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数学建模123

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    第 36 卷 第 4 期 2015 年 8 月 首都师范大学学报( 自然科学版) Journal of Capital Normal University ( Natural Science Edition) No. 4 August,2015 融数学建模思想于高等代数课堂教学之探索* 张四保 ( 喀什师范学院数学系,新疆 喀什 844000) 摘要 高等代数是数学专业的一门重要的专业基础课之一,是学习后续数学课程的基石. 对于数学专业大多数学生 而言,高等代数的学习是枯燥、乏味的,最主要一点是就缺乏应用实例. 本文阐述了融数学建模思想于高等代数课 堂教学的重要性与途径,希望对教育工作者有所帮助. 关键词: 高等代数,数学建模思想,课堂教学. 中图分类号: G642. 0 0引言 作为研究现实世界数量关系和空间形式的科 学,数学一直以来和各种应用问题紧密联系. 数学不 仅在于它概念的抽象性、逻辑的严密性,结论的明确 性和体系的完整性,而且也在于它应用的广泛性. 自 从 20 世纪以来,随着科学技术的迅速发展和计算机 的日益普及,人们对各种问题的要求越来越精确,使 得数学的应用越来越广泛和深入,特别是在知识经 济时代的 21 世纪,数学的科学地位发生巨大的变 化,它正在从国家经济和科技的后备走到了前沿. 经 济发展的全球化、计算机的迅猛发展,数理论与方法 的不断扩充使得数学已经成为当代高科技的一个重 要组成部分和思想库,数学已经成为一种能够普遍 实施的技术. 培养学生应用数学的意识和能力已经 成为数学教学的一个重要方面. 《高等代数》是数学学科的一门传统课程. 在当 今世界的数学内部学科趋于统一性和数学在其他学 科的广泛应用性的今天,《高等代数》以其追求内容 结构的清晰刻画和作为数学应用的基础,是大学数 学各个专业的主干基础课程之一. 它是数学在其它 学科应用的必需基础课程之一,又是数学修养的核 心课程之一,同时也是全国数学类硕士研究生入学 考试必考课程之一. 收稿日期: 2014-01-23 * 喀什师范学院教研教改重点课题资助( 编号: kjgz1301) 8 数学建模是一种数学的思考方法,是运用数学 的语言和方 法,通 过 抽 象、简 化 建 立 能 近 似 刻 画 并 “解决”实际问题的一种强有力的数学手段. 数学建 模不仅是数学走向应用的必经之路,而且是启迪数 学心灵的必胜之途. 数学建模不仅进一步凸现了它 的重要性,而且已成为现代应用数学的一个重要组 成部分,并为应用数学乃至整个数学科学的发展提 供了进一步的机遇和广阔的前景. 数学建模的一般 步骤如下图 1. 图 1 数学建模的一般步骤 1 融数学建模思想于高等代数课堂教 学的重要性 《高等 代 数 》以 严 密 的 逻 辑、系 统 的 推 理、抽 象 的思维作为其特点,其内容包括多种线性系统和结 构. 在研究繁杂的实践问题时,线性化是其中常用的 一种途径,高等代数学可以为问题的解决提供初步 的答案; 同时各种不同的范畴中线性部分又有一定 的共性,高等代数又可以为之提供统一的平台,对其 理论研究提供指导. 从而,高等代数学被广泛地应用 到自然科学的各个领域中. 《高等代数》课程概 念 第4 期 张四保: 融数学建模思想于高等代数课堂教学之探索 多、内容抽 象,是 大 学 生 心 目 中 最 难 学 的 数 学 课 之 一,教学难度大. 加之,我院为民汉合校,学生进校时 数学成绩较低,学生的数学文化、思维、计算等底子 较为薄落,在学习的过程中大多学生反映该课程的 知识枯燥无味、计算繁杂,且体会不到学习它的实际 意义,丧失了学习的兴趣与动力. 想要改变 这 种 状 况 和 局 面,有 必 要 对 我 们 现 在的课程的教学思想和方法、手段进行改革. 数学 建模是数学走向应用的必经之路. 李大潜院士表 示 ,要 用 数 学 方 法 解 决 一 个 实 际 问 题 ,就 要 建 立 相 应的 有 代 表 性 的 数 学 模 型,“数 学 原 来 的 教 学 是 有 缺陷的. 过去数学教学有天衣无缝的数学体系,看 起 来 很 美 ,但 忽 略 了 来 龙 去 脉 ,成 为 一 个 封 闭 的 体 系. 我们要开展数学建模竞赛活动,在大学开设数 学 建 模 、数 学 实 验 等 课 程 ,努 力 将 数 学 建 模 思 想 融 入 数 学 类 主 干 课 程 ,让 学 生 在 学 习 知 识 的 同 时 ,有 发现和创造的过程. [1]“将数学建模思想融入数学 类主干课程”[2]这一呼吁为高等代数 教 学 改 革 指 明了方向. 融建模思想于高等代数教学,将起着很重要的 作用,其意义深远. 一是将有助于调动学生学习的积 极性,激发学习的兴趣. 伟大的科学家爱因斯坦说 过: “兴趣是最好的老师. ”在高等代数教学中融入 建模思想,将加深学生对一些概念、定理的理解与掌 握,明白其来龙去脉,一旦学生对知识点产生浓厚的 兴趣,就会主动去求知、去探索、去实践,并在求知、 探索、实践中产生愉快的情绪和体验,激发学习的热 情. 二是将有助于培养学生创新能力. 培养学生的创 新能力是实 施“科 教 兴 国 ”和 可 持 续 发 展 战 略 的 重 要途径. 创造精神、创新能力是人才素质的核心. 在 建立数学模型所经历的几个过程中,学生可以在不 同的假定条件下、运用不同的数学语言、符号、方法, 建立不同的模型,从中产生对比,得出最优的解决方 案,发挥学生的创造力. 2 融数学建模思想于高等代数课堂教 学的途径 2. 1 融数学建模思想于定义、定理教学 高等代数中的有些定义是从实际问题中经抽 象、概括而得到的. 纯数学理论的教育、教学有时是 枯燥无味的,尤其是在一些定义、定理的教学. 学生 在学习的过程中对于一些定义、定理理解不了,有时 甚至是一头雾水,更别说应用了. 在教学的过程,教 师要运用建模的思想积极引导学生去发现,分析,解 决问题,这样学生便于掌握. 因此,在讲授某些定义、 定理时,可将其产生的历史背景与演变过程进行翔 实的讲解. 通过对其产生的有关背景问题的提出、分 析、归纳与总结的讲解,使学生真真切切感受到实际 问题转变为数学定义、概念、定理的方式与方法,培 养学生的建模思想[3],从而使学生能较快的掌握定 义、概念、定理. 定义 1[4] n 阶行列式 a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n   an1 an2 … ann 等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 a1j1 a2j2 …anjn 的代数和,其中 j1 j2 …jn 是 1,2,…,n 的一 个排列,每一项按下列规则带有符号: 当 j1 j2 …jn 是 偶排列时,取“+”号; 当 j1 j2 …jn 是奇排列时,取“ - ” 号. 这一定义可以写成 a11 a12 … a1n a21  a22  …  a2n  ∑ = ( - 1) a a …a , τ( j1j2…jn) 1j1 2j2 njn j1j2…jn an1 an2 … ann ∑ 表示对所有的 n 级排列求和. j1j2…jn 在讲解该定义的引入时,如果只是单一的告诉 学生这是后面求解线性方程组所需的理论,这样缺 乏实际应用的背景的介绍,学生可能难以接受,他们 会感觉到定义的空洞. 初学者要想掌握该定义,可能 都是靠死记硬背. 其实,行列式的几何背景很直观, 就是空间平行多面体的“体积”. [5]为此,在讲解的 过程中,任课教师可以效仿法国数学家柯西求解空 间多面体体积的过程,从平行四边形面积和空间六 面体体积出发,得到 2、3 阶行列式的计算公式,从而 引发学生对高阶行列式公式推导的兴趣[6]. 定义 2[4] 设 A = ( aik ) sn ,B = ( bkj ) nm,那么矩阵 C = ( cij) sm 称为 A 与 B 的乘积,记为 C = AB,其中 cij n ∑ = ai1 b1j + ai2 b2j + … + ain bnj = aik bkj . k =1 在矩阵乘积概念的引入时,可以从现实生活中 的实际问题出发,建立简单的模型,引导学生去了解 实际应用,使学生了解其实际应用的直观性,明确学 习的目的. 例 某货物公司向 3 个超市发送 4 种货物的数 9 首都师范大学学报( 自然科学版) 2015 年  a11 a12 a13 a14  量可列成矩阵 A =   a21 a22 a23 a24 ,其中 aij 为  a31 a32 a33 a34  公司向第 i 个超市发送的第 j 种货物的数量. 已知这 4 种货物的单价及单件重量列成矩阵  b11 B =   b21   b31  b41 b12  b22 b32   ,其 中  b j1 为第 j 种 货 物 的 单 价 ,b i2 为 b42  第 i 货物的单件重量. 问 3 个超市共支付多少款  x1 y1   a11 a12 a13    x2 x3 y2 y3    = C = AB =     a21 a31 a22 a32 a23 a33 给货物 公 司,货 物 公 司 共 向 3 个 超 市 发 送 多 少 货物? 假设货物公司得到的总款为 x,货物公司发送 货物总量为 y,第1、2、3 超市支付款分别 x1 ,x2 ,x3 ,第 1、2、3 超市得到的货物总量分别 y1 ,y2 ,y3 ,因而目标 函数 1 为 x = x1 + x2 + x3 ,目标函数 2 为 y = y1 + y2  x1 + y3 ,将 x1 ,x2 ,x3 ,y1 ,y2 ,y3 构成矩阵 C =   x2  x3 y1  y2   , y3  则有 a14 a24 a34            b11 b21 b31 b41 b12  b22   b32   b42   a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 + a14 b41 =    a21 a31 b11 b11 + + a22 b21 a32 b21 + a23 b31 + a33 b31 + a24 b41 + a34 b41 a11 b12 + a12 b22 + a13 b32 + a14 b42  a21 b12 a31 b12 + a22 b22 + a32 b22 + a23 b32 + a33 b32 + + a24 a34 b42 b42    从而 x = a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 + a14 b41 + a21 b11 + a22 b21 + a23 b31 + a24 b41 + a31 b11 + a32 b21 + a33 b31 + a34 b41 = ( a11 + a21 + a31 ) b11 + ( a12 + a22 + a32 ) b21 + ( a13 + a23 + a33 ) b31 + ( a14 + a24 + a34 ) b41 ; y = a11 b12 + a12 b22 + a13 b32 + a14 b42 + a21 b12 + a22 b22 + a23 b32 + a24 b42 + a31 b12 + a32 b22 + a33 b32 + a34 b42 = ( a11 + a21 + a31 ) b12 + ( a12 + a22 + a32 ) b22 + ( a13 + a23 + a33 ) b32 + ( a14 + a24 + a34 ) b42 . 在讲解的过程,如果引入数学建模的新思想来 解决类似的实际问题,对于矩阵乘法的教学可以起 到事半功倍的效果. 2. 2 融数学建模思想于例题教学 数学应用题其实就是一些简单的建模问题. 因 而,在讲授基础理论知识的同时,可以适当的选择一 些实际问题,引导学生去分析,并进行适当的、合理 的简化假设,建立模型并求解,从而明白和理解现实 世界、现实事物. 这样学生不但了解了建模的思想, 而且体会到了高等代数在改造现实世界中的重要作 用. 同时,学 生 的 分 析、解 决 问 题 的 能 力 还 将 大 大 提高. 对于不同专业的学生,在知识点例题补充环节, 任课教师尽量选择一些与专业相一致的数学模型, 做到有的放矢,这样学生也可以体会到知识理论在 其专业课中的用途. 例如,对于统计学、应用统计学 专业的学生,在线性方程组或矩阵的逆矩阵的相关 例题中,可以添加投入产出问题[7]; 对于信息与计 算科学专业的学生,在矩阵的逆矩阵的相关例题中, 10 可以添加破译密码问题. 下面以此为例来说明. 例 现发出一个信息 beauty,并给出了加密方 法和加密 后 所 得 到 的 密 文,同 时 给 出 相 应 的 解 密 方法. 1. 假定每个英文字母对应着一个非负整数,空 格和 26 个英文字母依次对应阿拉伯数字 0 ~ 26. 2. 假设将该单词中从左至右每 3 个字母为一 组,并将其所对应的 3 个阿拉伯数字构成一个 3 维 的行矩阵,加密后仍为 3 维的行矩阵,其分量仍为阿 拉伯数字. 设 3 维向量 X 为明文,选一矩阵 A 使密文 Y = XA,同时要确保接收方能由 Y 准确地解出 X. 由 矩阵相关理论,A 定是 3 阶可逆矩阵. 因而有,X = YA-1 . 因此原问题转化为: ( 1 ) 把 beauty 翻 译 成 两 个 行 矩 阵: x1 = ( 2 5 1) ,x2 = ( 21 20 25) ; ( 2) 构造一个 A = ± 1 整数矩阵 A( A 不能为 1 0 0 单位矩阵 E) ,取 A =  1 1 0  ; 1 1 1 第4 期 张四保: 融数学建模思想于高等代数课堂教学之探索 ( 3) 计算 1 0 0 y1 = x1A = ( 2 5 1)   1 1 0   = ( 8 6 1) , 1 1 1 1 0 0 y2 = x2 A = ( 21 20 25) 1  1 0  1 1 1 = ( 66 45 25) ; ( 4) 计算 1 A -1 =  - 1 0 0 0 1 0 ; - 1 1 ( 5) 计算 1 x1 = y1 A -1 = ( 8 6 1)   -1 0 0 0 1 0  -1 1 = ( 2 5 1) , 1 x2 = y2 A - 1 = ( 66 45 25)   -1 0 0 0 1 0   -1 1 = ( 21 20 25) . 对照表得到明文为 beauty. 2. 3 融数学建模思想于课后习题 传统的高等代数的知识体系与教学体系都偏重 于理论的讲解,而真正的实际训练也大都体现在纯 理论性的计算,这是远远不够的. 课后作业是课堂教 学的延伸,是进一步理解、消化和巩固课堂教学内容 的重要环 节. [8] 可 根 据 高 等 代 数 课 程 及 习 题 的 特 点,将 3 人一组分成若干小组,每隔一段时间就所学 的内容应用到实际问题中去,开展建模训练,通过这 样形式的课后活动,不但可以使学生加强和巩固所 学的内容,而且还可以培养学生的开拓创新、互帮互 助的合作精神. 尤其是在大学生所关注问题上,如工 作单位的选择、世界杯小组循环比赛的成绩等,这些 与矩阵的特征值与特征向量都有关,课后可以让学 生动手去操作. 3 融数学建模思想于高等代数课堂教 学的几点建议 融数学建模思想于高等代数教学改革,在看到 其所起的推动、促进作用同时,我们还应注意在实际 操作的过程所体现出来以下问题. 1. 注意循序渐进原则. 人们对客观事物的认识, 是一个由简到繁,由低级到高级,由直观到抽象的循 “序”过程,人们对任何事物都不可能一步就达到对 其本质的认识. 俗话说,一口气吃不出胖子,在融数 学建模思想于高等代数课堂教学的过程中一定要把 握尺度,不能急于求成,否则会适得其反. 2. 注意尺度,合理把握内容深度、广度与课时 量的关系. 在教学过程中,教师不应过分追求数学模 型的介入来处理教学内容,这样反而会有喧宾夺主 的嫌疑. 如果在教学过程中刻意引入繁杂的模型例 子来分析所要讲授知识,就会导致问题复杂化,课时 可能不足,从而影响教学内容进度安排,收不到其应 有的教学效果. 3. 教师应提高自身素质.《中国教育改革和发 展纲要》指出: “振兴民族的希望在教育,振兴教育 的希望在教师”. 教师应通过培训、学习精品课程、 进修、与专家探讨等途径努力提高自身素养. 只有具 备了广阔的知识面和眼界、对数学具有深刻的理解、 拥有一定的数学建模意识和数学建模能力才能在课 堂上顺利引进并成功实施,否则,融数学建模思想于 教学就是无源之水、无本之木. [9] 4 结束语 随着大学数学教育教学改革的逐渐推进,数学 建模思想逐渐渗透到数学的各个学科. 融数学建模 思想于高等代数教学是一任重而道远的工作,它不 可能是一蹴而就的. 如何行之有效地融数学建模思 想于高等代数课程教育教学改革是广大教育工作者 共同探究和实践的一项课题,它需要广大教育工作 者付出更多的努力. 参考文献 [1 ] 专家呼吁: 将数学建模思想融入数学类主干课程. [OL] http: / / scitech. people. com. cn / h /2011 /0911 / c227887- 422634332. html [2 ] 李大潜. 将数学建模思想融入数学类主干课程[J]. 中国大学教,2006,( 1) : 9 - 11. [3 ] 全国大学生数学建模竞赛组委会主任李大潜院士在 20 周年庆典暨 2011 高教社杯颁奖仪式上的讲话. [OL] http: / / www. mcm. edu. cn / html_cn / node / c4c6291b2e597fa6cb1a84961b16106b. html. ( 下转第 24 页) 11 首都师范大学学报( 自然科学版) 2015 年 Study on State of Motioned Charged Particles in Magnetic Field near Surface Tang Tiantian ( Department of Basic Education,Yantai Nanshan University,Yantai 265713) Abstract The equation of motioned charged particles in magnetic field near surface is deduced from the point of view of quantum mechanics. To explore the electronic Hamiltonian and more intuitive understanding of motion of charged particles in the magnetic field near the dielectric surface,the analytical solution of the differential equation for special trajectory is simulated with computer. Key words: Hamiltonian,magnetic field,dielectric surface,numerical simulation. ( 上接第 11 页) [4 ] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编 王萼芳,石生明修订. 高等代数( 第三版) [M]. 北京: 高等教育 出版社,2003. [5 ] 凌和良,万冰蓉. 应用型本科院校线性代数教学改革的几点构想[J]. 赤峰学院学报,2013,29( 4) : 3 - 4. [6 ] 段勇,黄廷祝. 将数学建模思想融入线性代数课程教学[J]. 中国大学教学,2009,( 3) : 43 - 44. [7 ] 许小芳. 数学建模思想融入线性代数教学的探索[J]. 湖北理工学院学报,2013,29( 5) : 67 - 70. [8 ] 杨刘. 在《高等代数》课程教学中融入数学建模思想研究[J]. 教育教学论坛,2013,( 13) : 236 - 237. [9 ] 王志琦. 探究数学建模思想在数学教学中运用[J]. 内蒙古师范大学学报( 教育科学版) ,2013,26( 6) : 141 - 143. The Probe on Melting into Mathematical Modeling Thought in Classroom Teaching of Higher Algebra Zhang Sibao ( Department of Mathematics,Kashgar Teachers College,Kashgar 844008) Abstract Higher algebra course is an important professional basic course in Mathematics major,and it is the cornerstone of studing follow courses. It is deadening and pedestrian to lerarn higher algebra course for Mathematics major students,because of lacking of application examples in it. In this paper,the significance and the ways of melting into mathematical modeling thought in classroom teaching of Higher Algebra were described,and to hope it is useful for educational workers. Key words: higher algebra,mathematical modeling thought,classroom teaching. 24

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