向与时间无关, 但其大小 随时间的变化规律为正弦函数,即 E( r, t) = E m ( r)sin[ωt + ψe ( r)] (7 - 8 - 1) 式中 E m ( r)仅为空间函数, 它是正弦时 间函 数的 振幅。ω 为角频 率, ω= 2πf = 2πT , f 为频率, T 为周期,ωt 为时间相位。ψe ( r)为正弦函数的初始相位, 它可能 7 - 9   麦克斯韦方程的复数形式 169 是空间的函数。具有这种变化规律的时 变电磁 场称 为正 弦电磁 场,或者 称为 时 谐电磁场。这种正弦电磁场在实际中获得广泛的应用。由傅里叶变换的数学方 法得知,任一周期性或非周期性的时 间函数 在一 定条 件下均 可分 解为很 多正 弦 函数之和,因此, 我们着重讨论正弦电磁场具有实际意义。 正弦电磁场是由随时间按正弦变化的时变电荷与电流产生的。由前面分析 得知,场与源随时间的变化规律是相同的。因此, 正弦电磁场的场和源具有相同 的频率。当场的方向与时间无关时,对于这 些相 同频 率的正 弦量 之间的 运算 可 以采用复数方法,即仅须考虑正弦量的振幅和初始相位 ψe ( r), 而略 去时间相 位 ωt。例如,对于电场强度可用一个与时间无关的复矢量 E m ( r)表示为 E m ( r) = Em ( r) ejψ ( e r) (7 - 8 - 2) 则原来的瞬时矢量和复矢量的关系为 E( r, t) = I m [ E m ( r)ejωt ] (7 - 8 - 3) 实际中,通常测得的是正弦量的有效 值(即 平方的 周期平均 值), 以 E ( r) 表 示正弦量的有效值,则 E( r) = E( r)ejψe ( r) (7 - 8 - 4) 式中 E( r) = E m ( r) 2 (7 - 8 - 5) 所以 E m ( r) = 2 E ( r) (7 - 8 - 6) 有的书刊中,将正弦电磁场表示为 E( r, t) = E m ( r)cos(ωt + ψe ) (7 - 8 - 7) 则瞬时矢量与复矢量的关系为 E( r, t) = Re[ E m ( r)ejωt ] (7 - 8 - 8) 应注意,无论何种表示方法, 复矢量仅为空间函数,与时间无关。而且, 只有 频率相同的正弦量之间才能使用复矢量的方法进行运算。 7 - 9   麦克斯韦方程的复数形式 已知正弦电磁场的场强与源的频率 相同,因 此可 用复矢 量形 式表示 麦克 斯 韦方程,考虑到正弦时间函数的时间导数为 E( r, t) t = I m [jωE m ( r)ejωt ] = I m [jω 2 E ( r)ejωt ] 因此,对于正弦电磁场, 式(7 - 2 - 2a) 可表示为 ×[Im ( 2 H ejωt )] = Im [ 2 Jejωt ] + I m [jω 2 D ejωt ] 此式又可记作 17 0 第七章   时变电磁场 I m [ ×( 2 H ejωt )] = Im [ 2 Jejωt ] + I m [jω 2 D ejωt ] (7 - 9 - 1) 因为上式对于任何时刻 t 均 成立,故 虚 部 符号 可 以消 去。例 如,当 t = 0 时, 式 (7 - 9 - 1)变为 I m [ × 2 H ] = I m [ 2 J + jω 2 D ] 当 t= T 4 时,ωt = π2 ,则式 (7 - 9 - 1)变为 (7 - 9 - 2) I m [ × 2 Hj] = I m [ 2 Jj + jω 2 Dj] 即 R e[ × 2 H ] = Re[ 2 J + jω 2 D ] (7 - 9 - 3) 式(7 - 9 - 2) 及式 (7 - 9 - 3) 表明, 等式 两端 复数 的实部 及虚 部均 相 等, 因 此,两端复数相等, 即 × 2 H = 2 J + jω 2 D 由此得 × H = J + jωD (7 - 9 - 4a) 同理可得 × E = - jωB (7 - 9 - 4b) ·B = 0 (7 - 9 - 4c) ·D =ρ (7 - 9 - 4d) 式(7 - 9 - 4)称为麦克斯韦方程的复数形式, 式中各量均为有效值。 同样,电荷守恒定律及媒质特性方程也可写成复数形式 ·J = - jωρ (7 - 9 - 5) D = εE (7 - 9 - 6) B = μH (7 - 9 - 7) J = σE + J′ (7 - 9 - 8) 根据麦克斯韦方程导出场与源的关系式(7 - 4 - 3)也可写成复数形式 2 H + ω2 μεH = - × J (7 - 9 - 9a) 2 E + ω2 μεE = jωμJ + 1 ε ρ (7 - 9 - 9b) 7 - 10   位函数的复数形式 应用上述规则,对于正弦电磁场, 位函数方程 式 (7 - 4 - 8) 也 可用复 矢量 表 示为 2 A + ω2 μεA = - μJ (7 - 10 - 1a) 2 φ + ω2 μεφ = - ρ ε (7 - 10 - 1b) 7 - 11   能量密度与能流密度矢量的复数形式 171 考虑到时间 滞 后 因子 - | r - v r′| , 对 于 正弦 函 数, 所表 现 的 时 间 相 位 滞 后 为 - ω| r - v r′| ,令 k= ω v = ω εμ,则 - ω| r - v r′| = - k| r - r′|,因此式(7 - 10 - 1) 的解为 ∫ A ( r) = μ 4π V′ J( r′)e- jk| r - | r - r′| r′| d V′ ∫ φ( r) = 1 4πε ρ( V′ r′) e- jk| r - | r - r′| r′| d V′ (7 - 10 - 2a) (7 - 10 - 2b) 洛伦兹条件的复数形式为 · A = - jωμεφ (7 - 10 - 3) 正弦电场和磁场与位函数的关系也可用复矢量表示为                   B= ×A (7 - 10 - 4a) E = - jωA - φ = - jωA + ·A jωμε (7 - 10 - 4b) 由此可见,只要求出复矢量位 A ,即可计算电场强度及磁场强度。 7 - 11   能量密度与能流密度矢量的复数形式 已知时变电磁场的电场及磁场能量密度的瞬时值分别为 w e ( r, t) = 1 2 εE 2 ( r, t) w m ( r, t) = 1 2 μH 2 ( r, t) 因此最大值为 we m ( r) = 1 2 εE2m ( r) (7 - 11 - 1a) w m m ( r) = 1 2 μH 2 m ( r) (7 - 11 - 1b) 或者写为 w e m ( r) = 1 2 εE m· E * m (7 - 11 - 2a) w m m ( r) = 1 2 μH m· H * m 式中 E * m 及 H * m 分别为复矢量 Em 及 Hm 的共轭值。 (7 - 11 - 2b) 已知正弦量的有效值为瞬时值平方 的周 期平 均值,所以 正弦 电磁场 的能 量 密度的周期平均值 w av 为 17 2 第七章   时变电磁场 ∫           w av = 1 T T 0 w ( r, t)d t ∫ = ε 2 1 T T E2 ( r, t)d t 0 + μ 2 ∫1 T T 0 H2 ( r, t)d t 即 w av = 1 2 εE2 ( r) + 1 2 μH 2 ( r) (7 - 11 - 3) 式中 E( r)及 H ( r) 均为有效值。上式又可表示为 w av = 1 2 εE·E * + 1 2 μH· H * (7 - 11 - 4) 或者以场强的最大值表示为 wav = 1 4 εE m·E * m + 1 4 μH m· H * m (7 - 11 - 5) 考虑到式(7 - 11 - 2),得 wav = 1 2 ( wem + wmm ) (7 - 11 - 6) 此式表明,正弦电磁场能量密度的周 期平均 值等 于电 场能量 密度 的最大 值与 磁 场能量密度的最大值之和的一半。 同样,媒质中单位体积内的损耗功率也可用复矢量表示, 其最大值为 plm ( r) = σE 2 m ( r) = σE m·E * m (7 - 11 - 7) 平均值为 plav ( r) = σE2 ( r) = σE·E * = 1 2 σE m· E * m (7 - 11 - 8) 可见,损耗功率密度的平均值也是最大值之半。 已知能流密度矢量 S 的瞬时值为 S( r, t) = E( r, t)× H ( r, t) = [ E m ( r)× H m ( r)]sin(ωt + ψe )sin(ωt + ψh ) 其周期平均值为 ∫                 Sav ( r) = 1 T T S( r, t)d t 0 = 1 2 [ Em ( r)× H m ( r) ]cos(ψe + ψh ) (7 - 11 - 9) 现定义一个复能流密度矢量 Sc ,令 Sc ( r) = E ( r)× H * ( r) 式中 E 及 H * 均为有效值。该定义又可用场强最大值表示为 (7 - 11 - 10) Sc ( r) = 1 2 Em ( r) × H * m ( r) (7 - 11 - 11) 那么,复能流密度矢量 Sc 的实部及虚部分别为 7 - 11   能量密度与能流密度矢量的复数形式 173 R e( Sc ) = 1 2 [ Em ( r) × H m ( r)]cos(ψe - ψh ) (7 - 11 - 12a) I m ( Sc ) = 1 2 [ Em ( r) × H m ( r)]sin(ψe - ψh ) (7 - 11 - 12b) 比较式(7 - 11 - 9) 与(7 - 11 - 12a) 可见, 复 能流 密度 矢量的 实部 就是能 流密 度 矢量的平均值,即 R e( Sc ) = Sav ( r) (7 - 11 - 13) 式(7 - 11 - 12)表明, 复能流密度矢量的实部及虚部不仅取决于电场及磁场 的振幅大小,而且与电场及磁场的相位密切相关。结果表明, 当电场与磁场同相 时,即 ψe = ψh + 2 nπ, 则实部为最大正值,虚部为零; 当电场与磁场反相时, 即 ψe = ψh + (2 n + 1)π,则实部为最大负值, 虚部仍然为零;当电 场与磁场 的相位差 为 π 2 的奇 数倍 时, 即 ψe = ψh + (2 n + 1) π2 , 则 实部为 零, 虚部 为最 大正 值或 负值; 若电场与磁场的相位差为任意值时,则虚部及实部均不为零。 图 7 - 11 - 1 表示了在上述四种相位关系情况下,能流密度矢量的方向随着 时间的变化情况。设向右为正值, 向 左为 负值, 由 图可见, 复 能流 密度矢 量的 实 部表示能量流动,虚部表示能量交换。图 7 - 11 - 1(a)中 能量单 向地向右 传播; 图 7 - 11 - 1(b)中能量单向地向左传播;图 7 - 11 - 1(c) 中每 隔 1 4 周期变化 一 图 7 - 11 - 1   复能流密度 17 4 第七章   时变电磁场 次,能量在电场与磁场之间不断地交换,图 7 - 11 - 1(d)中 大部分时 间内向左 传 播,小部分时间内向右传播,充分地表 明了能 量在 电场与 磁场 之间 交换的 同时, 又不断向左传播。 此外,由能量定理也可进一步说明复能流密度矢量 Sc 的物理意义。利用矢 量恒等式 ·( E × H * ) = H * · × E - E· × H * 对于无外源区域 V, × H * = σE * + jωεE * ,采用前述同样方法可得 ∮ ∫ - ( E × H * )·d S = σE·E * d V S V ∫ + jω (μH· H * - εE· E * )d V V 即 ∮ ∫           - Sc ( r)·d S = pl ( r)d V S V ∫ + jω 2[ w m av ( r) - w eav ( r)]d V V (7 - 11 - 14) 此式称为复能量定理。由此可见,流进 S 内 的复能流 密度矢 量通量的 实部等 于 S 内消耗的功率。这就表明 Sc 的实部的确代表单向流动的能量。 复能流密度矢量与 R LC 正弦电路中的复功率是很类似的。由正弦电路理 论得知, R L C 正弦电路中的复功率 Pc 为 Pc = U I* = PR + j2ω( w L - w C ) 式中 I* 为电流 I 的共轭值, PR 为 电阻 R 中消 耗功 率的平 均值。 w L 为 电感 线 圈 L 中的平均储能, wC 为电容器 C 中的平均储能。 此外,前述的惟一性定理用于正弦电磁场时, 显然,初始条件不再需要, 无源 区中的正弦电磁场被其边界上的电场切向分量或磁场切向分量惟一地确定。读 者可以根据复能量定理式(7 - 11 - 14)证明此结论。 本教材后面各章 仅 研究 正弦 电磁 场, 为 了书 写简 便起 见, 今后 均 以 E ( r), H( r) 或 者 E, H 表 示 正 弦 电 磁 场 复 矢 量 的 有 效 值, 而 略 去 顶 标“·”号。 以 E( r, t), H ( r, t)或 E( t), H ( t)表示正弦电磁场的瞬时值。 例   已知某真空区域中的时变电磁场的电场瞬时值为 E( r, t) = ey 2sin(10πx)sin(ωt - kz z) 试求其磁场强度的复数形式及能流密度矢量的平均值。 解   根据时变电场瞬时值,求得其有效值的复数形式为 E( r) = ey sin(10πx)e- jkzz 已知 × E = - jωμ0 H 习   题 175 得 H = j ωμ0 ×E 由于时变电场仅有 y 分量,且与变量 y 无关,即 Ey y = 0, 则 × E = - ex Ey z + ez Ey x = exjkz sin(10πx)e- jkzz + ez 10πcos(10πx)e- j kzz 得 H= - ex kz ωμ0 sin( 10πx) + ezj ω1μ0π0 cos(10πx) e- jkz z 已知 Sav = Re( Sc ),而 Sc = E× H * = ez kz ωμ0 sin2 ( 10πx) - ex j 1 0π 2ωμ0 sin (2 0πx ) 得 Sav = ez kz ωμ0 sin2 (1 0πx) 思 考 题 7 - 1   什么是位移电流 ? 它与传导电流及运流电流的本质区别是什么 ? 为什么在不良 导体中位移电流有可能大于传导电流 ? 7 - 2   试述麦克斯韦方程的积分形式与微分形式,并解释其物理意义。 7 - 3   什么是媒质的特性方程 ? 7 - 4   试述时变电磁场的边界条件,在任何边界上电场强度的切向分量及磁感应强度的 法向分量总是连续的吗 ? 7 - 5   给出时变电磁场的标量电位及矢量磁位所满足的微分方程及其解。 7 - 6   什么是洛伦兹条件 ? 为什么它与电荷守恒定律是一致的 ? 7 - 7   什么是电磁辐射 ? 为什么会产生电磁辐射 ? 7 - 8   如何计算时变电磁场的能量密度 ? 能流密 度的定 义是什 么 ? 如 何根据 电场及 磁 场计算能流密度 ? 7 - 9   试述时变电磁场的惟一性定理。 7 - 10   什么是正弦电磁场 ? 如何用复矢量方法表示正弦电磁场 ? 7 - 11   给出麦克斯韦方程及其位函数方程的复数形式 ? 7 - 12   什么是复能流密度矢量 ? 试述其实部及虚部的物理意义。 习   题 7 - 1   设真空中电荷量为 q 的点电荷以速度 v( vn c)向正 z 方向 匀速运动,在 t = 0 时 刻 经 过坐 标 原 点 , 计算 任 一 点 位 移 电 流 。( 不 考 虑 滞 后 效应 ) 17 6 第七章   时变电磁场 7 - 2   已知真空平板电容器的极板面积为 S,间距为 d,当外加电压 U = U 0 sinωt 时,计 算 电 容器 中 的 位 移 电 流 ,且 证 明 它 等 于 引 线 中 的传 导 电 流 。 7 - 3   已知正弦电磁场的频率为 100 G H z,试求铜及淡水中位移电流密 度与传导电 流密 度 之 比。 7 - 4   设真空中的磁感应强度为 B( t) = ey 10 - 3 sin(6π×108 t - kz) 试 求 空间 位 移 电 流 密 度 的 瞬 时 值 。 7 - 5   试证真空中麦克斯韦方程对于下列变换具有不变性 E′= Ecos θ+ cBsin θ B′= - E c sin θ+ Bcos θ 式中 c = 1 μ0 ε0 为真空中的光速。 7 - 6   对 于 上 题 中 的 变 换 ,试 证 总 能 量密 度 1 2 ε0 E2 + 1 2 μ0 H2 也 具 有 不 变性 。 7 - 7   用直接代入法证明式(7 - 5 - 3)是式(7 - 5 - 1)的解。 7 - 8   若平板电容器中填充两层媒质,第一层媒质厚度为 d1 ,第二层 媒质厚度为 d2 ,极 板面积为 S,电容器的外加电压 U = U 0 sin ωt,试求两种媒质参数分别为下列两种情况时 ①   εr1 = 4,μ1 = μ0 ,σ1 = 1 S m ; εr2 = 2,μ2 = μ0 ,σ2 = 2 S m 。 ② εr1 = 1,μ1 = μ0 ,σ1 = 0; εr2 = 2,μ2 = μ0 ,σ2 = 2 S m 。 电 容 器中 的 电 场 强 度 ,损 耗 功 率 及 储 能 。 7 - 9   已知电磁波的合成电场的瞬时值为 式中 E( z, t) = E1 ( z,t) + E2 ( z, t) E1 ( z,t) = ex 0. 03sin(108πt - kz) E2 ( z,t) = ex 0. 04cos 108πt - kz - π 3 试 求 合成 磁 场 的 瞬 时 值 及 复 矢 量 。 7 - 10   用直接代入法证明,式(7 - 10 - 2a)及式(7 - 10 - 2b)分 别是式(7 - 10 - 1a)及式 (7 - 10 - 1b)的解。 7 - 11   已知真空区域中时变电磁场的时变磁场瞬时值为 H ( y,t) = ex 2cos20 xsin(ωt - ky y) 试 求 电场 强 度 的 复 矢 量 、能 量 密 度 及 能 流 密 度 矢量 的 平 均 值 。 7 - 12   已知真空中正弦电磁场的电场复矢量为 E ( r) = ( 3jex + 5 ey - 4jez ) e- j0. 02π(4 x + 3 z) ①   试证电场强度 E 的等相面为平面; ②   试求磁感应强度 B、平均储能密度 w 及复能流密度矢量 Sc 。 7 - 13   若真空中正弦电磁场的电场复矢量为 习   题 177 E ( r) = ( - jex - 2 ey + j 3 ez )e- j0. 05π( 3 x + z) 试求电场强度的瞬时值 E( r, t),磁感应强度的复矢量 B( r)及复能流密度矢量 Sc 。 7 - 14   已知真空中时变电磁场的电场强度在球坐标系中的瞬时值为 E( r, t) = eθ E0 r sin θcos(ωt - k0 r) 式中 k0 = ω ε0 μ0 ,试求磁场强度的复矢量、储能密度及能流密度的平均值。 7 - 15   若真空中两个时变电磁场的电场强度分别为 E1 ( z) = ex E10 e - jω1 ε0 μ0 z E2 ( z) = ex E20 e - jω2 ε0 μ0 z 试 证 总平 均 能 流 密 度 等 于 两 个 时 变场 的 平 均 能 流 密 度 之 和 。 7 - 16   已知 × H = J′+ σE + jωεE 及 × E = - jωμH 试证此时复能量定理为 ∮ ∫ ∫ - Sc·d S = (σE·E * )d V + ( E·J′* )d V S V V ∫ + j2ω ( w mav - w eav )d V V 并 解 释其 物 理 意 义 。 7 - 17   若考虑 媒质极化和 磁化损耗,认为 ε= ε′- jε″,μ= μ′- jμ″。试证无外 源区( J′ = 0)中的能量定理为 ∮ ∫ ∫ - Sc·d S = ω (ε″E·E * + μ″H· H * )d V - (σE·E * )d V S V V 并 解 释其 物 理 意 义 。 ∫ + j2ω ( w m av - weav )d V V 第八章   平面电磁波 上一章的分析表明,时变电磁场可在空间形成电磁波, 其能量以电磁波的形 式进行传播。根据电磁波的波面形状 可分 为平 面波、柱面 波及 球面波。 平面 波 是一种最简单、最基本的电磁波, 但它具有电磁波的普遍性质和规律。通过平面 波在各种媒质中传播特性的分析,可 以掌握 电磁 波传 播的一 般规 律及其 研究 方 法。同时,其他类型的电磁波可以分解为很多平面波之和。因此, 着重讨论平面 波具有重要的理论价值。我们将介绍平面波在无限大的无耗媒质和有耗媒质中 的传播特性;介绍平面波的极化特性; 讨论平面波在平面边界上的反射和折射特 性;讨论平面波在分层媒质中以及各向异性媒质中的传播特性。 8-1 波动 方 程 已知在无限大的各向同性的均匀线性媒质中,时变电磁场满足下列方程: 2 E( r, t) - με 2 E( r, t) t2 =μ J( r, t) t + 1 ε ρ( r, t) (8 - 1 - 1a) 2 H ( r, t) - με 2 H ( r, t2 t) = - × J( r, t) (8 - 1 - 1b) 此式称为非齐次波动方程,式中 J( r, t) = J′( r, t) + σE ( r, t), 其中 J′( r, t) 是 产生电磁波的外源;电荷体密度 ρ( r, t)与 传导电流 σE ( r, t)的关 系为 ·(σE) = - ρt。 若所讨论的区域中没有外源, 即 J′= 0; 且媒 质为理 想介 质, 即 σ= 0。此 时 传导电流为零,自然也不存在体分布的时变电荷, 即 ρ= 0。则式(8 - 1 - 1) 变为 2 E( r, t) - με 2 E( r, t2 t) = 0 (8 - 1 - 2a) 2 H ( r, t) - με 2 H ( r, t) t2 = 0 (8 - 1 - 2b) 此方程称为齐次波动方程。对于研究平 面波 的传 播特性,仅 需求 解齐次 波动 方 程。 若所讨论的时变场为正弦电磁场,则式(8 - 1 - 2) 变为 2 E( r) + k2 E( r) = 0 (8 - 1 - 3a) 2 H ( r) + k2 H ( r) = 0 (8 - 1 - 3b) 8 - 2   理想介质中的平面波 179 此式称为齐次矢量亥姆霍兹方程,式中 k = ω με。 在直角坐标系中,可以证明,电场强度 E 及 磁场 强度 H 的各 个分量 分别 满 足下列方程 2 E x ( r) + k2 Ex ( r) = 0 (8 - 1 - 4a) 2 Ey ( r) + k2 Ey ( r) = 0 (8 - 1 - 4b) 2 Ez ( r) + k2 Ez ( r) = 0 (8 - 1 - 4c) 2 H x ( r) + k2 H x ( r) = 0 (8 - 1 - 5a) 2 Hy ( r) + k2 Hy ( r) = 0 2 Hz ( r) + k2 H z ( r) = 0 (8 - 1 - 5b) (8 - 1 - 5c) 这些方程称为齐次标量亥姆霍兹方程。 由此 可见,各 个分量 满足 的方程 结构 相 同,它们的解具有同一形式。 值得提出的是,在直角坐标系中, 若时变电磁场的场量仅与一个坐标变量有 关,则该时变电磁场 的场 量不 可 能具 有该 坐标 分量。 例如,若 场量 仅 与 z 变 量 有关,则可证明 Ez = Hz = 0, 因为若场量与变量 x 及 y 无关,则 ·E = Ex x + Ey y + Ez z = Ez z ·H = Hx x + Hy y + Hz z = Hz z 因在给定的 区 域 中, · E = 0, · H = 0, 由 上 两 式 得 Ez z = Hz z = 0, 代 入 式 (8 - 1 - 4c)及式 (8 - 1 - 5c)中,即得 z 坐标分量 Ez = H z = 0。 8 - 2   理想介质中的平面波 已知正弦电磁场在无外源的理想介质中应满足下列齐次矢量亥姆霍兹方程 2 E + k2 E = 0 (8 - 2 - 1a) 2 H + k2 H = 0 (8 - 2 - 1b) 又知在直角坐标系中,各个分量又满足 齐次标 量亥 姆霍兹 方程, 如 式(8 - 1 - 4) 及式(8 - 1 - 5)。设 E 仅与坐标变量 z 有关, 与 x, y 无关, 即 x = y = 0 。由前 节分析得知,电场强度不可能存在 z 分量。为了讨论方便,令电场强度方向为 x 方向,即 E = ex Ex , 则磁场强度 H 为      H = j ωμ × E = j ωμ ×( ex E x ) 18 0 第八章   平面电磁波 = ωjμ[( Ex )× ex + Ex × ex ] = ωjμ( Ex ) × ex (8 - 2 - 2) 因 Ex = ex Ex x + ey Ex y + ez Ex z = ez Ex z 代入式(8 - 2 - 2), 得 H = ey j ωμ Ex z = ey Hy 即 Hy = j ωμ Ex z (8 - 2 - 3) 由此可见,磁场强度仅具有 y 分量。 这是 因 为电 场仅 与 z 有 关,因 而磁 场也 仅 与 z 有关,所以磁 场 不可 能 具有 z 分 量。 又知 电 场 与 磁 场处 处 垂 直,因 此, 若 E = ex Ex ,则 H = ey H y 。既然 Ex 与 H y 的关系由式(8 - 2 - 3) 确定, 我们仅需 求 解 Ex ,然后由式(8 - 2 - 3) 即可确定 Hy 。 由前节得知,电场强度 Ex 分量满足齐次标 量亥姆霍 兹方程 式(8 - 1 - 4a), 考虑到 Ex x = Ex y = 0,得 d2 Ex d z2 + k2 Ex =0 (8 - 2 - 4) 这是一个二阶常微分方程,其通解为 Ex = E e- jkz x0 + E′x0 ej kz (8 - 2 - 5) 式中第一项表示相位随着 z 变量增加而逐渐滞后,第二项表 示相位 随着 z 变 量 增加而逐渐超前。根据前章所述,场的相位一定落后于源的相位。因此, 上式第 一项代表向正 z 轴方向传播的波,第二项代表向 负 z 轴 方向传播 的波。为了 便 于讨论平面波的波动特性,仅考虑向正 z 轴方向 传播的波,令 上式 第二项 为零, 即 Ex = E e- jkz x0 (8 - 2 - 6) 式 中 Ex0 为 z = 0 处 电 场 强 度 的 有 效 值。 Ex ( z) 对应的瞬时值为 Ex ( z, t) = 2 Ex0 sin(ωt - kz) (8 - 2 - 7) 根据上式描绘的电场强度随着时间 t 及空间 坐标 z 的变化波形,如图 8 - 2 - 1 所示。 式(8 - 2 - 7)中 的 ωt 称 为时 间 相位, kz 称为空间相位。通常定义空间相 位相等的 点 组成的曲面称为波面。由上可见, z = 常数的 图 8 - 2 - 1   电磁波的传播过程 8 - 2   理想介质中的平面波 181 平面为波面, 因此,这种电磁波 称为 平 面波。 又因 Ex 与 x, y 无 关, 在 z = 常 数 的波面上,各点场强相等,因此,这种 波面上 场强 均匀分 布的 平面 波又称 为均 匀 平面波。 时间相位 ωt 变化 2π所经历的 时间称 为电磁波 的周期, 以 T 表 示, 而 1 秒 内相位变化 2π的次数 称为频率, 以 f 表示, ω = 2πf 称为角 频率, 那么由 ωT = 2π 的 关 系 式,得 T = 2π ω = 1 f (8 - 2 - 8) 空间相位 kz 变化 2π 所经 过的 距 离称 为 波 长, 以 λ表 示。 那么 由 kλ = 2π 关系式,得 λ= 2π k (8 - 2 - 9) 由上可见,电磁波的频率是描述相位随时间的变化特性, 而波长描述相位随空间 的变化特性。这里,我们从电磁波 的相位 变化 定义电 磁波 的周 期、频率和 波长, 有助于更深刻地理解电磁波的传播特性。 由式(8 - 2 - 9)又可得 k = 2π λ (8 - 2 - 10) 可见, 常数 k 表示单位长度内 的相 位 变化, 因 此 k 称 为相 位 常数。 又因 空间 相 位变化 2π相当 于一个 全波, k 的 大小又 可衡量单 位长度内 具有的 全波数 目, 所 以 k 又称为波数。 根据相位不变点的轨迹变化可以计 算电 磁波 的相位 变化 速度,这种 相位 速 度以 vp 表示。令 ωt - kz = 常数,得 ωd t - kd z = 0, 则相位速度 vp 为 vp = dz dt = ω k 考虑到 k = ω εμ,得 vp = ω k = 1 εμ (8 - 2 - 11) 均匀平面波的相位速度又简称为相速。式(8 - 2 - 11) 表明,在理想介质中, 均匀平面波的相速与 媒质 特性 有关。 考虑 到一 切 媒质 相对 介电 常数 εr > 1, 又 通常相对磁导率 μr ≈1, 因此,理想介质中均匀平面 波的相 速通常小 于真空中 的 光速 c = 1 。但应注意,电 磁 波的 相速 有时 可以 超 过光 速, 可见, 相速 不 ε0 μ0 一 定 代 表 能 量 传 播 速 度,有 兴 趣 的 读 者 可 参 阅 文 献[ 11 ]。 将 k = ω με代入式(8 - 2 - 9)中, 并考虑到式(8 - 2 - 11)得 18 2 第八章   平面电磁波 vp = λf (8 - 2 - 12) 此式描述了电磁波的相速 vp 、频率 f 与波长λ之间的关系。平面波 的频率是 由 波源决定的,它始终应与波源的频 率相同,但 是平 面波的 相速 与媒 质特性 有关。 因此,平面波的波长与媒质特性有关。将式(8 - 2 - 11)代入式(8 - 2 - 12)中, 得 λ= vp f = f 1 ε0 μ0 = εrμr λ0 εrμr (8 - 2 - 13) 式中 λ0 = f 1 是频率为 f 的平面波在真空中传播时的波长。式(8 - 2 - ε0 μ0 13)表明,λ< λ0 ,即平 面波 在媒 质中 的 波长 小于 真空 中波 长。这 种 现象 称为 波 长缩短效应,或简称为缩波效应。埋入地中或浸入水内的天线, 必须考虑这种缩 波效应。此外,微带电路及微带天线可以利用这种缩波效应减小设备的体积。 由式(8 - 2 - 3)及式(8 - 2 - 6) 得 Hy = ε μ Ex0 e- jkz = H e- jkz y0 (8 - 2 - 14a) 式中 H y0 = μεE x0 (8 - 2 - 14b) 由式(8 - 2 - 6)及(8 - 2 - 14)得知, 在 理想介 质中, 均 匀平面 波的 电场相 位与 磁 场相位相同, 且两者空 间相 位 均与 变 量 z 有关, 但振 幅 不会 改 变。图 8 - 2 - 2 表示 t = 0 时刻,电场及磁场随空间的变化情况。 电场强度与磁场强度的量值之比称 为 电磁波的波阻抗,以 Z 表示,即     Z= Ex Hy = μ ε (8 - 2 - 15) 可见,平面波在理想介质中传播时,其波 阻 抗为实 数。当 平 面波 在 真空 中 传 播时, 其 波阻抗以 Z0 表示, 则 图 8 - 2 - 2   理想介质中的平面波 Z0 = μ0 ε0 = 377 Ω≈120πΩ (8 - 2 - 16) 上述均匀平面波的磁场强度与电场强度之间的关系又可用矢量形式表示为 Hy = 1 Z ez × Ex (8 - 2 - 17a) 或者写为 Ex = Z Hy × ez (8 - 2 - 17b) 已知 ez 为传播方 向, 可见无论 电场或 磁场均与 传播方向 垂直, 即对于 传播方 向 而言,电场及磁场仅具有横向分量,因此这种电磁波称为横电磁波,或称为 T E M 8 - 2   理想介质中的平面波 183 波。在第九章中我们将会遇到在传播方向上具有电场或磁场分量的非 T E M 波。由 上 分 析 可 见, 均 匀 平 面 波 是 T E M 波, 只 有 非 均 匀 平 面 波 才 可 形 成 非 T E M 波,但是 T E M 波也可以是非均匀平面 波。这些情 况在以后 各章中 将会 逐 一介绍。 求出电场强度及磁场强度后, 利用式 (7 - 11 - 10) 可求得 T E M 波的复 能流 密度矢量 Sc 为 Sc = Ex × H * y = ez E2 x0 Z = ez Z H 2 y0 (8 - 2 - 18) 可见, 此时复能流密度矢量为实数, 其 虚部 为零。 这就表 明, 电磁 波能量 仅向 正 z 方向单向流动,空间不存在来回流动的交换能量。从另一方面来看,因为电 场 能量密度平均值 weav = 1 2 εE 2 x0 , 而 磁 场 能 量密 度 平 均 值 w m av = 1 2 μH 2 y0 ,考虑 到 Ex0 = Z Hy0 ,可见, w eav = w m av 。那么, 由 式(7 - 11 - 4) 亦 可见, 此 时 复能 流密 度 矢量的虚部为零。 若沿能流方向取出长度为 l,截面为 A 的圆柱体, 如图 8 - 2 - 3 所示。 设 圆 柱 体 中 能 量 均 匀 分 布, 且 平 均 能 量 密 度 为 w av ,能流密度的平均值为 Sav , 则柱体中总平均储能 为 ( w av Al), 穿过端面 A 的总 能量 为 ( Sav A )。若 圆柱 体 中全部储能在 t 时间内全部穿过端面 A,则 Sav A = w av lA t = w av A l t 式中 比 值 l t 显 然 代表 单 位 时 间 内 的 能 量 位 移, 因 此 该 图 8 - 2 - 3   平面波的 能量速度 比值称为能量速度,或简称为能速, 以 ve 表示。由此求得 ve = Sav wav 已知 S av = E2 x0 Z , wav = 2 w eav = εE 2 x 0 , 代 入 上 式 得 (8 - 2 - 19) ve = 1= εμ vp (8 - 2 - 20) 由此可见,在理想介质中, 平面波的能量速度等于相位速度。 已知均匀平面波的波面是无限大的 平面,而 波面 上各点 的场 强振幅 又均 匀 分布,因而波面上各点 的能 流密 度 相同,可 见 这种 均 匀平 面 波 具有 无 限大 的 能 量。显然,实际中不可 能存 在 这种 均 匀 平面 波。但 是,当 观 察 者离 开 波源 很 远 时,因波面很大, 若观察者仅限于局部区域,则可以近似作为均匀平面波。此外, 利用空间傅里叶变换方法,可将非平面波展开为很多平面波之和, 这种展开有时 18 4 第八章   平面电磁波 是非常有用的[15] 。因此,着重讨论均匀平面波具有重要的实际意义。 例   已知均匀平面波在真空中向正 z 方向传播。其电场强度的瞬时值为 E( z, t) = ex 20 2sin(6π×108 t - 2πz) 试求: ① 频率及波长;② 电场强度 及磁 场强 度的复 矢量 表示式; ③ 复能 流密 度 矢量;④ 相速及能速。 解   ① 频率     f = 2ωπ= 6π×1 08 2π = 3×108 Hz 波长     λ= 2π k = 2π 2π = 1 m ② 电场强度   E( z) = ex 20e- j2πz V m 磁场强度   H ( z) = 1 Z0 ez × E = ey 61πe - j2πz A m ③ 复能流密度   Sc = E × H * = ez 10 3π W m2 ④ 相速及能速   vp = ve = ω k = 3× 108 ms 8 - 3   导电媒质中的平面波 当媒质具有一定电导率 σ时, 则在无源区域中麦克斯韦第一方程为 × H = σE + jωεE = jω ε- j σ ω E (8 - 3 - 1) 由此可见,若令 εe = ε- j σ ω (8 - 3 - 2) 则式(8 - 3 - 1)可写为 × H = jωεe E (8 - 3 - 3) 式中 εe 称为等效 介电常数。 这样, 式 (8 - 3 - 3)与 理想介 质中的麦 克斯韦第 一 方程的形式完全相同,只是介电常数 ε以等效介电常 数εe 代替。由 此推出导 电 媒质中正弦电磁场应满足下列齐次矢量亥姆霍兹方程 2 E + ω2 μεe E = 0 2 H + ω2 μεe H = 0 (8 - 3 - 4a) (8 - 3 - 4b) 令 则式(8 - 3 - 4)可写为 kc = ω μεe = ω μ ε- j σ ω (8 - 3 - 5) 8 - 3   导电媒质中的平面波 185 2 E + kc2 E = 0 2 H + k2c H = 0 (8 - 3 - 6a) (8 - 3 - 6b) 若仍然令 E = Ex ex , 且 Ex x = Ex y = 0,则式(8 - 3 - 6)的 解与 前 完全 相同, 只要以 kc 代替 k 即可, 即 Ex = E e x0 - jkc z (8 - 3 - 7) 因常数 kc 为复数,令 代入式(8 - 3 - 5)中, 得 kc = k′- jk″ (8 - 3 - 8) k′= ω με 2 1+ σ ωε 2 + 1 (8 - 3 - 9a) k″= ω με 2 1+ σ ωε 2 - 1 (8 - 3 - 9b) 将式(8 - 3 - 8)代入式(8 - 3 - 7) 中,得 E = E e e - k″z - j k′z x x0 (8 - 3 - 10) 式中第一个指数 e- k″z 表示电场强度的振幅随 z 增 加按指 数规 律不 断衰减, 第 二 个指数 e- jk′z 表示相位变化。因此, k′称为 相 位常 数, 单位 为 rad m ; k″称为 衰 减 常数,单位为 N p m ,而 kc 称为传播常数。这些特性与理想介质中的平面波传播 特性显著不同。但是,此时的电磁波仍然为均匀平面波,因为在 z = 常数的平 面 上各点场强的振幅与相位完全相同。 根据相速的定义式(8 - 2 - 11),求得导电媒质中的相速为 v′p = kω′= με 2 1 1+ σ2 ωε +1 (8 - 3 - 11) 此式表明, 平面波在导电媒质中传播 时, 其相 速不 仅与媒 质参 数有关, 而 且还 与 频率有关。我们已知,携带信号的 电磁波 总是 具有 很多频 率分 量的。当 它在 导 电媒质中传播时,因各个频率分量的电磁波以不同的相速传播, 经过一段距离传 播后, 电磁波中各个频率分量之间的 相位 关系必 然发 生改 变, 导致信 号失 真, 这 种现象称为色散。所以导电媒质又称为色散媒质。 根据波长的定义式(8 - 2 - 9), 求得导电媒质中平面波的波长为 λ′= 2kπ′= ω με 2 2π 1+ σ2 ωε +1 (8 - 3 - 12) 可见,此时波长不仅与媒质特性有关, 而且与频率的关系是非线性的。 18 6 第八章   平面电磁波 根据波阻抗的定义式(8 - 2 - 15),求得导电媒质中的波阻抗 Zc 为 Zc = μ ε 1 - jωσε = μ εe (8 - 3 - 13) 可见, 当平面波在导电媒质中传播时, 其 波阻 抗为 复数, 这是 由于 电场强 度与 磁 场强度的相位不同导致的。既然电场强 度与 磁场 强度的 相位 不同,复能 流密 度 的实部及虚部均不会为零,这就意味着平面波在导电媒质中传播时, 既有单向流 动的传播能量,又有电场与磁场之间的交换能量。 将式(8 - 3 - 7)代入式(8 - 2 - 3) 中,求得导电媒质中磁场强度为 Hy = j ωμ Ex z = ωkμc Ex0 e- jkc z = ε μ 1 - jωσε Ex0 e - e k″z - j k′z (8 - 3 - 14) 由此可见,磁场的振幅也不断衰减,且磁场强度与电场 强度的 相位不同。 图 8 - 3 - 1 表示导电媒质中 t = 0 时刻电场强度与磁场强度随着空间的变化情况。 以上是平面波在 一般 导 电媒 质中 的传 播 规律,下面分别讨论两种特殊情况。 第一, 若 σn ωε, 具有 低电 导率的 介质 或 非理想 介 质 属于 这 种 情 况。 此 时, 可 以 近 似 认为 1+ σ ωε 2 ≈1 + 1 2 σ2 ωε 代入式(8 - 3 - 9)及式(8 - 3 - 13)中, 得 图 8 - 3 - 1   导电媒质中的平面波 k′= ω με (8 - 3 - 15a) k″= σ 2 μ ε (8 - 3 - 15b) Zc = μ ε (8 - 3 - 15c) 这些结果表明,电场强度与磁场强度同相,但两 者振 幅仍不 断衰 减,电导率 σ愈 大,则振幅衰减愈大。 第二,若 σm ωε,良导体属于这种情况。此时可以近似认为 结果求得 1+ σ ωε 2 ≈ωσε k′= k″= ωμ2σ= πfμσ (8 - 3 - 16a) 8 - 3   导电媒质中的平面波 187 Zc = jωσμ≈(1 + j) πfμ σ (8 - 3 - 16b) 此式表明, 电场强度与 磁场 强度 不同 相, 且 因 σ较大, 两 者振 幅 发生 急 剧 衰减, 以至于电磁波无法进入良导体深处,仅可存在其表面附近, 这种现象称为集肤效 应。为了衡量平面波在良导体中的衰减 程度,通 常把 场强振 幅衰 减到表 面处 振 幅 1/ e 的深度称为集肤深度, 以 δ表示,则由 e- k″δ = e- 1 得 δ= 1k″= 1 πfμσ (8 - 3 - 17) 此式表明,集肤深度与频率 f 及电导率σ成反比。 表 8 - 3 - 1 给 出了三 种频 率 时铜的集肤深度。由此表可见, 随 着频 率升高, 集肤深 度急 剧地减 小。因 此, 具 有一定厚度的金属板即可屏蔽高频时变电磁场。 f Hz 表 8 - 3 - 1   铜的集肤深度 50 1× 1 06 3 ×1 010 δm m 29. 8 0. 066 0. 000 38 由以上分析可见,当平面波在导电媒质中传播时, 其传播特性与比值 σ/ ωε有 关。可见,传 播 特性 不仅 与媒 质特 性 有关, 同时 也与 频 率 ω 有 关。对 应 于比 值 ωσε= 1的频率 称 为 界限 频 率, 它 是 划分 媒 质 属于 低 耗介 质 还是 导 体 的界 限。表 8 - 3 - 2中给出几种媒质的界限频率。已知传导电流密度 J = σE,而位移电流密度 Jd = jωεE,因此,比值 σ/ ωε的大小实际上反映了媒质中传导电流与位移电流的幅 度之比。可见,在非理想介质中以位移电流为主, 在良导体中以传导电流为主。 表 8 - 3 - 2   几种媒质的界限频率 ωσε= 1 媒   质 干   土 湿   土 淡   水 海   水 硅 锗 铂 铜 频   率 2. 6 6. 0 0. 22 8 90 1 5× 103 1 1× 104 16. 9×1016 104. 4×1016 f M Hz ( 短 波) ( 短 波) ( 中 波) ( 超 短 波) ( 微 波) ( 微 波) ( 光 波) ( 光 波) 18 8 第八章   平面电磁波     以上讨论平面波在导电媒质中传播 时,振幅 不断 衰减的 物理 原因是 由于 电 导率 σ引 起的热 损耗, 所 以导电 媒质 又称 为有 耗媒质, 而 电导 率为 零的 理想 介 质又称为无耗媒质。一般说来,媒质的损耗除了由于电导率引起的热损失以外, 媒质与电磁场相互作用后,发生的 极化和 磁化 现象 也会产 生损 耗。考虑 到这 类 损耗时,媒质的介电常数及磁导率皆为复数, 即 ε= ε′- jε″,μ = μ′- jμ″。那么, 将其代入能量关系式(7 - 11 - 14), 可 知复介 电常 数和磁 导率 的虚 部代表 损耗, 分别称为极化损耗和磁化损耗。对于非 铁磁 性物 质可以 不计 磁化损 耗;对于 微 波波段以下的电磁波,极化损耗也可不计。考虑极化和磁化损耗时, 平面波传播 特性的分析方法与上类似,这里不再详述。 例   已知向正 z 方向传播的均匀平面波的频率为 5 M Hz, z = 0 处电场强度 为 x 方向,其有效值为 100 V m 。若 z≥0 区域为海水, 其电磁特性参数 为 εr = 80,μr = 1,σ= 4 S m , 试求: ① 该平面波 在海水中 的相位 常数、衰减常 数、相速、 波长、波阻抗和集肤深度。② 在 z = 0. 8 m 处的 电场 强度和 磁场 强度的 瞬时 值 以及复能流密度。 解 ① f = 5 ×106 Hz     ω = 107πrad s ωσε= 1 07π 4 316π× 10 - 9 = 180m 1 80 可见,对于 5 M H z 频率的电磁波,海水可以当作良导体, 其相位常数 k′为 衰减常数 k″为 k′= πfμσ= 8. 89 rad m 相速 v′p 为 波长 λ′为 波阻抗 Zc 为 k″= πfμσ= 8. 89 N p m v′p = kω′= 3. 53 ×106 m s λ′= 2kπ′= 0. 707 m Zc = (1 + j) πfμ σ = π(1 + j) 2 = πejπ4 Ω 集肤深度 δ为 δ= 1 = 0. 112 m πfμσ ② 由上知,海水中电场强度的复振幅为 8 - 4   平面波的极化特性 189 E( z) = ex 100e- e k″z - jk′z V m 对应的磁场强度的复振幅为 H ( z) = 1 Zc ez × E ( z) = ey 1 00 Zc e - e k″z - jk′z A m 由此求得,在 z = 0. 8 m 处, 电场强度及磁场强度的瞬时值为       E(0. 8, t) = ex 100 2e8. 89× 0. 8 sin(107πt - 8. 89 ×0. 8) = ex 0. 115sin(107πt - 7. 11) V m H (0. 8, t) = ey 0. 11 π 5sin( 107πt - 7. 11 - π4 ) = ey 0. 0 366sin(107πt - 7. 70) A m 复能流密度为 Sc = E × H * = 1 002 Zc * e e - 2 k″z z = 6 644 ×10 - 6 ejπ4 ez W m2 由此例可见,频率为 5 M H z 的电 磁波 在海 水中 强烈 地衰 减,因 此位 于海 水 中的潜艇之间,不可能通过海水中的直接波进行无线通信, 必须将其收发天线移 至海水表面附近,利用海水表面的导波作用形成的表面波, 或者利用电离层对于 电 磁 波 的“ 反 射”作 用 形 成 的 反 射 波 作 为 传 输 媒 体 实 现 无 线 通 信 。 8 - 4   平面波的极化特性 前面讨论平面波的传播特性时,认为平面波的场强方向与时间无关, 实际中 有些平面波的场强方向随时间按一定的规律变化。电场强度的方向随时间变化 的规律称为电磁波的极化特性。 设某一平面波的电场强 度仅 具有 x 分 量, 且向 正 z 方向 传播, 则其 瞬时 值 可表示为 Ex ( z, t) = ex Ex m sin(ωt - kz) (8 - 4 - 1) 显然, 在空间任一固定点,电 场 强度 矢量 的端 点随 时 间的 变化 轨迹 为与 x 轴 平 行的直线,因此,这种平面波的极化特性称为线极化,其极化方向为 x 方向。 设另一同频率的平面波的 电场 强 度仅 具有 y 分量, 也 向正 z 方向 传 播, 其 瞬时值为 Ey ( z, t) = ey Ey m sin(ωt - kz) (8 - 4 - 2) 显然,这是一个 y 方向极化的线极化平面波。 上述两个空间相互正交的 线极化平面波 Ex 及 Ey 具有不同振幅,但具有 相 19 0 第八章   平面电磁波 同的相位,它们合成后, 其瞬时值的大小为 E( z, t) = E 2 x ( z, t) + E 2 y ( z, t) = E2 xm + E2 ym sin( ωt - kz) (8 - 4 - 3) 此式表明, 合成波的大小随时 间的 变 化仍 为正 弦函 数, 合 成波 的方 向与 x 轴 的 夹 角 α为 tan α= Ey Ex ( ( z, z, t) t) = Ey m Ex m 可见,合成波的极化方向与时 间无关,电场 强度 矢量端 点 的变化轨 迹是 与 x 轴 夹角为 α的一 条直线。 因此,合 成 (8 - 4 - 4) 波仍然是线极化波,如图 8 - 4 - 1 所示。 由上可见,两个相位相同,振幅不 等的 空间 相互正 交 的线极化 平 面 波, 合 成 后 仍 然 形 成 一 个 线 极 化 平 面 波。 反之,任一线极化波可以分解 为两个相 位相 同,振幅不 等 的空间相互正交的线极化波。 若上述两个 线 极化 波 E x 及 Ey 的 相 位 差 为 π/ 2, 但 图 8 - 4 - 1   线极化波 振幅皆为 Em ,即 Ex ( z, t) = ex E m sin(ωt - kz) Ey ( z, t) = ey E m sin ωt - kz + π 2 则合成波瞬时值的大小为 = ey E m cos(ωt - kz) E( z, t) = E 2 x ( z, t) + E 2 y ( z, t) = Em 合成波矢量与 x 轴的夹角α为 (8 - 4 - 5) tan α= Ey Ex ( ( z, z, t) t) = cot(ωt - kz) = tan π 2 - ( ωt - kz) 即 α= π 2 - (ωt - kz) (8 - 4 - 6) 由此可见,对于某一固定的 z 点,夹角 α为时间 t 的函数。电场强度矢量的方向 随时间不断地旋转, 但其大小不变, 因此, 合 成波 的电 场强度 矢量 的端点 轨迹 为 一个圆,这种变化规律称为圆极化, 如图 8 - 4 - 2 所示。式 (8 - 4 - 6) 表明, 当 t 增加时, 夹角 α不断地减小,合成波矢 量随 着时间 的旋 转方 向与传 播方 向 ez 构 成左旋关系,这种圆极化波称为左旋圆极化波。若 Ey 比 Ex 滞后 π 2, 则合成 波 矢量与 x 轴的夹角α= ωt - π 2 + kz ,可见, 对于空间任一固定点, 夹角 α随 时 8 - 4   平面波的极化特性 191 间增加而增 加, 合成波矢 量随着 时间的旋 转方向 与传播方 向 ez 构成右 旋关系, 因此,这种极化波称为右旋圆极化波。 图 8 - 4 - 2   圆极化波 图 8 - 4 - 3   圆极化波的传播     若时间固定,为简单起见, 令 t= 0, 则对于左旋 圆极化波, 夹 角 α= π 2 + kz, 可见,当 z 增加时,夹角 α增加,即左旋极化波矢量的方向随着变量 z 的变化 与 z 轴构成右旋关系,如图 8 - 4 - 3 所示。读者可 以根据 滞后效应 的时间 关系,验 证这个结论的正确性。反之,右旋圆极化波 矢量的 方向随 变量 z 的 变化与 z 轴 构成左旋关系。 由 上可 见,两个 振幅 相等, 相位 相差 π 2 的 空 间 相互 正 交 的 线极 化 波, 合 成 后 形 成一 个圆 极化波 。反 之,一 个圆极 化波 也可 分解 为两个 振幅 相等, 相位 相差 π 2 的空间相互正交的线极化波。读者可以 证明,一 个线 极化波 可以 分解为 两个 旋 转方向相反的圆极化波,反之亦然。 若上述两个相互正交的线极化波 Ex 和 Ey 具有不同振幅及不同相位,即 Ex ( z, t) = ex Ex m sin( ωt - kz) Ey ( z, t) = ey Ey m sin(ωt - kz + φ) (8 - 4 - 7) 则合成波的 Ex 分量及 Ey 分量满足下列方程 Ex Ex m 2 + Ey Ey m 2 - 2 Ex Ey Ex m Eym cos φ= sin2 φ (8 - 4 - 8) 这是一个椭圆方程, 它表示 对于 空间 任一 点, 即 固定 的 z 值,合成波矢量的端点轨迹是一个椭圆,因此,这种 平 面波称为椭圆极化波,如图 8 - 4 - 4 所示。 当 φ< 0 时, Ey 分 量比 Ex 滞 后, 合 成波 矢 量 反 时 针旋转,与传播方向 ez 形成 右 旋椭 圆极 化波; 当 φ> 0 图 8 - 4 - 4   椭圆极化波 19 2 第八章   平面电磁波 时,合成波矢量顺时旋转, 与传播方向 ez 形成左旋椭圆极化波。 利用坐标系旋转,可以证明, 椭圆轨迹的长轴与 x 轴的夹角α为 tan2α= 2 Ex m E2 xm Ey m - cos E2 ym φ (8 - 4 - 9) 可见,夹角 α与时间 无关。 为了 证明 上式, 可 令 椭圆 的长 轴及 短轴 分 别为 坐 标 轴 x′及 y′,如图 8 - 4 - 4 所示。那么, 在 x′y′坐标中, 上 述椭 圆极化 波的 Ex′及 E y′分 量 满 足 的 方 程 为 E x′ E x′m 2 + E y′ E y′m 2 =1 (8 - 4 - 10) 可见,在 z = 0 处,可令上述椭圆极化波分量 Ex′及 Ey′分别为 Ex′ = Ex′m sinωt Ey′ = Ey′m sin ωt + π 2 = Ey′m cosωt (8 - 4 - 11a) (8 - 4 - 11b) 已知在 xy 坐标平面内, z = 0 处的 Ex 及 Ey 分量由式 (8 - 4 - 7)求得 Ex = E x m sinωt Ey = Ey m sin(ωt + φ) (8 - 4 - 12a) (8 - 4 - 12b) 考虑到 E x′ cos α sin α Ex = E y′ - sin α cos α Ey (8 - 4 - 13) 将式(8 - 4 - 11) 及式(8 - 4 - 12) 代入式(8 - 4 - 13) 中,得 Ex′m sinωt = Ex m sinωtcos α+ Ey m sin( ωt + φ)sin α Ey′m cosωt = - Ex m sinωtsin α+ Ey m sin(ωt + φ)cos α 即 Ex′m sin ωt = ( Ex m cos α+ Ey m cos φsin α)sin ωt +   Ey m sin φsin αcos ωt (8 - 4 - 14a) Ey′m cos ωt = ( - Ex m sin α+ Ey m cos φcos α)sin ωt +   Ey m sin φcos αcos ωt (8 - 4 - 14b) 由于上式对于任何 ωt 均应成立, 因此,等式两端的对应系数应该相等, 即      Ex′m = Ex m cos α+ Ey m cos φsin α 0 = Ey m sin φsin α   Ey′m = Ey m sin φcos α 0 = - E x m sin α+ Ey m cos φcos α (8 - 4 - 15a) (8 - 4 - 15b) (8 - 4 - 15c) (8 - 4 - 15d) 将式(8 - 4 - 15b)与式(8 - 4 - 15c)相乘, 可得 8 - 5   平面边界上平面波的正投射 193 0= - 1 2 E2 ym sin2 φsin 2α (8 - 4 - 16) 将式(8 - 4 - 15a)与式(8 - 4 - 15d) 相乘,可得 0 = - 1 2 E2 xm sin 2α- Exm Ey m cos φsin2 α + Ex m Ey m cos φcos2 α+ 1 2 E2 ym cos2 φsin 2α (8 - 4 - 17) 那么,由式(8 - 4 - 16)及式(8 - 4 - 17), 求得 1 2 E2 xm sin 2α- 1 2 E2 ym sin 2α= Ex m Ey m cos 2αcos φ 将上式整理后,即得式(8 - 4 - 9) 。 前述的线极化波、圆极化波均 可看作 为椭 圆极 化波的 特殊 情况。由 于各 种 极化波可以分解为线极 化波 的合 成,因 此,本 章仅 讨 论线 极 化 平面 波 的传 播 特 性。 电磁波在媒质中的传播特性与其极 化特 性密 切相关,电 磁波 的极化 特性 获 得非常广泛的实际应用。例如,由于圆极化波穿过雨区时受到的吸收衰减较小, 全天候雷达宜用圆极化波。在无线通信中,为了有效地接收电磁波的能量, 接收 天线的极化特性必须与被接收电磁波的极化特性一致。在移动卫星通信和卫星 导航定位系统中,由于卫星姿态随时变更, 应该使用圆极化电磁波。远距离电波 传播时发生的电平衰落统计特性同样也与电波的极化特性有关。在移动通信或 微波通信中使用的极化分集接收技术,即是 利用 了极 化方向 相互 正交的 两个 线 极化波的电平衰落统计特性的不相关 性进 行合 成,以减少 信号 的衰落 深度。 此 外,在微波设备中, 有些器件的功能就是利用了电磁波的极化特性获得的,例如, 铁氧体环行器及隔离器等。 众所周知, 光波也是电磁波。但 是光 波不具 有固 定的 极化特 性, 或者 说, 其 极化特性是随机的。光学 中将 光 波的 极 化称 为 偏 振,因 此,光 波通 常 是无 偏 振 的。为了获得偏振光必须采取特殊方法,见 8 - 9 节。立体电影即是利用两个相 互垂直的偏振镜头从不同的角度拍摄 的。因 此,观众 必须佩 带一 副左右 相互 垂 直的偏振镜片,才能看到立体效果。 8 - 5   平面边界上平面波的正投射 前面讨论了平面波 在 无界 空 间中 的 传 播特 性, 实 际 的空 间 通常 是 有 界的。 当电磁波在传播途中遇到这种边界时,一部 分能 量穿 过边界,形 成透 射波;另 一 部分能量被边界反射,形成反射波, 这就是电磁波在边界上发生的反射及透射现 象。平面波在边界上的反射及透射规律与媒质特性及边界形状有关。本教材仅 19 4 第八章   平面电磁波 讨论平面波在无限大的平面边界上的反射及透射特性。首先讨论平面波向平面 边界垂直入射的正投射,以后再讨论平面波以任意角度向平面边界的斜投射。 设两种均匀媒质形成一 个无 限 大的 平面 边界, 两 种 媒质 的参 数分 别为 ε1 , μ1 ,σ1 及 ε2 ,μ2 ,σ2 , 如图 8 - 5 - 1 所示。建立直角坐标, 且令边界 位于 z = 0 平 面。当 x 方向极化的线极化平面波由媒质①向 边界正 投射时,边界 上形成反 射 波及透射波。 已知电场 的 切 向 分 量在 任 何 边 界 上必 须 保 持连续, 因此, 入射 波 的 电场 切 向 分 量 与反 射 波 的电场切 向 分量 之 和必 须 等于 透 射 波 的电 场 切 向分量。可见,当 反 射 波 为 零时, 入 射 波电 场 的 切向分量等于透射波电场的 切向 分量;当透 射波 为零时,反射波的电场切向 分量 等于入 射波 电场 切向分量的负值。由此可见,反 射波及 透射 波仅 可与入射波 具 有相 同 的 分 量。已 知 入 射波 电 场 方向是与边 界 平行 的 x 分 量, 因此, 反 射 波及 透 图 8 - 5 - 1   平面波的正投射 射波也必然只有 x 分量,即 发 生发 射与 透射 时,平 面波 的极 化特 性 不会 发生 改 变。设入射波、反射波及透射波电场强度 的正方 向如 图 8 - 5 - 1 所示。 根据 它 们的传播方向,可分别表示为 入射波   Eix = E e i x0 - j kc1 z 反射波   Erx = E e r jk z x0 c1 透射波   Etx = E e t x0 - j kc2 z 式中 Ei x0 , E r x0 , Et x0 分别为 z= 0 边界处各波的振幅。 (8 - 5 - 1a) (8 - 5 - 1b) (8 - 5 - 1c) 由式(8 - 2 - 17a)求得各波相应的磁场强度分量为 入射波   H i y = i E x0 - j kc1 z Z e c1 反射波   H r y = r - E x0 jkc1 z Z e c1 透射波   H t y = t E x0 - j k z c2 Z e c2 (8 - 5 - 2a) (8 - 5 - 2b) (8 - 5 - 2c) 式(8 - 5 - 2b) 中的负号是由于反射波是向 负 z 方向 传播所 导致的, 它意 味着 反 射波的磁场分量的实际方向是指向负 y 方向,这样才能和正 x 方向 的反射波 电 场分量形成向负 z 方向传播的反射波。 已知电场强度的切向分量在任何边 界上 均是 连续的,同 时考 虑到所 讨论 的 有限电导率边界上不可能存在表面电流,因而磁场强度的切向分量也是连续的, 于是在 z = 0 的边界上求得下列关系 8 - 5   平面边界上平面波的正投射 195 Ei x0 + Er x0 = Et x0 Ei x0 Z c1 - Er x0 Zc1 = Et x0 Zc2 (8 - 5 - 3a) (8 - 5 - 3b) 由此得 Er x0 = Ei x0 Zc2 - Zc2 + Zc1 Zc1 (8 - 5 - 4a) Et x0 = Ei x0 2 Zc2 Zc2 + Zc1 (8 - 5 - 4b) 我们定义,边界上的反射波电场 分量与 入射 波电 场分量 之比 称为边 界上 的 反射系数,以 R 表示;边界上的 透射 波电 场分量 与入 射波电 场分 量 之比 称为 边 界上的透射系数,以 T 表示,则由式(8 - 5 - 4) 求得 R= Er x0 Ei x0 = Zc2 - Zc2 + Zc1 Zc1 T= Et x0 Ei x0 = 2 Zc2 Zc2 + Zc1 (8 - 5 - 5a) (8 - 5 - 5b) 由于媒质①中存在向正 z 方向传播的入射波 和向负 z 方 向传 播的 反射波,因 此 媒质①中任一点的合成电场强度与磁场强度可以分别表示为 Ex ( z) = E (e i x0 - jkc1 z + R ejkc1 z ) Hy ( z) = i E x0 - jkc1 z Z (e - c1 R ejkc1 z ) (8 - 5 - 6a) (8 - 5 - 6b) 下面讨论两种特殊的边界。 第一,若媒质①为理想介质(σ1 = 0),媒质②为理想导电体(σ2 = ∞), 则两种 媒质的波阻抗分别为 Zc1 = μ1 ε1 = Z1 , Zc2 =0 代入式(8 - 5 - 5), 得 R = -1          T =0 (8 - 5 - 7a) (8 - 5 - 7b) 此结果表明,全部电磁能量被边界反 射,无任何 能量 进入媒 质② 中,这种 情况 称 为全 反 射 。 反 射 系 数 R= - 1 表明,在 边界 上 Er x0 = - Ei x0 , 即 边 界 上 反 射 波 电 场与入射波电场等值反相,因此边界上合成电场为零。显然, 这完全符合理想导 电体应具有的边界条件,因为合成电场与边界相切, 在理想导电体表面上不可能 存在任何切向的电场分量。 因媒质 ① 的 传 播 常 数 kc1 = ω με = k1 , 第 一 种 媒 质 中 任 一 点 合 成 电 场 Ex ( z) 为 19 6 第八章   平面电磁波     Ex ( z) = E (e i x0 - jk1 z - ejk1 z ) = - j2 Ei x0 sin k1 z = 2 Ei x0 sin k1 ze- jπ2 对应的瞬时值为 (8 - 5 - 8)     Ex ( z, t) = 2 2 Ei x0 sin k1 zsin(ωt - π2 ) = -2 2 Ei x0 sin k1 zcos ωt (8 - 5 - 9) 此式表明,媒 质① 中合 成电场 的相 位仅与 时间 有关,而 振幅随 z 的变化 为正 弦 函数。由式(8 - 5 - 9)可见, 在 z= - n λ1 2 处( n = 0,1,2, … ), 对于 任何时 刻, 电 场为零。在 z= - (2 n + 1 ) λ1 4 处, 任 何 时刻 的电 场振 幅总 是 最大。 这就 意味 着 空间各点合成波的相位相同,同时达到最大或最小。平面波在空间没有移动, 只 是在原处上下波动,具有这种特点的电磁波称为驻波,如图 8 - 5 - 2 所示。 图中设 Ei x0 > 0, 则 t1 = 0 时刻的波形为实线 所示; t2 = T 4 时 刻, 场强 瞬 时值 为零; t3 = 3 8 T 时刻的波形如虚线 所示; t4 = T 2 时 刻的 波 形如 点线所示。前 述的 无 限 大理 想 介 质 中 传播 的 平 面波称为行波。行波与 驻波 的特 性截然 不同, 行 波的相位沿传播方向不断变 化,而驻波 的相 位与 空间无关。 媒质①中的合成磁场为 图 8 - 5 - 2   电场驻波 H y ( z) = Ei x0 Z1 (e-jk z 1 + ejk 1 z ) = 2 Ei x0 Z1 cos k1 z (8 - 5 - 10) 对应的瞬时值为 2 Hy ( z,t) = 2 Ei x0 Z1 cos k1 zsin ωt   (8 -5 - 11) 由此可见,媒质①中的合成 磁场也 形成驻 波,但 其零值及最大值位置与 电场驻 波的分布 情况 恰 好相反, 如 图 8 - 5 - 3 所示。 磁场 零 值位 置 为 z= - (2 n + 1 ) λ1 4 , 磁 场 最 大 值 位 置 为 z= - n λ1 2 。即 电 场 零 值 位 置 是 磁 场 的 最 大 值 位 图 8 - 5 - 3   磁场驻波 置,电场最大值位置是磁场的零值位置。 8 - 5   平面边界上平面波的正投射 197 此外,比较式(8 - 5 - 9) 与式(8 - 5 - 10) 可见, 电场与 磁场的 相位差为 π/ 2。 因此,复能流密度的实部为零,只存在 虚部,这 就意 味着没 有能 量单向 流动。 事 实上, 由于在 z = - (2 n + 1 )λ41 处, 能 流 密 度 的 瞬 时 值 始 终 为 零。 因 此, 由 图 7 - 11 - 1(c)可知,能量仅在 λ1/ 4 范围内来回流动, 在电场与磁场之间不断地 进 行交换,这种能量的存在形式与处于 谐振状 态下 的谐 振电路 中的 能量交 换极 为 相似。 由式( 8 - 5 - 10) 还 可 见, 在 z = 0 边 界 上, 媒 质 ① 中 的 合 成 磁 场 分 量 为 Hy ( 0) = 2 Ei x0 Z1 ,而媒质②中 H t y ( 0) = 0,所以 在边 界上 此时发 生磁 场强度 的切 向 分量不连续,因此边界上存在表面电流 JS ,且 JS = en × Hy =( - ez )× Hy = ex 2 Ei x0 Z1 (8 - 5 - 12) 第二,若媒质①为理想介质(σ= 0),媒 质②为 一般导 体, 则媒 质①的 波阻 抗 及传播常数分别为 Zc1 = μ1 ε1 = Z1 kc1 = ω μ1 ε1 = k1 反射系数为 R= Z c2 Z c2 - + Z1 Z1 = | R|ejθ (8 - 5 - 13) 式中| R| 为 R 的振幅,θ为 R 的相位。代入式(8 - 5 - 6a) 得 Ex ( z) = Ei x0 = Ei x0 e + | R|e - j k1 z j( θ + k1 z) 1 + | R |ej(θ+ 2k 1 z) e-jk z 1 (8 - 5 - 14) 由此可见,当 θ+ 2 k1 z = 2 nπ ( n = 0, - 1, - 2, … ) 时, z = ( n 2 - 4θπ)λ1 处,电 场 振幅取得最大值,即       | Ex |max = Ei x0 (1 + | R|) (8 - 5 - 15) 当 θ+ 2 k1 z = (2 n - 1)π ( n = 0, - 1, - 2, … ) 时, z = ( n 2 - 1 4 - 4θπ)λ1 处电场振幅取得最小值,即       | Ex |min = Ei x0 (1 - | R |) (8 - 5 - 16) 由于 0≤| R |≤1,因此,电场振幅位于 0 与 2 Ei x0 之 间,即 0 ≤ | Ex | ≤ 2 Eix0 , 此 时 电 场 驻 波 的 空 间 分 布,如图 8 - 5 - 4 所示。 图 8 - 5 - 4   驻波比 19 8 第八章   平面电磁波 为了描述电场驻波振幅的起伏变化,我们定义, 电场振幅的最大值与最小值 之比称为驻波比,以 S 表示, S = | | E| max E |min = 1 1 + - | | R| R| (8 - 5 - 17) 由此可见,当发生全反射时,| R| = 1, S→∞。当 Zc2 = Z1 时,| R | = 0, S→ 1, 此 时反射消失。这种无反射的边界称为匹配边界。可见,驻波比的范围是 1≤ S < ∞。两个相邻的驻波最大点(或最小 点) 之 间距离 为λ1/ 2。读 者可以 证明, 若 两 种媒质均是理想介 质, 当 Z2 > Z1 时, 边界 处 为 电场 驻 波 的 最 大点; 当 Z2 < Z1 时,边界处为电场驻波的最小点。上述情况不同于图 8 - 5 - 2 所示是完全驻波。 此时媒质中既有向前传播的行波,又包含能量交换的驻波。 例   已知形成无限大平面边界的两种媒 质的参数 为 ε1 = 4ε0 , μ1 = μ0 ;ε2 = 9ε0 , μ2 = μ0 。当一右旋 圆极 化平 面 波由 媒 质 ①向 媒 质 ②垂直入射时,试求反射 波和折射 波及其极 化 特性。 解   建 立 直 角 坐 标 系, 令 边 界 平 面 位 于 z = 0平面,如图 8 - 5 - 5 所示。已知入射 波为 右旋圆极化,因此入射波可以表示为                   Ei = E0 ( ex - jey )e- jk1 z 反射波为 Er = R E0 ( ex - jey )ejk1 z 透射波为 Et = T E0 ( ex - jey )e- j k2 z 图 8 - 5 - 5   圆极化波的正投射 式中       R = Z2 Z2 - + Z1 Z1 = 1 3 - 1 2 1 3 + 1 2 = - 1 5 T = 2 Z2 Z2 + Z1 =2 1 3 1 3 + 1 2 = 4 5 由于, 反 射波 及透射 波的 y 分 量仍 然滞后 于 x 分量, 但 反射波 的传 播方 向 为负 z 方向,因此变为左旋圆 极化 波。透 射 波的 传播 方向 仍沿 正 z 方 向, 因 此 还是右旋圆极化波。 8 - 6   多层边界上平面波的正投射 先以三种媒质形成的多层媒质为例,说 明平 面波 在多层 媒质 中的传 播过 程 及其求解方法。 如图 8 - 6 - 1 所示,当平面波自媒质①向边界垂直入射时,在媒质①和②之 间的第一条边界上发生反射和透射。当透射波到达媒质②和③之间的第二条边 8 - 6   多层边界上平面波的正投射 199 界时, 再次发生反射与透 射, 而且 此边 界上的 反射 波回到第一条边界时又发 生反 射及 透射。由 此可 见,在两条 边 界上 发 生 多 次 反射 与 透 射 现 象。根 据一维波动 方 程解 的 特 性, 可 以 认 为媒 质 ① 和 ② 中仅存在两种 平 面 波, 其 一是 向 正 z 方 向 传播 的 波,以 E + 及 H + 表 示;另一 是向负 z 方 向传 播的 波,以 E - 及 H - 表示。在 媒质③中仅存 在一种向 正 z 方向传播的波。那么各个媒质中的电场及磁 场可以分别表示为 图 8 - 6 - 1   三层媒质中 的 平面 波                 E + x1 ( z) = E e   + x10 - j kc1( z + l)   -∞< z≤ - l E ( z) = E e - x1 - x10 jkc1 ( z + l) - ∞ < z≤ - l E + x2 ( z) = E e + x20 - j kc2 z E - x2 ( z) = E e - x20 jkc2 z E + x3 ( z) = E e + x30 - j kc3 z - l≤ z≤0 - l≤ z≤0 0≤ z < ∞ 及 + E + H ( z) = e y1 x10 - jkc1( z + l) Zc1 - ∞ < z≤ - l H - y1 ( z) = - - E x10 jkc1 ( z + l) Z e c1 - ∞ < z≤ - l H + y2 ( z) = + E x20 - jk z c2 Z e c2 - l≤ z≤0 H - y2 ( z) = - - E x20 jk z c2 Z e c2 - l≤ z≤0 H + y3 ( z) = + E x30 - jkc3 z Z e c3 0≤ z < ∞ 根据两条边界上( z = - l 和 z = 0)电场切向分量必须连续的边界条件,得    E + E = E e + E e + x1 0 - x10 + x20 jkc2 l - x2 0 - jkc2 l ( z = - l)    E + E = E + - + x2 0 x20 x30 ( z = 0) (8 - 6 - 1a) (8 - 6 - 1b) 根据两条边界上磁场切向分量必须连续的边界条件,得    + - + - E E E E x10 x1 0 x20 jkc2 l x2 0 - jkc2 l Z - Z = Z e - Z e c1 c1 c2 c2 ( z = - l)    + - + E E E x20 x2 0 x30 Z - Z = Z c2 c2 c3 ( z = 0) (8 - 6 - 2a) (8 - 6 - 2b) 式(8 - 6 - l) 及式 (8 - 6 - 2) 中的 E + x10 是给 定的, 四个 方 程中 只 有 E - x10 , E + x20 , 20 0 第八章   平面电磁波 E - x20 及 E + x30 等 四个 未 知 数, 因 此完 全 可 以 求 解。 上 述 分 析 方 法 自 然 可以 推 广 到 n 层媒质。 对于 n 层 媒质, 由 于入 射 波是 给定 的, 且 第 n 层 媒质 中只 存 在透 射波, 因 此,总共只有 2 n - 2 个待求的未知数,但根据 n 层媒质形成的 n - 1 条边界可 以 建立 2( n - 1)个方程, 可见这个方 程组足 以求 解全 部的未 知数。 关于多 层媒 质 中的平面波求解还有其他方法[14] 。 如果仅需计算第一条边界上的总反 射系 数,引入 输入波 阻抗 概念可 以简 化 求解过程。在上述例子中, 我们定义媒 质② 中任 一点 的合成 电场 与合成 磁场 之 比称为该点的输入波阻抗,以 Zin 表示,即 Zin ( z) = Ex2 ( z) H y2 ( z) (8 - 6 - 3) 已知媒质②中合成电场为       Ex2 ( z) = E e + - jk z x20 c2 + E e - j k z x20 c2 = E (e + R e ) + - j kc2 z x20 jkc2 z 23 (8 - 6 - 4) 式中 R23 为媒质②和③之间的边界上反射系数。根据前述反射系数定义,得 R23 = E- x20 E+ x20 = Zc3 - Zc3 + Zc2 Zc2 (8 - 6 - 5) 同理媒质②中的合成磁场可以表示为 H y2 ( z) = + E x20 - jkc2 z Z (e - c2 R e ) 23 jkc2 z (8 - 6 - 6) 将式(8 - 6 - 4), 式(8 - 6 - 5)及式(8 - 6 - 6) 代入式(8 - 6 - 3)中, 同时利用公式 ej x = cos x + jsin x,得 Zin ( z) = Zc2 Zc3 Zc2 - j Zc2 tan - j Zc3 tan kc2 z kc2 z (8 - 6 - 7) 根据边界 条件,已知 在 z = - l 边 界上两 侧合 成电 场及合 成磁 场应 该是 连 续的,那么由式(8 - 6 - 1a)及式(8 - 6 - 2a)求得 E+ x10 + E- x1 0 = Ex2 ( - l) (8 - 6 - 8a) E+ x10 Z c1 - E- x10 Zc1 = Ex2 ( - l) Zin ( - l) 第一条边界上总反射系数定义为 R= E E - x10 + x10 ,则由上式求得 R= Zin ( - l) - Zin ( - l) + Zc1 Zc1 式中 (8 - 6 - 8b) (8 - 6 - 9) Zin ( - l) = Zc2 Zc3 Zc2 + jZc2 tan + j Zc3 tan kc2 l kc2 l (8 - 6 - 10) 8 - 6   多层边界上平面波的正投射 201 比较式(8 - 6 - 9)与式(8 - 5 - 5a)可 知, 引入 输入 波阻抗 以后, 对 第一层 媒质 来 说,第二层及第三层媒质可以看作波阻 抗为 Zin ( - l) 的 一种媒 质。已知 第二 层 媒质 的 厚 度 和 电 磁 参 数 以 及 第 三 媒 质 的 电 磁 参 数 即 可 求 出 输 入 波 阻 抗 Zin ( - l)。由此可见, 利用输入 波阻 抗的 方法 计算 多 层媒 质的 总反 射系 数, 实 质 上是电路中经常采用的网络分析方法,即只需考虑后置媒质的总体影响, 不必关 心后置媒质的内部结构。 这样, 对于 n 层媒质, 如图 8 - 6 - 2 所示, 当 平 面波 自左 向右 入射 时, 为 了 求出第一条边界上的总反射系数,利用输 入波 阻抗 的方法 是十 分简便 的。其 过 程是,首先 求出第 n - 2 条边界处向右看的输入波阻抗 Z( n in - 2 ) , 则 对 于 第 n -2 层媒质来说,可用波阻抗 为 Z( n in - 2 ) 的 媒质代 替第 n - 1 层及第 n 层媒质。依次 类推,自右向左逐一计算各条边界上向右看的输入波阻抗, 直至求得第一条边界 上向右看的输入波阻抗后,根据式(8 - 6 - 9) 即可计算总反射系数。 图 8 - 6 - 2   多层媒质的总反射系数 例   设两种理想介质的波阻抗分别为 Z1 与 Z2 , 为了消除边界反射,可在两 种理想介质中间插入厚度为 1/ 4 波长(该波长是指平面波在夹层中的波长) 的理 想介质夹层,试求夹层的波阻抗 Z。 解   如图 8 - 6 - 3 所示,首先 求出第 一条 边界 上向右 看的 输入波 阻抗。 由 式(8 - 6 - 10),考虑到 l = λ/ 4, k2 l = π/ 2, 得 Zin = Z Z Z2 = Z2 Z2 (8 - 6 - 11) 由式 (8 - 6 - 9) 得 知, 为 了消 除 反射, 必须 要 求 Zin = Z1 ,那么由上式得 Z1 = Z2 Z2 即夹层介质的波阻抗应为 Z = Z1 Z2 (8 - 6 - 12) 图 8 - 6 - 3   1/ 4 波长匹配层 由此例可见, 输入波阻抗的方 法是 一种阻 抗变 换方 法。利用 1/ 4 波 长夹 层 20 2 第八章   平面电磁波 的阻抗变换作用消除了边界反射,达到匹配。输入波阻抗公式(8 - 6 - 10)表明, 输入波阻抗的变化与 正切 函 数的 变化 规律 一 致, 每 当 l 增加 半 个波 长, 其 值 不 变,即厚度为半波长或半波长整数倍的介质夹层没有阻抗变换作用。因此, 若上 例中 Z1 = Z2 ,则中间插入厚度为半波长 介质 层后, 无 论夹层 媒质 的波阻 抗数 值 如何,均不会引起反射。由微波电路的传输线理论得知, 利用 1/ 4 波长的传输线 可以实现阻抗变换。此时既可变更传输 线的 长度 又能保 证匹 配,这些概 念与 上 述的 1/ 4 波长及半波长介质夹层的作 用极 为相 似。当然, 这 种变 换仅在 给定 的 单一频率点完全匹配,因此仅适用于窄带系统。 此外,如果该例中夹层媒质的相对介电 常数等 于相对 磁导 率, 即 εr = μr , 那 么,夹层媒质的波阻抗等于真空的波阻抗。当这种夹层置于空气中, 平面波向其 表面正投射时, 无论夹层的厚度如 何, 反射 现象 均不可 能发 生。换言 之, 这种 媒 质对于电磁波似乎是完全“透明”的。由 此可 见, 若使 用这种 媒质 制成保 护天 线 的天线罩, 其电磁特性十分优越。但 是, 由第 二章 及第五 章获 悉, 普通媒 质的 磁 导率很难与介电常数达到同一数量级。近来研发的新型磁性材料可以接近这种 需求。 8 - 7   任意方向传播的平面波 前几节讨论的平面波,其传 播方 向 为特 殊的 z 方向,这 种 平面 波 可以 表 示 为 E( z) = E e- jkz 0 (8 - 7 - 1) 现在我们讨论如何描述沿任意方向传播的平面波。 设平面波的传 播 方 向 为 es , 则 与 es 垂 直 的 平 面 为 该 平 面 波 的 波 面, 如 图 8 - 7 - 1所 示。 令 坐 标 原 点 至 波 面 的 距 离 为 d,坐标原 点 的电 场强 度为 E0 , 则由 式(8 - 7 - 1) 可以推知,波面上 P0 点的场强应为 E( P0 ) = E e - j kd 0 (8 - 7 - 2) 若令 P 点 为 波 面 上 任一 点, 其 坐标 为 ( x, y, z),则该点的位置矢量 r 为 r = xex + yey + zez (8 - 7 - 3) 令该矢量 r 与 传 播 方 向 es 的 夹 角 为 θ, 则距离 d 可以表示为 图 8 - 7 - 1   任意方向的平面波 d = rcos θ= es·r (8 - 7 - 4) 将式(8 - 7 - 4)代入式(8 - 7 - 2) 中得 8 - 7   任意方向传播的平面波 203 E = E e0 - jkes·r (8 - 7 - 5) 若令 kes = k, 则上式可写为 E= E e- jk·r 0 (8 - 7 - 6) 上式为沿任意方向传播的平面波表达式。这里 k 称 为传播 矢量,其大小 等于 传 播常数 k,其方向为传播方向。 r 为空间任一点的位置矢量。 若传播矢量 k 与坐标轴 x, y, z 的 夹角 分别 为α,β,γ, 则 传 播方 向 es 可 表 示为 es = ex cos α+ ey cos β+ ez cos γ (8 - 7 - 7) 则 k = ex kcos α+ ey kcos β+ ez kcos γ (8 - 7 - 8) 若令 kx = kcos α (8 - 7 - 9a) ky = kcos β (8 - 7 - 9b) kz = kcos γ (8 - 7 - 9c) 那么传播矢量 k 可表示为 k = kx ex + ky ey + kz ez (8 - 7 - 10) 这样,电场强度又可表示为 E = E e0 - j( kx x + kyy + kzz) (8 - 7 - 11) 或者写为 E = E e- jk( xcos α+ ycos β+ zcos γ) 0 (8 - 7 - 12) 式(8 - 7 - 6)、式(8 - 7 - 11) 及式(8 - 7 - 12) 均表示沿任意方向传播的平面 波,式中 α,β及γ分别为传播方向与三个坐标轴的夹角。 由于 cos2 α+ cos2 β+ cos2 γ= 1, 因此, kx , ky , kz 应该满足 k2x + k2y + k2z = k2 (8 - 7 - 13) 可见,三个分量 kx , ky , kz 中只有两个是独立的。 将式(8 - 7 - 6)代入麦克斯韦方程, 且令外源 J′= 0, 媒质的电导率 σ= 0, 读 者可以证明,在无源区中向 k 方向传播的均匀平面波应该满足下列方程 k× H = - ωεE (8 - 7 - 14a) k× E = ωμH (8 - 7 - 14b) k· E = 0 (8 - 7 - 14c) k· H = 0 (8 - 7 - 14d) 此结果充分地表明, 电场与磁场相互 垂直, 而 且两 者又垂 直于 传播方 向, 这些 关 系反映了均匀平面波为 TE M 波的性质。 根据式(8 - 7 - 14),求得复能流密度矢量 Sc 的实部为 20 4 第八章   平面电磁波 R e( Sc ) = Re( E× H * ) = ω1μRe( E × k× E * ) = ω1μRe ( E· E * ) k - ( E·k) E * 由于 E· E * = E 2 0 , E·k = 0, 得 Re( Sc ) = ω1μE20 k = ωμk E 2 0 es = ε μ E 2 0 es 此式表明,传播方向 es 就是能量流动方向。 例   已知真空区域中的平面波为 T E M 波,其电场强度为 E= e + E e + (2 + j5) e e x y0 y - j2 .3( - 0 .6 x + 0.8 y - j0 .06 z) z 式中 Ey0 为常数。试求: ① 是否是均匀平面波 ? (8 - 7 - 15) ② 平面波的频率及波长; ③ 电场的 y 分量 Ey0 ; ④ 平面波的极化特性。 解   已知电场强度为 E = ex + Ey0 ey + (2 + j5) ez e e - j2.3( - 0 .6 x + 0.8 y) - 1.3 8 z 可见,平面波的传播方向位 于 xy 平 面内,其 波面平 行 于 z 轴,如图 8 - 7 - 2 所 示。由于场强振幅与 z 有关,因此,它是一种非均匀平面波。 由上式知, k = 2. 3 0. 62 + 0. 82 = 2. 3, 所以 波长 λ= 2π k = 2. 73 m,频 率 f = v λ = c λ = 11 0 M Hz。 根据 T E M 波 的 特 性, 应 满 足 k· E = 0。 由 此 Ey0 = 0. 75。 因电场强度的 x 分量与 y 分量构成线极化 波,它与相位不同且振幅不等的 z 分量合 成后形 成椭圆极化波。由于( Ex + Ey )分量比 Ez 分量 图 8 - 7 - 2   平面波的求解 的相位滞后,因此合成矢量形成的椭圆极化波是右旋的。 8 - 8   理想介质边界上平面波的斜投射 当平面波向平面边界上以任意角度斜投射时,同样会发生反射与透射现象, 而且通常透射波的方向与入射波不同,其 传播方 向会 发生 弯折,因此,这 种透 射 波称为折射波。入射线、反射线及折射 线与 边界 面法线 之间 的夹 角分别 称为 入 8 - 8   理想介质边界上平面波的斜投射 205 射角 θi 、反射角 θr 及折射角 θt 。入射线、反 射线 及折 射线和 边界 面法线 构成 的 平面分别称为入射面、反射面和折射面, 如图 8 - 8 - 1 所示。 图 8 - 8 - 1   平面波的斜投射 我们可以证明,①入射线、反射线及折射线位于同一平面; ②入 射角 θi 等 于 反射角 θr ;③折射角 θt 与入射角 θi 的关系为 sin sin θi θt = k2 k1 (8 - 8 - 1) 上述三条结论总称为斯耐尔定律,式中 k1 = ω ε1 μ1 , k2 = ω ε2 μ2 。 光学中通常令 k2 k1 = n2 1 (8 - 8 - 2) 则折射角与入射角的关系又可表示为 sin sin θi θt = n2 1 (8 - 8 - 3) 式中 n21 称为第二媒质对于第一媒质的折射指数。 为了证明上 述结 论,建立 直角坐 标系,令 z = 0 平 面为边 界平 面,入 射面 位 于 xz 平面内,显然, 入射线对于 y 轴 的方向 余弦 cos βi = 0, 入射 波的电 场可 以 表示为 E = E e i i 0 - jk1 ( xcos αi + zcos γi) (8 - 8 - 4) 若反射波及折射波分别为 E = E e r r 0 - jk1 ( xcos αr + ycos βr + zcos γr) E = E e t t - jk ( xcos α + ycos β + zcos γ ) 0 2 t t t (8 - 8 - 5) (8 - 8 - 6) 根据 z = 0 边界上电场 切向 分 量必 须连 续的 边界 条 件,第一 媒质 中 合成 电场 的 切向分量必须等于第二媒质中的折射波电场的切向分量,即     E e + E e = t - jk xcos α 0 1 t r - jk ( xcos α + ycos β ) 0 1 r r t E et - jk ( xcos α + ycos β ) 0 2 t t t (8 - 8 - 7) 20 6 第八章   平面电磁波 上述等式对于任意 x 及 y 变量 均 应 成 立,因 此 各 项指 数 中 对 应 的系 数 应 该 相 等,即                     0 = k1 cos βr = k2 cos βt (8 - 8 - 8a) k1 cos αi = k1 cos αr = k2 cos αt (8 - 8 - 8b) 由式(8 - 8 - 8a) 得知,cos βr = cos βt = 0,即 βr = βt = π 2 这就表明,反射线和折射线均位于 xz 平面。 考虑到 αi = π 2 - θi ,αr = π 2 - θr ,αt = π 2 - θt , 由式(8 - 8 - 8b) 得 θi = θr sin sin θi θt = k2 k1 这就证明了前述斯耐尔定律。斯耐尔定律描述的电磁波反射和折射规律获得广 泛应用。例如美军 B2 及 F117 等隐形飞机的底部 均为平 板形状, 致使目 标的 雷 达反射波被反射到前方, 单站雷达 无法 收到回 波, 从而 达到 隐形目 的。因 此, 收 发分开的双站雷达是发现隐形目标的反隐形的有效技术之一。 此外,式(8 - 8 - 8b)表明反射波 及折射 波的 相位 沿边界 的变 化始终 与入 射 波保持一致,因此, 该式又称为相位匹配条件。 斜投射时的反射系数及透射系数 与平 面波 的极化 特性 有关。我 们定 义,电 场方向与入射面平行的平面波称为平行 极化 波,电场 方向与 入射 面垂直 的平 面 波称为垂直极化波,如图 8 - 8 - 2 所示。显然,任意取向的极化平面波总可以分 解为一个平行极化波与一个垂直极化 波的 合成。 根据边 界条 件,读者可 以依 照 前述方法推知,无论平行极化平面波 还是垂 直极 化平 面波在 平面 边界上 被反 射 及折射时,极化特性都不会发生变化, 即反射波及折射波与入射波的极化特性相 同。当然,平行极化波入射后,由于反射 波和 折射 波的传 播方 向偏转,因 此其 极 图 8 - 8 - 2   两种极化波的斜投射 8 - 8   理想介质边界上平面波的斜投射 207 化方向也随之偏转,但是仍然是平 行极化 波。下 面分 别导出 平行 极化波 和垂 直 极化波的反射系数与透射系数。 对于平行极化波,根据边界上电场切向分量必须连续的边界条件, 得 E cos θe i 0 i - jk1 xsin θi - E cos θe r 0 r - jk1 xsin θr = E cos θe t 0 t - jk2 xsin θt 考虑到式(8 - 8 - 8), 上述等式变为 Ei0 cos θi - E r 0 cos θr = Et0 cos θt (8 - 8 - 9) 根据边界上磁场切向分量必须连续的边界条件,类似可得 Ei0 Z1 + Er0 Z1 = Et0 Z2 (8 - 8 - 10) 根据前述边界上反射系数及透射系数的定 义式 (8 - 5 - 5), 由 式(8 - 8 - 9) 及式(8 - 8 - 10) 求得平行极化波投射时的反射系数 R∥ 及透射系数 T∥ 分别为 R∥ = Z1 cos θi - Z1 cos θi + Z2 cos θt Z2 cos θt (8 - 8 - 11a) T∥ = 2 Z2 cos θi Z1 cos θi + Z2 cos θt (8 - 8 - 11b) 读者可证,平行极化波的反射系数与透射系数的关系为 T∥ = (1 + R∥ ) Z2 Z1 (8 - 8 - 12) 对于垂直极化波,根据边界条件可得 Et0 + E r 0 = E t 0    - Ei0 Z1 cos θi + Er0 Z1 cos θr = - Et0 Z2 cos θt 由此求得垂直极化波的反射系数 R⊥ 及透射系数 T⊥ 分别为 R⊥ = Z2 cos θi - Z2 cos θi + Z1 cos θt Z1 cos θt (8 - 8 - 13a) T⊥ = 2 Z2 cos θi Z2 cos θi + Z1 cos θt (8 - 8 - 13b) 读者可证,垂直极化波的反射系数 R⊥ 及透射系数 T⊥ 的关系为 T⊥ = 1 + R⊥ (8 - 8 - 14) 当入射角 θi →0 时,上述情况变为正投射, 那么由式 (8 - 8 - 11a) 及式 (8 - 8 - 13a)得知, R∥ = - R⊥ 。此外, 一种值得注意的情况是, 当入射角 θi →π/ 2 时, 这种情况称为斜滑投射。由式(8 - 8 - 11) 及式(8 - 8 - 13) 知,此时, 无论何种极 化以及媒质特性如何,反射系数 R∥ = R⊥ → - 1, 透射系 数 T∥ = T⊥ → 0。这 就 表明,入射波全被反射,且反射波同入 射波 大小 相等,但相 位恰 好相反。 也就 是 说,向任何边界上斜滑投射时,各种极化特性平面波的反射系数均为 - 1。因此, 20 8 第八章   平面电磁波 当我们十分倾斜地观察任何物体表面时,由 于各 种极 化方向 的反 射光波 的相 位 相同,彼此相加,使得物体表面显得比 较明 亮。此 外,这种现 象也 是地面 雷达 存 在低空盲区的原因。因为当地面雷达指 向低 空目 标时,到达 目标 的直接 波与 地 面反射波的空间相位几乎一致。但是由 于地 面反 射波处 于斜 滑投射 方向,其 反 射系数为 - 1, 导致地面反射波与直接波等值反相,合成波大大削弱。因此, 地面 雷达无法发现低空目标。 最后,应该注意本节 定义 的 平面 波 的 极化 取 向与 电 波传 播 工程 书 籍 不同。 在研究地面上空电波传播特性时,通 常将极 化方 向与 地面平 行的 电磁波 称为 水 平极化波,而将极化方向几乎与地面垂直的电磁波称为铅垂极化波。 8 - 9   无反射与全反射 由 上 节 分 析 得 知,斜 投 射 时 反 射 系 数 及 透 射 系 数 与 平 面 波 的 极 化 特 性 、入 射 角度及媒质特性有关,本节详细讨论反射系数及透射系数的变化规律。 考虑到大多数实际媒质的磁导率相同,即 μ1 = μ2 , 则 Z1 Z2 = μ1/ ε1 = μ2/ ε2 ε2 ε1 sin sin θi θt = k2 k1 =ω ω ε2 μ2 = ε1 μ1 ε2 ε1 cos θt = 1 - sin2 θt = 1 - ε1 ε2 sin2 θi 将这些结果代入前述反射系数及透射系数公式,得 R∥ = (ε2/ ε1 )cos θi - (ε2/ ε1 )cos θi + (ε2/ ε1 ) - sin2 θi (ε2/ ε1 ) - sin2 θi (8 - 9 - 1a) T∥ = 2 (ε2/ ε1 )cos θi (ε2/ ε1 )cos θi + (ε2/ ε1 ) - sin2 θi (8 - 9 - 1b) 及 R⊥ = cos θi - cos θi + (ε2/ ε1 ) - sin2 θi (ε2/ ε1 ) - sin2 θi T⊥ = cos θi + 2cos θi (ε2/ ε1 ) - sin2 θi (8 - 9 - 2a) (8 - 9 - 2b) 8 - 9   无反射与全反射 209 由式(8 - 9 - 1a) 可见,若入射角 θi 满足下列关系 ε2 ε1 cos θi = ε2 ε1 - sin2 θi ,   ε2 ε1 > sin θi (8 - 9 - 3) 则平行极化波的反射系数 R∥ = 0。这表明入射波全部 进入第 二媒质,而反射 波 消失,这种现象称为无反射。发生无反 射时的 入射 角称 为布 鲁斯特 角, 以 θB 表 示。那么,由式(8 - 9 - 3) 得 θB = arcsin ε2 ε1 + ε2 ,   ε2 ε1 > sin θi (8 - 9 - 4) 显然, 由此 可见, 布 鲁斯 特角不 可能 等于 π/ 4, 因 为只 有当 ε1 = ε2 时, 才 可 能 θB = π/ 4 。 上述讨论表明,平行极化波会发生无反射现象,对于垂直极化波,由式(8 - 9 - 2a)可见, 只 有当 ε1 = ε2 时, 反射系 数 R⊥ = 0, 因此, 垂 直极 化波 不可 能发 生 无反射。已知任意极化的平面波总可以分解为一个平行极化波与一个垂直极化 波之和, 当一个无固定极化方向的光 波, 或者 说一 束无偏 振光, 若 以布鲁 斯特 角 向边界斜投射时, 由于平行极化波不 会被 反射, 因 此, 反射波 中只 剩下垂 直极 化 波。光学工程中通常采用这种方法获得具有一定极化特性的偏振光。 由式(8 - 9 - 1a) 及式(8 - 9 - 2a) 可见,若入射角 θi 满足 sin2 θi = ε2 ε1 (8 - 9 - 5) 则无论何种极化, R∥ = R⊥ = 1,这种现 象称为 全反射。 根据 斯耐尔 定律 式(8 - 8 - 1)得知, 当入射角 θi 满足式(8 - 9 - 5)时, 折射角已增至π/ 2,因此, 当入射角 θi 大于发生全反射的角度时,全反射现 象继续 存在。 开始发 生全 反射时 的入 射 角称为临界角,以 θc 表示, 由式(8 - 9 - 5)求得 θc = arcsin ε2 ε1 (8 - 9 - 6) 由此可见,因函数 sin θc < 1, 故只有当 ε1 > ε2 时才 可能 发生全 反射 现象。也 就 是说,只有当平面波由介电常数较大 的光密 媒质 进入 介质常 数较 小的光 疏媒 质 时,才可能发生全反射现象。 值得讨论的是,发生全反射时的折射波 特性。由 式 (8 - 8 - 6)知, 折 射波 可 以表示为 又知 E = E e t t - j k ( xsin θ + zcos θ ) 0 2 t t sin θt = ε1 ε2 sin θi cos θt = ± 1 - ε1 ε2 sin2 θi 21 0 第八章   平面电磁波 代入上式,得 E = E e e t t 0 - j k2 x ε1/ ε2 sin θi ê j k2 z 1 - ( ε1/ ε2 )sin2 θi (8 - 9 - 7) 可见,当 θi < θc 时,因(ε1/ ε2 )sin2 θi = sin2 θi sin2 θc < 1, 所以 式(8 - 9 - 7) 中第 二 指数应取负指数,以保证折射波的传播方向偏向正 z 方向,即 E = E e e t t 0 - j k2 x ε1/ ε2 sin θi - j k2 z 1 - ( ε1/ ε2 )sin2 θi (8 - 9 - 8) 当 θi = θc 时,(ε1/ ε2 )sin2 θi = 1,式 (8 - 9 - 7)中第二个指数为 1, 则折射波为 E = E e = E e t t 0 - jk2 x ε1/ ε2sin θi t 0 - jk2 x (8 - 9 - 9) 可见,折射波为沿 正 x 方 向 传 播 的 波, 这 一 结 果 也 是 预 料 之 中, 因 θi = θc 时, θt = π 2, 所以折射波的传播方向为正 x 方向。 当 θi > θc 时,(ε1/ ε2 )sin2 θi > 1,式 (8 - 9 - 7)中第二指数中的根号因子为虚 数,即 代入式(8 - 9 - 7)中, 得 1 - ε1 ε2 sin2 θi = j ε1 ε2 sin2 θi - 1 E = E e e t t 0 - j k2 x ε1/ ε2 sin θi ± k2 z ( ε1/ ε2)sin2 θi - 1 显然, 式中第二个指数应 取 负指 数, 否 则 当 z → ∞ 时, Et → ∞。 因此, 当入 射 角 θi > θc 时, 折射波为 Et = E e t 0 - k2 z 2 e (ε1/ ε2)sin θi - 1 - j k2 x ε1/ ε2 sin θi (8 - 9 - 10) 此式 表明, 折射 波沿 正 x 方向 传播, 但 其 振幅 沿正 z 方向 按指 数规 律 衰减, 因 此,折射波是向正 x 方向传播的非均匀平面波,如图 8 - 9 - 1 所示。 由于此时能量主 要集中 在边 界表 面 附 近,这种 非 均 匀 平 面 波 称 为 表 面 波。 由 式 (8 - 9 - 1 0) 可 见 , 比 值 ε1 ε2 愈 大或 入 射 角 θi 愈大,振幅 沿 正 z 方 向 衰 减 愈快。 有 一 种 光导纤维即是 由两 种介 电常数 不同 的介 质 层形成的,其 内 部 芯 线 的 介 电 常 数 大 于 外 层介电常数。当光束 以大 于临 界角的 入 射 角度自芯 线内 部 向 边 界 投 射 时, 即 可 发 生 图 8 - 9 - 1   全反射 全反射,光波局限在芯线内部传播, 这就是光导纤维的导波原理。由于光导纤维 的介质外层表面存在表面波, 因此, 必须 加装 金属 外壳给 予电 磁屏蔽, 这 就形 成 光缆。 上述结果表明, 即使发生全反射 时, 折射 波仍 然存在, 但 是折 射波的 传播 方 8 - 9   无反射与全反射 211 向沿着边界。因此, 发生全反射后, 没有 能量 再越 过边界, 折 射波 的能量 只能 理 解为是在建立场的过程中越过边界的。 应注意, 上述全部结论均在 μ1 = μ2 的前 提下 成 立。若 μ1 ≠μ2 ,ε1 = ε2 或 者 μ1 ≠μ2 ,ε1 ≠ε2 时, 虽 然也 会发生 全反 射及 无反射 现象, 但 布鲁 斯特 角及 临 界角的数值 不同, 且当 μ1 ≠μ2 ,ε1 = ε2 时, 只 有垂 直极化 波才 会发 生无 反射 现 象。当 μ1 ≠μ2 ,ε1 ≠ε2 时, 两 种极 化波 均会 发 生无 反射 现象, 读者 可 以自 己 证 明这些结论。 例   设 z > 0 区域中理想介质参数为 εr1 = 4,μr1 = 1; z < 0 区域 中理想介 质 的参数为 εr2 = 9,μr2 = 1。若入射波的电场强度为 E = ( ex + ey + ez 3)e- j6 ( 3 y - z) 试求: ① 平面波的频率; ② 反射角与折射角; ③ 反射波与折射波。 解   根据题意,两种媒 质在坐标 中所处 的 位置如图 8 - 9 - 2 所示,入射波的传播 方向如 图所示。入 射 波 可以 分 解为 垂 直 极化 波 与 平 行极化波两部分之和,即 Ei = Ei∥ + Ei⊥ 其中 E = e e i - j6 ( 3 y - z) ⊥ x Ei∥ = ( ey + ez 3 )e- j6( 3 y - z) 图 8 - 9 - 2   任意极化 平面波的斜投射 已知 k1 ( ysin θi - zcos θi ) = 6( 3 y - z)得 k1 = 12 f= k = 287 M Hz 2π μ1 ε1 sin θi = 3 2 θi = 60°= θr 由ssiinn θi θt = k2 k1 = 3 2 求得 sin θt = 1 3 θt = 35.3°, k2 = 18 R ⊥ = cos θi - cos θi + (ε2/ ε1 ) - sin2 θi = - 0. 420 (ε2/ ε1 ) - sin2 θi 21 2 第八章   平面电磁波 T⊥ = cos θi + 2cos θi = 0. 580 (ε2/ ε1 ) - sin2 θi R∥ = (ε2/ ε1 )cos θi - (ε2/ ε1 )cos θi + (ε2/ ε1 ) - sin2 θi = 0. 042 5 (ε2/ ε1 ) - sin2 θi T∥ = 2 (ε2/ ε1 )cos θi = 0. 638 (ε2/ ε1 )cos θi + (ε2/ ε1 ) - sin2 θi 因此,反射波的电场强度为 Er = E r ⊥ + Er∥ , 其中 E r ⊥ = - 0. 420 ex e- j6( 3 y + z) E r ∥ = 0. 04 2 5( - ey + ez 3 )e- j6( 3 y + z) 折射波的电场强度为 Et = Et⊥ + E t ∥ , 其 中 E t ⊥ = 0. 580 ex e - j18 y- z 3 2 3 E t ∥ = 0. 638 ey 8 3 + ez 4 e- j1 8 y 2 -z 3 3 3 注意,上述计算中应特别注意反射波 及折射 波的 传播 方向及 其电 场方向 的变 化 情况。 * 8 - 10   导电媒质表面上平面波的斜投射 我们已讨论了理想介质边界上平面 波的 斜投 射情况,实 际媒 质总具 有一 定 的电导率,完全理想介质是不存在的。为简单起见, 现假设第一种媒质为理想介 质,第二种媒质为导电媒质, 即 σ1 = 0,σ2 ≠ 0, 甚 至 σ2 很大。 实际 中, 空 气与 地 面的边界就属于这种情况。为了计算这 种边 界上 的反射 系数 及透射 系数,对 于 第二媒质可引入等效介电常数。即令 ε2 - j σ2 ω = εe2 , 则第二媒质的波阻抗为 Zc2 = μ2 ε2 - j σ2 ω (8 - 10 - 1) 将式(8 - 8 - 11) 及式(8 - 8 - 13) 中的 Z2 换 为 Zc2 , 即可用 来计算导 电媒质边 界 上的反射系数及透射系数。因 Zc2 为复数, 此时反 射系数 及透 射系 数均为 复数, 无反射及全反射现象将不会发生。值得 详细 讨论 的是在 这种 情况下,导 电媒 质 中的折射波的传播特性。 已知 σ2 ≠ 0,第二媒质的传播常数为复数, 即 kc2 = k′2 - jk″2 * 8 - 10   导电媒质表面上平面波的斜投射 213 式中 k′2 及 k″2 由式(8 - 3 - 9)决定。将 kc2 代入斯耐尔折射定律式(8 - 8 - 1), 得 sin sin θi θt = k′2 - jk″2 k1 由于 sin θi 一定是实数,因此,sin θt 应为复数,由上式整理后得 sin θt = k1 k′2sin θi ( k′2 )2 + ( k″2 )2 + j ( k1 k″2 sin k′2 )2 + ( θi k″2 )2 若令   a= ( k1 k′2 k′2 )2 + ( k″2 )2 ;   b= k1 k″2 ( k′2 )2 + ( k″2 )2 (8 - 10 - 2) 则式(8 - 10 - 2) 可写为 sin θt = ( a + jb)sin θi (8 - 10 - 3) 再令                 cos θt = 1 - sin2 θt = Aej       = A(cos + jsin ) (8 - 10 - 4) 已知折射波为 E = E e = E e t t - jk ( xsin θ + zcos θ ) 0 c2 t t t - j( k′- jk″)( xsin θ + zcos θ ) 0 22 t t 将式(8 - 10 - 3) 及(8 - 10 - 4) 代入上式,整理后得             Et = E e e t 0 - ξz - j( xk1 sin θt + zη) 式中         ξ= A k″2cos - k′2sin (8 - 10 - 5) (8 - 10 - 6a)             η= A k″2 sin + k′2 cos (8 - 10 - 6b) 由式(8 - 10 - 5)可见,导 电媒 质中的 折射 波振 幅沿正 z 方向逐 渐衰 减,而 相位变化与 x 及 z 有关。根据波面方程 xk1 sin θi + zη= 常数 读者可以求出折射波的传播方向与 z 轴的夹角θ′t的正弦为 sin θ′t = k1 sin θi ( k1 sin θi )2 + η2 (8 - 10 - 7) 上述情况如图 8 - 10 - 1 所示。由图可见,导电媒质中折射波的等幅面与波 图 8 - 10 - 1   导电边界上的斜投射 21 4 第八章   平面电磁波 面是不一致的,因此, 折射波是一种非均匀平面波。 式(8 - 10 - 7) 可以改写为 sin sin θθ′it = sin2 θi + η2 k1 此式称为修正折射定律。 如果第二媒质为良导体,即 σ2 m ωε2 ,则 (8 - 10 - 8) k′2 = k″2 ≈ πfμ2 σ2 = 由式(8 - 10 - 4) 及式(8 - 10 - 6) 可得 ξ2 = 1 2 ( k′2 )2 - ( k″2 )2 - k21 sin2 θi ωμ2 σ2 2 (8 - 10 - 9)   + (2 k2′k″2 )2 + ( k′2 )2 - ( k″2 )2 - k21 sin2 θi 2 η2 = 1 2 - ( k′2 )2 + ( k″2 )2 + k21 sin2 θi               (8 - 10 - 10a)   + (2 k2′k″2 )2 + ( k′2 )2 - ( k″2 )2 - k21 sin2 θi 2               (8 - 10 - 10b) 考虑到式(8 - 10 - 9),则式(8 - 10 - 10) 可以简化为 ξ2 = ω2 μ1 ε1 2 μ2 σ2 ωμ1 ε1 2 + sin4 θi - sin2 θi                 (8 - 10 - 11a) η2 = ω2 μ1 ε1 2 μ2 σ2 ωμ1 ε1 2 + sin4 θi + sin2 θi                 (8 - 10 - 11b) 又因 σ2 m ωε2 , 上式可进一步简化为 ξ≈η≈ ωμ2 σ2 2 (8 - 10 - 12) 由式(8 - 10 - 8) 求得 sin θ′t≈ ηk1 sin θi≈ 0 由此可见, 平面波在良导体边界上发 生折 射以后, 无论入 射角 如何, 折射 波的 方 向几乎垂直于边界。所以,当平面 波由空 气向 海面投 射时,若 对于 给定的 频率, 海水可当作良导体,那么,无论入射角如 何,进入 海水 中的折 射波 几乎全 部垂 直 向下传播。例如, 当频率为 30 M H z 的 平面 波自 空气 向海 水 投射 时, 已知 σ= 4 S m, μ= μ0 ,ε= 81ε0 , 因 σm ωε,可以当作良导体, 由式(8 - 10 - 8) 得 sin θ′t ≈ ηk0 sin θi = 0. 028 7sin θi 可见,即使 θi = π 2, 则 θt′= 1. 6°, 折射波几乎垂 直向 下进入 海水。 因此, 在潜 艇 8 - 11   理想导体表面上平面波的斜投射 215 通信中,为了有效地接收由海面进入海水中的电磁波, 接收天线的最强接收方向 应指向上方。 上面仅讨论了两种媒质边界上的斜 投射,至 于多 层媒质 边界 上的斜 投射 的 求解方法可参阅文献[14,15,24] 。 8 - 11   理想导体表面上平面波的斜投射 现假定第一种媒质为理想 介 质, 第二 种媒 质 为理 想导 电体, 即 σ1 = 0,σ2 = ∞,因此第二种媒质的波阻抗 Zc2 → 0,那么由式 (8 - 8 - 11)及式 (8 - 8 - 13)得 R ∥ = 1, R⊥ = - 1 此结果表明, 当平面波向理想导体表 面斜 投射时, 无论入 射角 如何, 均会 发生 全 反射。其实,这也是预料中的结果。因为我们早已获知, 电磁波无法进入理想导 体内部,入射波必然被全部反射。应 注意这 种全 反射 现象不 同于 理想介 质边 界 上发生的全反射。后者发生全反射时,第二种媒质中仍然存在表面波传播。 上述平行极化波的反射系数与垂直 极化 波的 反射系 数符 号不同,读 者可 以 自行推知。 现在详细分析一下理想介质中的场分布。由于理想介质中的合成场是由入 射波和反射波叠加形成的, 但是反射 系数 与平面 波的 极化 特性有 关, 因此, 这 种 场分布也与平面波的极化特性有关。对 于平 行极 化波,上半 空间 的合成 电场 的 x 分量由图 8 - 8 - 2(a)得知, E = E cos θe - E cos θe i x 0 - jk ( xsin θ + zcos θ ) r i 1 i i 0 - jk ( xsin θ - zcos θ ) i 1 i i 考虑到 R∥ = 1, Er0 = Ei0 , 再利用 sin x = (ej x - e- j x ) 2j,上式变为 Ex = - 2j Ei0 cos θi sin( k1 zcos θi )e- jk 1 xsin θ i (8 - 11 - 1) 同理可得合成电场的 z 分量及合成磁场分别为     Ez = - 2 Ei0 sin θi cos ( k1 zcos θi )e- jk1 xsin θi (8 - 11 - 2) Hy =2 Ei0 Z1 cos ( k1 zcos θi )e- jk1 xsin θi (8 - 11 - 3) 由此可见,合成波的相位随 x 变化,而振幅与 z 有关,因此合成波为向正 x 方向 传播的非均匀平面波。由于在传播方向上存 在电场 Ex 分量,合成波 是非 T E M 波,这种仅仅磁场强度垂直于传播方向的电磁波称为横磁波或 T M 波。 上述结 果 表明, 当 k1 zcos θi = - nπ( n = 0,1,2, …) 时, 即 z = - nλ1 2cos θi , 则 Ex = 0,而 Ez 及 Hy 振幅最大; 当 k1 zcos θi = - (2 n + 1)π 2   ( n = 0,1,2, …)时, 即 z = - (2 n + 1)λ1 4cos θi ,则 Ez = Hy = 0, 而 Ex 振幅最大。 21 6 第八章   平面电磁波 图 8 - 11 - 1 给出了合成电场的 Ex 分量的分布。由图可见,在 z 方向上 形 成驻波,沿 x 方向上构成行 波。根 据能 流密 度矢 量 也可 证明 这种 分布 特 性,合 成波的复能流密度矢量为 Sc = E× H * = ( ex Ex + ez Ez )× ey H * y = ez Ex H * y - ex Ez H * y 将前面导出的场强公式代入,得     Re( Sc ) = ex 4 ( Ei0 Z1 )2 sin θi cos2 ( k1 zcos θi ) (8 - 11 - 4a)     Im ( Sc ) = - ez 4 ( Ei0 )2 Z1 cos θisin( k1 zcos θi) 图 8 - 11 - 1   理想导体表 面 上的 场 分 布 cos ( k1 zcos θi ) (8 - 11 - 4b) 可见,复能流密度矢量的实部为 x 方向,而虚部为 z 方向。这样,在 x 方向上存 在单向的能量流动, 而在 z 方向 上只 有电磁 能量 的相 互交 换。因 此, 在 x 方 向 上为行波,在 z 方向上为驻波。 根据上述合成场的分布特 性可知, 如 果在 z = - nλ1 2cos θi 处 放置 一块 无 限大的理想导电平面,由于此处 Ex = 0, 显然, 这 个理 想导电 平面 不会破 坏原 来 的场分布,这就 意 味 着在 两 块 相 互 平行 的 无 限 大 理想 导 电 平 面 之 间 可 以 存 在 T M 波的传播。 对于垂直极化波,同样可以求得上半空间合成场的各个分量为    Ey = - j2 Ei0 sin( k1 zcos θ)e i - jk1 xsin θi Hx = -2 Ei0 Z1 cos θi cos( k1 zcos θi )e- jk1 xsin θi   Hz = - j2 Ei0 Z1 sin θi sin( k1 zcos θi )e- jk1 xsin θi (8 - 11 - 5a) (8 - 11 - 5b) (8 - 11 - 5c) 此结果表明,合成场同样构成向 x 方向传播的非 均匀平 面波。但是 电场强度 垂 直于传播方向, 因此, 这 种 合成 场 称为 横 电 波 或 T E 波。此 外, 由 上 式可 见, Ey 及 Hz 分 量的 振幅 沿 z 方向 按正 弦函 数 分布,而 Hx 的 振幅 沿 z 方向 按余 弦 分 布。因此, 如果在 z = - nλ1/ 2cos θi 处 放置 一 块无 限 大 的理 想 导电 平 面, 由 于 Ey = 0,该导电平面不会破坏原来的场 分布。这就表 明,在两块相 互平行 的无 限 大的理想导电平面之间可 以传 播 T E 波。更 有意 义 的是, 如 果再 放 置两 块理 想 导电平面垂直于 y 轴,由于电 场分量 Ey 与该 表面 垂 直,因此 也符 合 边界 条件。 这样,在 4 块理想导电平板形成的矩形空心金属管中可 以存在 T E 波,这种矩 形 * 8 - 12   等离子体中的平面波 217 金属管就是下一章将要介绍的矩形波 导。我 们将 会看到,矩 形或 圆形金 属波 导 可以传输,而且只能 传输 T E 波 或 T M 波,它 们不可能传输 TE M 波。 例   当 垂 直 极 化 的 平 面 波 以 θi 角 度 由 空气 向无 限大 的理 想导 电 平面 投射 时,若 入 射波电场振幅为 Ei0 ,试求 理想导电 平面上 的 表面电流密度及空气中的 能流密度的平 均 值。 解   令理想导电平面为 z = 0 平面,如图 图 8 - 11 - 2   理想导电边界的斜入射 8 - 11 - 2 所示。由 式(8 - 11 - 5) 知, 表面 电 流 JS 为 JS = en × H = - ez × H x | z = 0 = ey 2 Ei0 Z0 cos θi e - jk1 x sin θi 能流密度的平均值 Sav = Re( Sc ) = Re( E × H * ) = Re Ey ×( H * x + H * z ) 将场量公式(8 - 11 - 5) 代入,得 Sav = ( ex 4 Ei0 )2 Z0 sin θisin2 ( k1 zcos θi ) * 8 - 12   等离子体中的平面波 等离子体是一种电离气体,它由带负电的电子, 带正电的离子以及中性分子 组成, 由于电子与离子 数目 相 等, 因此 称为 等 离子 体。位 于地 球上 空 60 k m 直 至 2 000 k m 里处的电离层就是这种等 离子体。 电离 层是上 空稀 薄气体 在太 阳 的紫外线作用下形成的。在太阳紫外线的作用下,气体分子发生电离, 分裂为带 负电的电子和带正电的离子。由于热运 动的 存在,电 子与离 子又 不断地 复合 为 中性分子。最后电离与复合达到动态平 衡时,使 得电 离层具 有一 定数量 的电 子 和相等数量的离子,从而形成等 离子体。 自然 界中等 离子 体很 多,除了电 离层, 还 有 太 阳 、流 星 余 迹 、火 箭 喷 出 的 废 气 、电 弧 以 及 燃 烧 的 火 焰 等 也 都 是 等 离 子 体 。 这种等离子体在恒定磁场作用下,显示电各向异性的特点, 即其介电常数通 常可能多至九个分量。因此,在地球磁场的影响下, 位于地球上空的电离层具有 电各向异性的特点。本节首先通过电 磁场与 电离 层之间 相互 作用 的物理 过程, 求出电离层的等效介电常数,然后, 再讨论平面波在这种电各向异性媒质中的传 播特性。 为了简化分析起见, 假定 外 加的 时 变电 磁 场很 弱, 电 离 层 可以 当 做线 性 媒 21 8 第八章   平面电磁波 质。若略去电子与离子之间的碰撞损耗,这样, 电离层可以作为在真空中充满电 子及离子的理想介质。 设地球的恒定磁场为 B0 , 时变磁 场为 B( t), 若 B ( t) n B0 , 仅 需考 虑恒 定 磁场 B0 及时变电场 E( t) 对于电 离层 的作 用。又 因离 子的 质量 远 大于 电子 的 质量,仅需计及电子形成的运流 电流。下 面首 先计 算电子 的运 动速度。 在恒 定 磁场 B0 及时变电场 E ( t)的作用下,电子的运动方程为 m d v ( t) dt = q[ E ( t) + v ( t) × B0 ] (8 - 12 - 1) 式中 m 为 电 子 质 量, m = 0. 910 938 97 × 10 - 30 kg; q 为 电 子 电 荷 量, q = 1. 602 177 33× 10 - 19 C。对于正弦电磁场,上述方程以复数形式表示为 jωm v = - q( E + v × B0 ) (8 - 12 - 2) 在直角坐标系中,设地球磁场 B0 = ez B0 ,则上式可表示为 vx Ex vy = q m ω= Ey vz Ez (8 - 12 - 3) 式中 ω= = - ω2 jω( ω2 - ω20 ) ω0 ω2 - ω20 0 - ω0 ω2 - ω20 - ω2 jω(ω2 - ω20 ) 0 0 0 - 1 jω (8 - 12 - 4) ω= 为二阶张量。这里 ω0 = q B0 m ,称 为 旋磁 频 率 。 设单位体积中的电子数为 N, 则电子形成的运流电流密度 Je 为 Je = - Nqv = N q2 m ω=· E (8 - 12 - 5) 代入麦克斯韦第一方程,得 ×H = Je + jωε0 E = jω Je jω + ε0 E = jω( - jωN qm2ω=· E + ε0 E) 或写成 × H = jω(ε= 0 - jωN qm2 ω= )·E 式中ε= 0 为对角矩阵, 即 (8 - 12 - 6) (8 - 12 - 7) * 8 - 12   等离子体中的平面波 219 ε0   0   0 ε=0 = 0   ε0   0 (8 - 12 - 8) 0   0   ε0 令 ε= = ε=0 - jωN qm2 ω= (8 - 12 - 9) 二阶张量ε= 称为电离层的等效介电常数。将上式展开,ε= 可以表示为 ε1 1   ε12   0 ε= = ε2 1   ε22   0 (8 - 12 - 10) 0   0   ε33 式中 ε11 = ε0 - ω2p ε0 ω2 - ω20 ,ε12 = - jω2p ω0 ε0 ω(ω2 - ω20 ) 这里 ε21 = - ε12 ,ε22 = ε1 1 ,ε33 = ε0 - ω2p ε0 ω2 ωp = N ε0 q2 m (8 - 12 - 11) 等效介电常数的表示式(8 - 12 - 10) 的矩 阵 结构 是在 B0 = B0 ez 假 定下 推 出的。若 B0 方向改变, 则其矩阵结构也将发生变 化, 可见等效 介电常数 与恒 定 磁场 B0 的方向有关。 引入等效介电常数以后,式(8 - 12 - 7)可以表示为 × H = jωε=· E (8 - 12 - 12) 已知 × E = - jωμH, 对此式两边取旋度,再将式 (8 - 12 - 12)代入,得 × × E - ω2 με=· E = 0 (8 - 12 - 13) 此式为电离层中的平面波应该满足的波动方程。 设电离层 中 平 面 波 的 传 播 方 向位 于 xz 平 面 内,且与 z 轴的夹角为θ, 如图 8 - 12 - 1 所示。 其电场强度可表示为 E = E e - j k( xsin θ+ zcos θ) 0 (8 - 12 - 14) 则该平面波应该满足波动方程式(8 - 12 - 13)。若 令恒定磁场 B0 = ez B0 , 式(8 - 12 - 13) 中的 ε= 由式 (8 - 12 - 10)确定。 将式(8 - 12 - 14)代入式(8 - 12 - 13)中, 经过 一系列演算,得 图 8 - 12 - 1   电离层中的平面波 22 0 第八章   平面电磁波 a11   a12   a1 3 Ex a21   a22   a2 3 Ey = 0 (8 - 12 - 15) a31   a32   a3 3 Ez 式中 a1 1 = 1 - ω2p ω2 - ω20 - n2 cos2 θ; a1 2 = - j ω( ω2p ω2 ω0 - ω20 ) ;    a1 3 = n2 cos θsin θ; a21 = - a1 2 ; a2 2 = 1 - ω2p ω2 - ω20 - n2 ; (8 - 12 - 16) a3 2 = a23 = 0; a31 = n2 cos θsin θ; a3 3 =1- ω2p ω2 - n2 sin2 θ 式中 n= k k0 , k0 为真空的传播常数, k 为待求的电离层传播常数。 由(8 - 12 - 15)可见, 只有当此行列式的值为零时,该方程才有解, 因此得 A n4 - B n2 + C = 0 (8 - 12 - 17) 式中 A = (1 - ω2p ω2 - ω20 )sin θ+ (1 - ω2p ω2 )cos2 θ B = (1 - ω2p ω2 + ω20 )( 1 - ω2p ω(ω- ω0 ))sin2 θ+     (1 - ω2p ω2 ) (1 - ω2p ω2 - ω20 )( 1 + cos2 θ) C = (1 - ω2p ω2 )( 1 - ω2p ω(ω+ ω0 ) )( 1 - ω2p ω(ω - ω0 )) 方程式(8 - 12 - 17)的解为 n2 1 ,2 = B± B2 - 4 A C 2A (8 - 12 - 18) 将 A 、B 、C 的数值代入, 最后求得         n2 1 ,2 =1 - ω2p/ ω2 1 - ω20 sin2 θ 2(ω2 - ω2p ) ± ω20 sin2 θ 4(ω2 - ω2p ) + ω20 ω2 cos2 θ (8 - 12 - 19) 此式表明, 当平面波进入电离层以后, 由 于地 磁的 影响, 电离 层具 有两个 不同 的 传播常数, 导致平面波分裂为两个部 分, 形成 沿两 条不同 路径 传播的 折射 波, 这 种现象称为双折射现象。两种折射系数的数值,不仅与地磁 B0 、电子 密度 N 有 关,同时与平面波的传 播方 向 θ也有 关。进 一步 分析 表 明,平 面波 的 极化 方 向   * 8 - 13   铁氧体中的平面波   221 也会发生偏转。这些现象都是依靠电离 层反 射波 的地面 短波 通讯、穿过 电离 层 的卫星通信以及全球卫星导航系统所 必须 考虑 的问题。 尤其 在短波 通信 中,来 自不同路径的两个电离层波束相遇后还会引起信号严重衰落。   * 8 - 13   铁氧体中的平面波   铁氧体是一种 磁 性 材 料, 其 磁 导 率 很 高, 但 电 导 率 很 低, 介 电 常 数 大 约 在 2~35之间。这种铁氧体在外加恒定磁场作用下, 显示磁各向异性。铁氧体的磁 性能主要决定于内部存在的自旋电子,令自旋电 子的磁矩 为 m ,角 动量为 L,因 电子带负电荷, m 与 L 的方向相反,且 m = - γL (8 - 13 - 1) 式中 γ为旋磁比,近似地可认为 γ= q m ,这里 q 为电子电荷量, m 为电子质量, q 及 m 数值见前节。 在外加时变磁场 B( t)的作用下,自旋电子产生的转矩 T 为 T = m× B (8 - 13 - 2) 已知一个旋转体的转矩 T 与角动量 L 的关系为 dL dt = T (8 - 13 - 3) 将式(8 - 13 - 1) 两边对时间 t 微分,同时考虑到式 (8 - 13 - 2)及式 (8 - 13 - 3), 得 dm dt = - γ( m× B) (8 - 13 - 4) 若单位体积中的自旋电子数 为 N , 磁 化强 度 M = N m , 则 由式 (8 - 13 - 4) 可知,磁化强度 M 应该满足的方程为             d d M t = - γ( M × B) = - γ[ M ×μ0 ( H + M )] = - γμ0 ( M × H ) (8 - 13 - 5) 若此时外加的恒定磁场 强度 H 0 = ez H 0 , 且 其 大小 足以 使 铁氧 体 达到 饱 和 磁化,相应的饱和磁化强度为 M 0 = M 0 ez , 则铁氧体在恒定磁场 H 0 及时变磁 场 H ( t)的共同作用下, 总磁化强度 M T 为 M T = M 0 + M ( t) (8 - 13 - 6) 将 此 式 代 入 式(8 - 13 - 5) 中, 且 考 虑 到 d M0 dt = 0,得 d M ( t) dt = γμ0 [ M0 + M ( t)]×[ H0 + H ( t)] 22 2 第八章   平面电磁波 若 H ( t)n H 0 , 因而 M ( t)n M 0 ,则 M ( t)× H ( t) ≈0, 上式可简化为 d M ( t) dt = γμ0 [ M0× H0 + M ( t)× H 0 + M0 × H] (8 - 13 - 7) 对于正弦电磁场,上式以复矢量形式表示为 jωM = γμ0 [ M 0 × H 0 + M × H0 + M 0 × H ] (8 - 13 - 8) 将上式在直角坐标系中展开,得 Mx = ω0 ωm ω20 - ω2 Hx + j ωωm ω20 - ω2 Hy (8 - 13 - 9a) My = - j ωωm ω20 - ω2 Hx + ω0 ωm ω20 - ω2 Hy (8 - 13 - 9b) Mz = 0 (8 - 13 - 9c) 式中 ω0 = mqμ0 H 0 ,     ωm = mqμ0 M 0 已知磁感应强度 B = μ0 ( H + M ),那么由式(8 - 13 - 9)求得 B = μ=· H (8 - 13 - 10) 式中 μ= 为二阶张量, 这里 μ11   μ12   0 μ= = μ21   μ22   0 0     0   μ33 (8 - 13 - 11) μ11 = μ0 + μ0 ω0 ω20 - ωm ω2 ,μ12 = j μ0 ω20 ωωm - ω2 μ21 = - μ12 ,μ2 2 = μ1 1 ,μ33 = μ0 同理应注 意, 式 (8 - 13 - 11) 表示 的铁 氧体 的磁 导 率是 在恒 定磁 场 H0 = H 0 ez 的假定下推出的。当 H0 的方向改变 时,μ= 的矩 阵结构 也将 发生 变化。此 外, 由 于 μ= 与 H 0 有关,调整 H 0 的数值即可控制 μ= 的值。 当平面波在上述铁氧体中传播时,同理 可以 推出 时变磁 场应 该满足 的波 动 方程为 × × H - ω2εμ=· H = 0 (8 - 13 - 12) 比较式(8 - 13 - 12)与式(8 - 12 - 13) 可见,两者完全相同, 因此当平面波在铁氧 体中传播时,前述的双折射和极化面旋转等现象, 在铁氧体中同样也会发生。这 种极化面旋转效应在微波器件中获得应 用,有兴 趣的 读者可 以参 阅有关 微波 工 程书籍。 习   题 223 思 考 题 8 - 1   给出无源区中电场及磁场满足的方程式。 8 - 2   什么是均匀平面波 ? 试述平面波的频率、波长、传播 常数、相速、波阻抗 及能速 的 定义。它们分别与哪些因素有关 ? 8 - 3   比较理想介质与导电媒质中平面波的传播特性。 8 - 4   比较在 σn ωε及σm ωε的两种媒质中平面波的传播特性。 8 - 5   集肤深度的定义是什么 ? 它与哪些因素有关 ? 8 - 6   什么是平面波的极化特性 ? 什么是线极化、圆极化与椭圆极化 ? 它们之间的相互 关系如何 ? 8 - 7   如何计算平面波正投射时的反射系数及透射系数。 8 - 8   什么是行波与驻波 ? 它们是怎样形成的 ? 8 - 9   如何计算平面波向多层边界正投射时的总反射系数 ? 8 - 10   如何描述向任意方向传播的平面波 ? 什么是传播矢量 ? 8 - 11   如何计算平面波斜投射时的反射系数与透射系数 ? 8 - 12   什么是无反射与全反射 ? 在什么情况下会发生这些现象。 8 - 13   发生全反射时,第二媒质中是否存在电磁波 ? 其特性如何 ? 8 - 14   平面波向导电媒质表面斜投射时,折射波的特性如何 ? 8 - 15   平面波向理想导电平面边界投射时,理想导电体外的电磁波特性如何 ? 8 - 16   什么是等离子体 ? 平面波在电离层中的传播特性如何 ? 8 - 17   什么是铁氧体 ? 平面波在铁氧体中的传播特性如何 ? 8 - 18   电离层及铁氧体是否都是色散媒质 ? 为什么 ? 习   题 8 - 1   导出非均匀的各向同性线性媒质中,正弦电磁场应该满足的波动方程及亥姆霍兹 方程。 8 - 2   设真空中 z = 0 平面上分布的表面电流 JS = ex JS0 sin ωt,试求空间电场强度、磁场 强 度 及能 流 密 度 。 8 - 3   已知理想介质中均匀平面波的电场强度瞬时值为 E( x, t) = ey sin(18π×106 t - π 3 x) V/ m 试 求 磁场 强 度 瞬 时 值 、平 面 波 的 频 率 、波 长 、相 速 及 能 流 密 度 。 8 - 4   设真空中平面波的磁场强度瞬时值为 H ( y, t) = ez 2. 4πcos(6π×108 t + 2πy) A/ m 试 求 该平 面 波 的 频 率 、波 长 、相 位常 数 、相 速、电 场 强 度 复矢 量 及 能 流 密 度 。 8 - 5   当频率分别为 10 k Hz 与 10 G Hz 的平面波在海水中传播时,求此平面波在海水中 22 4 第八章   平面电磁波 的 波 长、传 播 常 数 、相 速 及 特 性 阻抗 。 8 - 6   推导式(8 - 3 - 9)。 8 - 7   试证一个线极化平面波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化平面波。 8 - 8   试证一个椭圆极化平面波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化平面波。 8 - 9   试证圆极化平面波的能流密度瞬时值与时间及空间无关。 8 - 10   设真空中圆极化平面波的电场强度为 E( x) = 100( ey + jez )e - j2πx V m 试 求 该平 面 波 的 频 率 、波 长 、极 化旋 转 方 向 、磁 场 强 度 以 及 能 流 密 度 。 8 - 11   当平面波自第一种理想介质向第二种理想介质垂直投射时,若媒质波阻抗 Z2 > Z1 ,证明边界处为电场驻波最大点;若 Z2 < Z1 ,则边界处为电场驻波最小点。 8 - 12   当均匀平面波自真空向理想介质平面边界垂直投 射时,测 得驻波比为 2. 7,试求 该 理 想介 质 的 介 电 常 数 。 8 - 13   当右旋圆极化平面波自真空沿正 z 方向向 位于 z = 0 平 面的理想导电 体平面 垂 直投射时,若其电场强度的振幅为 E0 ,试求:① 电场强度的瞬时形式及复 数形式;② 反射波 电场强度的表示式;③ 理想导电体表面的电流密度。 8 - 14   若在电磁参数 εr = 4,μr = 1 的玻璃表面镀上一层透明的介质以消除红外线 的反 射,红外线的波长为 0. 75 μm ,试求:① 该介质膜的介电常数及厚度;② 当波长为 0. 42 μm 的 紫 外 线照 射 该 镀 膜 玻 璃 时 ,反 射 功 率 与 入 射 功 率之 比 。 8 - 15   设某种多层媒质由三种媒质组成,当平面波自第一种媒 质沿正 z 方向向多层媒 质边界正投射时,如习题图 8 - 15 所示。若 R12 为媒质①与媒质②形成的边界反 射系数, R 23 为媒质②与媒质③形成的边界反射系 数,试以反 射系数 R 12 及 R23 表示 z = 0 处的 总反射 系 数。 习题图 8 - 15 习题图 8 - 16     8 - 16   已知平面波的电场强度为 E( z) = ex 10e- j2πz 向三层介质边界 正 投 射, 如 习 题 图 8 - 16 所 示。已 知 三 种 介 质 的 参 数 为 εr1 = 1,εr2 = 4, εr3 = 16,μ1 = μ2 = μ3 = μ0 ,中间介质夹 层厚度 d = 0. 5 m ,试求 各区 域中 电场强 度及 磁场 强 度。 8 - 17   试证式(8 - 7 - 14)。 8 - 18   已知平面波的电场强度为 E = [( 2 + j3 ) ex + 4 ey + 2 ez ]ej(1.2 y - 2.4 z) 习   题 225 试求:① 传播常数 k;② 极化特性;③ 是否是 T E M 波 ? 8 - 19   当 ε1 = ε2 ,μ1 ≠μ2 以及 ε和 μ均不等时,试求垂直 极化平面波 斜投射时的 布鲁 斯 特 角和 临 界 角 。 8 - 20   当平面波向理想介质边界斜投射时,试证布鲁斯特角与相应的折射角之和为 π/ 2。 8 - 21   当平面波自空气向无限大的介质平面斜投射时,若平面波的电场强度振幅为 1 V m ,入射角为 60°,介质的电磁参数为 εr = 3,μr = 1,试求对于水平和垂直 两种极化平 面波 形 成 的反 射 波 及 折 射 波 的 电 场 振 幅。 8 - 22   已知天线罩的相对介电常数 εr = 2. 8,为消除 频率为 3 G Hz 的平面 波的反射,试 求:① 介质层的厚度;② 若频率提高 10 % 时产生的最大驻波比。(天线罩两侧的媒质可 以当 作 空 气) 8 - 23   当均匀平面波由空气向 位于 z = 0 平 面的理 想导电 体表 面斜 投射 时,已 知入 射 波 电 场强 度 Ei ( x , z) = ey 10 e- j(6 x + 8 z) V m 试求:① 平面波的频率;② 入射角;③ 反射波的电场强度和磁场强度;④ 空 气中的合成 场及 能 流 密度 矢 量 。 8 - 24   已知 x > 0 区域为理想导电体, x < 0 区域为空气,若入射波的磁场强度为 Hi ( x, y) = ( - ex + ey + j 2 ez )e - j2π( x + y) A m 试求:① 平面波的频率;② 入射角;③ 离开导体表面 1 m 处的合成波电场强度及能流密度。 8 - 25   当平面波向位于空气中厚度为 d 的无限大介质层斜投 射时,若 介质层的介 电常 数为 ε,入射角为 θi ,试求介质中以及空气中的折射角。 8 - 26   当平面波向等腰直角玻璃棱镜的 底边垂直 投射时,如习 题图 8 - 26 所 示。若 玻 璃的相对介电常数 εr = 4,试求反射功率 W r 与入射功率 W i 之比。 习题图 8 - 26 习题图 8 - 27     8 - 27   已知均匀 平面波的频 率 f = 1 000 M Hz,向多 层媒质垂直 投射,如 习题图 8 - 27 所示。该多层媒质的参数为 εr1 = 4,εr2 = 9,εr3 = 16,μ1 = μ2 = μ3 = μ0 ,中 间夹 层厚 度 d = 5 c m 。试求:① 第一媒质中反射功率 W r 与入射功率 W i 之比,② 第三媒质中透射功率 W t 与 入射功率 W i 之比。 8 - 28   若在无限大的理想导 电体表 面涂复 一层厚 度 d = 5 c m 的理想 介质。已 知左 旋 圆极化波的电场振幅为 2 V m ,频率 f = 1 500 M Hz,介质层的 εr = 4,μr = 1,当该圆极化波自 空气向该多层媒质表面正投射时,试求离介质表面 50 c m 处的 合成波 电场强 度振幅、磁场 强 22 6 第八章   平面电磁波 度 振 幅及 能 流 密 度 矢 量 。 8 - 29   当右旋圆极化平面波以 60°入射角自媒质①向媒质②斜投射 时,如习 题图 8 - 29 所示。若两种媒质的电磁参数为 εr1 = 1,εr2 = 9,μr1 = μr2 = 1,平面 波的 频率为 300 M Hz,试 求 入 射波 、反 射 波 及折 射 波 的 表 示 式 及 其 极 化 特性 。 习题图 8 - 29 8 - 30   已知 x < 0 区域中媒质参数 ε1 = 6ε0 ,μ1 =μ0 ; x > 0 区域中 ε2 = 2ε0 ,μ2 =μ0 ,若第 一 种 媒质 中 入 射 波 的 电 场 强 度 为 E( x, y) = ( - ex + 3 ey + jez )e- jπ( 3 x + y) V m 试求:① 平面波的频率;② 入射角 θi ;③ 反射波和透射波的磁场强度及其极化特性。 第九章   导行电磁波 电磁波的传播方式有两种:一种 方式是 利用 天线 将电磁 波辐 射到需 要的 区 域;另一种方式是借助传输系统, 将电磁波沿一定的途径送至某处。按后一种方 式传播的电磁波称为导行电磁波,传输导 行电 磁波 的系统 称为 导波系 统。本 章 介绍导波系统的电磁波传播特 性,下一 章 讨论 天线 的电 磁波 辐 射特 性。由 8 - 11 节得知, 四块金属板围成的 矩形 空管 可以 传输 电 磁波, 实 际上 截 面为 矩形 或 圆形的金属空管均具有导波作用,它 们分别 称为 矩形 波导 和圆 波导。除 了金 属 波导以外,图 9 - 0 - 1 还绘出了几种常用的导波系统,这些导波系统又称为传输 线。其中双导线由两根相互平行的具有一定半径的金属导线组成。同轴线是由 一根金属圆管与一根金属导线同轴构 成,通常 内部 可以填 充或 不填充 介质。 由 于存在集肤效应,同轴线中的电磁 波仅位 于外 导体与 内导 体之 间。带状 线由 三 条 平 行 的 条 形 金 属 板 组 成,这 种 带 状 线 又 称 为 三 板 传 输 线 。 微 带 由 金 属 底 板 、介 质层及金属带构成,电磁能量主要 集中在 金属 带与下 底板 之间。 介质波 导是 一 根介质棒,电磁波存在于介质棒内部及其周围。光纤即是一种典型的介质波导, 不过它通常由两层介质纤维或介电常 数沿半 径方 向逐渐 变化 的介 质纤维 构成。 这些传输线特性各异,分别用于不 同场合。 金属 波导 及同轴 线完 全将电 磁波 封 闭在金属管中,没有电磁辐射效应, 其余几种在传输过程中均存在一定的电磁辐 图 9 - 0 - 1   几种导波系统 22 8 第九章   导行电磁波 射。随着频率升 高, 双 导 线 的 辐 射 效 应 显 著 增强, 因 此, 双 导 线 仅 适 用 于 传 输 100 M H z 以下的电磁波。为了 保持 同 轴线 中的 波 型稳 定, 随 着 频率 升 高, 横 向 尺寸必须相应 地 减 小, 从 而 引 起 损耗 加 大, 因此, 同 轴 线 使 用 的 频 率 一 般 低 于 3 000 M Hz; 带状线及微带主要用于分米波段和厘 米波段; 金属 波导用于 传输 厘 米波及毫米波;光纤用于传输光波。本章仅介绍金属波导和同轴线的传输特性, 其余传输线读者可以参阅微波技术书籍的有关论述。 9 - 1   T E M 波、T E 波及 T M 波 T E M 波、T E 波及 T M 波的 电 场 方 向 及 磁 场 方 向 与 传 播 方 向 的 关 系 如 图 9 - 1 - 1所示,图中 es 表示传播方向。图 9 - 1 - 1(a) 表示电 场及 磁场均 垂直 于 传播方 向 的 T E M 波; 图 9 - 1 - 1(b) 表 示仅 电 场 与 传 播 方 向 垂 直 的 T E 波; 图 9 - 1 - 1(c)表示仅磁场与传播 方向垂 直的 T M 波。 注意无 论何 种波 型, 其电 场 与磁场总是相互垂直的。 图 9 - 1 - 1   T E M 波、T E 波及 T M 波 前述导波系 统 并 非 都 能 传 输 三 种 波 型。双 导 线、同 轴 线 及 带 状 线 是 一 种 T E M 波传输线,但同轴线也可存在 T M 波或 T E 波。金属波导及介 质波导只 能 传输 T E 波或 T M 波。微带基 本上 传 输 T E M 波,也 有一 些非 T E M 波 成 分,因 此,微带称为准 T E M 波传输线。下面讨论三种波型的存在条件。 设导波系统是无限长的,令其沿 z 轴放置,且传播方 向为正 z 方向,则该 导 波系统中的电场与磁场可以表示为 E( x, y, z) = E0 ( x, y)e- jkzz H ( x, y, z) = H 0 ( x, y)e- j kzz 式中 kz 表示 z 方向上的传播常数。 (9 - 1 - 1a) (9 - 1 - 1b) 将矢量亥姆霍兹方程式(8 - 1 - 3)在直角坐标中展开 2E x2 + 2E y2 + 2E z2 + k2 E = 0 2H x2 + 2H y2 + 2H z2 + k2 H =0 9 - 1   T E M 波、T E 波及 T M 波 229 再将式(9 - 1 - 1)代入, 得 E 2 xy + ( k2 - k2z ) E =0 H 2 xy + ( k2 - k2z ) H = 0 (9 - 1 - 2a) (9 - 1 - 2b) 式中 2 2 = 2 xy x2 + y2 (9 - 1 - 3) 2 x y 称 为 横 向 拉 普 拉 斯 算 子 。 由式(8 - 1 - 4)及式(8 - 1 - 5)知, 式 (9 - 1 - 2) 包 含了 六个 直 角坐 标分 量 Ex , Ey , Ez 及 H x , H y , H z , 它们 分别 满 足标 量亥 姆霍 兹方 程。根 据 导波 系统 的 边界条件,利用分离变量法即可求解这些方程。 下面根据麦克斯韦方程求出 x 分量及 y 分量和 z 分 量的 关系,这种 关系 称 为横向分量的纵向分量表示。这样,仅需求 解纵 向分 量满足 的标 量亥姆 霍兹 方 程,然后根据纵向分量与横向分量的 关系,即 可分 别求出 各个 横向分 量,这种 方 法称为纵向场法。 已知在理想介质中,无源区中麦克斯韦的旋度方程为 × H = jωεE × E = - jωμH 将此式在直角坐标中展开,并将式(9 - 1 - 1) 写成分量形式代入展开式中,得 Ez y + jkz Ey = - jωμH x - jkz E x - Ez x = - jωμH y Ey x - Ex y = - jωμHz Hz y + jkz Hy = jωεEx - jkz H x - Hz x = jωεEy Hy x - Hx y = jωεEz 根据这些方程,可以求得 Ex = 1 k2c - jkz Ez x - jωμ Hz y (9 - 1 - 4a) Ey = 1 k2c - jkz Ez y + jωμ Hz x (9 - 1 - 4b) Hx = 1 k2c jωε Ez y - jkz Hz x (9 - 1 - 4c) 23 0 第九章   导行电磁波 式中 Hy = 1 k2c - jωε Ez x - jkz Hz y k2c = k2 - k2z (9 - 1 - 4d) (9 - 1 - 5) 上式为以纵向场表示横向场的一般公式。对于 T E 波, 由于 Ez = 0, 仅需 求 解 Hz 分量,即可获知其余分量; 对于 T M 波, 由于 H z = 0, 仅需求出 Ez 分量, 其 余分量即可获得。 值得讨论的是,导波系统 能够 传输 T E M 波的 条件。 由式(9 - 1 - 4)可见, 对于 T E M 波,因 Ez = Hz = 0, 因此,由式 (9 - 1 - 4) 可见, 为 了保 证横向 分量 存 在,必须要求 kc = 0。由式(9 - 1 - 5)可知, 即要求 kz = k (9 - 1 - 6) 式中 k = ω με,这里 ε, μ是导波 系统 中电磁 波存 在的 区域内 的媒 质参数。 将 式(9 - 1 - 6)代入式(9 - 1 - 2a)中, 得 2 xy E = 0 (9 - 1 - 7) 此式表明传输 T E M 波的导波系统中,电场必须满足横向拉普拉斯方程。 已知静电场 Es 在无源区中满足拉普拉斯方程, 即 2 Es = 0 (9 - 1 - 8) 若带电系统在 z 方向是无限长的,场量一定与 z 无关,即 Es z = 0,那么将式 (9 - 1 - 8)在直角坐标中展开后,得 E 2 xy s =0 (9 - 1 - 9) 比较式(9 - 1 - 7)与式 (9 - 1 - 9) 可见, 无 限长 的导 波系 统 中的 T E M 波 及静 电 场均满足横向拉普拉斯方程。又知时变电场和静电场具有相同的理想导电体边 界条件,所以, 当两者边界形状相同时它们的电场分布具有相同的结构。由此得 知,能够建立静电场 的导 波系 统必 然能 够 传输 T E M 波。 例如, 双导 线、同 轴 线 及带状线等显然能够 建 立静 电场, 因 此 它们 可以 传输 T E M 波。无 限长 的金 属 波导可以看成是封闭的金属空腔,由 2 - 7 节 分析 可知,无外 源的 金属腔 中是 不 可能存在静电场的,因此金属波导不 可能传输 T E M 波。其实,根据麦 克斯韦 方 程也可得出同样结论,因为闭合的横 向磁场 线必 须包 围纵向 传导 电流或 位移 电 流,波导中既然没有内导体,不能提供纵 向传 导电 流,因此必 须存 在纵向 位移 电 流,这就意味着存在纵向电场,从而 形成 T M 波。 另一方 面,闭合 的横向 电场 线 必须包围纵向磁场,这就形成了 T E 波。 最后 还应 指出, 为 了传输 T E M 波, 不 允许 导波 系统本 身存 在损耗, 即导 波 系统必须是理想导体。否则,一定存在纵向电场分量或纵向磁场分量, 以使电磁 能量能够进入导波系统的内部,因为 仅有横 向电 场和 横向磁 场不 可能形 成横 向 9 - 2   矩形波导中的电磁波方程式 231 流动的电磁能量。因此,传输 T E M 波的导波系 统本身 必须是理 想导电 体,以 防 电磁能量流入其内。因此,导波系统必须适当处理, 例如提高光洁度、镀银、镀金 等,以提高表面电导率。 9 - 2   矩形波导中的电磁波方程式 矩形波导形状如图 9 - 2 - 1 所示,宽壁的内尺寸为 a,窄壁的内尺寸为 b。 根据时 变电 磁场 的惟一 性定 理,波导中 的 电磁场分布完全取 决于 波 导内 壁的 边界 条件。 因此,求解波导内 的电 磁场 分 布归 结为 时变 电 磁场的 边 值 问 题。 为 此, 建 立 直 角 坐 标 系, 令 宽壁沿 x 轴, 窄 壁 沿 y 轴, 传 播 方 向 沿 z 轴。 上节分析指出, 金属 波 导中 只 能传 输 T E 波 及 T M 波, 现 在 分别 讨 论 这 两 种 非 T E M 波 在 矩 形波导中的传播特性。 若仅传输 T M 波,则 Hz = 0。 按照 纵向 场 图 9 - 2 - 1   矩形波导 法,先解出 Ez 分量,然 后根 据 式(9 - 1 - 4)计 算其 余 各 个 分量。 由 式(9 - 1 - 1a)知, 电场强度的 z 分量可以表示为 Ez = Ez0 ( x, y)e- jk zz (9 - 2 - 1) 它满足的标量亥姆霍兹方程为 2 Ez x2 + 2 Ez y2 + k2c Ez =0 (9 - 2 - 2) 式中 kc2 = k2 - k2z 。将式(9 - 2 - 1)代入 式(9 - 2 - 2)中, 求得 振幅 Ez0 也 满足 同 样的标量亥姆霍兹方程,即 2 Ez0 x2 + E 2 z0 y2 + k2c E z0 =0 (9 - 2 - 3) 或写为 2 Ez0 x2 + 2 E z0 y2 = - k2c E z0 (9 - 2 - 4)     为了求解上述方程,采用分离变量法。令 Ez0 ( x, y) = X( x) Y ( y) (9 - 2 - 5) 代入式(9 - 2 - 4)中, 整理后得 XX″+ YY″= - k2c (9 - 2 - 6) 式中 X″表示 X 对 x 的二阶导数, Y″表示 Y 对 y 的二阶导数。由于式(9 - 2 - 6) 中的第二项仅为 y 的函数,而右端为常数,因此,若将式(9 - 2 - 6)对 x 求导,得 23 2 第九章   导行电磁波 知左端第一项应为常数。若对 y 求导,得知第二项应为常数。现分别令 XX″= - k2x (9 - 2 - 7a) YY″= - k2y (9 - 2 - 7b) 这里, kx 和 ky 称为分离常数,利用边界 条件即 可求 解这 些分离 常数。为 此将 上 式代入式(9 - 2 - 6)中, 得 k2c = k2x + k2y (9 - 2 - 8) 式(9 - 2 - 7a) 及式(9 - 2 - 7b) 为二阶常微分方程,其通解分别为 X = C1 cos kx x + C2 sin kx x (9 - 2 - 9a) Y = C3 cos ky y + C4 sin ky y (9 - 2 - 9b) 将式(9 - 2 - 9)代入式(9 - 2 - 5) 中,得 Ez0 = C1 C3 cos kx xcos ky y + C1 C4 cos kx xsin ky y + C2 C3 sin kx xcos ky y + C2 C4 sin kx xsin ky y (9 - 2 - 10) 式中常数 C1 , C2 , C3 , C4 以及 kx , ky 均取决于边界条件。 为了满足 y = 0 时 Ez0 = 0 的边界条件, 由式(9 - 2 - 10) 得 C1 C3 cos kx x + C2 C3 sin kx x = 0 上式对于一切 x 均应成立,故要求 C1 = C2 = 0 或者 C3 = 0。显然, C1 , C2 不 可 能同时为零,否则由式(9 - 2 - 10)求得 Ez0 = 0, 意味 着全部场 量消失。 因此, 只 有 C3 = 0。那么, 由式(9 - 2 - 10) 得 Ez0 = C1 C4 cos kx xsin ky y + C2 C4 sin kx xsin ky y (9 - 2 - 11)     为了满足 x = 0 时 Ez0 = 0 的边界条件,由式(9 - 2 - 11)得 C1 = 0, 即 Ez0 = C2 C4 sin kx xsin ky y 或者写成 Ez0 = E0 sin kx xsin ky y (9 - 2 - 12) 已知当 x = a 时, Ez0 = 0, 由式(9 - 2 - 12) 得 E0 sin kx asin ky y = 0 因上式对于一切 y 均成立,得知 sin kx a = 0, 由此得常数 kx = maπ, m = 1,2,3, … (9 - 2 - 13) 又知当 y = b 时, Ez0 = 0,由式 (9 - 2 - 12)得 E0 sin kx xsin ky b = 0 因上式对一切 x 均成立, 故 sin ky b = 0, 由此得常数 ky 为 ky = nbπ, n = 1,2,3, … (9 - 2 - 14) 9 - 2   矩形波导中的电磁波方程式 233 将式(9 - 2 - 13) 及式(9 - 2 - 14) 代入式(9 - 2 - 12) 中,得 Ez0 = E0 sin maπx sin nbπy (9 - 2 - 15) 将式(9 - 2 - 15) 代入式(9 - 2 - 1) 中,再 利用 式(9 - 1 - 4)求 出矩形 波导 中 T M 波的各个分量为 Ez = E0 sin maπx sin nbπy e- jk z z (9 - 2 - 16a) Ex = - j kz E0 k2c mπ a cos maπx sin nbπy e- jk z z (9 - 2 - 16b) Ey = - j kz E0 k2c nπ b sin maπx cos nbπy e- j kzz (9 - 2 - 16c) Hx = j ωεE0 k2c nπ b sin maπx cos nbπy e- jkz z (9 - 2 - 16d) Hy = - j ωεE0 k2c mπ a cos maπx sin nbπy e - j kzz 式中 k2c = k2 - k2z 。由式(9 - 2 - 16) 可见, (9 - 2 - 16e) 第一,矩形波导中, 电磁波的相位仅与变量 z 有关,而振幅与 x, y 有关。 因 此,在 z 方向上为行波,在 x 及 y 方向上形成驻波。 第二, z 等于常数的平面为波 面。但 振幅 与 x, y 有 关, 因此 上 述 T M 波 为 非均匀的平面波。 第三, 当 m 或 n 为零时, 上述各个分量 均为 零, 因此 m 及 n 应为非 零的 整 数。 m 及 n 具有明显的物理意义: m 为宽 壁上的 半个 驻波的 数目, n 为 窄壁 上 半个驻波的数目。 第四,由于 m 及 n 为多值,因此场结构具有多种形式,或称为多种模式。 m 及 n 的每一种组合 构成一 种模式,以 T M mn 表 示。例如 T M 11 表示 m = 1, n = 1 的场结构,具有这种场结构的 波称 为 T M 11 波。 m 及 n 数值 大的 模式 称为 高 次 模,数值小的称为低次模。由于 m 及 n 均 不为零,故 矩形 波导中 T M 波 的最 低 模式是 T M 11 波。这种多模结构是波导传播电磁波的重要特性。 采用上述类似步骤,读者可以导出矩形波导中 T E 波的各个分量为 H z = H 0 cos maπx cos nbπy e- jkzz (9 - 2 - 17a) Hx =j kz H 0 k2c mπ a sin maπx cos nbπy e- j kzz (9 - 2 - 17b) Hy =j kz H 0 k2c nπ b cos maπx sin nbπy e- jkzz (9 - 2 - 17c) 23 4 第九章   导行电磁波 Ex = j ωμH k2c 0 nπ b cos maπx sin nbπy e - j kzz (9 - 2 - 17d) Ey = - j ωμH k2c 0 mπ a sin maπx cos nbπy e- jkzz (9 - 2 - 17e) 式中 m , n = 0,1,2,…, 但两者不能同 时为 零。由式 (9 - 2 - 17)可 见, 与 T M 波 一样, T E 波 也具 有前述 多模 特性,但此 时 m 及 n 不 能同时 为零。 因此, T E 波 的最低模式为 T E01 波或 T E10 波。 9 - 3   矩形波导中电磁波的传播特性 将式(9 - 2 - 13) 及式(9 - 2 - 14) 代入式(9 - 2 - 8)中, 得 k2c = mπ a 2 + nπ 2 b (9 - 3 - 1) 已知 k2c = k2 - k2z , 即 k2z = k2 - k2c 。可见, 当 k = kc 时, kz = 0, 这就 意味 着 波的传播被 截 止, 因 此, kc 称 为 截 止 传 播 常 数。 利 用 传 播 常 数 与 频 率 的 关 系 k = 2πf εμ, 可以求出对应于截止传播常数 kc 的截止频率 fc ,即 fc = kc = 2π εμ 2 1 εμ m a 2 + n2 b (9 - 3 - 2) 这样,传播常数 kz 可以表示为 kz = ± k 1- fc f 2 = k 1- fc f 2 , - jk fc f 2 - 1, f > fc f < fc (9 - 3 - 3a) (9 - 3 - 3b) 由此可见,当 f > fc 时, kz 为实数, 因子 e- jkz z 代表 向正 z 方向传 播的 波; 当 f < fc 时, kz 为虚数,因子 e = e - j kzz - kz fc 2 - 1 f 此式表明,这种时变 电磁 场没 有 传播,而 是沿 正 z 方 向不 断衰 减的 凋 落场。 因 此,对于一定的模式和波导尺寸来说, fc 是能够 传输该 模式的最 低频 率。可见, 波导相当于一个高通滤波器。 同样, 利用 k = 2λπ的关 系式, 可以 求得对应 于截止传 播常数 kc 的截 止波 长 λc , 即 λc = 2π kc = 2 m a 2 + n2 b (9 - 3 - 4) 9 - 3   矩形波导中电磁波的传播特性 235 式(9 - 3 - 2)及式(9 - 3 - 4)表 明, 截止 频率 fc 或截 止波长 λc 与 波导 尺寸 a, b 及模式 m , n 有关。对于一定的波导尺寸来说,每一种模式具有一定的截止频率 或截止波长。高次模式具有较高的截 止频 率,或者 说具有 较短 的截止 波长。 例 如, T E10 波的截止波长为 2 a, T E20 波的 截止 波长为 a。图 9 - 3 - 1 给出 了当 波 导尺寸 a = 2 b 时,各种模 式截 止波长 的分 布图。已 知当 工作 波长 λ > λc 时, 相 应的模 式 波 被 截 止。 由 图 9 - 3 - 1 可 见, 当 λ > 2 a 时, 全 部 模 式 被 截 止; 当 a < λ< 2 a 时, 只有 T E10 波存在,其 他模式被截止; 当 λ< a 时, 才有其他模 式出 现。由此可见,如果工作波长满足 a < λ< 2 a 条 件,即可 实现 单模传 输,而且 实 现单模传输的惟一模式就是 T E10 波。应该指出,实 现单模 传输是实 际中所需 要 的,因为固定单一模式便于向波导输送或者由波导中提取能量。因此, T E1 0 波为 矩形波导的常用模式或称为主模。 图 9 - 3 - 1   矩形波导截止波长的分布( a = 2 b) 实际中, 通常取 a > 2 b, 以 便在 a < λ < 2 a 频 带内 实 现 T E1 0 波 单 模传 输。 由此求得,为了保证仅传输 T E10 波,矩形波导的宽壁尺寸应该满足 λ 2 < a <λ (9 - 3 - 5) 而窄壁尺寸应该为 b< λ 2 (9 - 3 - 6) 至于窄壁尺寸的下限取决于传输功率、容许的 波导衰减 以及重量 等。因 T E10 波 的电场垂直于宽壁, 可 见窄 壁 过窄 会导 致 波导 中 空气 或 填充 的 介质 发 生 击穿。 由 9 - 7 节将可获知,窄壁减小会使 传输衰 减增 大。当然,窄 壁小 一些可 以减 轻 波导重量且节约 金 属 材 料。工 程 上 常 取 a = 0. 7λ 左 右, b = (0.4 ~ 0. 5 ) a 或 (0.1 ~0.2) a。可见, 当工作波长 增加 时, 为 保 证单 模 传 输, 波 导的 尺 寸必 须 相 应地加大。若频率过低, 因而工作 波长 过长, 以 致波导 尺寸 过大, 无法 采用。 因 此,实际中金属波导适用于 3 000 M H z 以 上的微波 波段。国际 上对于各 波段 使 用的波导尺寸已有统一规定。 23 6 第九章   导行电磁波 根据相速 vp 与相位常数的关系, 求得矩形波导中的相速为 vp = ω kz = v = 1- fc 2 f v 1- λ2 λc (9 - 3 - 7) 式中 v = 1 。 当波 导中为 真空 时, v = με 1 μ0 ε0 = c。已 知工作 频 率 f> fc , 工 作波长 λ< λc , 由式(9 - 3 - 7) 可见, 真 空波 导中电 磁波 的相 速大 于光 速。众 所 周知, 一切能量速度不可能大于光 速, 因此, 波 导中 的相速 不代 表能速。 关于 波 导中的能速将在下一节详细讨论。由式(9 - 3 - 7)还可见, 波导中的相速不仅与 波导中的媒质特性有关, 还与频率 有关。 因此, 与 导电媒 质一 样, 携带信 号的 电 磁波在波导中传播时会出现色散现象。 也就 是说,不 同频率 分量 以不同 的相 速 传播,导致信号波形发生失真。采用波导远距离传输电磁波时, 必须采取适当措 施,以减小这种失真。此外, 已知截止波长与波导尺寸及模式有关,因此, 不同波 导尺寸及模式,其相速也不同。 根据波长与相位常数的关系,求得波导中电磁波的波长 λg 为 λg = 2π kz = λ = 1- fc 2 f λ 1- λ2 λc (9 - 3 - 8) 式中 λ为工作 波长, 或者说 是在参 数为 μ,ε的无 限大媒质 中电磁 波的波 长,λg 称为波导波长。已知 f > fc ,λc > λ, 故 λg > λ, 即 波 导波 长 大 于 工 作波 长。 此 外,波导波长也与波导尺寸及模式有关。 最后,通常定义波导中的横向电场与横向磁场之比称为波导的波阻抗, 那么 对于 T M 波,其波阻抗为 ZT M = Ex Hy = - Ey Hx 将式(9 - 2 - 16) 代入,求得 T M 波的波阻抗为 ZT M = Z 1- fc f 2 =Z 1- λ2 λc (9 - 3 - 9) 式中 Z = εμ。 同理可得 TE 波的波阻抗为 ZTE = Z = 1- fc 2 f Z 1- λ2 λc (9 - 3 - 10) 由上两式可见, 当 f < fc ,λ> λc 时, ZT M 及 ZT E 均为虚 数, 表明 横向 电场 与横 向 9 - 4   矩形波导中的 T E10 波 237 磁场相位相差π2 ,因此, 沿 z 方向没有能量单 向流动, 这就意 味着 电磁波 的传 播 被截止。 例   某一内部为真空的矩形金属波导,其截面尺寸为 25 m m × 10 m m ,当频 率 f = 104 M Hz 的电磁波进入波导中以后, 该波导能够传输的模式是什么 ? 当波 导中填充介电常数 εr = 4 的理想介质后,能够传输的模式有无改变 ? 解   当内部为真空时,工作波长为 λ= c f = 30 mm 该波导的截止波长为 λc = 2 m a 2 + = n2 b 50 mm m 2 + 6.25 n2 因此, T E1 0 波的 λc = 50 m m , T E20 波的 λc = 25 m m , T E01 波的 λc = 20 m m , 更高次 模的截止波长更短,可见,当该波导中为真空时,仅能传输的模式为 T E10 波。 若填充 εr = 4 的理想介质,则工作波长 λ为 λ′= λ = 15 m m εr 可见,可以传输 T E10 波及 T E20 波,而且还可存在其他模式。因为当 m = 0, n = 1 时,λc = 20 m m ; 当 m = n = 1 时, λc = 18. 6 m m ; 当 m = 3, n = 0 时,λc = 16.7 m m ;当 m = 2, n = 1 时,λc = 15.6 m m 。由 此可 见, 还可 传输 T E0 1 、T E30 、T E11 、 T M 1 1 、T E21 、T M 2 1 等模式。 9 - 4   矩形波导中的 T E10 波 已知矩形波导中的常用模式为 T E10 波。 本节详 细讨 论 T E10 波的电 磁场 的 分布及其传播特性。根据式(9 - 2 - 17),令 m = 1, n = 0, 求得方程为         Hz = H 0 cos πa x e- jk z z (9 - 4 - 1a)         Hx =j kz H 0 k2c π a sin πa x e-jk z z (9 - 4 - 1b)         Ey = - j ωμH k2c 0 π a sin πa x e - j kzz (9 - 4 - 1c) 而其余分量, Hy = Ex = Ez = 0,上列分量对应的瞬时值为 23 8 第九章   导行电磁波 H z ( r, t) = 2 H 0 cos π a x sin(ωt - kz z) H x ( r, t) = 2 kz H0 k2c π a sin π a x sin ωt - kz z + π 2 Ey ( r, t) = - 2 ωμH0 k2c π a sin π a x sin ωt - kz z - π 2 (9 - 4 - 2a) (9 - 4 - 2b) (9 - 4 - 2c) 图 9 - 4 - 1   T E10 波的场分布 图 9 - 4 - 1 给出 t = 0 时刻,矩 形波导 中 T E10 波沿 z 方 向及 x 方向 的场 分 布。注意沿 x 方向为驻波,沿 z 方向 为行波。 根据 这些 变化 规律, 可用 电场 线 及磁场线表示 T E10 波的电磁场分布, 如图 9 - 4 - 2(a) 所示。式(9 - 4 - 1) 表明, Hz 的振幅沿 x 按余 弦分布, Hx 及 Ey 的 振幅沿 x 按正弦 分布,但 三者振幅均 与 y 无关。根据理想导体表面仅 可存在 法向 电场 及切向 磁场 的边界 条 件,即可 理 解这些分布规律的必然性。 为了有效的使用波 导 作为 传 输线, 熟 知波 导 中的 电 磁场 分 布是 很 必 要的。 因为知道波导中的场分布以后,才可合理地设计波导的激励和耦合装置。此外, 尚需了解波导内壁上的电流分布,我们在 7 - 3 节例子中已求出矩形波导内壁电 流的分布,其结果如图 9 - 4 - 2(b)所示。了解波导 内壁电 流的分布 对于设计 微 波仪表及波导裂缝天线十分重要。例如,波 导测 量线 中槽线 不允 许切割 内壁 电 流,以免破坏波导中的场分布。但 是,波导裂 缝天 线的缝 隙必 须切 割内壁 电流, 以激励天线向外辐射电磁波。波导中的位移电流与内壁上的传导电流构成闭合 的电流回路,这些闭合的电流回路与闭合的磁场线相互交链。 图 9 - 4 - 3 中给出了几种高次模的 场分 布,这里 仅绘出 纵剖 面中的 磁场 线 和横截面中的电场线分布,以供读 者对于 高次 模的 场分布 的一 般了解。 更多 模 式的场分布可参阅有关微波技术书 籍。实 际上, 掌 握了 T E10 波、T E01 及 T E11 波 的场分布以后,采用平移拼接方法即可推知高次模的场分布。例如, T E2 0 波场分 9 - 4   矩形波导中的 T E10 波 239 图 9 - 4 - 2   T E10 波的电场线,磁场线及电流分布 图 9 - 4 - 3   矩形波导中的高次模 24 0 第九章   导行电磁波 布即可由两个 T E1 0 波的 场 分 布 沿波 导 宽 边 平 行拼 接 构 成。 根据 T M 11 的 场 分 布,也可构造其他高次 T M mn 波的场分布。 下面再计算 T E10 波的截止波长、相速、波导波长及能速。 由式(9 - 3 - 4), 令 m = 1, n = 0,求得 T E10 波的截止波长为 λc = 2 a (9 - 4 - 3) 此式表明, T E10 波的截止波长为宽壁宽度的两倍,与窄壁尺寸无关。 T E1 0 波的相速及波导波长分别由式(9 - 3 - 7)及式 (9 - 3 - 8)求得 vp = v 1- λ2 2a (9 - 4 - 4) λg = λ 1- λ2 2a (9 - 4 - 5) 为了进一步说明 T E10 波的相速、能速及 波导 波长的 物理 意义, 利 用 2jsin x = ej x - e- jx 公式, 可以将式(9 - 4 - 1c)改写为 E = E e - e e - jπa x jπa x - j kzz y 0 (9 - 4 - 6) 由于 λ< λc ,λc = 2 a, λ 2a < 1, 可令 λ 2a = cos θ (9 - 4 - 7) 则 π a = 2λπ·2λa = kcos θ kz = k 1- λ 2a 2 = ksin θ 将此关系代入式(9 - 4 - 6)中, 得 E = E e - E e - j k( xcos θ+ zsin θ) - jk( - xcos θ+ zsin θ) y 0 0 (9 - 4 - 8) 此结果表明, T E10 波可看成是由传播常 数为 k 的 两个均 匀平面 波的 合成波。 如 图(9 - 4 - 4)所示,图中平面波 ①代 表上 式中第 一项, 平 面波② 代表 第二项。 该 两个平面波的传播方向位于 xz 平面,即 与波导宽 壁平行 的平面内,而且 这两 个 均匀平面波又可合并为在两个窄壁之间来 回反 射的均 匀平 面波。当 λ= λc 时, θ= 0,由图 9 - 4 - 4 可见, 该均匀平面波在两 个窄 壁之间 垂直 来回 反射, 因此 无 法传播而被截止。 既然 T E10 波可以分解为 两个 均 匀平 面波 的合 成, 那 么, 两个 均 匀平 面波 的 波 峰相遇处形成合 成波的波峰,而两个均匀 平面波的波谷相 遇处形成合成波 的 9 - 4   矩形波导中的 T E10 波 241 图 9 - 4 - 4   T E11 波的分解 图 9 - 4 - 5   T E10 波的速度与波长 波谷。图 9 - 4 - 5 中以实线表示均匀平 面波 ①的 波峰,以虚 线表 示均匀 平面 波 ②的波峰。显然,线段 A B 长度等于 波导波 长λg , A C 长 度等 于工作 波长 λ。 若 波导为真空,则 A C 长度等于真空中波长。由图示的几何关系可得 λg = sinλθ= λ 1 - cos2 θ 已知 cos θ= 2λa, 可见结果同前。 另外,图 9 - 4 - 5 中, 平面波① 由 A 点至 C 点的 相位 变 化为 2π, 而 合成 波 的空间相位变化 2π时经过距离为 A B, 可见,合成波的 相速 vp 大于 均匀平面 波 的相速 v,且 vp = sinvθ, 此结果也与式(9 - 4 - 4)相同。再从能量传 播的观点 来 看,当平面波①携带的能量由 A 传播到 C 时,就传播方向 z 而言,此能量传输的 距离仅为 A D 长度,可见波导传输能量的速度 ve 小于均匀平面波的能量速度 v (注意均匀平面波的 能速 等于 相速 ), 由 图 示的 几何 关 系 求出 T E1 0 波的 能 速 ve 为 ve = vsin θ 即 ve = v 1- λ2 2a (9 - 4 - 9) 读者可以根据 T E10 波的场强公式(9 - 4 - 1)及能速 定义式 (8 - 2 - 19)同 样 也可求得能速公式(9 - 4 - 9)。注意, 波导中任一区域中电场能量的平均值应该 等于磁场能量的平均值。 例   若内充空气的矩形波导尺寸为 λ< a < 2λ, 工作频率为 3 G H z。如果要 求工作频率至少高于主 模 T E10 波 的截 止频 率的 20 % , 且 至少 低于 T E0 1 波的 截 止频率的 20 % 。试求: ① 波导尺 寸 a 及 b; ② 根 据 所设 计的 波导, 计算 工作 波 长 、相 速 、波 导 波 长 及 波 阻 抗 。 解 ① T E1 0 波的截止波长 λc = 2 a, 对应 的截 止频率 fc = c λc = 2ca。 T E01 波 24 2 第九章   导行电磁波 的截止波长 λc = 2 b,对应的截止频率 fc = 2cb。按题意要求,应该满足 3×109 ≥ 2ca× 1.2 3×109 ≤ 2cb×0.8 由此求得 a≥ 0.06 m , b≤0.04 m ,取 a = 0.06 m , b = 0.04 m ② 工作波长 λ= c f = 0. 1 m 相速 vp = c = 5.42×103 m s 1- λ2 2a 波导波长 λg = λ = 0.182 m 1- λ2 2a 波阻抗 ZT E = 10 Z = 682 Ω 1- λ2 2a * 9 - 5   电磁波的群速 已知色散现象是由于相速与频率有 关引 起的,含 有信号 的电 磁波总 具有 一 定的频带宽度,因此需要讨论电磁 波在色 散媒 质中 的传播 特性。 各个频 率分 量 以不同的相速进行传播,因此, 相速无法描述含有多种频率分量的电磁波在色散 媒质中的传播速度。本节介绍的群速,可以 用来 描述 窄带信 号在 色散媒 质中 的 传播特性。下面以调幅波为例,说明群速的基本概念。 设 z 向传播的电磁波信号仅具有两个频率非常接近的频率分量 A1 ( z, t) = A0 cos(ω1 t - k1 z) A2 ( z, t) = A0 cos(ω2 t - k2 z) 它们的合成信号为 A = A1 + A2 = 2 A0 cos(Δωt - Δkz)cos(ω0 t - k0 z) (9 - 5 - 1) 式中 ω0 = 1 2 (ω1 + ω2 )   Δω = 1 2 (ω2 - ω1 ) k0 = 1 2 ( k1 + k2 ) Δk0 = 1 2 ( k2 - k1 ) 由于 ω1 ~ω2 ,Δωn ω0 因而在一个 足够小的时间间 隔内,式 (9 - 5 - 1) 中的第 一 * 9 - 5   电磁波的群速 243 个余弦项尚未发生明显 变化 时,第 二个 余弦 项 已经 历 了 几个 周 期的 变 化,所 以 ω0 代表载频,Δω代表调制 频率。 由式 (9 - 5 - 1) 可见, 该载 波 是一 个 正 弦波, 其振幅也为正弦函数,但其频率很低。可见, 两个信号叠加后形成一个幅度变化 缓慢的调幅信号。若媒质是无色散的,振幅形成的波包随载波一起运动, 在运动 过程中,载波及波包都保持正弦波 形。因此 可以 根据 波包上 的等 相位点 求出 波 包的移动速度, 该速度称 为 群 速, 以 vg 表 示。由 Δωt - Δkz = 常 数, 得 群速 vg 为 vg = d d z t = Δω Δk 对于非色散媒质, k 与 ω 的关系是线性的,因此ΔΔωk = ddωk,得群速为 vg = dω dk (9 - 5 - 2) 再由 ω0 t - k0 z = 常数, 得载波相速 vp 为 vp = ω0 k0 (9 - 5 - 3) 已知非色散媒质中,传播常数 k = ω με,代入式(9 - 5 - 2)及式(9 - 5 - 3), 得 vg = dω dk = dk dω -1 = 1 με vp = ω0 k0 = 1 με 由此可见,非色散媒质中, 群速等于相速。 对于色散媒质,由式(8 - 3 - 9a)及式(9 - 3 - 3a)可见, k 与 ω的 关系为非 线 性,此时,对于给定的工作频率 ω0 , 可将 k 作为 频率 ω 的函 数在 ω0 附近 展开 为 泰勒级数,即         k( ω) = k0 1 2 + dk dω ω0 (ω- ω0 ) + d2 k dω2 (ω - ω0 )2 + … ω 0 (9 - 5 - 4) 对于窄带信号,可仅取前两项, 即 k(ω)≈ k0 + dk dω ω (ω- ω0 ) 0 同时由于频带很窄,可以认为 vg = Δω Δk = ddωk ,将 上 式 代 入, 得 24 4 第九章   导行电磁波 vg = dk dω -1 ω = dω dk ω 0 0 (9 - 5 - 5) 由于色散媒质的 传 播 常 数 k 与频 率 ω 的 关 系 是 非线 性 的, 不同 的 载 波 频 率,其群速 不同。群 速不 再等于 相速。 图 9 - 5 - 1 给出 了当 vp = 2 vg 时, 上 述 窄带信号在三个不同时 刻的 波 形。载波 以相 速 vp 传播, 波包 以 群 速 vg 传播。 P′为波包等相位点, P 为载波等 相位点。 当 P 点 位移为 d 时, 由 于波包 速度 较 慢, P′点仅位移 d′( d′< d) 。因此,经过一段时间传播后, 波包变形,导致信号失 真。 图 9 - 5 - 1   相速 vp 与群速 vg 将式(9 - 5 - 3)代入式(9 - 5 - 2) 中,因 dk dω = d dω ω vp = 1 vp - ωd vp v20 dω = 1 vp 1 - ωd vp vp dω 得 vg = 1 - vp ωd vp vp dω (9 - 5 - 6) 对于色散媒质中的窄带信号,上式应为 vg = 1- vp ω d vp vp dω ω0 (9 - 5 - 7) 由此可见,若相速 vp 与 ω 无 关 , d vp dω = 0, 则 vg = vp ; 若 d vp dω < 0,则 vg < vp ,这 种 * 9-6 圆 波 导 245 情况称为正常色散;若 d vp dω > 0, 则 vg > vp , 这种情况称为非正常色散。 由 式(9 - 3 - 7 )知 , 矩 形 波 导 中 的 相 速 d vp dω < 0, 电磁 波发生 正常 色散。将 式 (9 - 3 - 7)代入(9 - 5 - 7) 中,得 vg = v 1- fc f 2 =v λ2 1 - λc (9 - 5 - 8) 此式与式(9 - 4 - 9)比较可见, 矩形波 导中的 群速 等于能 速, 这也 是正常 色散 媒 质的共同特性。比较式(9 - 3 - 7) 与式 (9 - 5 - 8), 求 得 波导 中的 相速 vp 与 群 速 vg 满足下列方程 vp vg = v2 (9 - 5 - 9)     当电磁波在导电媒质中传播时,由式 (8 - 3 - 11 )可 知, 此 时 d vp dω > 0, 电磁 波 发生非正常色散。进一步分析可知, 此时群速 不再 等于能 速, 式 (9 - 5 - 9)的 关 系也不再成立。电磁波的传播速度是一 个复 杂的 理论问 题,有兴 趣的读 者可 参 阅文献[11] 。 *9-6 圆 波 导 圆波导的形状如图 9 - 6 - 1 所示,其惟一的尺寸是内半径 a。 为了求解圆波导中的电 磁场分 布,应该 选用 圆柱坐标系,取圆波导的轴线为 z 轴。与 矩形波 导类似, 可 以 采用 纵 向 场 法。为 此, 根 据麦 克 斯 韦方程,先求出圆柱坐标中 的横 向分量 的纵 向场 表示式。 若 z 为传播方向,波导中的场强可以表示为 E( r, , z) = E0 ( r, )e- jkzz (9 - 6 - 1a) H ( r, , z) = H0 ( r, )e - j kzz 图 9 - 6 - 1   圆波导 (9 - 6 - 1b) 将麦克斯韦第 一旋 度方 程 × H = jωεE 在圆 柱坐标 系中 展开, 再 将式 (9 - 6 - 1) 写成分量形式,代入该展开式中, 得 1 r Ez + jkz E = - jωμHr (9 - 6 - 2a) 24 6 第九章   导行电磁波 - jkz Er - Ez r = - jωμH (9 - 6 - 2b) 1 r r( rE ) - 1 r Er = - jωμH z (9 - 6 - 2c) 1 r H z + jkz H = jωεEr (9 - 6 - 2d) - jkz H r - Hz r = jωεE (9 - 6 - 2e) 1 r r( r H )- 1 r H r = jωεEz (9 - 6 - 2f) 根据上式即可求得以纵向场表示的横向分量表示式 Er = - 1 k2c j kz Ez r + j ωμ r Hz (9 - 6 - 3a) E = 1 k2c - j kz r Ez + jωμ Hz r (9 - 6 - 3b) Hr = 1 k2c j ωε r Ez - jkz Hz r (9 - 6 - 3c) 式中 k2c = k2 - k2z 。 H = - 1 k2c jωε Ez r +j kz r Hz (9 - 6 - 3d) 对于 T M 波, Hz = 0, 先求出 Ez 分量, 然 后由 上式即 可计 算各 个横向 分量。 根据式(9 - 6 - 1a), Ez 分量可以表示为 Ez ( r, , z) = Ez0 ( r, )e-jk z z (9 - 6 - 4) 在无源区中,它满足标量亥姆霍兹方程, 即 2 Ez + k2 Ez = 0 将其在圆柱坐标系中展开,再将式(9 - 6 - 4) 代入,得 E 2 z0 r2 + 1 r E z0 r + 1 r2 2 Ez0 2 + k2c Ez0 =0 (9 - 6 - 5)     为了求解此方程,采用分离变量法,令 Ez0 ( r, ) = R ( r) Φ( ) (9 - 6 - 6) 代入式(9 - 6 - 5)中, 得 r2RR″+ rRR′+ k2c r2 = - Φ″ Φ (9 - 6 - 7) 式中, R″及 R′分别为 R 对 r 的二阶和一阶导数, Φ″为 Φ对 的二阶导数。 等式(9 - 6 - 7 ) 左 端 仅 为 r 的 函 数, 右 端 仅 为 的 函 数, 因 此, 若 将 式 (9 - 6 - 7)对 r 求 导, 则 右 端 为 零, 即 意 味 着 式 (9 - 6 - 7) 左 端 为 常 数; 若 将 式 * 9-6 圆 波 导 247 (9 - 6 - 7)对 求导, 则左端为 零, 即意味着式 (9 - 6 - 7) 右端也为 常数。由于式 (9 - 6 - 7)对于一切 r 及 均 成 立, 因 此, 两 端 一 定 等 于同 一 常 数, 令 此 常 数 为 m 2 ,则由式(9 - 6 - 7) 右端,得 Φ″+ m 2 Φ = 0 (9 - 6 - 8) 此方程的通解为 Φ = A1 cos m + A 2 sin m (9 - 6 - 9) 圆波导具有轴对称性, = 0 的坐 标平 面可 以任意 确定。 那么, 总可 以适 当 地选择 = 0 的坐标 平 面, 使 式 (9 - 6 - 9) 中的 第 一 项 或 第二 项 消 失, 因 此, 式 (9 - 6 - 8)的解可以表示为 cos m Φ= A sin m (9 - 6 - 10) 波导中的场分布随角度 的 变化应 以 2π为 周期, 因 此 m 一定 为整 数, 即 m = 0, ±1, ±2, … 再由式(9 - 6 - 7)的左端, 得 r2 RR″+ rRR′+ k2c r2 = m 2 或写成 r2 d2 R d r2 + r dR dr + ( k2c r2 - m2 ) R = 0 (9 - 6 - 11) 令 kc r = x,则上式变为标准的柱贝塞尔方程, 即 x2 d2 R d x2 + x d d R x + ( x2 - m2 ) R = 0 (9 - 6 - 12) 由附录六知,此式的通解为 R = BJ m ( x) + C N m ( x) (9 - 6 - 13) 式中 J m ( x) 为第一类 m 阶柱贝塞尔函数, N m ( x) 为第二类 m 阶柱贝塞尔函数。 当 r = 0 时, x = 0, N m (0) → - ∞。波导中的场应该是有 限的, 因此, 常数 C = 0, 式(9 - 6 - 11) 的解应为 R = BJ m ( kc r) (9 - 6 - 14) 将式(9 - 6 - 10) 及式(9 - 6 - 14) 代入式(9 - 6 - 6)中, 由式(9 - 6 - 4)可得 Ez = E0 J m ( kc r) cos sin m m e- jk z z (9 - 6 - 15a) 那么,由式(9 - 6 - 3) 求得各个横向分量为 Er = - j kz E0 kc J′m ( kc r) cos sin m m e - j kzz (9 - 6 - 15b) E = j kz m k2c E0 r Jm ( kc r) sin m - cos m e- jkzz (9 - 6 - 15c) 24 8 第九章   导行电磁波 Hr = j ωεm k2c E r 0 J m ( kc r) - sin cos m m e- jkz z (9 - 6 - 15d) H = - j ωεE kc 0 J′m ( kc r) cos m sin m e- jk z z (9 - 6 - 15e) 式中 J′m ( kc r)为柱贝塞尔函数 J m ( kc r) 的 一阶 导数。利 用边 界条件, 可 以确 定 式(9 - 6 - 15) 中常数 kc 。 已知分量 Ez 及 E 与圆波导 内壁 平行, 因此,当 r = a 时, Ez = E = 0。 由 式(9 - 6 - 15a) 及 式 ( 9 - 6 - 15c) 可 见, 为 了 满 足 这 种 边 界 条 件, 必 须 要 求 J m ( kc a) = 0。设 pm n 为第一类 m 阶柱贝塞尔函数第 n 个根,则 kc a = pm n , 即 k2c = p2 mn a (9 - 6 - 16) 或写成 k2z = k2 - p2 mn a (9 - 6 - 17) 表 9 - 6 - 1 中列出了各个 pmn 值,每一组 m , n 值对应于一个 pmn 值,同时求得对 应的 kz , 从而形成一种场分 布或 称为 一种 模 式。可 见, 电磁 波在 圆 波导 中也 具 有多模特性。式(9 - 6 - 15) 中因子 cos m 和 sin m 分别代表两种空间相互 正 交的模式。          n  m 0 1 2.4 05 表 9 - 6 - 1   pm n 值 2 5 .52 0 3 8 .65 4 4 11 .7 9 1 3.8 32 7 .01 6 1 0.1 7 13 .3 2 2 5.1 36 8 .41 7 1 1.6 2 14 .8 0 对于 T E 波, Ez = 0。读者可以采用上述同样方法,先求出 Hz 分量,然后 由 式(9 - 6 - 3)计算各个横向分量, 其结果为     Hz = H 0 J m ( kc r) cos sin m m e- jk z z (9 - 6 - 18a)     Hr = - j kz H 0 kc J′m ( kc r) cos sin m m e- jkz z (9 - 6 - 18b)    H = j kz m k2c H0 r Jm ( kc r) sin m - cos m e- jkzz (9 - 6 - 18c)     Er = j ωμm kc2 H r 0 J m ( kc r) sin m - cos m e- j kzz (9 - 6 - 18d) * 9-6 圆 波 导 249     E = j ωμH kc 0 J′m ( kc r) cos sin m m e- j kzz (9 - 6 - 18e) 为了满足 r = a 时, E = 0 的 边 界 条 件, 由 式 (9 - 6 - 18e) 知, 必 须 要 求 J′m ( kc a) = 0 。设 p′m n 为第一类柱贝塞尔函数的一阶导数根,则 kc a = p′m n , 即 k2c = p′m n 2 a (9 - 6 - 19) 或写成 k2z = k2 - p′m n 2 a (9 - 6 - 20) 表 9 - 6 - 2 中列出了各个 p′m n 值,每一个 p′m n 对应于一种模式。 表 9 - 6 - 2   p′mn 值          n  m 0 1 3.8 32 2 7 .01 6 3 1 0.1 7 4 13 .3 2 1 1.8 41 5 .33 2 8 .52 6 11 .7 1 2 3.0 54 6 .70 5 9 .96 5 13 .1 7 和矩形波导一样,当 k = kc 时, 传播常数 kz = 0, 表示传 播被截止。 那么, 由 kc = 2πfc εμ = λ2πc , 求得圆波导中 T M 波的截止频率 fc 和截止波长 λc 为 fc = pmn TM 波 2πa εμ λc = 2πa pmn (9 - 6 - 21a) (9 - 6 - 21b) T E 波的截止频率 fc 和截止波长 λc 为 TE 波 fc = p′m n 2πa εμ λc = 2πa p′m n (9 - 6 - 22a) (9 - 6 - 22b) 图 9 - 6 - 2 中 给 出了 圆 波 导 中 各 种 模 式 的 截 止 波 长 分 布 图。由 图 可 见, T E1 1 波具有最长的截止波长,其次是 T M 01 波。 根据表 9 - 6 - 1 及表 9 - 6 - 2 所提 供的 数 值, 求得 T E11 及 T M 01 波 的截 止 波长分别为 T E11             λc = 3.41 a T M 01             λc = 2.62 a 25 0 第九章   导行电磁波 图 9 - 6 - 2   圆波导的截止波长 图 9 - 6 - 3   圆波导中的几种模式 由此可见,若工作波长 λ满足 2.62 a < λ< 3.41 a (9 - 6 - 23) 即可实现 T E11 波的单模 传输。 因此, T E1 1 波 是 圆波 导中 的常 用模 式 或称 主模。 若工作波长 λ给定,为了实现 T E11 波单模传输,圆波导半径 a 必须满足 λ 3 .4 1 < a< λ 2. 62 (9 - 6 - 24) 求出圆波导的截止频率和截止波长后, 其 相速、群 速、波导波 长及 波阻抗 公式 与 矩形波导的相应公式完全相同,可以直接引用。 根据 T E11 波的方程式,也可绘制其电场线及磁场线分 布。图 9 - 6 - 3 给 出 了圆波导中 T E11 , T E01 及 T M 01 波的电场线及磁场线分布。 例   已知 圆波 导 的半 径 a = 5 m m , 内 充理 想介 质 的相 对介 质常 数 εr = 9。 若要求工作于 T E11 主模,试求最大允许的频率范围。 解   已知为了保证工作于 T E11 主模,其工作波长必须满足 2.62 a < λ< 3.41 a 即 λm ax = 3.41×5 = 17.1 m m λmin = 2.62× 5 = 13.1 m m 对应的频率范围为 fm ax =λmvin = λmin 1 = 7 634 μ0 ε M Hz fmin = v λmax = λm ax 1 = 5 848 μ0 ε M Hz 9 - 7   波导中的传输功率与传输损耗 251 9 - 7   波导中的传输功率与传输损耗 无论矩形或圆形波导,沿纵向 长度方 向均 有能 量传播。 根据 波导中 电场 及 磁场的横向分量,计算复能流密度矢量, 再将复能流密度的实部沿波导的横截面 进行积分,即可求得波导中的传输功率。 设波导中的复能流密度为 Sc ,横截面为 S, 则波导中的传输功率为 ∫ ∫ P = R e( Sc )·d S = R e( Sc )d S S S (9 - 7 - 1) 当波导中填充理想介质时,波阻抗 ZT M 及 ZT E 均为实数,横 向电场与 横向磁场 的 相位相同,因此上式中 Re( Sc ) 为 Re( Sc ) = EH = ZH2 = E2 Z (9 - 7 - 2) 式中 E 及 H 均为横向场的合成分量, Z 代表 ZT M 或 ZT E 。 以矩形波导中的主模 T E10 波为 例,由式(9 - 4 - 1)得知,电 场仅 有 y 分量。 令其空间最大振幅的有效值,也 就是宽 壁中 央处的 电场 有效 值为 E0 , 则 空间 电 场振幅可以表示为 E = E0 sin πa x 将此式代入(9 - 7 - 2)及式(9 - 7 - 1) 中,得 P = ab E 2 0 2 ZTE (9 - 7 - 3) 若波导中介质的击穿场强为 Eb ,则矩形波导能够传输的最大功率为 Pb = ab E 2 b 4 ZTE (9 - 7 - 4) 实际中,为了安全起见,通常取传输功率 P = 1 3 ~ 1 5 Pb 。 波导中的损耗主要来自两个方面,其一是波导中的填充介质引起的损耗, 其 二是实际波导壁的有限电导率产生的 损耗。 为了 计算填 充介 质产生 的损 耗,仅 以有耗介质的等效介电常数 εe 代 替 原来 的介 电常 数ε即 可。至 于 波导 壁引 起 的损耗,严格计算非常复杂, 通常仍然利用理想导电壁情况下的场强公式计算波 导壁的损耗。但是认为场强沿传播方向不断衰减,设其衰减常数为 k″,则向正 z 方向传播的电场振幅可以表示为 E= E e- k″z 0 (9 - 7 - 5) 传输功率与场强振幅的平方成正比,因此, 传输功率可以表示为 25 2 第九章   导行电磁波 P= P e- 2 k″z 0 (9 - 7 - 6) 将上式对 z 求导,得单位长度内的功率衰减为 P z = - 2 k″P 显然,此功率衰减就是单位长度内的功率损耗, 即 Pl1 = - 2 k″P 由此得衰减常数 k″为 k″= Pl1 2P (9 - 7 - 7) 此式表明,为了计算衰减常数 k″必须 计算单 位长度内 的功率损 耗。为了 计 算波导壁的损耗, 在宽壁上取一小块 导体, 其 长度 及宽度 均为 单位长 度, 深度 等 于集肤厚度 δ,如图 9 - 7 - 1 所示。 当电流为 z 向时,其小块导体的电阻为 RS = l σS = σ1δ= πμf σ (9 - 7 - 8) 式中 σ为 波导 壁的电 导率, R S 称为 表面 电阻率。 表 9 - 7 - 1 给 出了三 种金 属 的表面电阻率。 表 9 - 7 - 1   表面电阻率 图 9 - 7 - 1   表面电阻 金属 银 铜 铝 RS 2.52×10 - 7 f 2.61×10 - 7 f 3.26×10 - 7 f     已知表面电流为通过单位宽度的电 流,因此 单位 宽度且 单位 长度波 导壁 内 的损耗功率 PlS 为 PlS = J2S R S (9 - 7 - 9) 式中表面电流 JS = en × H S , H S 为波 导壁表 面 的磁 场强 度。将 PlS 沿单 位长 度 波导内壁进行积分,即可求得单位长度内波导壁引起的损耗功率 Pl1 。 图 9 - 7 - 2 及图 9 - 7 - 3 分别 给出 了矩 形 波导 和圆 波导 的衰 减 常数 k″与 频率 f 的关系曲线。由图 9 - 7 - 2 可见,当矩形波导尺寸一定时, T E1 0 波的损 耗 最小。当宽壁尺寸 a 一定时, 窄壁愈窄,衰减常数 k″愈大。图 9 - 7 - 3 表明, 在 高频端,圆波导中 T E01 波损耗最小。但是 T E01 波的截止波长并不是最长。若要 9- 8   谐   振  腔 253 图 9 - 7 - 2   矩形波导的衰减 图 9 - 7 - 3   圆波导的衰减 实现 T E01 波单模传输, 必须设法抑制 T M 01 、T E21 及 T E1 1 波。当横截面的面积相 等时,矩形的周长大于圆的周长, 因此,圆波导 损耗较小。 但是圆 波导传输 T E1 1 波时, 其场分布会发生横向偏转。实 际中 使用椭 圆波 导, 既可 避免场 型偏 转, 又 可获得较小的损耗。此外, 为了减少 波导 壁的损 耗, 应提 高表 面的光 洁度, 可 以 镀银或金。还可在波导中充入干燥的惰性气体以防止表面氧化。 例   计算矩形波导中传输 T E10 波时,波导壁产生的衰减。 解   已知当矩形波导传输 T E10 波时,波导宽壁上的电流具有 x 分量 及 z 分 量,而窄壁上只有 y 分量。因此,单位长度内,宽壁上的损耗功率为 a a ∫ ∫ Pla = 2 J2 Sz R S d x + J2 Sx RS d x 0 0 式中 JSz = ey × H x , JS x = ey × H z 。而单位长度内窄壁上的损耗功率为 b ∫ Plb = 2 J2 Sy RS dy 0 式中 JSy = ex × Hz ,则单位长度内总损耗功率为 Pl1 = Pla + Plb 再由式 (9 - 7 - 1)算出传输功率 P, 然后将 P 及 Pl1 代入式 (9 - 7 - 7) 中, 即 可求得衰减常数为 k″= RS μ ε 1- λ2 2a 1 b + 2 a λ2 2a 9-8 谐 振 腔 在米波以上的微波波段,集中参 数的 L C 谐 振电路 无法 使用。 因为 随着 频 25 4 第九章   导行电磁波 率升高,必须减小 电感量和 电容量,但是 当 L C 很小时,分布 参数的影 响不可 忽 略。电容器的引线电感、线圈之间 以及器 件之 间的 分布电 容必 须考虑。 这就 意 味着,在米波以上波段, 很难制造单纯的电容及电感元件。此外,随着频率升高, 回路的电磁辐射效应也较显著,电容器中的介质损耗也随之增加, 这些因素导致 集中参数的谐振电路的 品质 因数 Q 值 显著 下降。因 此, 在米波 以上 波段, 经 常 使用相应的波段的传输线形成谐振器件。本节介绍由波导形成的谐振腔的原理 及特性。 当 矩 形 波导 终 端短 路 时,电 磁 波将 被 全部 反 射,在波导 中 形成 驻 波。 当 矩形 波 导 工 作 于主 模 时, T E10 波的电场仅有横 向分 量,短路 端形成 电场 驻波的波 节。 在离 短 路 端 半 个波 导 波 长 处, 又 形 成第二个电场驻波的波节。 若在 此处 放置一 块横 向短路片, 仍然满足 电场 边 界条 件, 如图 9 - 8 - 1 所示。 这样, 在短 路 终端 及 短路 片 之 间形 成 的金 属 腔中存在 电 场 驻 波, 当 然 也 存在 磁 场 驻 波。根 据 图 9 - 8 - 1   矩形谐振腔 T E1 0 波的场强公式(9 - 4 - 1)及 z = 0 处 边界条件, 求得 该金属 腔中电场 驻波 及 磁场驻波的方程式为             Hz = H 0 (e - j kz z - ejk z z )cos πa x (9 - 8 - 1a)        Hx =j kz a H 0 π (e- jk z z + ej k z z )sin πa x (9 - 8 - 1b)             Ey = - j ωμa π H 0 (e- jk z z - ej k z z )sin πa x (9 - 8 - 1c) 利用三角公式,上式又可写为             Hz = - 2j H0 sin( kz z)cos π a x (9 - 8 - 2a)             Hx = 2j kz a H 0 π cos( kz z)sin π a x (9 - 8 - 2b)             Ey = - 2ωμa H 0 π sin( kz z)sin π a x (9 - 8 - 2c) 此式表明,金 属腔中 的电 场及 磁场在 x 及 z 方 向上 均形成 驻波,但 电场 驻 波及磁场驻波的时间相位差为π2 。当电场能量达到最大值时,磁场能量为零; 反 之,当磁场能量达到最大值时, 电场能量为零。电磁能量在电场与磁场之间不断 地交换, 而且无需外界输入能量一 直存 在, 这种 现象称 为谐 振。读 者可以 证明, 9- 8   谐   振  腔 255 谐振时电场储能的最大值等于磁场储能的最大值。这些现象都是一切谐振器件 具有的共性,因此这种金属腔称为谐振腔, 它可作为微波电路中的谐振器件。 对于尺寸一定的谐振腔,仅对 特定的 频率 发生 谐振现 象。发 生谐振 的频 率 称为谐振频率,对应的波长称为谐振波长。应该注意, 谐振腔的谐振频率具有多 值性, 因为只要谐振腔的长度 d = l λg 2 , l = 1, 2,3 …, 均可满足 边界条 件,即 发 生谐振。又因波导波长还与模式有关,因此, 模式不同,谐振频率也不同。 已知矩形波导中 z 向传播常数 kz 为 k2z = k2 - mπ a 2 - nπ 2 b 当 d = lλ2g 时, kz d = lπ, kz = lπd , 代入上式,得 k= mπ a 2 + nπ b 2 + lπ 2 d (9 - 8 - 3) 又知 k = 2λπ= 2πf με,这里 μ及ε为谐振腔中填充 媒质的 电磁参数。 那么, 由 式(9 - 8 - 3)求得谐振波长 λm nl 及谐振频率 fm nl 分别为 λm nl = 2 m a 2 + n b 2 + l2 d (9 - 8 - 4) fm nl = 2 1 με m a 2 + n b 2 + l2 d (9 - 8 - 5) 上两式表明,谐振波长或谐振频率不仅与谐振腔的尺寸有关, 还与波导中的工作 模式有关,每组 m nl 值对应于一 种模 式。例如 T E1 01 模 式代 表矩 形 波导 谐振 腔 工作于 T E10 波,腔长为半个波导波长。为了有效地 设计谐 振腔的耦 合及调谐 装 置,必须了解谐振腔中的场分布。图 9 - 8 - 2 给出了矩形谐振腔工作于 T E101 模 式时的场结构。 和一切 谐振 器件 一样,实际 的谐 振腔总 存 在一定的损耗。若 无外 源补 充,腔 中的 能量 交 换不可能一直存 在。发 生谐 振时, 经过 一段 时 间后腔 中 全 部 电 磁 能 转 变为 热 能。 为 了 衡 量 谐振 器 件 的 损 耗 大 小, 通 常 使 用 品 质 因 数 Q 值,其定义为 Q = ω0 W Pl (9 - 8 - 6) 式中 ω0 为 谐 振 角频 率, W 为 腔 中 总 储 能, 也 图 9 - 8 - 2   T E101 模式 25 6 第九章   导行电磁波 就是电场储能的时间最大值或磁场储能的时间最大值, Pl 为腔中的损耗功率。 已知 T E10 波的电场最大值为 Em = 2 ωμa| π H0 | sin π a x sin πd z 因此电场储能密度的时间最大值为 wem = 1 2 εE2m 整个腔中的电场储能的时间最大值为 a b d ∫ ∫ ∫ ∫ W = w em d V = d x d y w em d z V 0 0 0 εa3 = bdω20 μ2 | 2π2 H 0 |2 (9 - 8 - 7) 为了计算单位面积腔壁的损耗功率,与计算波导壁的损耗方法相同, 但应沿 整个腔壁求积。那么,矩形谐振腔中 T E101 模式的损耗功率 Pl 为 Pl = 2 a3 b+ a3 d+ d2 a d3 + 2 d3 b2 RS | H 0 |2 (9 - 8 - 8) 将式(9 - 8 - 7)及式(9 - 8 - 8) 代入式(9 - 8 - 6)中, 求得矩形波导谐振腔工 作于 T E101 模式时,其 Q 值为 Q = 4π2 ω30 μ2 εa3 bd3 R S (2 a3 b + a3 d + ad3 + 2 d3 b) (9 - 8 - 9) T E1 01 模式的谐振角频率 ω10 1 = 2πf10 1 ,那么, 由式(9 - 8 - 5)求得 ω10 1 = π με 所以, T E101 模式的 Q 值可表示为 1 a 2 + 12 d Q10 1 = 4 RS πZb (2 a3 b + ( a2 + d2 )3 a3 d + ad3 + 2 d3 b) (9 - 8 - 10) 式中 Z = εμ。若 a = b = d 时,上式为 Q 101 = 2πZ 6 RS ≈0 .7 41 Z RS (9 - 8 - 11) 波导谐振腔可以获得很高 的 Q 值。例如,内 部为 空气的 铜质 矩 形谐 振腔, 当 a = b = d = 3 c m 时, 已知 铜 的 表 面 电阻 率 RS = 2. 61 × 10 - 7 f, 当 f101 = 7 070 M Hz时, 由式(9 - 8 - 11)求得 Q1 01 = 12 700 。 注意,上述 Q 值计算仅考虑了 腔壁 损耗。若 腔中 填充介 质,必 须计 及介 质 损耗,此时 Q 值计算方法可参阅有关微波技术书籍。 9- 8   谐   振  腔 257 由于圆波导的腔壁损耗 较小, 圆 柱谐振 腔的 Q 值较高, 它 比矩 形腔 获得 更 加广泛的应用。例如 使 用 圆柱 腔 制成 的 用于 测 量波 长 的 波长 计, 由 于 Q 值 很 高,大大提高了测量精度。圆 柱谐振 腔的 谐振 频率及 其 Q 值的 计算 方法 同前, 读者可以自行推导,其结果如下: 对于 T M 波 fT M =1 2π με pm n a 2 + lπ 2 d (9 - 8 - 12) 对于 TE 波 QTM δ λ = p2 mn + lπa 2 d 2π 1 + 2a d (9 - 8 - 13) fT E = 1 2π με p′m n a 2 + lπ 2 d (9 - 8 - 14) QT E δ λ = 2π ( 1- m2 p′m n p′m n )2 + 2a d ( p′m n )2 + lπa 2 3 λ lπa d 2 + 1 - 2a d m lπa p′m n d 2 (9 - 8 - 15) 上述式中 δ为腔壁材料的集肤厚 度, l = 1,2,3, …。 pm n 及 p′m n 值分 别由 表 9 - 6 - 1 及表 9 - 6 - 2 查得。 图 9 - 8 - 3   圆柱谐振腔的 Q 值 图 9 - 8 - 3 中给 出了圆 柱腔 的 Q 值 与尺寸 的关 系。由图 可见, T E01 l 模 式 具有较高的 Q 值。而且, 由于 T E01 波的 横向 磁场 只有径 向分 量, 因此短 路板 上 没有径向电流。这样,即使短路板与 腔壁之 间接 触不 良也不 会影 响腔中 电磁 场 25 8 第九章   导行电磁波 分布。但是 T E01 波的截止波长不是最长,因此为了实 现 T E0 1 l 单 一模式 振荡, 必 须采取适当措施消除其他低次模式。由图 9 - 8 - 3 还可见, T E011 模式的最大 Q 值发生在 d ≈2 a 附近。若 λ= 3 cm , 则 Q 值可达 104 ~4 ×104 。 提高谐振腔 Q 值的方法与减小波导壁损耗的方法相同。此外,体积应尽 可 能大一些,以增加储能。腔壁面积应尽可能小一些, 以减小损耗。 例   试证波导谐振腔对于任何模式的谐振波长 λr 均可表示为 λr = λc   l = 1,2,3,… 1+ lλc 2 2d 式中 λc 为截止波长, d 为谐振腔的长度。 解   已知无论何种波导,其传播常数 kz 均为 k2z = k2 - k2c 当腔长 d= l λg 2 时, kz d = lπ, kz = l πd , 均可发生谐振。将其代入上式,且考虑到 k = λ2πr 及 kc = λ2πc , 得 即 l π d 2 = 2π λr 2 - 2π 2 λc l 2d 2 = 1 λr2 - 1 λ2c 将上式整理后,即求得题目中的公式。 9-9 同 轴 线 同轴线的结构如图 9 - 9 - 1(a)所示, 其主要尺寸是内导体 的半径 a 和外 导 体的内半径 b。内外导体之 间 可以 填充 介质 或空 气, 电 磁波 在内 外 导体 之间 传 播。 图 9 - 9 - 1   同轴线 9- 9   同   轴  线 259 同轴线是一种性能良好的微波传输 线,它具 有与 波导一 样完 全电磁 屏蔽 的 优点, 而且工作频带较宽。同轴线具 有内 导体, 可 以支撑 静电 场存在, 因 此可 以 传输 T E M 波。同轴线中电场线为沿半径 er 方向的径向线, 磁 场线为沿 角度 e 方向的闭合圆,包围内导体表面的纵向电流, 如图 9 - 9 - 1( b) 所示。可 见,同 轴 线是一种典型的 T E M 波传 输线。 但是 同轴 线也 可 看作 为一 种圆 波导, 因此 除 了传输 T E M 波以 外, 还 可存 在 T E 波及 T M 波。为 了 抑 制这 些 非 T E M 波 成 分,必须根据工作频率适当地设计同轴线的尺寸。 同轴线中非 T E M 波的波型分析方法与圆波导类似。但是由于同轴线具有 内导体,变量 r 的范围是 a≤ r≤ b, 可见 r≠ 0。所 以, 在 r = 0 处 为无限 大的 第 二类柱贝塞耳函数,也应是方程式(9 - 6 - 12)的解, 故式(9 - 6 - 12) 的解应为第 一类柱贝塞耳函数与第二类柱贝塞耳函数之和,如式(9 - 6 - 13)所示。这样, 对 于 T M 波,考虑到 r = a 及 r = b 时, Ez = E = 0, 得 BJ m ( kc a) + C N m ( kc a) = 0 BJ m ( kc b) + C N m ( kc b) = 0 由此得 N m ( kc a) J m ( kc a) = N m ( kc b) J m ( kc b) (9 - 9 - 1)     对于 T E 波,为了满足 r = a 及 r = b 时, E = 0 的边界条件,类似求得 N′m ( kc a) J′m ( kc a) = N′m ( kc b) J′m ( kc b) (9 - 9 - 2) 式(9 - 9 - 1)及式(9 - 9 - 2) 皆为超越方程,可以借助图解法或数值方法求解。 求出常数 kc 以后,再用前述方法计算截止 波长,其 结果 如图 9 - 9 - 2 所示, 可见 T E11 波 具有 最 长 的 截 止 波 长, 其 值 为 π( a + b)。 因 此,为了抑制同轴线中 的非 T E M 波,工作波 长 λ必 须 满 足 λ> π( a + b) (9 - 9 - 3) 或者说,同轴线的尺寸应满足 a+ b< πλ≈ λ 3 图 9 - 9 - 2   同轴线中的高次模 (9 - 9 - 4) 由此可见, 为了消除同轴线中的高次 模, 随着 频率 升高, 同轴 线的 尺寸必 须相 应 地减小。但尺寸过小, 损耗增加, 且限 制了 传输 功率。因 此, 同轴 线的使 用频 率 一般低于 3 G Hz。 由 式 (9 - 9 - 3) 可 见, 同 轴 线 的 传 输 频 率 并 无 下 限, 这 也 是 T E M 波传输线的共性。平行的双导线传输线也是如此。 和金属波导一样, 同轴 线 也可 构 成 同轴 谐 振腔, 其设 计 方法 同 前。但 应 注 意,同轴线中电磁波的波长与同轴线的尺寸无关, 仅取决于填充的介质参数。若 26 0 第九章   导行电磁波 填充空气,则可认为同轴线中电磁波 的波长等 于工作波 长。因此,根据 T E M 波 的场结构可知, 两端封 闭长 度 为半 波长 整 数倍 的 同轴 线 即可 构 成同 轴 谐 振腔。 所以,同轴谐振腔也具有多谐性, 但谐振频率仅与谐振腔的长度有关。同轴谐振 腔广泛地用于微波仪表。 关于同轴线的传输损耗以及其他传输特性,可参阅有关的微波技术书籍, 这 里不再详述。 思 考 题 9 - 1   什么是 T E M 波、T E 波及 T M 波 ? 什么类型的导波系统可以传输 T E M 波 ? 为何 金属波导不能传输 T E M 波 ? 9 - 2   如何求解矩形波导中的电磁波 ? 9 - 3   矩形波导中的电磁波具有哪些主要特性 ? 9 - 4   矩形波导如何实现单模传输 ? 当矩形波导的宽边与窄边尺寸相等时,是否仍可实 现单模传输 ? 为什么 ? 9 - 5   矩形波导中 T E10 波的场分布如何 ? 9 - 6   什么是群速 ? 在波导中群速与相速的关系如何 ? 9 - 7   圆波导中的电磁波主要特性如何 ? 9 - 8   圆波导中如何实现单模传输 ? 9 - 9   圆波导中 T E11 波的场分布如何 ? 9 - 10   波导中的电磁波是否为平面波、均匀平面波或非均匀平面波 ? 9 - 11   电磁波在波导中发生的色散特性与导电媒质中的色散特性是否相同 ? 9 - 12   当波导中填充介质后,电磁波的频率、工作波长、截止波 长以及 波导波 长是否 会 发生变化 ? 9 - 13   如何计算波导中的传输功率及传输损耗 ? 波导中的传输损耗与哪些因素有关 ? 9 - 14   谐振腔是如何形成的 ? 如何计算谐振腔的谐振频率及品质因数 ? 9 - 15   给出 T E M 波传输线中电场与磁场应满足的方程式。 9 - 16   如何设计同轴线的尺寸,以保证仅传输 T E M 波 ? 9 - 17   同轴线的传输频率有无下限 ? 9 - 18   如何设计同轴谐振腔 ? 习   题 9 - 1   推导式(9 - 1 - 4)。 9 - 2   推导式(9 - 2 - 17)。 9 - 3   试证波导中的工作波长 λ、波导波长 λg 与截止波长 λc 之间满足下列关系 1 λ2g + 1 λ2c = 1 λ2 习   题 261 9 - 4   已知空气填充的矩形波导尺寸为 8 cm ×4 cm ,若工作频率 f = 7.735 G Hz,给出可 能传输的模式。若填充介质以后,传输模式有无变化 ? 为什么 ? 9 - 5   已知矩形波导的尺寸为 a× b,若在 z≥0 区域中填充 相对介 电常数 为 εr 的理 想 介质,在 z < 0 区域中为真空。当 T E10 波自真空 向介质 表面投 射时,试求边 界上的 反射波 与 透 射 波。 9 - 6   试证波导中时均电能密度等于时均磁能密度,再根据能速定义,导出式(9 - 4 - 9) 。 9 - 7   试证波导中相速 vp 与群速 vg 的关系为 vg = vp - λg d vp dλg 9 - 8   推导式(9 - 6 - 3)。 9 - 9   推导式(9 - 6 - 18)。 9 - 10   已知 空气填充的 圆波导直径 d = 50 m m ,若工作频率 f = 6.725 G Hz,给出可 能 传输的模式,若填充相对介电常数 εr = 4 的介质以后,再求可能传输的模式。 9 - 11   当比值( f/ fc )为何值时,工作于主模的矩形波导中波导壁产生的损耗最小 ? (指 获得最小衰减常数 k″) 9 - 12   已 知空气填充 的铜质矩形 波导尺寸为 7.2 cm ×3.4 cm ,工作于 主模,工作频 率 f = 3 G Hz。试求:① 截止频率、波导波长及衰减常数;② 当场强振幅衰减一半时的距离。 9 - 13   已知空气填充的铜质圆波导直径 d = 50 m m ,工作于主模,工作频 率 f = 4 G Hz, 试求:① 截止频率、波导波长及衰减常数;② 当场强衰减一半时的距离。 9 - 14   已知空气填充的矩形波导尺 寸为 20 m m ×10 m m ,工作频 率 f = 10 G Hz。若 空 气的击穿场强为 3×106 V/ m ,试求该波导能够传输的最大功率。 9 - 15   若波导中填充介质的参数为 ε,μ,σ,试证由于填充介质产生的衰减常数为 k″= σ μ 2ε 1- fc 2 f 9 - 16   已知空气填充的铜质矩形波导尺寸为 22.5 m m ×10 m m ,工作于主模,工作 频率 f = 10 G Hz。若该波导传输功率为 1 k W ,试求:① 波导壁产生的衰减常数;② 波导中电 场及 磁场强度的最大值;③ 波导壁上电流密度的最大值;④ 单位长度( m )内的损耗功率。 9 - 17   试证式(9 - 8 - 8)。 9 - 18   推导式(9 - 8 - 10)及式(9 - 8 - 12)。 9 - 19   已知矩形波导谐振腔的尺寸为 8 cm ×6 cm ×5 cm ,试求发生 谐振的 4 个最 低模 式 及 其谐 振 频 率 。 9 - 20   已知空 气 填 充的 圆 波 导半 径 为 10 m m ,若 用 该 波导 形 成 谐 振 腔,试 求 为 了 使 30 G H z电磁波谐振于 T M 021 模式所需的波导长度。 9 - 21   已 知空 气填 充 的矩 形波 谐 振腔 尺 寸为 25 cm ×1.25 cm ×60 c m ,谐 振模 式 为 T E102 ,在保证尺寸不变条件下,如何使谐振模式变为 T E103 。 9 - 22   试证波导谐振腔中电场储能最大值等于磁场储能最大值。 9 - 23   已知空气填充的黄铜矩形谐振腔 的尺寸为 a = b = c = 3 c m ,谐振模 式为 T E111 , 26 2 第九章   导行电磁波 黄铜的电导率 σ= 1.5×107 S m ,试求该谐振腔的品质因数。 9 - 24   试证由理想导电体制成的、介质填充的波导谐振腔品质因数 Q = ωσε,式中 ε及σ 分 别 为填 充 介 质 的 介 电 常 数 及 电 导率 。 9 - 25   已知内充空气的同轴线外导体内半径 b = 30 m m ,内导体半径 a = 5 m m ,试 求仅 传输 T E M 波的上限频率。 第十章   电磁辐射及原理 本 章 讨 论 有 关 电 磁 辐 射 的 基 本 特 性 及 原 理 。 将 介 绍 几 种 简 单 辐 射 体 ——— 电 流元、对称天线、小电流环及面元 的辐 射特 性, 以及复 合辐 射体———天线 阵的 辐 射特性。 此外, 还要 介绍 电 磁辐 射理 论中 几个 重 要原 理———对偶 原理、镜像 原 理 、互 易 原 理 及 惠 更 斯 原 理 等 。 10 - 1   电流元辐射 一段载有均匀同相的时变电流的导线称为电流元,它是一种简单的天线, 能 向空间辐射电磁波。电流元的 直径 d 远小 于长 度 l, 而 其长 度又 远 小于 波长 以 及观察距离。这里所谓的均匀同相电流 是指 导线 上各点 电流 的振幅 相等,且 相 位相同。实际上,这种电流分布是不可能实现的。一段中心馈电, 两端呈球状哑 铃形的导线可以获得近似的均匀同相电流分布,如图 10 - 1 - 1 所示。研究电流 元的辐射特性具有重要的理论价值与实际意义。任何线天线均可看成是由很多 电流元连续分布形成的,电流元是 线天线 的基 本单 元。很多 面天 线也可 直接 根 据面上的电流分布求解其辐射特性。此外,电流元的电磁辐射很富有代表性, 它 具备的很多特性是任何其他天线所共有的。 图 10 - 1 - 1   电流元 图 10 - 1 - 2   电流元的辐射场     设电流元位于无限大的空间,周围媒质是均匀线性且各向同性的理想介质。 先建立直 角坐 标系, 令 电流元 位于 坐标 原点, 且沿 z 轴放置, 如 图 10 - 1 - 2 所 示。利用矢量磁位 A 计算 其辐射 场。由 式(7 - 10 - 2a) 知, 线电 流 I 产 生的 矢 量磁位 A 为 26 4 第十章   电磁辐射及原理 ∫ A ( r) = μ 4π l Ie- j k| |r- r - r′| r′| d l′ 式中 r 为场点矢径, r′为源点矢径。由于 ln λ, ln r, 可 以认为 上式 中 | r - r′| ≈ r,又因电流仅具有 z 分量, 即 d l′= ez d l′, 因此 A( r) = ez Az (10 - 1 - 1) 式中 A z = 4μπIlre- j kr (10 - 1 - 2)     为了讨论天线的电磁辐射特性,使 用球 坐标系 较为 方便。利 用式(1 - 12 - 31), 求得上述矢量位 A 在球坐标系中的各分量为 Ar = Az cos θ Aθ = - Az sin θ A =0 再利用关系式 H = 1 μ × A,求得磁场强度各个分量为 H = k2 Ilsin θ 4π j kr + 1 k2 r2 e- jkr (10 - 1 - 3a) Hθ = Hr = 0 (10 - 1 - 3b) 又知 E = - jωA + ·A jωμε , 那么, 利 用矢 量 磁位 A 可以求得电场强度。这 里为了简便起见,利用麦克 斯韦方 程, × H = jωεE, 直 接根 据已 知 的磁 场强 度 计算电场强度,其结果为 Er = - j k3 Ilcos θ 2πωε j k2 r2 + 1 k3 r3 e- j kr Eθ = - j k3 Ilsin θ 4πωε - 1 kr + j k2 r2 + 1 k3 r3 e- jkr (10 - 1 - 4a) (10 - 1 - 4b) E =0 (10 - 1 - 4c) 式(10 - 1 - 3) 及式(10 - 1 - 4) 为电流 元场 强的一 般公 式。其结 果表 明, 在 球坐标中, z 向电流元场强具有 H , Er 及 Eθ 三个分量,而 Hθ = Hr = E = 0 。由 此可见,可以认为电流元产生的电磁场 为 T M 波。下 面分别 讨论 天线附 近及 远 处的场强,这里所述的远近是相对于波长而言的。将距 离远小于 波长 ( rn λ) 的 区域称为近区;反之, rm λ的区域 称为远 区。我 们将 会逐渐 体会 到物体 对于 电 磁场的影响,其绝对的几何尺寸是 无关紧 要的。 具有 重要意 义的 是物体 的尺 寸 相对于波长的大小,以波长度量的几何尺寸称为物体的波长尺寸。 位于近区中的电磁场称为近区场,位于远区中的电磁场称为远区场。 第一,近区场。因 rn λ, kr = 2λπrn 1, 则上式中 1 kr 的低 次项可以 忽略,且 10 - 1   电流元辐射 265 令 e - j kr ≈1, 那么由式(10 - 1 - 3) 及式(10 - 1 - 4) 得 H = Ilsin θ 4πr2 (10 - 1 - 5a) Er = - j Ilcos θ 2πωεr3 (10 - 1 - 5b) Eθ = - j Ilsin θ 4πωεr3 (10 - 1 - 5c) 将上式与静态场结果比较可见,式(10 - 1 - 5a)就是 恒定电 流元 Il 产生 的磁场。 考虑到 I = jωq,可见, 式(10 - 1 - 5b) 及式(10 - 1 - 5c) 就是电偶极 子 ql 产生 的 静电场。上式还表明,场与源的相位完全相同, 两者之间没有空间相位差。这些 特点表明,虽然电流元的电流随时间变化, 但它产生的近区场与静态场的特性完 全相同,无滞后现象, 所以近区场称为似稳场。通常 50 Hz 的输电线周围的电 磁 场即是似稳场。 由式 (10 - 1 - 5) 可 见, 电场 与磁 场 的时 间 相位 差 为 π2 , 能 流密 度 的实 部 为 零,只存在虚部。可见近区场中没有能量的单向流动, 能量仅在场与源之间不断 交换,近区场的能量完全被束缚在源的周围, 因此近区场又称为束缚场。当然这 一结论是近似的, 远区场的能量正 是来 自近区。 实际 上, 由以 下分析 可见, 被 忽 略的部分正代表向外辐射的能量,只不过相对于交换部分, 比较微弱而已。 第二,远区场。因 rm λ, kr = 2λπrm 1, 则式(10 - 1 - 3) 及式(10 - 1 - 4) 中的 高次项可以忽略,结果只剩下 H 及 Eθ 两个分量,经整理后 H = j Il2sλinrθe- jkr (10 - 1 - 6a) Eθ =j Z Ilsin 2λr θe- jkr (10 - 1 - 6b) 式中 Z = εμ为媒质的波阻抗。上式表明, 电流元的远区场具有以下特点: (1) 远区场为向 r 方向传播 的电 磁波。电 场及 磁场 均与传 播方 向 r 垂直, 可见远区场为 TE M 波,电场 与 磁 场 的 关 系取 决 于 波 阻 抗, 即 Eθ H = Z。 (2) 电场与磁场同相, 复能流密度仅具有实部。又因单位矢量 eθ 与 e 的 矢 积为 eθ× e = er , 可见能流密度矢量的方向 为传播 方向 r。这 就表 明,远 区中 只 有不断向外辐射的能量,所以远区场又称为辐射场。 (3) 远区场强振幅与距 离 r 成 反比, 场强 随距 离增加 不断 衰减。这 种衰 减 不是媒质的损耗引起的,而是球面 波固有 的扩 散特 性导致 的。因 为通过 包围 电 26 6 第十章   电磁辐射及原理 流元球面的功率是一定的,但球面的 面积与 半径 r2 成正 比, 因此 能流密 度与 距 离平方成反比,场强振幅与距离一次方成反比。 (4) 由式(10 - 1 - 6) 可见,远 区场强振幅不仅 与距离有关,而且 与观察点所 处的 方位 也 有关,即在 相 等距 离上 处 于不 同方 向的 辐 射场 不等,这 种特 性称 为 天线 的方向性。场强公式中与方位角 θ及 有关 的函 数称为 方向 性因 子,以 f(θ, ) 表示。上述电流元沿 z 轴放置,由于轴对称关系,场强与 方位角 无关,方向 性 因子仅为方位角 θ的函数, 即 f(θ, ) = sin θ。由此 可见, 电流 元在 θ= 0 的 轴 线方向上辐射为零,在与轴线垂直的 θ= 90°方向上辐 射最强。电 流元的 辐射 场 强与方位角 无关。 (5) 由式(10 - 1 - 6) 还可 见, 电场及 磁场 的方向 与时 间无 关, 可 见, 电流 元 的辐射场具有线极化特性。当然在不同的方向上,场强的极化方向是不同的。 应该指出,电流元远区场具有的上述(1) 、(2) 、(3) 、(4) 四种特性也是一切尺 寸有限的天线远区场的共 性,即一 切 有限 尺寸 的天 线,其 远区 场为 T E M 波,它 是一种辐射场,其场强振幅不仅与距 离 r 成 反比,同 时也和 方向 有关。当 然,严 格说来,远区场中也有电磁能量的交换部分。由式(10 - 1 - 5)可见, 形成能量交 换部分的场强振幅至少与距离 r2 成 反比, 而式 (10 - 1 - 6)表 明, 构成能 量辐 射 部分的场强振幅与 距离 r 成 反比, 因 此, 远区 中 能量 的交 换部 分所 占 的比 重 很 小。相反,近区中能量的辐射部分可以忽略。 至于天线的极化特性和天线的类 型有 关。天 线可以 产生 线极化、圆 极化 或 椭圆极化。当天线接收电磁波时,天 线的极 化特 性必 须与被 接收 的电磁 波的 极 化特性一致, 否则只能收到部分能 量, 甚至 完全 不能接 收。例 如, 只有当 线天 线 的导线与被接收的电磁波电场方向一致时,才能在导线上产生最大的感应电流。 当两者垂直时,不可能产生感应电流, 因而不可能收到该电磁波。 为了计算电流元向外的辐射功率 Pr,可将远区中的复 能流密度 矢量的实 部 沿半径为 r 的球面进行积分,即 ∮ Pr = Re( Sc )·d S S (10 - 1 - 7) 式中 Sc 为远区中的复能 流密 度矢 量, 它 应等 于位 于 远区 的 球 面上 的 电场 强 度 Eθ 与磁场强度 H 的共轭值的矢积,即 Sc = Eθ× H * = er | Eθ|| H | = er | Eθ|2 Z = er | H |2 Z 将式(10 - 1 - 6) 代入,得 Sc = er ZI2 l2 sin2 4λ2 r2 θ= Re( Sc ) 将此结果代入(10 - 1 - 7) 中,若周围为真空, 被阻抗 Z = Z0 = 120 πΩ, 读者可证 10 - 1   电流元辐射 267 电流元的辐射功率 Pr 为 Pr = 80π2 I2 l2 λ (10 - 1 - 8) 式中 I 为电流强度的有效值。 电流元向外的辐射能量来自 电源, 因 此, 对于 供给电 流元 电流 的电源 来说, 电流元相当于电源的负载。工程实际中,为了衡量天线辐射功率的大小, 以辐射 电阻 Rr 表述天线的辐射功率的能力,其定义为 Rr = Pr I2 (10 - 1 - 9) 将式(10 - 1 - 8) 代入,得电流元的辐射电阻 Rr 为 Rr = 80π2 l2 λ (10 - 1 - 10) 辐射电阻越大意味着同样电流下向外的辐射功率越多,天线的辐射能力越强。 例   若位于坐标原点的电流元沿 x 轴放置,试求其远区场公式。 解   因 Il = Ilex 。 A = ex A x , 式中 A x = 4μπIlre- jkr 相应的各球面坐标分量为 Ar = Ax sin θcos ; Aθ = A x cos cos θ; A = - A x sin × A = er rsin θ( - sin cos θ+ cos θsin ) Ax + eθ r ( - sin + jkrsin ) A x e + r ( - jkrcos θcos - cos θcos ) A x 已知 H = 1 μ × A,对于远区场仅 需考 虑与 距离 r 成反比 的分 量。因此,将 Ax 代入上式后,求得远区磁场强度 H 为 H = - eθ j kIlsin 4πr e- jkr - e jkIlcos θcos 4πr e- jkr = - j 2λIlr( eθsin + e cos θcos )e- jkr (10 - 1 - 11) 又知远区场是向正 r 方向传播的 T E M 波,因此,电场强度 E 为 E = Z H × er = - j 2ZλIlr( eθcos θcos - e sin )e- jkr (10 - 1 - 12) 上式表明,对于 x 方向电流元,不同场分量具有不同的方向性因子。此结果与 z 方向电流元的方向性因子完全不同。由此可见,改变天线相对于坐标系的方位, 26 8 第十章   电磁辐射及原理 其方向性因子的表示式随之改变。但是 并不 意味 天线的 辐射 特性发 生变 化,只 是数学表达式不同而已。正如前述,电流元在其轴线方向上辐射为零, 在与轴线 垂直的方向上辐射最强。 10 - 2   天线的方向性 天线的方向性是天线的重要特性 之一。 任何 天线都 具有 方向性,向 各个 方 向均匀辐射能量的无向天线实际中是不存在的。这一节将介绍如何定量地描述 天线的方向性。 由上节知,表征天线方向性的方向 性因子 是方 位角 θ及 的函 数 f(θ, )。 实际中使用归一化方向性因子 F(θ, )比较方便,其定义为 F(θ, )= f(θ, fm ) (10 - 2 - 1) 式中 fm 为 方 向 性 因 子 f (θ, ) 的 最 大 值。 显 然, 归 一 化 方 向 因 子 的 最 大 值 Fm = 1。这样,任何天线的辐射场的振幅可用归一化方向性因子表示为 | E| = | E|m F(θ, ) (10 - 2 - 2) 式中| E|m 为最强辐射方向上的场强振幅。 利用归一化方向性因子可用图形描绘天线的方向性。通常以直角坐标或极 坐标绘制天线在某一平面内的方向图。使用计算机绘制的三维空间的立体方向 图更能形象地描述天线辐射场强的空 间分 布。下 面以电 流元 为例,说明 天线 方 向图的绘制方法。 已知当电流元位 于 坐标 原 点, 且 沿 z 轴 放 置时, 方 向 性因 子 为 f(θ, ) = sin θ,其最大值 fm = 1,所以这种电流元的归一化方向性因子为 F(θ, ) = sin θ (10 - 2 - 3) 若采用极坐标,以 θ为变量在任何 = 常 数的平 面内, 函 数 F(θ, ) 的变 化轨 迹 为两个圆,如图 10 - 2 - 1(a)所示。 由于 F(θ, ) 与 无关,在 θ= π 2 的平面 内, 以 为变 量的 函数 F(θ, ) 的 轨迹为一个圆, 如图 10 - 2 - 1(b)所示。这样, 以极 坐标绘 制的整个 空间的方 向 图如 10 - 2 - 1(c) 所示[ 7] 。 图 10 - 2 - 2 以极坐标绘出了 典型的 雷达 天线 的方向 图。方 向图中 辐射 最 强的方向称为主射方向,辐射为零 的方向 称为 零射 方向。具 有主 射方向 的方 向 叶称为主叶, 其余称为副叶。为了定 量地 描述主 叶的 宽窄 程度, 通常 定义: 场 强 为主射方向上场强振幅的 1 倍的两个方向之间的夹角称为半功 率角,以 2 2θ0.5 表 10 - 2   天线的方向性 269 图 10 - 2 - 1   电流元方向图 图 10 - 2 - 2   平面方向图 示;两个零射方向之间的夹角称为零功率角, 以 2θ0 表示。由式 (10 - 2 - 3)及 图 10 - 2 - 1 可见, 电流元的半功率角 2θ0.5 = 90°, 而零功率角 2θ0 = 180°, 可见电 流 元的方向性很弱。目 前卫 星 通信 地面 站使 用 的 天 线, 其 主 叶 半 功 率 角 通 常 小 于 1°。 图 10 - 2 - 3绘 出 了 直 角 坐 标 三 维 空 间 的 方 向 图[7] 。 为了全面地衡量 有向 天 线的 辐射 功率 向 主射方向的 相 对 集 中 程 度, 将 有 向 天 线 与 无 向天线在一 定 条 件 下 进 行 比 较, 从 而 引 入 一 个参数———方 向 性系 数, 以 D 表 示。方 向 性 系数的定义 是, 当 有 向 天 线 在 主 射 方 向 上 与 无向天线在 同 一 距 离 处 获 得 相 等 场 强 时, 无 图 10 - 2 - 3   空间方向图 27 0 第十章   电磁辐射及原理 向天线所需的辐射功率 Pr0 与有向天线的辐射功率 Pr 之比值, 即 D= Pr0 Pr | E| m = | E0 | (10 - 2 - 4) 式中 | E | m 为有 向 天线 主射 方向 上的 场 强振 幅,| E0 | 为 无向 天线 的场 强 振幅。 已知有向天线的辐射功率主要集中在主射方向,因此, 有向天线所需的辐射功率 一定小于无向天线的辐射 功率, 即 Pr < Pr0 , 可见, D > 1。方 向 性愈 强, 方 向 性 系数 D 值愈高。 方向性系数通常以分贝表示,即 D dB = 10lg D (10 - 2 - 5) 考虑到式(10 - 2 - 2),有向天线的辐射功率 Pr 为 ∮ Pr = S | E |2m Z F2 (θ, )d S (10 - 2 - 6) 式中 S 代表以天线为中 心的闭 合球 面。根据 无向 天线的 特 性, 其辐 射功 率 Pr0 应为 Pr0 = | E0 |2 Z 4πr2 (10 - 2 - 7) 将式(10 - 2 - 6) 及式(10 - 2 - 7) 代入式(10 - 2 - 4) 中,得 D = 2π π 4π ∫ ∫ d F2 (θ, )sin θdθ 0 0 (10 - 2 - 8) 任何实际使用的天线均具有一定的损耗,天线获得的输入功率, 只有其中一 部分功率向空间辐射,另一部分被天线自身消耗。因此, 实际天线的输入功率大 于辐射功率。天线的辐射功率 Pr 与 输入 功率 P A 之比 称为 天线 的效率, 以 η表 示,即 η= Pr PA (10 - 2 - 9)     描述实际天线性能的另一 个参 数是 增益,以 G 表 示,其定 义与 方向 性系 数 类似。但是,增益是在相同的场强下,无向天线的输入功率 PA0 与有 向天线的 输 入功率 PA 之比,即 G = PA0 PA | E| = | E | m 0 若假定无向天线的效率 η0 = 1,那么由上述关系, 得 (10 - 2 - 10) G = ηD (10 - 2 - 11) 由此可见,只有当天线的 效率 η高,且 方 向性 系 数 D 值 大时, 天线 的 增益 才 较 高。可见,天线增益比较全面地描述了天线的辐射性能。 10 - 3   对称天线辐射 271 天线增益通常也以分贝表示,即 G dB = 10lg G (10 - 2 - 12) 已知电流元的归一化方向性因子 F(θ, ) = sin θ,代入式 (10 - 2 - 8)中, 求得 电 流元的方 向性 系数 D = 1.5 。目前 卫星 通讯地 面站 使用的 大型 抛物 面天 线, 方 向性很强,且效率也很高, 其增益通常高达 50 dB 以上。 10 - 3   对称天线辐射 对称天线是一根中心馈电,长度可与波长相比拟的载流导线, 如图10 - 3 - 1 所示。 其电流分布 以导 线 中 点 为 对 称, 因 此 被 称 为 对 称 天 线。若导线直径 d 远 小 于波 长, 即 d n λ, 电 流 沿线 分 布 可以近似 认 为 具有 正 弦 驻 波 特性, 因 为 对称 天 线 两 端 开 路,电流为零,形成电 流驻 波的 波节。 电流 驻 波的 波腹 位 置取决于对称天线的长度。设对称天线的半长为 L,在直 角坐标系中沿 z 轴放置,中 点位于 坐标 原点,则 电流空 间 分布函数可以表示为 I = Im sin k( L - | z|) (10 - 3 - 1) 式中 Im 为电流驻波 的空 间最 大值或 称为 波腹 电流, 常 数 图 10 - 3 - 1   对称天线 k = 2λπ。既然对称天线的电 流 分布 为正 弦驻 波, 对 称天 线可 以看 成 是由 很多 电 流振幅不等但相位相同的电流元排成 一条 直线 形成的。 这样,利 用电流 元的 远 区场公式即可直接计算对称天线的辐射场。 根据式(10 - 1 - 6),电流元 Id z′产生的远区电场强度应为 d Eθ =j ZId z′sin 2λr′ θe- j k r′ (10 - 3 - 2) 由于观察距 离 rm L, 可以 认 为 组 成 对称 天 线 的 每 个电流元对于观察点 P 的指向是相同的,即 r′∥ r, 如图 10 - 3 - 2 所示。 因此各个电流元在 P 点产生的 远区电 场方向 相同, 合成电场为各个电 流元 远区 电场 的标 量和, 即对 称天 线 的远区电场为 图 10 - 3 - 2   对称天线 ∫ Eθ = L -L j ZId z′sin 2λr′ θe - j k r′ (10 - 3 - 3) 的辐射场 考虑 到 Ln r′, 可以近 似认 为 1r′≈ 1 r 。由 于 对称 天 线 的 27 2 第十章   电磁辐射及原理 长度与波长为同一量级,含 在相位 因子 中的 r′不能以 r 代 替, 但由 于 r′∥ r, 作 为一次近似可以认为 r′= r - z′cos θ 即 e = e e - jkr′ - jkr j kz′cos θ 将这些结果以及式(10 - 3 - 1) 代入式(10 - 3 - 3) 中, 读者可 以证 明对称 天线 的 远区辐射电场为 Eθ = j 6 0 Im r cos( kLcos θ) - cos sin θ kL e- jkr (10 - 3 - 4) 可见,对称天线的方向性因子为 f(θ) = cos( kLcos θ) - cos sin θ kL (10 - 3 - 5) 由此可见,沿 z 轴放置的对称天线的方向性因子与方位角 无关,仅为方 位角 θ 的函数。此外,显然长度不同的对称天线, 其方向性因子也不同。 图 10 - 3 - 3 绘出了几种不同长 度的对 称天 线在 天线所 在的 平面内 的方 向 图。将这些平面方向图绕 z 轴旋转一周即构成空间方向图。由图 10 - 3 - 3 可 见,无论对称天线的长度如何, 在 θ= 0 及 θ= π的轴线 方向上始终没有 辐射, 因 为各个电流元在轴线方向上辐射为零。 当天 线的 全长小 于一 个波长 时,方向 图 仅 具 有 两 个 主 叶,且θ= π 2 的方向 为主 射方 向, 因 为在 此方向 上各 个电流 元产 生 的电场方向相同,相位也相等,合成场 强最 强。当 天线全 长大 于一个 波长 时,出 现副叶。尤其当全长等于两个波长时,即半 长 L = λ, 原来 θ= π 2 的主射 方 向 变 为零射方向,因为虽然在此方向上各个电流元产生的电场方向相同, 但是一半电 流元的初始相位与另一半电流元的初始相位相反,两者产生的场强彼此抵消, 导 致合成场强为零。读者根据 10 - 4 节将要介绍的天线阵理论即可理解这些方向 图的形成原因。 图 10 - 3 - 3   几种对称天线的方向图 10 - 4   天线阵辐射 273 全长为半波长的对称天线称为半波天 线。令 L = λ4 , 代入 式(10 - 3 - 5) 求 得半波天线方向性因子为 f(θ) = cos π2 cos θ sin θ (10 - 3 - 6) 半波天线是实际中经常使用的对称天线,它广泛地用于各个波段。 例   根据辐射电阻及方向性系数的 定义,计 算半 波天线 的辐 射电阻 及方 向 性系数。 解   已知自由空间半波天线的远区电场为 Eθ = j 60 Im r cos π2 cos θ sin θ e- j kr 因此,半波天线的辐射功率为 ∮ ∫ ∫ Pr = S | Eθ|2 Z0 d S = 2π d 0 π 0 3 600 I2m 1 20πr2 cos2 π2 cos θ sin2 θ r2 sin θdθ ∫ = 60 I2m π 0 cos2 π2 cos θ sin θ dθ 若定义 Rr = Pr I2m 为 半 波 天 线 的 辐 射 电 阻, 则 ∫ Rr = 60 π cos2 0 π2 cos sin θ θ dθ 上式中积分用数值方法求得其值约为 1.218,那么半波天线的辐射电阻为 Rr = 73.1 Ω 对称天线的电流分布是不均匀的,线上各点电流振幅不同, 因此选取不同点 的电流作为参考电流,辐射电阻的 数值将 不同。 通常 选取波 腹电 流或输 入端 电 流作为辐射电阻的参考电流,求得的 辐射电 阻分 别称 为以波 腹电 流或输 入端 电 流为参考的辐射电阻。对于半波天线,其输入端电流等于波腹电流, 因此上述辐 射电阻可以认为是以波腹电流或者以输入端电流为参考的辐射电阻。 由式(10 - 2 - 8) 及式 (10 - 3 - 6) 求 得 半 波 天 线的 方 向 性 系 数 D = 1.64。 可见,半波天线的方向性系数比电 流元稍 大一 些,表示半 波天 线的 方向性 较强。 由图 10 - 3 - 3 可见, 半波天线的方向图为两个较扁窄的圆。 10 - 4   天线阵辐射 为了改善和控制天线的方向性,通常使用多个简单天线构成复合天线, 这种 27 4 第十章   电磁辐射及原理 复合天线称为天线 阵。适 当地 设 计各 个 单元 天 线 的类 型、数 目、电 流 振幅 及 相 位、单元天线的取向及间隔, 可以形成所需的方向性。 均匀直线式天线阵 是结构 最简单的 天线阵, 这 种天线阵的结构 如图 10 - 4 - 1 所示。均匀直线 式 天线阵中各个单元天线 的类型 和取向均 相同,且 以 相等的间隔 d 排列在一条直线上。各单元天线的电 流振幅均为 I,但相位依次逐一滞后同一数值 α。若 仅考虑远区场,且观察距离远大于天线阵的尺寸, 那 么可以认为各 个单 元天线 对于 观察 点 P 的 取向 是 相同的。又因各单元天线的取向一致, 因此, 各个单 元天线在 P 点 产生的 场强 方向 相同,这 样, 天线 阵 的合 成场 强 等于 各个 单 元天 线场 的标 量 和,即 图 10 - 4 - 1   均匀直线式天线 E = E1 + E2 + … + E n (10 - 4 - 1) 根据天线远区辐射场的特性,第 i 个单元天线的辐射场可以表示为 Ei = Ci Ii ri fi (θ, )e - j kr i (10 - 4 - 2) 式中 Ci 决定于天线类型。对于均匀直线 式天 线阵, 因各 单元 天线 类型相 同, 则 C1 = C2 = … = Cn ;又因取向一致, 故 f1 = f2 = … = fn 。 设电 流 I1 = I, 电 流 逐 一 滞 后 的 相 位 差 为 α, 则 I2 = Ie - jα, …, In = Ie- j( n - 1)α。若单元天线之间的间隔为 d,那么与前同理, 对于远区可以认为 1 r1 = 1 r2 = … 1 rn e = e e - jkr2 - j kr1 jkdcos θ e = e e - jkr3 - j kr1 jk2 dcos θ ⁝ e = e e - jkrn - j kr1 jk( n - 1) dcos θ 将这些结果代入式(10 - 4 - 1) 中,求得 n 元天线阵的合成场强为 E= C1 I1 r1 f1 (θ, ) [1 + ejξ + ej2 ξ + … + ej( n - ]e 1 ) ξ - j kr1 式中 ξ= kdcos θ- α 利用等比级数求和公式,得   1 + ejξ + ej2ξ + … + ej( n - 1)ξ = 1 - ejnξ 1 - ejξ = e - - j nξ 2 e- j2ξ - j nξ 2 ee e jξ2 j( n - 1 ) ξ 2 sin = sin nξ ξ2 ej( n - 1 ) ξ 2 2 (10 - 4 - 3) (10 - 4 - 4) 10 - 4   天线阵辐射 275 将此结果代入式(10 - 4 - 3) 中,若仅关心天线阵场强的振幅, 则 | E| = C1 I1 r1 f1 (θ, sin ) sin n 2 ( k dcos θ- α) 1 2 ( k dcos θ- α) (10 - 4 - 5) 令 fn (θ, sin )= sin n 2 ( kd cos θ- α) 1 2 ( kd cos θ- α) (10 - 4 - 6) 则 n 元天线阵场强的振幅可以表示为 | E| = C1 I1 r1 f1 (θ, ) fn (θ, ) (10 - 4 - 7) 式中 fn (θ, )称为阵因子。对于如图 10 - 4 - 1 放置的均匀直线式天线阵,它 仅 为方位角 θ的函数。对于一般天线阵,它可能是方位角 θ及 的函数。 若以 f(θ, )表示天线阵的方向性因子, 则 f(θ, ) = f1 (θ, ) fn (θ, ) (10 - 4 - 8) 式中 f1 (θ, ) 为单元天线的方 向性因子, fn (θ, ) 为阵因子。由此 可见,均 匀直 线式天线阵的方向性因子等于单元天线 的方 向性 因子与 阵因 子的乘 积,这一 规 则称为方向图乘法规则。由式(10 - 4 - 6) 可见,阵因子与单元天线的数目 n、间 距 d 及电流相位差α有关。这就意味着, 天线 阵的方向 性不仅 与单元天 线的 类 型 有 关,而 且 还 与 单 元 天 线 的 数 目 、间 距 及 电 流 相 位 有 关 。 适 当 地 变 更 单 元 天 线 的数目、间距及电流相位, 即可改变天 线阵 的方 向性。因 此, 可以 根据给 定的 方 向性,确定天线阵的结构, 这就是天线阵的综合问题。 将阵因子对 ξ求导,并令其等于零,可以求得阵因子达到最大值的条件。由 d sin nξ 2 dξ sin ξ 2 =0 得 ta n n2ξ= ntan ξ 2 为了满足此等式,仅当 ξ= 0。因此,阵因子达到最大值的条件为 kdcos θ= α (10 - 4 - 9) 这一结论的物理意义是 很明 显的。 ( kdcos θ) 是 两个 相邻 的单 元 天线 在 P 点产生场强的空 间相位差,α为两者 的电流 时间相位 差。当式 (10 - 4 - 9)满 足 时,意味着场强的空间相位差恰好抵消了电流的时间相位差。因此, 各个单元天 线产生的场强相位相同,合成场强达到最 大值。由 式 (10 - 4 - 9) 求得阵 因子 达 到最大值的角度 θm 为 27 6 第十章   电磁辐射及原理 θm = arccos kαd,(α≤ kd) (10 - 4 - 10) 由此可见,阵因子的主射方向决定于单元天线之间的电流相位差及其间距。 如果不考虑单元天线的方向性或单元天 线的 方向 性很弱,那 么天 线阵的 方向 性 主要决定于阵因子。连续地改变单元天 线之 间的 电流相 位差,即 可连续 地改 变 天线阵的主射方向,这样, 无需转动天线,即可实现在一定范围内的方向性扫描, 这就是相控阵天线的工作原理。由式(10 - 4 - 10)可见, 为了保证最强的辐射角 度 θm 存在,电流相位差 α必须满足α≤ kd 条件。 各个 单 元 天 线 电 流 相 位 相 同 的 天 线 阵 称 为 同 相 阵。 因 α = 0, 由 式 (10 - 4 - 10)得 θm = π 2 (10 - 4 - 11) 此结果表明,若不考虑单元天线的方向性, 则天线阵的主射方向垂直于天线阵的 轴线,这种天线阵称为边射式天线 阵。一个 长度 为全 波长的 对称 天线可 认为 是 由两个同相的半波天线构成的,即是一个典型的边射式二元阵。 若单元天线之间的电流相位差 α= kd,由式(10 - 4 - 10) 得 θm = 0 (10 - 4 - 12) 此结果表明,若不考虑单元天线的方向性, 则天线阵的主射方向指向电流相位滞 后的一端。这种天线阵称为端射式天线阵。 图 10 - 4 - 2 给出了由两个半 波天线 构成 的几 种二元 阵的 方向图。 其间 距 及电流相位差 分别 为:(a) d = λ2 ,α = π;(b) d = λ2 ,α= 0; (c) d = λ4 ,α = π2 。 读者可以根据方向图乘法规则理解这些二元阵方向图的形成原因。 图 10 - 4 - 2   几种二元阵的方向图 天线阵的应用十分广泛。地面广播电视天线即是一种垂直排列的直线式天 线阵。地面调频广播天线是一种由四个垂直半波天线组成的水平环行阵。当前 蜂窝移动通信基站使用的一种天线与调频广播天线十分类似。远程警戒雷达天 线通常是由多个抛物面天线组成的天线阵。在射电天文观测系统中使用的大型 10 - 5   电流环辐射 277 抛物面天线阵甚至可以跨国构成。 例   某直线式四元天线阵,由四个相互平行的半波天线构成, 如图10 - 4 - 3 所示。单元天线之间的间距为半波长,单元天线的电流同相, 但电流振幅分别为 I1 = I4 = I, I2 = I3 = 2 I, 试求与单元天线垂直的 x = 0 平面内的方向性因子。 解   由半波 天 线的 方 向 图 得 知,在 图 示 的 x = 0 平面内,单 元 天线 没有 方向 性,因 此 天线阵的方向性仅决定于阵因 子。由于单 元 天线 的电 流振 幅不 等,不 能直 接利 用 前述 的 均匀直线式天线阵公式。但是第 二及第三 个 单元天线可以分别看成是由两个 电流等幅 同 相的半波天 线 并 列合 成。这 样,该 四 元 天 线 阵可以分解为两个均匀直线式 三元阵。两 个 图 10 - 4 - 3   四元天线阵 三元阵又构成一个均匀直线式二元阵,且 间距 仍为 半波长。 根据 方向图 乘法 规 则,上述四元天线阵在 x = 0 平面 内的 方向 性 因子 应等 于均 匀直 线 式三 元阵 的 阵因子与二元阵的阵因子的乘积,即 f(θ, ) = f3 (θ, ) f2 (θ, ) 式中 f3 (θ, sin )= sin 32πcos θ π2 cos θ f2 (θ, ) = 2cos π2 cos θ 10 - 5   电流环辐射 电流环是一个载有均匀同相时变电流的导 线圆环,其圆环 半径 a 远 小于 波 长λ, 且 a 也远小于观察距离 r。设电 流环位 于无 限大的 空间, 周 围媒质 是均 匀 线性且各向同性的。建立直角坐标系,令电流环位于坐标原点, 且电流环所在平 面与 z = 0 平面一致, 如图 10 - 5 - 1 所示。 显然,在相应的球坐标系中,因结构对称于 z 轴,电流环 的场 强一定 与角 度 无关。所以 为了 简单起 见,令观 察点 位于 y = 0 平面,即 = 0 平面 内。已 知 线电流产生的矢量位为 ∫ A( r) = μ 4π Id l′e- jk| r - r′| | r - r′| (10 - 5 - 1) 由 5 - 2 节得知,对于 P 点,以下关系成立 27 8 第十章   电磁辐射及原理 图 10 - 5 - 1   小电流环     d l′= e′ad ′ e′ = e cos ′- ex sin ′ | r - r′|≈ r - asin θcos ′ | r 1 - r′| ≈ 1 r 1+ a r sin θcos ′ 则 e ≈e e - jk| r - r′| - jkr jkasin θcos ′ 因 ka = 2π a λ n 1,可 以 认 为 上 式 中 ej kasin θcos ′≈1 + jkasin θcos ′ 即 ejk| r - r′| ≈e- jkr (1 + jkasin θcos ′) 则   ej k| r - |r - r′| r′| ≈ e- j r kr 1+ a r sin θcos ′ (1 + jkasin θcos ′) ≈ e -j r kr 1+ a r sin θcos ′+ jkasin θcos ′ 而 d l′= e acos ′d ′- ex asin ′d ′ 将式(10 - 5 - 2) 及式(10 - 5 - 3) 代入式(10 - 5 - 1),得 A ( r) = e k2 μIS 4π 1 k2 r2 +j 1 kr sin θe- jkr 式中 S = πa2 为电流环的面积。 利用关系式 H = 1 μ × A,求得电流环产生的磁场为 Hr = ISk3 2π j 1 k2 r2 + 1 k3 r3 cos θe- jkr Hθ = SIk3 4π - 1 kr + j 1 k2 r2 + 1 k3 r3 sin θe- j kr H =0 (10 - 5 - 2) (10 - 5 - 3) (10 - 5 - 4) (10 - 5 - 5a) (10 - 5 - 5b) (10 - 5 - 5c) 10 - 5   电流环辐射 279 再利用关系式 E = 1 jωε × H,求得电流环产生的电场为 E = j ωμSIk2 4π -j 1 kr - 1 k2 r2 sin θe- jkr (10 - 5 - 6a) Er = Eθ = 0 (10 - 5 - 6b) 由此可见,电流环产生的电磁场为 T E 波。 对于实际中所感兴趣的远区场, 因 krm 1, 则只 剩下 两个 分 量 Hθ 及 E , 它 们分别为 Hθ = - πλ2SrIsin θe - j kr E = λZπ2 rSIsin θe- jkr (10 - 5 - 7a) (10 - 5 - 7b) 式(10 - 5 - 7a)中的负号表明, 磁场分量 Hθ 的实际方向为负 eθ 方向,这样, 负 eθ 方向的磁场与正 e 方向的电场 构成了 正 er 方 向的 能流密度矢量。 式(10 - 5 - 7) 表明,电流环的方向性因子 f(θ, ) = sin θ (10 - 5 - 8) 可见,与 z 向 电 流元 的 方向 性 因子 完 全 一样, 如图 10 - 5 - 2 所示。电流环所在平面内辐 射最强, 垂直 于电流环平面的 z 轴方向为零射方向。 图 10 - 5 - 2   电流环的方向图 将远区中的能流密度矢量沿球面进 行积 分,求得 电流环 向自 由空间 的辐 射 功率 Pr 为 Pr = 320π6 a λ 4 I2 (10 - 5 - 9) 利用关系式 Rr = Pr I2 , 求 得 电 流 环 的 辐 射 电 阻 为 Rr = 320π6 a4 λ (10 - 5 - 10) 比较电流元 及 电 流 环的 场 强 公 式 可见, 两 者 非 常类 似。但是,电 流 元 的磁 场 分 量 相 当于 电 流 环 的 电场 分量,电流元的电场分量相当于电流环的磁场分量。 例   某复合 天线 由电 流元 I1 l 及 电流 环 I2 S 构 成。电 流 元 的 轴 线 垂 直 于 电 流 环 的 平 面, 如 图 10 - 5 - 3所示。试求 该复 合天 线 的方 向 性因 子 及辐 射场的极化特性。 图 10 - 5 - 3   电流元 I1 与电流环 I2 28 0 第十章   电磁辐射及原理 解   令复合天线位于坐 标原 点,且 电流 元轴 线与 z 轴一 致,则 该 电流 元 产 生的远区电场强度为 E1 = eθj ZI1 sin 2λr θe- jkr 而电流环产生的远区电场为 E2 = eθ ZπSI2 sin λ2 r θe- jkr 因此,合成的远区电场为 E= eθj ZI1 l 2λ + e ZπSI2 λ2 e- jkr r sin θ 因 eθ ⊥ e , 可见上式中两 个分 量 相互 垂 直, 且 振 幅不 等, 相 位 相差 π2 。 因此, 若 I1 与 I2 相位相同, 合成场为椭圆极化;若 I1 与 I2 的相位差为 π2 , 则合成场为线 极化。该复合天线的方向性因子仍为 sin θ。 10 - 6   对 偶 原 理 在前言中已经指出,电荷与电 流是产 生电 磁场 的惟一 源。自 然界中 至今 尚 未发现任何磁荷与磁流存在。但是对于 某些 电磁 场问题,引 入假 想的磁 荷与 磁 流是有益的。引入磁荷与磁流后,认为磁荷与磁流也产生电磁场。那么, 前述正 弦电磁场的麦克斯韦方程修改如下: × H ( r) = J( r) + jωD( r) (10 - 6 - 1a) × E( r) = - Jm ( r) - jωB( r) (10 - 6 - 1b) ·B( r) = ρm ( r) (10 - 6 - 1c) · D( r) = ρ( r) (10 - 6 - 1d) 式中 Jm ( r) 为磁流密度,ρm ( r)为磁荷体密度,它们满足的磁荷守恒原理为 ·Jm ( r) = - jωρm ( r) (10 - 6 - 2) 如果将上述电场 及 磁 场 分 为两 部 分: 一 部 分 是 由 电 荷 及 电 流 产 生 的 电 场 Ee ( r) 及 磁 场 H e ( r); 另 一 部 分 是 由 磁 荷 及 磁 流 产 生 的 电 场 E m ( r) 及 磁 场 H m ( r), 即 E( r) = Ee ( r) + E m ( r) H ( r) = H e ( r) + H m ( r) 将上式代入式(10 - 6 - 1),由于麦克斯韦方程是线性的, 那么由电荷和电流产生 10 - 6   对 偶 原 理 281 的电磁场方程,以及由磁荷和磁流产生的电磁场方程分别如下: × H e = J + jωεEe × Ee = - jωμHe ·Be = 0 ·De = ρ × H m = jωεE m × E m = - Jm - jωμH m ·B m = ρm ·D m = 0 将式(10 - 6 - 3) 与式(10 - 6 - 4) 比较后,可以获得以下对应关系 (10 - 6 - 3a) (10 - 6 - 3b) (10 - 6 - 3c) (10 - 6 - 3d) (10 - 6 - 4a) (10 - 6 - 4b) (10 - 6 - 4c) (10 - 6 - 4d) He → - E m ε→μ J→ Jm     Ee → H m μ→ε ρ→ρm 这个关系称为对偶原理或二重性原理。该原理揭示了电荷及电流产生的电磁场 和磁荷及磁流产生的电磁场之间存在 的对 应关 系。这就 意味 着,如果我 们已 经 求出电荷及电流产生的电磁场,只要 将其结 果表 示式 中各个 对应 参量用 对偶 原 理的关系置换以后,所获得的表示式 即可代 表具 有相 同分布 特性 的磁荷 与磁 流 产生的电磁场。例如,根据 z 向电流元 Il 的远区场公式(10 - 1 - 6) 即可直接 推 出 z 向磁流元 Ilm 产生的远区场应为 Em = -j Im lsin 2λr θe- j kr (10 - 6 - 5a) H mθ =j Im lsin 2λrZ θe - j kr (10 - 6 - 5b) 式(10 - 6 - 5a)中的负号 表明 z 向磁 流元 产生的 电场 实际 方向 应 为负 e 方向。 只有这样,负 e 方向的电场 与正 eθ 方向 的磁 场才可 构成 正 er 方 向 的能 流密 度 矢量。此外, 再 将磁 流 元远 区 场公 式(10 - 6 - 5)与 前节 电 流环 的 远区 场 公 式 (10 - 5 - 7)比较, 两种场分 布非 常类 似。因 此位 于 xy 平 面 内 的电 流 环即 可 看 作为一个 z 向磁流元。由此可见,虽然实际中并不存在磁荷及磁流,但是类似 电 流环的天线可以看作为磁流元。在电磁 理论 中对 偶原理 还有 其他用 途,这里 不 再详述[22] 。 引入磁荷 ρm 及磁流 Jm 以后, 麦克 斯韦 方程 的 积分 形式 与前 不同, 涉及 的 两个方程为 ∮ ∫ E·dl = - Jm - jωB·d S l S (10 - 6 - 6) 28 2 第十章   电磁辐射及原理 ∮ B·d S = ρm S (10 - 6 - 7) 那么,由麦克斯韦方程积分形式导出的前述边界条件必须加以修正。但是, 上两 式仅涉及电场强度的切向分量和磁场 强度 的法 向分量。 因此,当 考虑到 假想 的 磁荷与磁流存在时,电场强度的切向 分量和 磁场 强度 的法向 分量 边界条 件修 改 如下: en ×( E2 - E1 ) = - Jm S (10 - 6 - 8) en·( B2 - B1 ) = ρm S (10 - 6 - 9) 式中 Jm S ( r)为表 面磁 流 密度,ρm S ( r) 为 表面 磁 荷密 度, en 由媒 质 ① 指 向 媒 质 ②,如图 10 - 6 - 1 所示。 磁导率 μ→∞的媒质称为理想导 磁体, 其内部 同样不可能存在任何电磁场,但其表面可以 存在假 想的表面磁荷与磁流。那么,理想导磁体的 边界条 件如下: en × H = 0 en × E = - Jm S (10 - 6 - 10) 图 10 - 6 - 1   边界条件的修正 en·B = ρm S en· D = 0 (10 - 6 - 11) 10 - 7   镜 像 原 理 在静态场中,为了考虑某些特殊边界对于电荷或电流的影响, 可以引入镜像 电荷或镜像电流替代边界的作用,这 种求解 静态 场边 值问题 的方 法称为 镜像 法 或镜像原理。镜像原理的理念同样也适 用于 时变 电磁场,但 是也 仅能应 用于 某 些特殊的边界。这里仅讨论无限大的理想导电平面和无限大的理想导磁平面两 种 边 界 。 对 于 其 他 边 界,镜 像 原 理 的 应 用 可 参 阅 文 献[ 22 ]。 设时变电流元 Il 位于无 限大的 理想 导电平 面附 近, 且垂 直于 该 平面, 如 图 10 - 7 - 1(a)所示。为了求解 这种 时变电 磁场 的边值 问题, 可 以采 用镜像 原理。 为此,在镜像位置放置一个 镜像电 流元 I′l′, 且令 I′= I, l′= l。以 镜像 电流 元 代替边界的影响以后, 整个空间 变为 媒质 参数 为 ε, μ的 均匀 无限 大空 间, 如 图 10 - 7 - 1(b)所示。 已知理想导电体边界上电场切向分 量应 为零,如 果引入 的镜 像电流 元与 原 来的电流元在边界平面上产生的合成电场切向分量仍然为零,那么, 对于上半空 间而言,由于源及边界条件均未发生变化, 因此,根据正弦电磁场惟一性定理, 上 半空间的场不会改变。这样,即可根 据原来 的电 流元 及镜像 电流 元计算 上半 空 10 - 7   镜 像 原 理 283 图 10 - 7 - 1   垂直电流元的镜像 间的电磁场。下面证明,引入的镜像电流元是正确的。 已知时变电流与时变电荷的关系为 I( t) = d q( t) dt , 对于 正弦 时变 电流, I = jωq。时变电流元的电荷积累在 电流元 的两 端, 上端 电荷 q = jωI , 下端 电荷 q = - jωI ,如图 10 - 7 - 1(a) 示。由于引入镜像源以后, 整个空 间变为均 匀无限大 的 空间,因此 可以通过 矢量位 A 及标量位 Φ 的积分 公式计算 场强。电 流元 Il 产 生的电场强度为 E = - jωA - Φ+ - Φ- (10 - 7 - 1) 式中 A = μIl 4πr0 e - j kr (10 - 7 - 2a) Φ+ = q 4πεr+ e- jkr + Φ- = - q 4πεr- e- jkr - (10 - 7 - 2b) (10 - 7 - 2c) 令 - jωA = E0 ,   - Φ+ = E + ,   - Φ- = E - , 则 E = E0 + E + + E - (10 - 7 - 3) 类似地,可以求得镜像电流元 I′l′产生的电场为 E′= E′0 + E′+ + E′- = - jωA′- Φ′+ - Φ′- (10 - 7 - 4) 式中 A′= 4μπI′rl′′0 e - j k r′ 0 (10 - 7 - 5a) Φ′+ = 4πεq′r′+ e - j k r′ + (10 - 7 - 5b) 28 4 第十章   电磁辐射及原理 Φ′- = - 4πεq′r′- e- jkr′- (10 - 7 - 5c) 对于边界平面上任一点, r0 = r′0 , r+ = r′- , r- = r′+ 。 各分量电 场的方向 如 图 10 - 7 - 1 所示。已设 I′= I,故 q′= q,又 l′= l,因 此, 合成 电场 ( E + E′) 的 方向垂直于边界平面,即边界平面 上的电 场切 向分 量为零。 这就 证明了 引入 的 镜像电流元满足给定的边界条件。鉴于此时镜像电流元的方向与原来的电流元 方向相同,这种镜像电流元称为正像。 根据类似上述方法,可以证明位 于无限 大理 想导 电平面 附近 的水平 电流 元 的镜像电流元为负像,也就是说,为了计 算这 种边 值问题,引 入的 镜像电 流元 的 电流应该与原来电流元振幅相等,方向相反。还可证明, 位于无限大的理想导电 平面附近的磁流元与其镜像磁流元的关 系恰 好与 电流元 情况 完全相 反,即垂 直 磁流元的镜像为负像, 水平磁流元 的镜 像为 正像, 这些 镜像 关系 如 图 10 - 7 - 2 (a)所示。当电流元或磁流元位于无限大的理想导磁平面附近时, 由于此时边 界 条件与理想导体边界条件恰好相反,故 其镜 像关 系 也恰 好相 反,如 图 10 - 7 - 2 (b)所示。其证明过程不再详述, 读者可以自行推知。 图 10 - 7 - 2   镜像原理 处于任意取向的电流元或磁流元,它们总可以分解为水平及垂直两个部分, 然后依照上述规则分别确定其镜像关 系。此 外,读者 还可推 知电 流环和 磁流 环 的镜像关系。 镜像原理表明,当电流元或磁流 元位于 无限 大的 理想导 电平 面或者 无限 大 的理想导磁平面附近,上半空间任一 点场强 可以 认为 是由原 来的 源与其 镜像 源 共同产生的,因此,从天线阵理论的角度 来看,镜 像法 的求解 可归 结为二 元天 线 阵的求解。 此外。应予注意上述镜像原理仅能计算上半空间的电磁场。至于下半空间 在引入镜像源以后,已由原来的无源区变为有源区, 因此,完全不可等效。 为了考虑实际地面对天线的影响,也可应用镜像原理。但是, 由于地面为非 理想的导体,严格理论分析表明, 只有当天线的架空高度以及观察点离开地面的 10 - 7   镜 像 原 理 285 高度远大于波长,且仅对于远区场的计算时才可应用镜像法。如图 10 - 7 - 3 所 示,此时 上半 空 间任 一点 场强 可以 认 为是 直 接波 E1 与 来自 镜 像 的 地 面反 射 波 E2 之 合 成,且 认为 E1 与 E2 的方 向 一 致。因 此, 合 成场为直接波与反射波的标量和,即 E= E1 + E2 = E0 e- jkr1 r1 + R E0 e- jkr2 r2 式中 R 为 地面 反 射 系 数。由 于 地 面 处 于 天 线的远区 范 围,天 线 的 远 区 场 具 有 T E M 波 性质,反射系数 R 可以近 似看 成是平 面波 在 图 10 - 7 - 3   地面对天线的影响 平面 边界 上的 反射 系数, 它与 天线 远 区场 的 极化特性、反射点的地面电磁参数以及观察点所处的方位有关。这样, 实际地面 对天线的影响可以归结为一个非均匀二元天线阵的求解。 例   利用镜像原理,计算垂直接地的长度为 l、电流为 I 的电流 元的辐射 场 强 、辐 射 功 率 及 辐 射 电 阻 。 地 面 当 作 无 限 大 的 理 想 导 电 平 面 。 解   根 据 题 意, 假 定 电 流 元 如 图 10 - 7 - 4 所 示。按照镜像原理,对于无 限大 的理想 导电 平面,垂 直电流元 的镜像为 正像,因此,上半 空间的场 强等于 长 度 为 2 l 的 电 流 元 产 生 的 辐 射 场。 那 么, 由 式 (10 - 1 - 6) 求得 Eθ =j Z0 Ilsin λr θe- jkr 图 10 - 7 - 4   垂直接地 电流元 可见,长度为 l 的垂直电流元接地以后,其场强振幅提高一倍。 远区中能量流动密度矢量为 S = | Eθ|2 Z = Z0 I2 l2 sin2 θ λ2 r2 由于接地的电流元仅向上半空间辐射,应将 所求 得的 能流密 度仅 沿上半 球面 进 行积分。求得的辐射功率为 ∫ ∫ Pr = 2π d 0 π 2 Sr2 sin θdθ= 160π2 I2 0 l2 λ 对应的辐射电阻 Rr 为 Rr = 160π2 l2 λ 由此可见,垂直电流元接地后, 其辐射电阻提高一倍。 28 6 第十章   电磁辐射及原理 中波广播电台,为了使电台周围听众均能收到信号, 其天线通常是一根悬挂 的垂直导线或自立式铁塔,它可以看成是一种垂直接地天线, 在水平面内没有方 向性。对于中波波段的电磁波,地 面可以 近似 当作 理想导 电体。 由于天 线电 流 垂直于地面,因此地面的影响有助于增强天线的辐射能力。 中波收音机使用的磁 棒 天线 可 以等 效 为 一种 与 磁棒 一 致的 磁 流天 线。 因 此,使用这种磁棒天线接收电台信号 时,磁棒 必须 水平放 置,且磁 棒应与 被接 收 电磁波的到达方向垂直。如果磁棒垂直 于地 面,或者 磁棒与 被接 收电磁 波的 到 达方向一致,均会导致接收效果显 著变坏。 读者 根据 磁流天 线的 方向性 以及 地 面对于磁流天线的影响,即可理解这种现象发生的原因。 短波广播电台或者远距离通信电 台通常 使用 高悬的 水平 放置 的半波 天线。 由于天线的架空高度能与波长达到同一 量级,地 面的 影响归 结为 一个二 元天 线 阵。调整天线的架空高度,即可在与 半波天 线轴 线垂 直的铅 垂面 内形成 具有 一 定仰角的主射方向,以便将电磁波射向地面上空的电离层, 因为短波远距离传播 依靠电离层反射。 10 - 8   互 易 原 理 设在各向同性的线性媒质中,有两组同频的源 Ja , Jm a 及 Jb , Jm b 位于有限 区 域以内,各组源与其产生的场量之间的关系, 由麦克斯韦方程求得 × H a = Ja + jωεEa (10 - 8 - 1a) × Ea = - Jm a - jωμHa (10 - 8 - 1b) 及 × Hb = Jb + jωεEb (10 - 8 - 2a) × Eb = - Jm b - jωμHb (10 - 8 - 2b) 利用矢量恒等式, ·( A × B) = B· × A - A· × B,得 ·( Ea × H b ) = H b·( × Ea ) - Ea·( × H b ) 将式(10 - 8 - 1b)及式(10 - 8 - 2a) 代入,得 ·( Ea × H b ) = - jω(μH a· H b + εEa· Eb ) - Ea·Jb - H b·Jm a 同理可得 ·( Eb × H a ) = - jω(μH b· Ha + εEb·Ea ) - Eb·Ja - H a·Jm b 将上面两式相减,得           ·[( Ea × H b ) - ( Eb × H a )] = Eb·Ja - Ea·Jb + H a·Jm b - Hb·Jm a (10 - 8 - 3) 现以闭合面 S 包围上述两组同频源 Ja , Jm a 及 Jb , Jm b , 源 a 位于 Va 中,源 b 10 - 8   互 易 原 理 287 位于 Vb 中, 如图 10 - 8 - 1 所示。 若闭合面 S 包围的体积为 V ,将 式(10 - 8 - 3)对体积 V 求积,再利用高斯定理,得 ∮   [( Ea × H b ) - ( Eb × H a )]·d S S ∫ = ( Eb·Ja - Ea·Jb + Ha·Jm b - Hb·Jm a )d V V (10 - 8 - 4) 式(10 - 8 - 3) 及式 (10 - 8 - 4)分 别称为 互易 原理的微分形式和 积 分形 式。互 易原 理是 描 图 10 - 8 - 1   互易原理 述两组同频源及其产生的场强之间的关系。可见,若已知一组源与其场的关系, 利用互易原理可以建立另一组源与其场的关系。互易原理是电磁理论中的重要 原理之一,它获得了广泛的应用。 下面讨论两种特殊情况: 第一,若将式(10 - 8 - 3)仅对 V a 或 Vb 求积, 即闭合 面 S 仅 包围 源 a 或 源 b, 则分别得到下列两个等式 ∮             [( Ea × Hb ) - ( Eb × H a )]·d S Sa ∫ = ( Eb·Ja - H b·Jm a )d V Va (10 - 8 - 5a) ∮             [( Ea × Hb ) - ( Eb × Ha )]·d S S b ∫ = ( Ha·Jm b - Ea·Jb )d V V b 第二,若闭合面 S 内不存在任何源,则由式 (10 - 8 - 4)得 (10 - 8 - 5b) ∮ [( Ea × H b ) - ( Eb × H a )]·d S = 0 S (10 - 8 - 6) 式中 d S 的方向指向有源 区。如 果闭 合面 S 包 围 了 全部 源 a 及 源 b, 由于 源 a 仅存在 V a 中,源 b 仅存在于 V b 中, 式(10 - 8 - 4) 右端体积分仅对( Va + Vb ) 区 域求积即可。这样,无论 S 的大小如何,只要 S 包围了全部源,它都应等于右端 对( Va + Vb )的 积分。 由此 可见,式(10 - 8 - 4)左 端的 面 积分 应为 常 量。为 了 求出这个常量, 可令 S 面无限 地扩 大至 远区 范围, 由于 位于 有限 区 域内 的一 切 源,其远区场具有 T E M 波特性, 即 E = Z H × er , 此处 Z 为波 阻抗, er 为 传播 方 向上的单位矢量, 它应等 于包 围 体积 V 的 闭合 面 S 的外 法 线 方向 上 的单 位 矢 量。那么,将此结果代入式(10 - 8 - 4)中, 则左端面积分被积函数中两项相互抵 消,导致面积分为零, 即式(10 - 8 - 6) 成立。 28 8 第十章   电磁辐射及原理 通过上面讨论我们获知, 只要 闭合 面 S 包围 了 全部 源, 或者 是 全部 源位 于 闭合面 S 之外, 则式(10 - 8 - 6)均会成立,该式称为洛伦兹互易定理。 既然式(10 - 8 - 6) 成立,由式(10 - 8 - 4)求得 ∫ [ Eb·Ja - Ea·Jb + H a·Jm b - H b·Jm a ]d V = 0 V 考虑到源 a 仅位于 Va 中,源 b 仅位于 Vb 中,上式可写为   (10 - 8 - 7) ∫ ∫ [ Eb·Ja - H b·Jm a ]d V = [ Ea·Jb - H a·Jm b ]d V Va Vb (10 - 8 - 8) 此式称为卡森互易定理。 此外,已知上述互易定理成立 并不要 求空 间媒质 是均 匀的,那 么可以 证明, 当 V 中局部区 域内存在 理想导 电体或理 想导磁 体时,卡森互 易定理仍 然成立。 因为根据矢量混合积公式,可得 ( Ea × H b )·d S = ( H b × d S)·Ea = (d S× Ea )· Hb (10 - 8 - 9a) ( Eb × H a )·d S = ( H a × d S)· Eb = (d S× Eb )· H a (10 - 8 - 9b) 上两式中 H ×d S 及 d S× E 均表 示相应 场强 的切向 分量。 已知理 想导 电体 表 面电场切向分量为零,理想导磁体表面磁场切向分量为零, 且两者内部不可能存 在时变电磁场。当电磁场由远区闭合面 S 与理想导电体表面或理想导磁体表 面包围时,式(10 - 8 - 4)左端的面积分的表面应 理解为远 区闭合 面 S 与理想 导 电体表面或理想导磁体表面之和。考虑 到远 区场 特性,理想 导电 体和理 想导 磁 体的边界条件,以及式(10 - 8 - 9), 那么式 (10 - 8 - 4)的 左端 面积 分仍然 为零。 因此, 这 就意味着 当体积 V 中存在理 想导电体 或理想 导磁体时, 卡 森互易定 理 仍然成立。 互易定理在电磁波辐 射、散射 及 传播 理论 中获 得广 泛 应用[2 2] 。例 如, 利 用 互易定理可以证明任何天线的发射参数 与接 收参 数是互 易的,即 当天线 作为 接 收天线时,其最强接收方向即是作为发射天线时的主射方向, 发射天线的输出阻 抗等于接收天线的内阻。下面举例说明互易定理在电磁理论中的应用。 例   利用互易定理,证明位于有 限尺寸 的理 想导 电体表 面附 近的切 向电 流 元没有辐射作用。 解   如图 10 - 8 - 2 所示, 切向 电流 元 Iala 位于 理想导电体表面附近。首先应该注意,由于 该理想导 电体的尺寸是有限的,此时不可 能应用镜 像原理。为 了证明电流 元 Ia la 没 有 辐 射 作 用, 可 以 利 用 互易 定 理。设该电流元在 导体 外 空间 某 处产 生 的电 场 强度 为 Ea , 处于任何方向。 令该 处放置 一个 电流 元 Ib lb , 图 10 - 8 - 2   切向电流元 * 10 - 9   惠更斯原理 289 且使 lb 的方向与 Ea 一致, 它在电 流元 Ia 处产 生的 电场 为 Eb 。 考虑 到 Jd V Id l, 那么由式(10 - 8 - 8) 求得 Eb·( Ia la ) = Ea Ib lb 但是任何电流元在理想 导 电体 表面 上不 可能 产 生切 向电 场, 即 Eb 必须 垂直 于 理想导电体表面, 所以,上式左端为零, 求得 Ea Ib lb = 0。但 Ib lb ≠0, 故只可能 Ea = 0。这就证明了电流元 Ia la 不可能产生任何电磁场。 * 10 - 9   惠更斯原理 包围波源的闭合面上各点场都可作 为二 次波 源,它们共 同决 定了闭 合面 外 任一点场,这就是惠更斯原理。这些二次波源称为惠更斯元。 图 10 - 9 - 1   惠更斯原理 如图 10 - 9 - 1(a) 所示,设包围波源的闭合面 S 上场为 ES 及 H S , 闭合面 外 P 点的场强为 EP 及 HP ,那么,惠更斯原理表明, EP , HP 是由整个闭合面上全 部 ES , HS 共同决定的。为了推出 EP , H P 与 ES , HS 之间的定 量关系,以一 个半 径 为无限大的球面 S∞ 包围整个区域, 如 图 10 - 9 - 1( b) 所 示。场 点 P 位 于闭 合 面 S 与 S∞ 之间的无源区 V 中。若以 ψ( r)表示 V 中任一点场强的某一直角 坐 标分量,则在无源区 V 中ψ( r)应该满足齐次标量亥姆霍兹方程,即 2 ψ( r) + k2 ψ( r) = 0 (10 - 9 - 1) 式中 k = ω με。 为了求解式(10 - 9 - 1),定义一个格林函数 G( r, r′),它满足下列方程 2 G ( r, r′) + k2 G( r, r′) = -δ( r - r′) (10 - 9 - 2) 且满足下述齐次边界条件 29 0 第十章   电磁辐射及原理 αG + β G n =0 (10 - 9 - 3) 式中 α= 0 或 β = 0, 或 α 及 β 均 不 为 零。 无 限 大 自 由 空 间 中 的 格 林 函 数 以 G0 ( r, r′),它还满足下述辐射条件 lim R R →∞ G0 R + jkG0 =0 (10 - 9 - 4) 式中 R = | r - r′|。该条件表示无限大自由空间中的格林函数 G0 ( r, r′) 至少与 距离一次方成反比。 对于上述由闭 合面 S 和 S∞ 包围的 无限大 区域 V , 应用第 二标量格 林定 理 式(1 - 9 - 4), 且令 Ψ = ψ( r), Φ = G 0 ( r, r′),得 ∫  [ψ( r) 2 G0 ( r, r′) - G0 ( r, r′) 2 ψ( r)]d V = V ∮ - ψ( r) S + S∞ G0 ( r, r′) n - G 0 ( r, r′) ψ( r) n dS (10 - 9 - 5) 上式右端前面的负号是由于此处的法线方向 en 为区域 V 的内法线方向, 而前述 格林定理中的法线为区域 V 的外法线,因此两者方向恰好相反。将式(10 - 9 - 1) 两端乘以 G( r, r′),式(10 - 9 - 2)两端乘以 ψ( r),所得结果代入上式,得 ∫ ∮ ψ( r)δ( r - r′)d V = V S+ S ψ( r) G0 ( r, n r′) - G0 ( r, r′) ψ( r) n dS ∞ (10 - 9 - 6) 考虑到 ∫ ψ( r)δ( r - r′)d V = ψ( r′) V 得 ∮ ψ( r′) = ψ( r) S + S∞ G0 ( r, n r′) - G0 ( r, r′) ψ( r) n dS 将上式中 r 与 r′对调,并考虑到格林函 数的 对称 性,即 G ( r, r′) = G ( r′, r), 求 得 ∮ ψ( r) = ψ( r′) S + S∞ G0 ( r, n r′) - G0 ( r, r′) ψ( r′) n d S′ (10 - 9 - 7) 已知一切场量的振幅至少与距离一 次方 成反 比,同时考 虑到 自由空 间格 林 函数 G0 ( r, r′)满足辐射条件, 那么 式 (10 - 9 - 7) 右 端对 S∞ 的面 积分 → 0。 因 此,式(10 - 9 - 7)变为 ∮ ψ( r) = S ψ( r′) G0 ( r, n r′) - G0 ( r, r′) ψ( r′) n d S′ (10 - 9 - 8) * 10 - 9   惠更斯原理 291 通过严格的数学推演,可以求出自由空间格林 函数 G0 ( r, r′) 的表示式[1 6] 。 这里为了简便起见,我们利用标量 位的解 直接 导出 自由空 间格 林函数 的解。 将 式(10 - 9 - 2) 和式(7 - 10 - 1b)比较, 可 见两 式类型 完全 相同, 因此 式(10 - 9 - 2) 定义的格林函数在自由空间的解应为 ∫ G0 ( r, r′) = 1 4π δ( r V′ - | r′) e- j k| r - r - r′| r′| d V′ 考虑到格林函数 G0 ( r, r′)是位于 r′处的点源在 r 处产 生的响 应,故 r′为常数, 因 此 e- jk| r |r- - r′| r′| 可 移 出 积 分 号 外 。 那 么 ,自 由 空 间 格 林 函 数 的 解 为 G0 ( r, r′) = e- j k| r - 4π| r - r′| r′| (10 - 9 - 9) 将此式与式(3 - 1 - 4)比较可见, 式 (3 - 1 - 4) 是上式 k = 0(ω = 0) 的特殊情况, 当 k = 0 时, 式(10 - 9 - 2) 即变为式(3 - 1 - 3)。 根据上 述 结 果, 位 于 区 域 V 中 P 点 的 场 分 量 ψP ( r) 可 用 闭 合 面 S 上 的 ψS ( r′) 及自由空间格林函数 G0 ( r, r′)表示如下 ∮ ψP ( r) = S ψS ( r′) G0 ( r, n r′) - G0 ( r, r′) ψS ( r′) n d S′ (10 - 9 - 10) 式中单位矢量 en 的方向, 如图 10 - 9 - 1( b) 所示。 上式 表明, 闭 合面 S 外任 一 点场强的某一直角坐标分量, 可以根据波面 S 上的 相应直 角坐标分 量沿闭合 面 S 积分求得。既然各个直角坐标分量都可用式(10 - 9 - 10)表 示,那 么三个直 角 坐标分量相加以后,求得闭合面 S 外任一点场强 EP , HP 与闭合面上的场强 ES , HS 的关系式如下: ∮ EP ( r) = S E S ( r′) G0 ( r, r′) n - G0 ( r, r′) ES ( r′) n d S′ (10 - 9 - 11a) ∮ H P ( r) = S H S ( r′) G0 ( r, n r′) - G0 ( r, r′) H S ( r′) n d S′ (10 - 9 - 11b) 式(10 - 9 - 11)称为基尔霍夫 公式。因 为此 式是 通过直 角坐 标分量 利用 标 量格林定理导出的,故又称为标量 绕射公 式。基 尔霍 夫公式 是惠 更斯原 理数 学 描述的一种形式。除此之外,还有其他数学公式描述惠更斯原理, 这里不再逐一 介绍[22] 。应该注意,无论任何描述惠更斯原理的数 学公式 均要求积 分表面必 须 是闭合的,否则, 将会发生误差。这就意味着闭合面外任一点场强取决于闭合面 上全部惠更斯元。当然,闭合面上各 点的惠 更斯 元对 于空间 某点 场强的 贡献 有 所不同。显然,主要贡献来自于闭合面上面对场点的惠更斯元。因此, 忽略闭合 29 2 第十章   电磁辐射及原理 面上背向场点的惠更斯元贡献是工程允许的。 顺便指出,既然惠更斯原理说明 闭合面 外任 一点 场强不 是仅 取决于 前面 某 一点场强, 而是取决于闭合面上全部 惠更 斯元, 那 么, 这就意 味电 磁能量 由波 源 到达场点的过程中电磁波传播要占据 一定 的空 间,而不是 仅沿 一条线 传播。 认 为到达场点的电磁能量仅沿一条线传播 的观 点即 是几何 光学 的射线 原理,它 用 一条曲线描述电磁波的传播轨迹。但是理论证明,只有当电磁波的波长为零时, 其传播轨迹才是一条曲线。因此,使 用几何 光学 原理 描述电 磁波 的传播 特性 是 一种近似方法, 通常称为几何光学 近似。 当然, 波 长越短, 几 何光 学方法 的近 似 程度越高。由上可见,惠更斯原理和 几何光 学原 理是 两种描 述电 磁波传 播特 性 的截然不同的理念,只有当电磁波的波长为零时, 两者结果才可一致。这些分析 可参阅文献[22] 。 10 - 10   面天线辐射 微波 波 段 常 用 的 几 种 天 线 的 示 意 图 如 图 10 - 10 - 1 所 示, 其 中 图 10 - 10 - 1(a)为喇叭天线, 它是 由金属 矩形波 导( 或圆 波导) 逐 渐扩大 形成 的; 图 10 - 10 - 1(b)为抛物面天线,它将喇叭馈源发出的球面波经旋转抛物 面反射后变 为平面波,在平面口径上形成同相场;图 10 - 10 - 1(c)为透镜天线,它利用介质透 镜将 馈源 发 出的 球面 波 经介 质透 镜折 射 后变 为平 面 波,在 平面 口 径也 形成 同相 场 。 图 10 - 10 - 1   几种微波天线 由图可见, 这类天线都是通过一 个平 面口径 向外 辐射 电磁能 量, 因此, 这 类 天线称为面天线。面天线的求解可以 分为两 步:首先 求出 口径场,然 后,根据 口 径场再求解空间场。口径场的求解称为 面天 线的 内部问 题,空间 场的求 解称 为 外部问题。内部问题的求解方法与天线类型有关。这里仅介绍如何根据口径场 利用前述的基尔霍夫公式计算空间辐射场。但是,前已指出, 任何描述惠更斯原 理的数学公式中的积分表面必须是封 闭的。 因此,如 果用它 计算 面天线 的有 限 10 - 10   面天线辐射 293 口径场的辐射,将会引起误差。一种 补救的 办法 是同 时考虑 口径 边缘电 荷的 辐 射作用[ 22] 。不过经验表明, 对 于口 径正 前方 主叶 内 的场 强, 忽略 边 缘电 荷所 产 生误差是允许的。下面我们忽略边缘电 荷的 辐射 作用,使用 基尔 霍夫公 式计 算 面天线有限口径场的辐射。 面天线的口径场可以看成是由很多惠更斯元 ψS d S 组成的。由 于其面积 很 小,可以认为惠更斯元的场强振幅 均匀,且 相位 相同。这 样,任何 口径场 的辐 射 可以归结为很多振幅不等、相位不同的惠更斯元的辐射场的合成。因此, 我们首 先计算惠更斯元的辐射场。 图 10 - 10 - 2   惠更斯元 令惠更斯元位于坐标原点,且在 z = 0 平面 内, 故传 播 方向 为 ez , 源 点坐 标 r′= 0,如图 10 - 10 - 2(a)所示,那么惠更斯元的场可以表示为 ψS = ψ e - j kz S0 (10 - 10 - 1) 式(10 - 9 - 10)中的 en 方向即是 ez 方向, 所以 ψS n = z= 0 ψS z = jkψS0 z=0 (10 - 10 - 2) 因 r′= 0,故| r - r′| = | r| = r。那么 e- jk| r - r′| n 4π| r - r′| = e- jkr n 4πr = en· = - jk e - j kr 4πr + e- jkr 4πr2 e- jkr 4πr = en·er cos θ e- j kr r 4πr 式中角度 θ为单位矢量 er 与 ez 之间的夹角。 对于远区场,可取 n e- jk| r - r′| 4π| r - r′| ≈ - jk e- j kr 4πr cos θ (10 - 10 - 3) 将上述结果代入式(10 - 9 - 10)中, 求得惠更斯元的远区辐射场为 ψP = - j ψS0 d S 2λr ( 1 + cos θ)e- jkr (10 - 10 - 4) 由此可见,惠更斯元的方向性因子为 29 4 第十章   电磁辐射及原理 f(θ, ) = 1 + cos θ (10 - 10 - 5) 此式表明,θ= 0 的正前方为惠更斯元的 主射方向, 其方 向图 如图 10 - 10 - 2(b) 所示。 对于任意分布特性的 平面 口径 场, 若 以 ψS0 代表 口径 场的 某一 直 角坐 标 分 量,由于口径为平面, 因此,各面元产生的远区场强方向一致, 可以直接积分求得 ∫ ψP = - j 2λ S ψS0 e- r jkr (1 + cos θ′) d S′ (10 - 10 - 6) 式中 r 为口径上面元 d S′至观察点 P 的 距离,θ′为面 元 d S′的法 线 方向 与观 察 方向之间的夹角。 例   计算边长为 2 a 及 2 b 的均匀同相矩形口径场的辐射场强。 解   设口径平面位于 z = 0 平面, 如图 10 - 10 - 3 所示。 口径场的某一直角坐标分量为 ES = E e- jkz S0 式中 ES0 与坐标无关, 则由式(10 - 10 - 6)求得 ∫ EP = -j ES0 2λ S e - jk r r (1 + cos θ′)d S′ (10 - 10 - 7) 设观察点的坐标为( x, y, z)或 ( r0 ,θ, ), 面元 d S′的坐标为( x′, y′,0)或 r′, π2 , ′ , 则 图 10 - 10 - 3   口径场辐射     r = ( x - x′)2 + ( y - y′)2 + z2 = r20 - 2( xx′+ yy′) + ( x′)2 + ( y′)2 = r0 1 - 2( x x′+ r20 yy′) + x′ 2 r0 + y′ 2 r0 式中 r0 为口径中心至观察点的距离, 故 r0 = x2 + y2 + z2 。 对于远区, r0 m x′, r0 m y′, 上式可近似为 r= r0 - x x′+ r0 yy′ 而且可以 认 为观 察 点 P 对于 各 个面 元 d S′均 处 于同 一 方位, 即 θ′= θ, 故 1 + cos θ′≈1 + cos θ,可以移至积分号之 外, 且可取 1 r ≈ 1 r0 。 又因 x= rsin θcos , y = rsin θsin ,将这些关系代入式 (10 - 10 - 7)中,得 ∫ ∫ EP = -j E e S0 - j kr0 2λr0 (1 + cos θ) b a d y′ e d x′ jksin θ( x′cos + y′sin ) -b -a (10 - 10 - 8) 10 - 10   面天线辐射 295 可以证明 ∫a ej kx′sin θcos -a d x′= 2 a sin( kasin θcos kasin θcos ) ∫b ejky′sin θsin -b d y′= 2 b sin( kbsin θsin kbsin θsin ) 代入式(10 - 10 - 8)中, 得 EP = -j 2 abES0 λr0 (1 + cos θ) sin( kasin θcos kasin θcos )sin( kbsin θsin kbsin θsin )e - j kr0 (10 - 10 - 9) 由此可见,这种均匀同相矩形口径场的方向性因子为 f(θ, ) = (1 + cos θ)sin(k kasin θcos asin θcos )sin( kbsin θsin kbsin θsin ) (10 - 10 - 10) 实际中,通常仅以 = 0 及 = π2 两个主平面内的方向图表示这种口径场辐 射的方向性。那么,在 = 0 平面内,方向性因子为 f(θ,0) = (1 + cos θ)sin(kaksaisninθθ) (10 - 10 - 11) 在 = π2 平面内,方向性因子为 f θ, π 2 = (1 + cos θ)sin(kbksbisninθθ) (10 - 10 - 12) 上两式表明, f(θ,0)与 b 无关, f θ, π 2 与 a 无关。而且当 a = b 时, f(θ,0) = f θ,π2 。 图 10 - 10 - 4 中给出了当 2 a = 3λ,2 b = 5λ时, 两个主平面内的方向图。由 此可见,由于 b > a, 导致 = π 2 平面内 的主 叶较 窄。 所以,为 了获 得 较 强的 方 向 性必须增大同相口径场的口径尺寸。 图 10 - 10 - 4   主平面内的方向图 29 6 第十章   电磁辐射及原理 两个主平面内主 叶宽 度 可以 近似 求出。 由于 在主 叶内 函数 1 + cos θ变 化 不 大,主 叶的 形状主 要取 决于 方 向 性因 子 中的函 数sin(k kasin θ) asin θ 及 sin( kbsin θ) kbsin θ 。 这 是 一 个sinx x 函数,令 sin x x = 1 ,求得 2 x = 1. 39。 因此, 由 kasin θ0. 5 = 1. 39 求 得 = 0 平面内主叶半功率角为 2θ0. 5 = 2arcsin 0. 221 λ a (10 - 10 - 13) 如果主叶很窄,sin θ0. 5 ≈θ0. 5 , 得 2θ0. 5 ≈ 0.442 λ a (10 - 10 - 14) 由sinx x = 0 x = π, 求得 = 0 平面内主叶零功率角 2θ0 为 2θ0 = 2arcsin λ 2a (10 - 10 - 15) 同理,对于强方向性天线, 可以认为 2θ0 ≈ λ a (10 - 10 - 16) 至于 = π 2 平面内的主 叶宽 度,仅 需将 上述 各式中 a 换为 b 即可求得相应 的计算公式。上述结果再次表明,口径的波长尺寸愈大, 方向性愈强。 根据方向性系数定义 D= Pr0 Pr | E| m = | E0 | (10 - 10 - 17) 可以求得上述口径场的方向性系数。由式(10 - 10 - 9)知, 主射方向上的场强振 幅为 | E|m = 4 ab| ES0 λr0 | (10 - 10 - 18) 故无向天线的辐射功率为 Pr0 = | E |2m Z 4πr2 = 64πa2 b2 | ES0 | Zλ2 (10 - 10 - 19) 又知口径上的能流密度为 S = | ES0 Z |2 ,所以上述均匀同相口径场的辐射功率为 Pr = 4 ab | ES0 Z |2 (10 - 10 - 20) 将式(10 - 10 - 19) 及式(10 - 10 - 20)代 入式 (10 - 10 - 17)中, 求 得均匀 同相 口 径场的方向性系数为 D = 1 6πab λ2 (10 - 10 - 21) 思 考 题 297 或者写为 D = 4π A λ2 (10 - 10 - 22) 式中 A = 4 ab 为口径面 积。式 (10 - 10 - 22) 适合 于 任何 形 状 的均 匀 同相 口 径 场。由此可见,均匀同相口径场的方向性系数与口径面积成正比, 与工作波长的 平方成反比。 对于一般面天线的口径场,若口径场的振幅不均匀, 但其相位相同或以口径 中心为 对称分 布, 则其 主射 方向仍 然为 正前方 (θ= 0), 但其 方向 性系数 低于 式 (10 - 10 - 22) 的计算值,再考虑到天线的损耗, 通常面天线的增益可以表示为 G = ν4πλ2 A,ν< 1 (10 - 12 - 23) 式中 ν称为口径利用系数。由于口径场振幅的不均匀性,相位畸变, 天线损耗以 及馈源对于辐射的阻挡等因素均使 ν值下 降。通常 ν≈ 0. 6 左 右。例如 卫星 通 信地 面 站 常 用 的 30 m 直 径 的 抛 物 面 天 线, 大 约 ν≈ 0. 5 左 右。 若 工 作 波 长 λ= 7. 5 c m, 则 G ≈59 dB。 思 考 题 10 - 1   什么是电流元 ? 如何计算电流元的电磁场 ? 10 - 2   电流元的近区场与远区场的性质如何 ? 哪些性质是一切天线辐射场的共性 ? 哪 些是电流元的特性 ? 10 - 3   什么是天线的方向性 ? 零功率角、半功率角、方向 性系数、效率 及增益 的定义 是 什么 ? 10 - 4   什么是对称天线 ? 其方向性与天线的波长尺寸关系如何 ? 10 - 5   什么是半波天线 ? 其方向性如何 ? 10 - 6   什么是天线阵 ? 如何计算均匀直线式天线阵的方向性 ? 10 - 7   什么是电流环 ? 电流环与电流元的场结构有何不同 ? 10 - 8   什么是磁荷与磁流 ? 引入磁荷及磁流以后,边界条件应如何修改 ? 10 - 9   试述对偶原理及其应用。 10 - 10   试述镜像原理。给出位于无限大理想导电平面 与导磁 平面附 近的电 流元及 磁 流 元 的镜 像 关 系 。 10 - 11   试述互易原理。什么是洛伦兹互易定理及卡森互易定理 ? 10 - 12   试述惠更斯原理及其数学表示。 10 - 13   什么是惠更斯元 ? 其辐射特性如何 ? 10 - 14   如何计算口径场的辐射 ? 如何计算面天线的增益 ? 10 - 15   什么是面天线的口径利用系数 ? 它与哪些因素有关 ? 29 8 第十章   电磁辐射及原理 习   题 10 - 1   试证式(10 - 1 - 8)。 10 - 2   直接根据电流元的电流及电荷( I = jωq)计算电流元的电场强度及磁场强度。 10 - 3   计算电流元的方向性系数及辐射电阻。 10 - 4   已知电流元 Il = ey Il,试求其远区电场强度及磁场强度。 10 - 5   试证对于远区,矢量位 A 及 F 可以表示为 A( r) = 4πμre - jkr N F( r) = 4πεre - jkr L 式中 N 及 L 称为辐射矢量,它们与电流密度 J 及磁流密度 J m 的关系分别为 ∫ N = J( r′)ejkr′cos θd V′ V ∫ L = J m ( r′)ejkr′cosθd V′ V 10 - 6   试证式(10 - 3 - 4)。 10 - 7   若长度为 2 l 的短对称天线的电流分布可以近似 地表示为 I( z) = I0 1 - | z| l , ln λ,试求远区场强、辐射电阻及方向性系数。 10 - 8   已知对称天线的有效长度定义为 ∫l 2 le = sin θ sin k( l - | z|)e- d jkcosθ z -l 试求 半 波 天 线 的 有 效 长 度 及 其最 大 值 。 10 - 9   已知天线远区中的矢量磁位为 A= ez μI cos 2πkr π 2 cos θ sin2 θ e- jkr 试求 该 天 线 的 远 区 场 强 、方 向 性 因 子 及 方 向性 系 数 。 10 - 10   已知长度为 L 的行波 天线电流分布为 I = I0 e- jkz ,0≤ z≤ L。利用电流元 的远 区场公式,试求该行波天线的远区场,并简绘出 L = λ2 时的方向图。 10 - 11   通过远区中矢量磁位 A,再求解上题。 10 - 12   若二元天线阵的间距 d= λ4 ,分别编程绘出相位差 α= 0, π 4 , π 2 时阵因子 的方 向图。 10 - 13   若二元阵的间距 d= λ 2 ,分 别编 程 绘出 相 位 差 α= 0 , π 2 时 阵 因 子 的 方向 图 。 10 - 14   已知二元阵由两个 ex 方向的电流元组成,天线阵的轴线沿 z 轴放置,间距 d = λ2 。若要求 θ= 60°, = 90°方向上获得最强辐射,确定两个电流元的电流相位差。 习   题 299 10 - 15   已知非均匀的同相五元直线阵中各单元天线的电流振幅 比分别为 1∶2∶2∶2∶1, 单 元 天线 之 间 的 间 距 为 半 波 长 ,试 求 该 天 线 阵 的阵 因 子 。 10 - 16   已知底端馈电的垂直接地线天线的高度为 h,其电流分布为正弦函数。若 地面 当 作 无限 大 的 理 想 导 电 平 面 ,试 求 该 天 线 的 远 区场 。 10 - 17   已知水平放置的行波天线的长度为 L,电流 分布函数 为 I = I0 e - jkz ,0≤ z≤ L, 架空高度为 h,地面当作无限大的理想导电平面,试求平行于天线轴线的平面内的远区场。 10 - 18   已知水平放置的半波天线的架空高 度为 h,地面 当作无 限大的 理想导 电平面, 为了使电磁波射向电离层,要求在 与天线 轴线垂 直的平 面内 30°仰角 方向 上形 成主射 方向, 试 确 定其 架 空 高 度 。 10 - 19   设同相二元阵由两个位于铅垂面内水平 电流元构 成,间 距为一 个波长,放在 地 面上空。下方电流元离地面的高度为半波长,地面当作无限大的理想导电平 面。 试求:① 水 平面内及与电流元轴线垂直面内的方向性因子;② 与电流元轴线垂直的平面内,主射方 向远 区 电 场表 达 式 和 极 化 特 性 。 10 - 20   若 z 向电流元 Il = ez Il 及 z 向磁流元 Im l = ez Im l 均位于坐标原点,试求其远区 合 成 场强 及 其 极 化 特 性 。 10 - 21   利用互易定 理,试证:① 位于 理想 导电 体表 面附 近的垂 直 磁流 元没 有 辐射 效 应;② 位于理想导磁体表面附近的垂直电流元及水平磁流元均无辐射作用。 10 - 22   已知位于坐标原点 z = 0 平面 内的矩形口径尺寸为 a× b,口径场为同相场,极 化方向为 ey 方向。若口径场的振幅分布函数为 f( x) = cos πx a ,- a 2 ≤ x≤ a 2 试求 y = 0 平面内方向性因子、主叶半功率角、主叶零功率角及第一副叶相对于主叶的电平。 10 - 23   设均匀平面波垂直 投射 到无限 大的 金属 平板 上的 圆孔,试 求其 绕射 场[提示: ∫2π e- j xcos d = 2πJ0 ( x)]。 0 10 - 24   已知抛物面天线的直径为 30 m ,工作频率为 6 G Hz,若口径利用系数 为 0. 6,试 求 其 增益 。 附   录 一 、符 号 、单 位 及 量 纲 物理量及符号 长度( l) 质量( m) 时间( t) 电流( I,i) 电荷( Q , q) 电 荷 体 密 度 (ρ) 电荷面密度(ρS ) 电荷线密度(ρl ) 电场强度( E) 电通( Ψ) 电 位 (φ) 电容( C) 介 电 常 数 (ε) 真空介电常数(ε0 ) 相对介电常数(εr ) 电极化率(χe ) 电极化强度( P) 电通密度(电位移)( D ) 体电流密度( J) 面电流密度( JS ) 电阻( R) 电抗( X) 阻抗( Z) 电导( G) 电纳( B) 导纳( Y) 电 导 率 (σ) 磁荷( qm , Q m ) 单位名称及符号 米( m ) 千 克 ( kg) 秒 (s) 安[培]( A ) ( 以 上 是 基 本 单位 , 以 下 是导 出 单 位 ) 库[仑]( C) 库/ 米3 (C/ m 3 ) 库/ 米2 (C/ m 2 ) 库/ 米( C/ m ) 伏/ 米( V/ m ) 伏米(V m) 伏[特]( V) 法[拉]( F) 法/ 米(F/ m) 法/ 米(F/ m) — — 库/ 米2 (C/ m 2 ) 库/ 米2 (C/ m 2 ) 安/ 米2 (A/ m 2 ) 安/ 米( A/ m) 欧 [姆 ](Ω) 欧 [姆 ](Ω) 欧 [姆 ](Ω) 西 [门 子 ]( S) 西 [门 子 ]( S) 西 [门 子 ]( S) 西/ 米(S/ m) 韦[伯]( W b) 量   纲 L M T I IT IT/ L3 IT/ L2 IT/ L M L/ IT3 M L3/ IT 3 M L2/ IT 3 I2 T4/ M L2 I2 T4/ M L3 I2 T4/ M L3 — — IT/ L2 IT/ L2 I/ L2 I/ L M L2/ I2 T3 M L2/ I2 T3 M L2/ I2 T3 I2 T3/ M L2 I2 T3/ M L2 I2 T3/ M L2 I2 T3/ M L3 M L2/ IT 2 物理量及符号 磁荷体密度(ρm ) 磁荷面密度(ρm S ) 磁荷线密度(ρm l ) 磁流( Im ) 体磁流密度(Jm ) 面磁流密度(Jm S ) 磁感应强度( B) 磁 通 ( Φ) 电感( L) 互感( M ) 磁 导 率 (μ) 真空磁导率(μ0 ) 相对磁导率(μr ) 磁化率(χm ) 磁化强度( M ) 磁场强度( H) 力( F) 能量(功)( W ) 能量密度( w) 功率( P) 频率( f) 角 频 率 (ω) 周期( T) 波 长 (λ) 相位速度( vp ) 能量速度( ve ) 群速度( vg ) 波数( k) 相位常数( k′) 衰减常数( k″) 传播常数( kc ) 能流密度( S) 复能流密度( Sc ) 方向性系数( D) 增益( G) 效 率 (η) 附   录 单位名称及符号 韦[伯]/ 米3 ( W b/ m 3 ) 韦[伯]/ 米2 ( W b/ m 2 ) 韦[伯]/ 米( W b/ m ) 伏( V ) 伏/ 米2 ( V/ m 2 ) 伏/ 米( V/ m ) 特[斯拉]( T ) 韦[伯]( W b) 亨[利]( H) 亨[利]( H) 亨/ 米( H/ m ) 亨/ 米( H/ m ) — — 安/ 米( A/ m) 安/ 米( A/ m) 牛[顿]( N) 焦 [耳 ]( J) 焦[耳] 米3 (J m 3 ) 瓦[特]( W ) 赫[兹]( Hz) 弧/ 秒(rad/ s) 秒 (s) 米( m ) 米/ 秒( m/ s) 米/ 秒( m/ s) 米/ 秒( m/ s) 弧度/ 米(rad/ m ) 弧度/ 米(rad/ m ) 奈伯/ 米( N p/ m) — 瓦/ 米2 ( W/ m 2 ) 瓦/ 米2 ( W/ m 2 ) — — — 301 量   纲 M/ IT2 L M/ IT M L/ IT2 M L2/ IT 2 M/ IT2 M L/ IT2 M/ IT2 M L2/ IT 2 M L2/ I2 T2 M L2/ I2 T2 M L/ I2 T 2 M L/ I2 T 2 — — I/ L I/ L M L/ T2 M L2/ T 2 M/ T2 L M L2/ T 3 1/ T 1/ T T L L/ T L/ T L/ T 1/ L 1/ L 1/ L — M/ T3 M/ T3 — — — 30 2 附   录 二、SI 单位的倍数单位 因数 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 10 10 - 1 10 - 2 10 - 3 10 - 6 10 - 9 10 - 12 10 - 15 10 - 18 10 - 21 10 - 24 法文名称 yotta zetta exa peta téra giga mèga kilo hecto déca déci centi m illi m icro nano pico fe mto atto zepto yocto 中文 名 称 尧[ 它 ] 泽[ 它 ] 艾[ 可 萨 ] 拍[ 它 ] 太[ 拉 ] 吉[ 咖 ] 兆 千 百 十 分 厘 毫 微 纳[ 诺 ] 皮[ 可 ] 飞[ 母 托 ] 阿[ 托 ] 爪[ 普 托 ] 幺[ 科 托 ] 三 、矢 量 恒 等 式 1. 矢量和与积 A+ B= B+ A A·B = B·A A·A = | A|2 = A2 A× B = - B× A ( A + B)·C = A·C + B·C ( A + B)× C = A × C + B× C A·B× C = B·C× A = A× B·C A ×( B× C) = ( A·C) B - ( A·B) C ( A× B)·( C× D) = ( A·B)×( C× D) ( A× B)×( C× D) = ( A × B· D) C - ( A× B·C) D 2. 矢量微分 ·( × A) = 0 × ψ= 0 符号 Y Z E P T G M K h da d c m μ n p f a z y 附   录 303 (φ+ ψ) = φ+ ψ (φψ) = φ ψ+ ψ φ ·( A + B) = ·A + ·B ×( A + B) = × A + × B ·(ψA) = A· ψ+ ψ · A ×(ψA) = ψ× A + ψ × A ( A·B) = ( A· ) B + ( B· ) A + A ×( × B) + B×( × A) ·( A× B) = B· × A - A· × B ×( A× B) = A ·B - B · A + ( B· ) A - ( A· ) B × × A = ·A - · A 3. 矢量积分 ∮ ∫ A·dl = ( × A)·d S l S ∮ ∫ A·d S = ( ·A)d V S V ∮ ∫ ( en × A )d S = ( × A )d V S V ∮ ∫ ψd S = ψd V S V ∮ ∫ ψdl = en × ψd S l S 四 、正 交 曲 面 坐 标 系 1. 矢量的表示 矢量的直角坐标表示     A = ex A x + ey Ay + ez A z 矢 量 的 圆柱 坐 标 表 示 A = er Ar + e A + ez A z 矢 量 的 球坐 标 表 示 A = er Ar + eθ Aθ + e A 2. 坐标变换 直 角 坐 标与 圆 柱 坐 标 Ax cos - sin 0 A r     Ay = sin cos 0A Az 0 0 1 Az Ar cos sin 0 A x A = - sin cos 0 Ay Az 0 直 角 坐 标与 球 坐 标 0 1 Az Ax sin θcos cos θcos - sin Ar Ay = sin θsin cos θsin cos Aθ Az cos θ - sin θ 0 A 30 4 附   录 Ar sin θcos Aθ = cos θcos A - sin 圆 柱 坐 标与 球 坐 标 sin θsin cos θsin cos cos θ A x - sin θ A y 1 Az Ar sin θ cos θ 0 Ar A= 0 0 1 Aθ Az cos θ - sin θ 0 A Ar sin θ 0 cos θ A r Aθ = cos θ 0 - sin θ A A 01 0 Az 3. 微分运算 直角坐标 Φ= ex Φ x + ey Φ y + ez Φ z ·A = Ax x + Ay y + Az z × A = ex Az y - Ay z + ey Ax z - Az x + ez 2 Φ= 2 Φ x2 + 2Φ y2 + 2Φ z2 2 A = ex 2 A x + ey 2 A y + ez 2 A z 圆柱坐标 Ay x - Ax y Φ= er Φ r + e 1 r Φ + ez Φ z ·A = 1 r r(rAr) + 1 r A+ Az z × A = er 1 r Az - A z +e Ar z - Az r   + ez 1 r ( rA r )- 1 r Ar 2 Φ= 1 r r r Φ r + 1 r2 2 Φ 2 + 2Φ z2 2 A = er 2 Ar - Ar r2 - 2 r2 A +e + ez 2 Az   球坐标 2A - A r2 + 2 r2 Ar Φ = er Φ r + eθ 1 r Φ θ + e 1Φ rsin θ ·A = 1 r2 r( r2 Ar) + 1 rsin θ θ(sin θAθ) + 1 rsin θ A 附   录 305 × A = er rsin θ θ( A sin θ) - Aθ + eθ r 1 sin θ Ar - r( rA ) + e r r( rAθ) - Ar θ 2 Φ= 1 r2 r r2 Φ r + 1 r2 sin θ θ sin θ Φ θ + 1 2Φ r2 sin2 θ 2 2 A = er 2 Ar - 2 r2 Ar - r2 2 sin θ θ(sin θAθ) - 2 r2 sin θ A   + eθ 2 Aθ - r2 Aθ sin2 θ+ 2 r2 Ar θ - 2cos θ r2 sin2 θ A   +e 2A - r2 A sin2 + θ 2 r2 sin θ Ar + 2cos θ Aθ r2 sin2 θθ 五 、δ函 数 1. δ函数的定义 ∫b f( x′) x′∈( a, b) 一维δ函数   f( x)δ( x - x′)d x = a 0 x′∈( a, b) ∫ f( r′) r′∈ S 二维δ函数   f( r)δ( r - r′)d S = S 0 r′∈ S ∫ f( r′) r′∈ V 三维δ函数   f( r)δ( r - r′)d V = V 0 r′∈ V 2. 奇异性 ∞ x = x′ 一维δ函数  δ( x - x′) = 0 x≠ x′ ∞ r = r′ 二维δ函数  δ( r - r′) = 0 r≠ r′ ∞ r = r′ 三维δ函数  δ( r - r′) = 0 r≠ r′ 3. 对称特性 一维δ函数  δ( x - x′) = δ( x′- x) 二维δ函数  δ( r - r′) = δ( r′- r) 三维δ函数  δ( r - r′) = δ( r′- r) 4. 三维δ函数在三种坐标系中的表示 直角坐标  δ( r - r′) =δ( x - x′)δ( y - y′)δ( z - z′) 圆柱坐标  δ( r - r′) =δ( r - r′)δ( - ′)δ( z - z′) r′ 球坐标    δ( r - r′) =δ( r - r′)δ(θ- θ′)δ( ( r′)2 sin θ - ′) 30 6 附   录 六 、柱 贝 塞 尔 函 数 1. 柱贝塞尔方程 x2 d2 Φ d x2 + x ddΦx + ( x2 - m 2 )Φ= 0 式中 x 可以是实数或复数。 当 m 为非整数时,柱贝塞尔方程具有两个线性无关的解为 ∑ J m ( x) = ∞ n =0 ( - 1) m xm +2 n n ! Γ( n + m + 1)2 m + 2 n ∑ J- m ( x) = ∞ ( - 1) m x - m + 2n n = 0 n ! Γ( n - m + 1) 2 - m + 2 n J m ( x)称为第一类 m 阶柱贝塞尔函数,式中 Γ函数为 ∫∞ Γ( p) = xp - 1 e- x d x 0 当 m 为整数时,Γ函数变为 Γ( n + m + 1) = ( n + m ) ! 此时,J m ( x)与 J- m ( x)是线性相关的,且 J- m ( x) = ( - 1) m J m ( x) 因此,必须寻找另一个与 J m ( x)线性无关的解,此解为 N m ( x) = Jm ( x)cos mπ- J- sin mπ m ( x) N m ( x)称为第二类 m 阶柱贝塞尔函数,且 N - m ( x) = ( - 1) m N m ( x)     ( m 为任何值) 因此,当 m 为任何值时,柱贝塞尔方程的通解可以表示为 Φ( x) = AJ m ( x) + B N m ( x) 或 者 表示 为 两 个 汉 克 尔 函 数 H(m1) ( x )与 H (2 ) m ( x ) 的 线 性 组 合,汉 克 尔 函 数 与 柱 贝 塞 尔 函数 的 关系为 H ( 1) m ( x) = Jm ( x) + jN m ( x) H ( 2) m ( x) = Jm ( x) - jN m ( x) H (1 m ) ( x) 称 为 第 一 类 m 阶 汉 克 尔 函 数 或 第三 类 m 阶 柱贝 塞 尔函 数 , H ( 2) m ( x) 称 为第 二 类 m阶 汉克尔函数或第四类 m 阶柱贝塞尔函数。 2. 修正柱贝塞尔函数 当贝塞尔方程中的变量 x 为纯虚数时,令 x = jν,则该方程变为 ν2 d2 Φ dν2 + νddΦν - (ν2 - m2 )Φ= 0 对 于 任何 m 值,该方程具有的两个线性无关的解为 ∑ I m (ν) = ∞ νm +2 n n = 0 n !Γ( m + n + 1)2 m +2 n K m (ν) = π 2sin mπ[I- m (ν) - I m (ν)] 附   录 307 I m (ν)和 K m (ν)分别称为第一类和第二类 m 阶修正柱贝塞尔函数。 当 m 为整数时,可证 I m (ν) = j- m J m (jν) K m (ν) = π2 jm + 1 [J m (jν) + jN m (jν)] 利 用 前述 关 系 , 可 得 I- m (ν) = I m (ν) K - m (ν) = K m (ν) 3. 柱贝塞尔函数的渐近式 当 xn 1 时,则         J m ( x)≈ m xm ! 2m N m ( x )≈ - 2 m ( m - 1) πmx ! 当 xm 1 时,则 J m ( x)≈ 2 πx cos x - π 2 m+ 1 2 N m ( x)≈ π2x sin x- π 2 m+ 1 2 H (1) m ( x) ≈ 2 πx ej x- π 2 m+ 1 2 H (2) m ( x) ≈ 2 πx e- j x- π 2 m + 1 2 当 νn 1 时,则 Im (ν) ≈ m νm !2 m K m (ν)≈ νm - 1 (m νm - 1) ! 当 νm 1 时,则 I m (ν)≈ eν 2πν K m (ν)≈ e-ν 2πν 4. 柱贝塞尔函数的递推公式、微分和积分公式   2m x B m ( x) = B m-1( x) + Bm +1 ( x) dB0 ( x) dx = - B1 ( x) 30 8 附   录 x dB m d ( x x) = m B m ( x) - x B m + 1 ( x) = xB m - 1 ( x) - m B m ( x) 2 dB m ( x) dx = B m - 1 ( x) - Bm+1( x) d dx [ xm B m ( x) ] = xm B m - 1 ( x) d dx [ x- m B m ( x) ] = - x - m B m + 1 ( x) ∫xB0 ( x)d x = xB1 ( x) ∫xB2m ( x)d x = x2 2 [ B2m ( x) - B m - 1 ( x)B m + 1 ( x)] 式中 B m ( x)可代表第一、二、三、四类柱贝塞尔函数。 5. 柱贝塞尔函数的特性曲线[7] 第一 类 柱 贝 塞 尔 函 数 第二 类 柱 贝 塞 尔 函 数 附   录 309 修 正 柱 贝 塞 尔函 数 七 、勒 让 德 函 数 1. 连带勒让德方程和勒让德函数 连 带 勒 让德 方 程 d dx (1 - x2 ) dΦ dx + n( n + 1) - 1 m2 - x2 Φ= 0 此 方 程的 通 解 为 Φ( x) = A Pnm ( x) + B Q m n ( x) 式中 Pnm ( x)和 Q m n ( x) 分 别 称为第 一类 和 第 二类 连 带 勒 让 德函 数, 且 仅 当 m< n 时存在。 若令 m = 0,则上述方程变为 d dx (1 - x2 ) dΦ dx + n( n + 1)Φ= 0 上 式 称为 勒 让 德 方 程 ,其 通 解 为 Φ( x) = C P n ( x) + D Q n ( x) 式中 P n ( x)和 Q n ( x)分别称为第一类和第二类勒让德函数,其定义为     P n ( x) = 1 2n n dn !d xn ( x2 - 1)n ∑ Q n ( x) = 1 2 P n ( x)ln 1+ 1- x x - n 1 l Pl - 1 ( x)P n - 1 ( x) l= 1 连 带 勒让 德 函 数 与 勒 让 德 函 数 的 关系 为 Pnm ( x) = (1 - x2 ) m 2 dm d xm Pn ( x) Q m n ( x) = (1 - x2 m )2 dm d xm Q n ( x) 31 0 附   录 几个 低 次 的 勒 让 德 函 数 如 下 :           P0 ( x) = 1 P1 ( x) = x P2 ( x) = 1 2 (3 x2 - 1) P3 ( x) = 1 2 (5 x3 - 3 x) P4 ( x) = 1 8 (35 x4 - 30 x2 + 3) P5 ( x) = 1 8 (63 x5 - 70 x3 + 15 x) 2. Pnm ( x)的正交性 ∫1 Pnm ( x)Plm ( x)d x = -1 0 2 (n + m)! 2n +1(n - m)! n≠ l n= l ∫1 -1 P m n ( x) Plm ( x) 1 d - x x2 = 0 (n + m) ! m ! (n- m)! m≠l m=l 3. 勒让德函数的变化曲线[7] 第 一 类 勒 让 德函 数 附   录 311 第 二 类 勒 让 德函 数 八 、电 磁 波 的 波 段 划 分 及 其 主 要 应 用 1. 波段划分 名     称                   频率范围             波长范围             主要应用 甚低频 V L F[超长波] 3~30 k H z 100~10 k m 导 航 ,声 纳 低频 LF[长波,L W ] 30~300 k Hz 10~1 k m 导 航 ,授 时 中频 M F[中波, M W ] 300~3 000 k Hz 1 k m ~100 m 调幅广播 高频 H F[短波,S W ] 3~30 M Hz 100~10 m 调幅广播 通信 甚高频 V H F[超短波] 30~300 M Hz 10~1 m 调频广播 广播电视 移动通信 特高频 U H F[微波] 300~3 000 M Hz 100~10 cm 广播电视 移动通信 卫星定位导航 无线局域网 超高频 S H F[微波] 3~30 G Hz 10~1 cm 卫星广播 卫星电视 通 信 ,雷 达 无线局域网 极高频 E H F[微波] 30~300 G H z 10~1 m m 通 信 ,雷 达 , 射电天文 光 频[ 光 波 ] 1~50 T Hz 300~0. 006 μm 光纤通信 31 2 附   录 2. 几种常用的波段 中波调幅广播( A M ):550 k Hz~1 650 k Hz 短波调幅广播( A M ):2 M H z~30 M Hz 调频广播( F M ):88 M Hz~108 M Hz 电视频道( T V ):50 M Hz~100 M Hz(第 1~5 频道) 170 M H z~220 M Hz(第 6~12 频道) 470 M H z~870 M Hz(第 13 及以上频道) 卫星直播电视(S D T V ):4 G Hz~6 G Hz;12 G Hz~14 G Hz 卫星直播广播(S D B):12 G Hz~14 G Hz 全球卫星定位系统( G PS):L1 = 1 575. 42 M Hz;L2 = 1 227. 60 M Hz 爱 因 斯坦 [ 156 ] 安 培[ 97 ] 安 培 定律 [ 146 ] 安 培 环路 定 律 [1 14 ] 半 波 天线 [ 272 ] 保 守 场[ 38] 贝 塞 尔方 程 [ 86, 247 ] 贝 塞 尔函 数 [ 86, 247 ] 毕 奥 —萨 伐 定 律 [1 16 ] 边 射 式天 线 阵 [2 76 ] 标 积[ 3] 标 量[ 1] 标 量 场[ 1] 标 量 磁位 [ 120 ] 标 量 位[ 160 ] 标 量 电位 [ 161 ] 标 量 第二 格 林 定 理 [1 8] 标 量 第一 格 林 定 理 [1 8] 表 面 波[ 210 ] 表 面 电流 [ 116 ] 表 面 电阻 率 [ 252 ] 边 界 条件 [ 73] 波 长[ 18 1] 波 导 波长 [ 236 ] 波 导 波阻 抗 [ 236 ] 波 面[ 18 0] 波 数[ 18 1] 波 阻 抗[ 182 ] 泊 松 方程 [ 72] 布 鲁 斯特 角 [ 209 ] 部 分 电容 [ 56] 常 磁 通系 统 [ 148 ] 常 电 荷系 统 [ 63] 索   引 常 电 流 系 统 [14 8] 常 电 位 系 统 [63 ] 常 矢 量 [2] 常 用 模 式 [23 5] 弛 豫 时 间 [10 3] 传 播 常 数 [18 5] 传 播 矢 量 [20 3] 传 导 电 流 [97 ] 传 输 线 [22 7] 叉 积 [4 ] 场 点 [7 ] 初 始 条 件 [73 ] 垂 直 极 化 波 [20 6] 磁 场 力 [14 5] 磁 场 能 量 [14 2] 磁 场 能 量 密 度[ 14 4] 磁 场 强 度 [12 4] 磁 场 线 [11 4] 磁 导 率 [12 5] 磁 感 应 强 度 [11 2] 磁 荷 [2 80] 磁 荷 面 密 度 [28 2] 磁 荷 守 恒 定 律[ 28 0] 磁 荷 体 密 度 [28 0] 磁 化 [1 21] 磁 化 电 流 [12 2] 磁 化 电 流 密 度[ 12 3] 磁 化 率 [12 4] 磁 化 强 度 [12 1] 磁 化 损 耗 [18 8] 磁 矩 [1 14] 磁 流 [2 80] 磁 流 元 [28 1] 31 4 磁 偶 极子 [ 113 ] 磁 通[ 11 4] 磁 通 连续 性 原 理 [1 14 ] 磁 通 链[ 137 ] 带 状 线[ 227 ] 单 位 矢量 [ 3] 导 行 电磁 波 [ 227 ] 等 离 子体 [ 217 ] 等 位 面[ 43] 等 位 体[ 53] 等 效 介电 常 数 [1 84 ] 等 值 面[ 6] 低 次 模[ 233 ] 电 场 管[ 34] 电 场 力[ 62] 电 场 能量 [ 58] 电 场 能量 密 度 [6 1] 电 场 强度 [ 33] 电 场 线[ 33] 电 磁 辐射 [ 164 ] 电 磁 感应 定 律 [1 36 ] 电 导[ 10 9] 电 导 率[ 98] 电 动 势[ 100 ] 电 感[ 13 7] 电 荷[ 33 ] 电 荷 面密 度 [ 37] 电 荷 守恒 定 律 [1 02 ] 电 荷 体密 度 [ 35] 电 荷 线密 度 [ 37] 点 积[ 3] 电 矩[ 40 ] 电 极 化率 [ 46] 电 极 化强 度 [ 46] 电 离[ 21 7] 电 离 层[ 217 ] 电 流[ 97 ] 电 流 环[ 277 ] 索   引 电 流 连 续 性 原 理[ 10 2] 电 流 密 度 [98 ] 电 流 元 [26 3] 电 容 [5 6] 电 通 [3 3] 电 位 [3 6,4 3] 电 位 移 [49 ] 电 阻 [9 9] 定 解 条 件 [73 ] 洞 [8 ] 度 量 系 数 [25 ] 端 射 式 天 线 阵[ 27 6] 对 称 天 线 [27 1] 对 偶 原 理 [28 0] 二 重 性 原 理 [28 1] 法 拉 第 [33 ] 反 磁 通 [13 5] 反 射 波 [19 3] 反 射 角 [20 5] 反 射 面 [20 5] 反 射 系 数 [19 5] 反 射 线 [20 4] 方 向 导 数 [5] 方 向 图 [26 8] 方 向 图 乘 法 规 则[ 27 5] 方 向 性 [26 6, 268 ] 方 向 性 系 数 [26 9] 方 向 性 因 子 [26 6] 方 向 余 弦 [4] 非 均 匀 介 质 [47 ] 非 均 匀 平 面 波[ 18 3] 非 齐 次 波 动 方 程[ 17 8] 非 线 性 介 质 [47 ] 非 正 常 色 散 [24 5] 分 离 变 量 法 [81 ] 弗 曼 [1 57] 辐 射 场 [16 4, 265 ] 辐 射 电 阻 [26 7] 辐 射 功率 [ 267 ] 复 能 量定 理 [ 174 ] 复 能 流密 度 矢 量 [1 72 ] 复 矢 量[ 169 ] 副 叶[ 26 8] 傅 里 叶级 数 [ 84] 感 应 磁通 [ 135 ] 感 应 电场 [ 135 ] 感 应 电动 势 [ 136 ] 高 次 模[ 233 ] 高 斯 定理 [ 9] 高 斯 定律 [ 35] 格 林 定理 [ 18] 格 林 函数 [ 72] 各 向 同性 [ 46] 各 向 异性 [ 46] 工 作 波长 [ 235 ] 功 率[ 10 5] 功 率 流动 密 度 矢 量 [1 66] 固 有 部分 电 容 [5 7] 固 有 能[ 61] 光 纤[ 21 0,2 27] 广 义 力[ 64] 广 义 坐标 [ 64] 轨 道 磁矩 [ 120 ] 归 一 化方 向 性 因 子 [2 68] 亥 姆 霍兹 定 理 [2 1] 赫 兹[ 15 5] 恒 定 磁场 [ 112 ] 恒 定 电场 [ 97] 恒 定 电流 场 [ 97] 横磁波( T M 波)[215] 横电波( T E 波)[216] 横电磁波( T E M 波)[182] 汇[ 8] 后 叶[ 26 8] 互 感[ 13 8] 互 易 原理 [ 286 ] 索   引 315 互 有 部 分 电 容[ 58 ] 互 有 能 [61 ] 环 量 [1 2] 惠 更 斯 元 [28 9] 惠 更 斯 原 理 [28 9] 击 穿 场 强 [45 ] 极 化 [4 5] 极 化 电 荷 [47 ] 极 化 损 耗 [18 8] 极 化 特 性 [18 9] 集 肤 深 度 [18 7] 集 肤 效 应 [18 7] 基 尔 霍 夫 公 式[ 29 1] 几 何 光 学 近 似[ 29 2] 几 何 光 学 原 理[ 29 2] 焦 耳 定 律 [10 5] 角 频 率 [16 8] 界 限 频 率 [18 7] 截 止 波 长 [23 4] 截 止 传 播 常 数[ 23 4] 截 止 频 率 [23 4] 介 电 常 数 [49 ] 介 质 波 导 [22 7] 介 质 击 穿 [45 ] 近 区 场 [26 4] 静 电 场 [33 ] 静 电 比 拟 [10 7] 静 电 平 衡 [53 ,9 7] 静 电 屏 蔽 [55 ] 静 止 媒 质 [47 ] 镜 像 电 荷 [75 ] 镜 像 法 [75 ] 镜 像 原 理 [28 2] 矩 形 波 导 [22 7, 231 ] 均 匀 介 质 [47 ] 均 匀 平 面 波 [18 1] 均 匀 直 线 式 天 线 阵[ 273 ] 卡 森 互 易 定 理[ 28 8] 31 6 抗 磁 性[ 121 ] 口 径 场[ 292 ] 口 径 利用 系 数 [2 97 ] 库 仑 定律 [ 62] 拉 普 拉斯 方 程 [7 1] 拉 普 拉斯 算 子 [1 2] 喇 叭 天线 [ 292 ] 勒 让 德函 数 [ 90] 理 想 导磁 体 [ 127 ] 理 想 导电 体 [ 98] 理 想 介质 [ 98] 连 带 勒让 德 方 程 [8 9] 连 带 勒让 德 函 数 [8 9] 临 界 角[ 209 ] 零 功 率角 [ 269 ] 零 射 方向 [ 268 ] 漏 磁 通[ 128 ] 漏 电 导[ 109 ] 洛 伦 兹互 易 定 理 [2 88 ] 洛 伦 兹条 件 [ 161 ] 麦 克 斯韦 [ 155 ] 麦 克 斯韦 方 程 [1 55 ] 面 磁 流密 度 [ 282 ] 面 电 流密 度 [ 159 ] 面 天 线[ 292 ] 内 电 感[ 141 ] 内 积[ 3] 能 量[ 61 ] 能 量 定理 [ 166 ] 能 量 流动 密 度 矢 量 [1 66] 能 量 密度 [ 61] 能 量 速度 [ 183 ] 能 流 密度 矢 量 [1 66 ] 能 速[ 18 3] 牛 顿 定律 [ 156 ] 欧 姆 定律 [ 98] 抛 物 面天 线 [ 292 ] 匹 配 边界 [ 198 ] 索   引 偏 振 [1 93] 偏 振 光 [19 3] 频 率 [1 81] 品 质 因 数 [25 5] 平 面 波 [18 1] 平 行 极 化 波 [20 6] 坡 印 廷 矢 量 [16 6] 齐 次 标 量 亥 姆 霍 兹方 程 [1 79 ] 齐 次 波 动 方 程[ 17 8] 齐 次 矢 量 亥 姆 霍 兹方 程 [1 79 全 电 流 定 律 [15 5] 全 电 流 连 续 性 原 理[ 154 ] 球 坐 标 系 [24 ] 取 向 极 化 [45 ] 全 反 射 [20 9] 群 速 [2 43] 入 射 波 [19 4] 入 射 角 [20 5] 入 射 面 [20 5] 入 射 线 [20 4] 散 度 [8 ] 色 散 [1 85] 色 散 媒 质 [18 5] 时 间 相 位 [18 0] 矢 积 [4 ] 矢 量 [1 ] 矢 量 场 [1] 矢 量 泊 松 方 程[ 11 9] 矢 量 位 [16 0] 矢 量 磁 位 [11 6, 119 ,16 1] 矢 量 第 二 格 林 定 理[ 19] 矢 量 第 一 格 林 定 理[ 19] 矢 量 斯 托 克 斯 定 理[ 16] 时 谐 电 磁 场 [16 8] 输 入 波 阻 抗 [20 0] 输 入 功 率 [27 0] 束 缚 场 [16 4, 265 ] 束 缚 电 荷 [45 ] 束 缚 电流 [ 122 ] 衰 减 常数 [ 185 ] 双 导 线[ 228 ] 双 折 射[ 220 ] 顺 磁 性[ 121 ] 斯 耐 尔定 律 [ 205 ] 斯 托 克斯 定 理 [1 4] 似 稳 场[ 164 ,2 65] 梯 度[ 6] 天 线 阵[ 273 ] 铁 磁 性[ 121 ] 铁 氧 体[ 121 ,2 21] 通 量[ 8] 同 相 阵[ 276 ] 同 轴 线[ 227 ,2 58] 透 镜 天线 [ 292 ] 透 射 波[ 193 ] 透 射 系数 [ 195 ] 椭 圆 极化 波 [ 191 ] 外 电 感[ 141 ] 外 积[ 4] 微 带[ 22 7] 惟 一 性[ 74] 惟 一 性定 理 [ 19, 75 ,16 7] 位 移 电流 [ 154 ] 位 移 电流 密 度 [1 54 ] 位 移 极化 [ 45] 乌 莫 夫矢 量 [ 166 ] 无 反 射[ 209 ] 无 耗 媒质 [ 188 ] 无 极 分子 [ 45] 无 散 场[ 16] 无 旋 场[ 16] 线 电 流[ 116 ] 线 极 化[ 189 ] 线 极 化波 [ 189 ] 线 性 介质 [ 47] 相 对 磁导 率 [ 125 ] 索   引 317 相 对 介 电 常 数[ 49 ] 相 速 [1 81] 相 位 常 数 [18 1] 相 位 匹 配 条 件[ 20 6] 相 位 速 度 [18 1] 效 率 [2 70] 斜 滑 投 射 [20 7] 斜 投 射 [20 4] 谐 振 [2 54] 谐 振 波 长 [25 5] 谐 振 频 率 [25 5] 谐 振 腔 [25 5] 行 波 [1 96] 虚 位 移 法 [62 ] 旋 磁 频 率 [21 8] 旋 度 [1 3] 亚 铁 磁 性 [12 1] 有 耗 媒 质 [18 8] 有 极 分 子 [45 ] 有 效 值 [16 9] 右 旋 椭 圆 极 化 波[ 19 1] 右 旋 圆 极 化 波[ 19 1] 源 [8 ] 源 点 [7 ] 圆 波 导 [22 7, 245 ] 圆 极 化 [19 0] 圆 柱 坐 标 系 [24 ] 远 区 场 [26 4] 运 动 媒 质 [47 ] 运 流 电 流 [97 ] 增 益 [2 70] 折 射 波 [20 4] 折 射 角 [20 5] 折 射 面 [20 5] 折 射 线 [20 4] 折 射 指 数 [20 5] 真 空 磁 导 率 [11 4] 真 空 介 电 常 数[ 35 ] 31 8 阵 因 子[ 275 ] 正 常 色散 [ 245 ] 正 交 曲面 坐 标 系 [2 3] 正 投 射[ 193 ] 正 弦 电磁 场 [ 168 ] 直 角 坐标 系 [ 1] 滞 后 位[ 164 ] 周 期[ 18 1] 周 期 平均 值 [ 171 ] 主 模[ 23 5] 主 射 方向 [ 268 ] 主 叶[ 26 8] 柱 贝 塞尔 函 数 [8 6, 247 ] 索   引 驻 波 [1 96] 驻 波 比 [19 8] 驻 立 电 荷 [10 0] 转 矩 [1 13] 自 感 [1 38] 自 旋 磁 矩 [12 2] 自 由 电 荷 [44 ] 自 由 电 子 [44 ] 纵 向 场 法 [22 9] 坐 标 变 量 [23 ] 左 旋 椭 圆 极 化 波[ 19 2] 左 旋 圆 极 化 波[ 19 0] 参考文献 (以出版年代为序) 1   Stratton J A . 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Electro m agnetic W ave T heory.(1),(2),(3).北京: 高等 教 育 出 版 社, 20 02 作者简介 作 者 毕 业 于 西 安 交 通 大 学 无 线 电 工 程 系 。 曾 任 西 安 交 通 大 学 助 教 、讲 师 、副 教授, 西南交通大学电磁所所长, 现任 西南 交通 大学教 授、博士 生导师。 曾赴 美 国著名的高等学 府伊 利诺 大学 ( U niversity of Illinois at U rbana - Cha m paign) 访 问并工作六年。长期以来, 主要从事 电磁 理论、天 线理论 与设 计、卫星定 位及 通 信的教学与科研工作。主持过有关移 动通信 天线、卫 星定 位天线、电 磁散 射、柱 面天线阵分析与综 合 及微 波透 波和 吸波 材 料 等多 项 国家 级 项目 的 研究。 近 年 来,在国内外权威刊物及重要国际会议上发表了数十篇论文。 先后担任过本科生、硕士生及博士 生的 教学工 作。撰 写了《电磁场 与波》本 科生教材和《电磁理论中的辅助函数》及《电 磁定 理和 原理及 其应 用》两本 专著。 此 外,还 与 陈 达 章 、刘 鹏 程 合 编 了 全 国 研 究 生 统 编 教 材《电 磁 理 论》。 在美国伊利诺大学 工 作期 间, 设 计 的嵌 入 式及 堆 叠 式微 带 天线 获 美、日 专 利,其中有关嵌入式微带天线的论 文荣获 美国 导航 学会最 佳论 文奖。曾 荣获 西 安交通大学优秀教师称号和优秀教学奖,西 南交 通大 学宏宇 优秀 教师奖 和铁 道 部首届詹天佑科技发展奖。现任中国电子学会天线分会委员。享受国务院颁发 的政府特殊津贴。
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