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傅里叶级数和卷积的联系和三维表示以及负频率的意义

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    傅里叶级数和卷积的联系和三维表示以及负频率的意义

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    傅里叶级数和卷积的联系和三维表示以及负频率的意义 汤佳杰 在信号课上,老师只告诉我们,信号在时域内的乘积等于频域内卷积,然而,实际上这一结论是有非常奇妙的来源的。 一、 多项式乘积 设函数,,求 一般的做法是直接展开然后相同阶数相加求出系数,但是今天我们要换种方法: 1. 先将反过来写成,然后看下列公式 1 将左移一位 将左移一位 将左移一位 将左移一位 将右边式子合起来得,大家可以验证,这就是的结果。 上面做的运算,将反过来叫做反褶,然后左移叫做平移,相乘相加可以理解为积分,这就是老师讲的卷积过程。记做 二、 matlab中的卷积运算 在matlab中,卷积的表达式为conv(a,b),举个例子来应用这个函数,设a=[1,1],b=[1,1] b=conv(a,b),则b=[1 2 1] b=conv(a,b),则b=[1 3 3 1] b=conv(a,b),则b=[1 4 6 4 1] b=conv(a,b),则b=[1 5 10 10 5 1] …… 可以看到,这样的运算的结果b就是大名鼎鼎的杨辉三角形。 而我们再将第一章的例子输入,a=[5 3 1 1],b=[1 1] conv(a,b)=[5 8 4 2 1] 卷积结果,也就是每次项前面的系数和我们的运算结果是一样的。虽然卷积运算看起来很复杂,但对于计算机来说是非常方便的运算,时间复杂度仅为O(n)。 三、 傅里叶与卷积 说了两章看似无用的内容,现在我们来讨论为什么要发明卷积这个算式。 我们已经知道,多项式相乘的结果和他们卷积的结果是一样的,也就是说,如果有一个函数和具有同样的性质,那么他们的相乘就可以用卷积求出来。 什么样的函数满足这样的性质呢? 我们不给猜想空间地直接给出结论,那就是= 下面来证明这个结论 由此可得,和具有同样的性质,所以,函数的乘积即为他们的卷积。 四、 傅里叶级数的指数形式 大家都知道欧拉公式 证明:由泰勒级数可知 取中z为jx(由于物理中i表示电流,故用j表示复数) 如果对于任意函数Q(t),我们可以用 这种形式表示的话,那么任意两个函数的乘积即为他们化成指数指数形式后卷积。 五、 一般周期函数与傅里叶级数 我们一起来复习下线性代数的知识。 定义:如果两个向量内积为0,那么他们是正交的。 定理1:互相正交的向量之间一定线性无关。 定理2:线性无关的n个向量可以构成n维空间的一组基。 设有一组向量,,,,他们是两两正交的,那么,他们就构成了n维空间的一组正交基,对于n维空间内的任意函数Q一定可以把Q投影到每组基上得 而C,cos(x),sin(x) ,cos(2x),sin(2x),正是满足这一条件的一组正交基,可以把他们看做,,。而这组正弦函数的周期为2π,所以,所有周期为2π的函数Q都可以投影到这组基上(如果前面乘以并且趋向0那么这一组正交基就可以表示出所有的函数Q)。 现在我们要求,那么我们在等式两边同时乘以得 由于他们是正交基,则右边除了项不为0外,其他的项都为0 向量相乘也称做内积,内积的定义为向量中所有元素相乘相加,而当向量为函数时,函数做内积可以对应地看做取所有能取到的x相乘,然后把所有的值相加,这就可以看做是积分运算 由此,我们可以计算出所有正弦量前面的系数,这就是傅里叶级数展开。 已知第四章的结论 得 将结果代入傅里叶级数展开 可以看出,,不同频率下的模构成的图像即为频谱。 理论上讲,我们可以求出和,进而求出,然后将信号用 形式表示,当任意两个信号乘积,即为他们的指数形式卷积,从而简化运算,这种变换也被称为DFT(离散傅里叶变换)。 六、 负频率 可以看出,傅里叶指数形式的频谱会出负频率的幅度。《信号与系统》上介绍,实际并不存在负频率,在这儿只是一种表示形式。这种说法是存在一定问题的,实际上,负频率是有实际含义的。 这就涉及到的物理意义。 (插一句,复数j的意义可以看做是旋转,乘以一个j就等于逆时针旋转90°,所以如果一个数乘以j*j就等于逆时针旋转180°,对于实数来就就等于在数轴上转成负数。发明负数的主要目的是为了表达方向) 可以看到,在实轴上投影为,虚轴上为,再加上时间t 该图像在x-y平面的投影 在y-t平面的投影 可以看到,中的为正值时,向量逆时针旋转;反之向量顺时针旋转,这就可以解释负频率的物理意义:旋转方向。 七、 周期信号的三维频谱图 将上一章的图像进行拓展,就可以得到 的三维频谱图(这个图画的不太对,每个圆的半径应该为),蓝色的箭头就是t=0时刻的相位,也就是,从t=0时刻开始,每个指数以为起点以的角速度(逆时针,顺时针)旋转。 沿着z轴负方向看过去,和处的两个向量可以合并成一个向量 可以看到,他们的合成只有在实轴有投影,而虚轴没有,这是因为我们讨论的信号本身就是实信号。将所有的信号相加,以方波信号为例,可以得到 (动态图请戳http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1a/Fourier_series_square_wave_circles_animation.gif)

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