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matlab多种数据拟合方法

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matlab多种数据拟合方法,适合用于实验数据处理,多元线性、非线性回归

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数据回归分析和拟合的 Matlab 实现 本次将教程的主要内容包含: 一、多元线性回归 2# 多元线性回归:regress 二、多项式回归 3# 一元多项式:polyfit 或者 polytool 多元二项式:rstool 或者 rsmdemo 三、非线性回归 4# 非线性回归:nlinfit 四、逐步回归 5# 逐步回归:stepwise 一、多元线性回归 多元线性回归: 1、b=regress(Y, X ) 确定回归系数的点估计值 2、[b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha) 模型 求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归 ①bint 表示回归系数的区间估计. ②r 表示残差 ③rint 表示置信区间 ④stats 表示用于检验回归模型的统计量,有三个数值:相关系数 r2、F 值、与 F 对应的概率 p 说明:相关系数 r2 越接近 1,说明回归方程越显著; 时拒绝 H0,F 越大,说明回归方程越显著;与 F 对应的概率 p<α 时拒绝 H0 ⑤alpha 表示显著性水平(缺省时为 0.05) 3、rcoplot(r,rint) 画出残差及其置信区间具体参见下面的实例演示 4、实例演示,函数使用说明 (1)输入数据 复制内容到剪贴板 代码 : >>x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]'; >>X=[ones(16,1) x]; >>Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]'; (2)回归分析及检验 复制内容到剪贴板 代码 : >> [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X) b= -16.0730 0.7194 bint = -33.7071 0.6047 1.5612 0.8340 r= 1.2056 -3.2331 -0.9524 1.3282 0.8895 1.1702 -0.9879 0.2927 0.5734 1.8540 0.1347 -1.5847 -0.3040 -0.0234 -0.4621 0.0992 rint = -1.2407 -5.0622 -3.5894 -1.2895 -1.8519 -1.5552 -3.7713 -2.5473 3.6520 -1.4040 1.6845 3.9459 3.6309 3.8955 1.7955 3.1328 -2.2471 -0.7540 -2.6814 -4.2188 -3.0710 -2.7661 -3.1133 -2.4640 3.3939 4.4621 2.9508 1.0494 2.4630 2.7193 2.1892 2.6624 stats = 0.9282 180.9531 运行结果解读如下 0.0000 1.7437 参数回归结果为 ,对应的置信区间分别为[-33.7017,1.5612]和[0.6047,0.834] r2=0.9282(越接近于 1,回归效果越显著),F=180.9531, p=0.0000,由 p<0.05, 可知回归模 型 y=-16.073+0.7194x 成立 (3)残差分析 作残差图 复制内容到剪贴板 代码 : rcoplot(r,rint) 二、多项式回归 一元多项式回归 1、一元多项式回归函数 (1)[p,S]=polyfit(x,y,m) 确定多项式系数的 MATLAB 命令 说明:x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn);p=(a1,a2,…,am+1)是多项式 y=a1xm+a2xm-1+…+amx+am+1 的系数; S 是一个矩阵,用来估计预测误差 (2)polytool(x,y,m) 调用多项式回归 GUI 界面,参数意义同 polyfit 2、预测和预测误差估计 (1)Y=polyval(p,x) 求 polyfit 所得的回归多项式在 x 处的预测值 Y (2)[Y,DELTA]=polyconf(p,x,S,alpha) 求 polyfit 所得的回归多项式在 x 处的预测值 Y 及预测值 的显著性为 1-alpha 的置信区间 Y±DELTA,alpha 缺省时为 0.5 3、实例演示说明 观测物体降落的距离 s 与时间 t 的关系,得到数据如下表,求 s 的表达式(即回归方程 s=a+bt+ct2) t (s) 1/30 2/30 3/30 4/30 5/30 6/30 7/30 s (cm) 11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 t (s) 8/30 9/30 10/30 11/30 12/30 13/30 14/30 s (cm) 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48 解法一:直接作二次多项式回归 复制内容到剪贴板 代码 : >>t=1/30:1/30:14/30; >>s=[11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48]; >>[p,S]=polyfit(t,s,2) p= 489.2946 65.8896 9.1329 S= R: [3x3 double] df: 11 normr: 0.1157 故回归模型为 解法二:化为多元线性回归 复制内容到剪贴板 代码 : >>t=1/30:1/30:14/30; >>s=[11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48]; >>T=[ones(14,1) t' (t.^2)']; >>[b,bint,r,rint,stats]=regress(s',T) b= 9.1329 65.8896 489.2946 bint = 9.0614 9.2044 65.2316 66.5476 488.0146 490.5747 r= -0.0129 -0.0302 -0.0148 0.0732 0.0040 0.0474 -0.0165 -0.0078 -0.0363 -0.0222 0.0046 -0.0059 -0.0237 0.0411 rint = -0.0697 -0.0956 -0.0876 0.0182 -0.0709 -0.0192 -0.0894 -0.0813 -0.1062 -0.0955 -0.0704 -0.0793 -0.0904 -0.0088 0.0439 0.0352 0.0580 0.1283 0.0789 0.1139 0.0563 0.0658 0.0335 0.0511 0.0796 0.0675 0.0429 0.0910 stats = 1.0e+007 * 0.0000 1.0378 故回归模型为: 预测及作图 复制内容到剪贴板 代码 : Y=polyconf(p,t,S); plot(t,s,'k+',t,Y,'r') 0 0.0000 多元二项式回归 1、多元二项式回归 Matlab 命令 rstool(x,y,'model',alpha) 输入参数说明: x:n*m 矩阵; Y:n 维列向量; alpha:显著性水平(缺省时为 0.05); mode:由下列 4 个模型中选择 1 个(用字符串输入,缺省时为线性模型) 2、实例演示说明 设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品价格的统计数据如下,建立回归模型,预测平均 收入为 1000、价格为 6 时的商品需求量 需求量 100 75 80 70 50 65 90 100 110 60 收入 1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300 价格 5 7 6 6 8 7 5 4 3 9 解法一:选择纯二次模型 复制内容到剪贴板 代码 : %直接用多元二项式回归如下 x1=[1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300]; x2=[5 7 6 6 8 7 5 4 3 9]; y=[100 75 80 70 50 65 90 100 110 60]'; x=[x1' x2']; rstool(x,y,'purequadratic') 在 x1 对应的文本框中输入 1000,X2 中输入 6,敲回车键,此时图形和相关数据会自动更新 此时在 GUI 左边的“Predicted Y1”下方的数据变为 88.47981,表示平均收入为 1000、价格为 6 时商品需求量为 88.4791 点击左下角的 Export 按钮,将会导出回归的相关参数 beta、rmse 和 residuals 到工作空间 (workspace) 在 Export 按钮下面可以选择回归类型 在 Matlab 命令窗口中输入 复制内容到剪贴板 代码 : >>beta, rmse 将得到如下结果 复制内容到剪贴板 代码 : beta = 110.5313 0.1464 -26.5709 -0.0001 1.8475 rmse = 故回归模型为 4.5362 解法二:将上面饿模型转换为多元线性回归 复制内容到剪贴板 代码 : >>X=[ones(10,1) x1' x2' (x1.^2)' (x2.^2)']; >>[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X); >>b,stats b= 110.5313 0.1464 -26.5709 -0.0001 1.8475 stats = 0.9702 40.6656 0.0005 20.5771 从残差图可以看出,除第二个数据外,其余数据的残差离零点均较近,且残差的置信区间均 包含零点,这说明回归模型 y=-16.073+0.7194x 能较好的符合原始数据,而第二个数据可视 为异常点。 (4)预测及作图 复制内容到剪贴板 代码 : z=b(1)+b(2)*x plot(x,Y,'k+',x,z,'r') 三、非线性回归 1、非线性回归 [beta,r,J]=nlinfit(x,y,'modelfun', beta0) nlintool(x,y,'modelfun', beta0,alpha) 参数说明 beta:估计出的回归系数; 非线性回归系数的命令 非线性回归 GUI 界面 r:残差; J:Jacobian 矩阵; x,y:输入数据 x、y 分别为矩阵和 n 维列向量,对一元非线性回归,x 为 n 维列向量; modelfun:M 函数、匿名函数或 inline 函数,定义的非线性回归函数; beta0:回归系数的初值; 2、预测和预测误差估计 [Y,DELTA]=nlpredci('modelfun', x,beta,r,J) 获取 x 处的预测值 Y 及预测值的显著性为 1-alpha 的置信区间 Y±DELTA 3、实例演示说明 解:(1)对将要拟合的非线性模型,建立 M 函数如下 复制内容到剪贴板 代码 : function yhat=modelfun(beta,x) %beta 是需要回归的参数 %x 是提供的数据 yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x); (2)输入数据 复制内容到剪贴板 代码 : x=2:16; y=[6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.60 10.80 10.60 10.90 10.76]; beta0=[8 2]'; (3)求回归系数 复制内容到剪贴板 代码 : [beta,r ,J]=nlinfit(x',y',@modelfun,beta0); beta beta = 11.6036 -1.0641 即得回归模型为 (4)预测及作图 复制内容到剪贴板 代码 : [YY,delta]=nlpredci('modelfun',x',beta,r ,J); plot(x,y,'k+',x,YY,'r') 四、逐步回归 1、逐步回归的命令 stepwise(x,y,inmodel,alpha) 根据数据进行分步回归 stepwise 直接调出分步回归 GUI 界面 输入参数说明 x:自变量数据, 阶矩阵; y:因变量数据, 阶矩阵; inmodel:矩阵的列数的指标,给出初始模型中包括的子集(缺省时设定为全部自变量); alpha:显著性水平(缺省时为 0.5); 2、实例演示分析 水泥凝固时放出的热量 y 与水泥中 4 种化学成分 x1、x2、x3、 x4 有关,今测得一组数据如 下,试用逐步回归法确定一个线性模型 序 号 1 12 x1 7 1 11 x2 26 47 40 x3 6 23 9 x4 60 6 34 y 78.5 93.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 1 11 11 7 11 3 1 2 21 10 29 56 31 52 55 71 31 54 66 68 15 8 8 6 9 17 22 18 4 8 52 20 47 33 22 6 44 22 2 12 12 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 115.9 83.8 113.3 109.4 (1)数据输入 复制内容到剪贴板 代码 : x1=[7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10]'; x2=[26 29 56 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68]'; x3=[6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8]'; x4=[60 52 20 47 33 22 6 44 22 26 34 12 12]'; y=[78.5 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 83.8 113.3 109.4]'; x=[x1 x2 x3 x4]; (2)逐步回归 ①先在初始模型中取全部自变量 复制内容到剪贴板 代码 : stepwise(x,y)

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