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矩阵分析学习指导(课后参考答案)

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    研究生矩阵分析课后参考答案,详细版!

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((l l (j附 39 J1 775( 办公黛)相 gH9Sü(挝绍中也、 钢材! hllpjf/www.bilpt咽 8ωm.cn 毯子饰篇/咄id",rl(,<~多 bitpr伺s.crnn. cn 後 销/会稳~烛新华锁店 ~8~ II ÙS4 (读者服务部) 街: 航 / :iC J.其编后重印刷 γ 严 ;t; ! 650 嗡来 Xl1lì8 毫米 11过 日 在展/台 125 二萨 摆在! 2Z0 千字 或黯 次 12即 5'事,)号'属;援 绍'撞/ 1~4000 1} 兹在Ì'! 14.00 元 2拥S 勾"!l1li 1 号民!lJ鳞 费每校对张'" i!i侄Eíl割 j 刘京岚 绍与摆出弱部装E丢晕 d 翠.;;:桂负责褐袋 前言 参书是作者注著盘专辑将《慈萍毋薪》 将徐教碍事章等祷,辑中 给主起了事在赘申族有三主题漾虫草委专集巷,其黯然在于帮草草泼费箩导虫在 多幸灌注.掌握第疆曲方法、挺高解盖章曲技巧@ 本书房辑应章节白喜曲基本薯求‘集翻倒草草、苟捕蓝、黯事睡揭疆、 3苦 察与西德题解替五部卦经成。基本费事部分是鼠'曾蟹该清掌握醒棉 摒董事剪裁的最疲羁蝠写的,菌额很小..l苦篇是4 簸阵分串哥》撞树中每 一章后的草莓,为了使读者可以挫立使那本书,书中辈,放了教材 ψ 的余部司愿$自攒题都jJ-是希望读者创草草窍倒磁、司II!以价.钱费 个人是苦掌握了基本解题方法而选编的,其解替相对比被简鹅. 3句便于读者自学,在编写倒题、二j 题解带时做到简单明了,不 罩蟹,倒是叙述卫不能过于糯酶.省略,力革做到阅读时摇僚、路 1lII解, 等虑到不肉类型、平同层'"读者的能薯,到撞撞‘吁'醒的编笼寄自患 有简娘的基础黯.丑有偏理科的难题.对于 持有军费E酷的隙,残们 知蒋绕在去,读者可很摞 fλ情况进行选择,革必全靠靠阅读. 书中?别例葱、写辈革喜事带解挂,很l!!帝把事种董事法作 3草本书 的蜡求‘本书介绍的'挥题1;捷井平 定是最好约 1i 蛙.读者完素可 能金钱臻更好始'露盖章主法。 磁于时;写告 iß ,各.p难免存在镶黯之处,敬曹读者数诗击毒草莓 辑蕾蕾 20ú5 年§月 目录 第一靠 靠费钱盘问鞠绿毯董事鲁... •.• .......…….. .. ( 町、罄参赛事…"阳山山的. ...~…................~...... j 二二、典黎鳞草草…"叫..... .•. ...……………………"时( 1 ) 二三毛 J辈辈重….............................……..…………户.. (括〉 艇、自测量重…得 ••••• ..........…... …叫...……〈棉》 第二章 A 啕簸'草莓锺篝的 1。蜡阳悻蘑磊…… M 川'"…( 5l ) • …、串串本要草棚川....... ) …..……·………........川<5 1 二二、奥翻倒............................................... .., 、 3哥艘….............….. ..,…山…山川川叩川叩…《部〉 倒‘自测醺川川"……... ….........川.... .川.. (67) '自丘,曾 内飘盟阀、正规矩阵、 H...唰随便阵-…川.. ••• (6~) …、 3串本事理事....…… …,....川… ••.• •.• ••• (6~) 二、典型型例鳝………·…… 一 苟翩 … 一 自 咽 测 题 •• ...舍…·川川确.. (69) <9<49> 8> 盹 n 篝自睡嚣 量E 拷卦董事.... …..……………... ............叫... 01}) ….攥本肇事.................................…"…. (1 00) 二、,每3居然辈辈 "…·………....… a 山…川…山川川川.. (峙的 三毛 3号巍山………………归..............…·……….. (口引 Z慧、 自费睡盖章" … 篝.ñ靠 窝囊与辈革,草草数...............… …山川……... (1 20) 一,矗象要草......……...,.....山., ....….,.,.,,..,,. {lZ0) 4二‘典戴fI1j麓, …................…....…………......飞泛的 斗、苟嚣...........,... ,.. ,..................., ...."." "...句口 ~4) 四 自M 洲 题 <1 35> .1 篝肯章 簸董事蝠'宫.,.... ••• ...叫川川川叩山川叫川............ (1 38) →,嘉本提章...….............…川川…山川‘ 4 …...... (1 38) 二、典型墨镜窥…... .… η..... …… u 川...赞........…….. (38) ••• 三、军黯.. ......…......川川山…山川川 "叫叩叩《盯的 鹏、自测草草...........篝....‘….. .…川山………川 篝七章 画,曹籍院每黠障害最分宽穰…….........…山山川… (]14) 一‘羁本哥哥增…....,... ••• ......…… …"." .....山叫"凡〉 二二、典型例磁 ....h.....刷... .刷....川 二二王‘ 苟 E黯~.川.....川刷.川......….川川 篝 J八飞嚣 靠簸髦蹲的广 J武坦量滋量"川. ..川.…,川巾.协…..……"川慢....川..………川"川.….. (I酶〉 叫‘革本嚼掌…...川.... 二、典章撞倒蹦…......…"… "…. ••••••. 山…......…( 185> 、Jj磁………"川川山川川… m …..................…(凹的 Jj跚崎自剿'醒'串臀……...…….......……………"……"…(1 97) :!<薯'带武酣川川川川川…….......山…·川........…... (283) -2 睿 第…远景 钱性空间和线性变换 , 一、喜事本事要求 飞 1 )克卦E盟章挥主跑靠缕饺烹闻部概念.掌握我量统统I'!进泉、线 铁车在英噎飨徐先是娟冀酣与钱主主 (2) 事毅然馀宠 i母约毒、撞巍、垒辑越建立与在法 8 拿巍巍费 换句缉部资挟, 。〉鳞鳞线敏于空间结捷生,重"掌握弃次线教万楼级韵解 泌均生棋子二空 f莓,臻草草线性'f空间韵置与和以革维数母;"2 骂骂 gin',1" + CC地让 = 制旷 x 十 cos~ .r + 2(1 仰jl.~.r )COS~1 sîn' ..r十 cos~... 靠 E毒草吁 f串 sin\r … 00' 让精制n'x 叮-,制计,这在确 sbaz , ccUgdttx , 明 .r,;I." 路线恍栩茧的 a 份制 1.4 巳知全体正实数量古民盖子如 F 直义的加法与 散蜻蛐缺构成统性苦在附 a EF>b: = 呻, a.bER- 是. a: 描 at • d 在 Rl. k 廷 R 议堆成饿校宽阔的…个幸在与雄暨. 麟 z 曹先放意到民+巾的单位元为 1. 任取 rER\Ih 子óoG. t量 Æ• G: 刷 1. Jf. Ä a~ 栅室,于是是血。搏任蒋捷 sER+ .在 ,, ~I.TI- ι 渴ifI替 1=IQg .4, i草灌喇览嗡'Ï'任何一个非军数量事可以作为 R+ 的基奇 !Å椭英雄最为 1 、 最睡在筝 在 R1At 'P璜矩阵 rI 21 <4"", I LQ 3J rl 在毒草 E , =I_ Ll 样a Jl n :I.E. 理"i~ lJ i.. l 1 才了 111 了 1 01 I , E:.=I~ -hE.=1 下都辈 OJ LO OJ LQ (}J .. 5 • 黯 ( ; : : ?d i ?j ; .鑫剪挚叫 嚣 A酬的在今.x~E;千岛,雪,半æ~ß. 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À, =2 当 .1. =0 时 J 曲线性无韭特征向量为 l , ~[0.-1.2J'. 所以 i 圃予特征值 À=O 的特怔向量 且 +2~=-(2.-1.1)T 当 ..1. =2 时 .8 的线性无关特征向量jJ<, ~[O.1.0J'. 所以‘'" • 34 • 属于恃挺饿 A 忽忽 2 的特枉肉 t , 品=衍.1.1]飞 虽然.两种方法讨算的结果矗德药费告 隶线性型E 幌 J 龄特在值与特征r.l 囊,是常攒助于.H在辈革 下短阵衰示 ι 先靠出 A i19特撤姐 λI'~""' À.,.秘卓 t妇人所琦军军 的特征向量如这时矿的特在E 纯为 λ,, 1口 "'.1醋,密特在E 向盘问蟹 注草到将矶转化为在主主捧上的衰最重费每1 . 倒且. 30 设"黯撞蹲 ~ r~ A 2232 革 A 约辑部E 植与特在EI勾篝 靠靠 , A 抽特征事写庭或;与 认… 2 2 届 A , 刷 i 2A2… Z …2 于 2这 A 然带旺锺 3电 1,鼠也画 ι 叫~ o. l. ~如 f骂,l,j =).2 阳川~Á.… 1=0 时,解卉次接连方穗观 (OE-A)X=O. iif 得个基础 .1民为 α [ 1. 1.0. … .0J飞 (1, =[-1 , 0 , 1 川 .0]' • α'._. ~ [- 1.0.0.... .Jl' →共有 n … 1 个或性茸荒辑耻!司量 于是 AÞ专属于 0 的企梅特毡 向量为弘窃,..!是2吼叫卡...L丸 z 此 H 其 rþ !t)l lr莲.... .k. 11毒草金虫草 的任藤数 当À.. =2n 时,靠开lX线校方程挖 (2nE-A)X 刷。,可得一个事 • 35 • ".",1' … 醺篝摹窍 0'. = [l 1 ,.. l J'f 于矗'‘酶鳞于费事革fRZ.前索酷特征商量为仨<>.电其丰扎歹"0 弹辈辈, ..龄组今特蓝镶边昆Þf J哥丁F 法隶主 z 法 1 .4 1=0 多数.4,普 寄事曾在巨型置,魏于韩 (OE-A) 币 L 放 A 铃患于尊辑桂鱼蓝续维孟关 锦韩蟹向囊 3号施斗争,驳我 , A a告露于军给蒋经锺铃代数量重量h n … I. Jt m~) 争九四←·莓'令礼, ~莲缸弓丘。,绿陆 A 有骨被董 À,= A璧抓... 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P-1a军, ~[… 1 ,… 1 , 1]' , p' 1 0'l 耶 [0. 1. 1Jτ >>-ilIî 8 的精怔值 1与 1.7. 1.茸甜鹰的特征肉自由分别如 p-r Ø'j' p 叫 α'I'P-\ 盹 8+4E 的特挂值为 11 , 11.5. 官们所时峨的特征向 撒分别为 1" ,α\ = ;'1 嘈 - 1.0JT , 俨',[叩 1 ,吨 L 丢了,慕华 儿虫径 1撞击号非尊重~ , 部 2董事灌 A 貌特篮锺壳 λ,巍于ÁíÌ告特摄寂量分辈辈为 a , 戴蛊 AI叫时 ,A' 附征的手,其对瘦的特榈树品短裤 8 骂 A 酬,斯旧的特征型的中 4 其对靡的制附为 p-I t,t. 例 1.37 e 知 n 阶矩挥 A 躏Jì! A' 描是 Act7你的,试证",相依 ~ 41 ., 于琦角虫草辫. 班嗣·底 A'= kA U 饼的两制 J 部特银锁满足 ì.l = 剖,静以 .1. =0. 是,黯 A 的特征值 F喜爱量。 , k. 旦出,铲空军委Á (A ""的蝴 A佳 E-A)=O. 所陆 曹先让)+鞍 (.8 一,的骂王" 卫 + 鞍 (A) + 秩〈品E 币,毛);;>秩 (A kli _. A)口秩(是E) = 11 归此 胜 (Á) 1 草主 \k E _. A) = 捋 著世勒 (A) 棋 h 辑性 E-A)=n 叩,都特在E 古草, 0 的特在E 笼醉 〈… A) 曲技为 r. 古新对应的续役军荣的特征商量在 n---r 个 特 在E袋 '0叶的精缸短掷 k8-A 的辑为 n-Y , 宫街对贱的钱位 x 关 部特líF.向量哥哥 r 千 I!il成 A 共离 n 个续位先是的持在E 陶量·鼓 A 句对1鲁掖睡裙馁, 挥 E主 g 自b A' 如蠢 Á(k 弓民的知 A .Q砾能有辑徒然 O.ι 然在牙还辑 A 有 n 个线馀革关鹅缚在E 向量、 惆 3 嚣瞌矩阵 A 相 B 板辈革,其中 ".! - 1 01 r3 A-IO x 1 01.8 端与-, 2 0': y Qi 1.1一 1 lJ L… 2 - 2 ]J (1)习性 x.y 的您也 (2)证嗨 A 和 a 均可相似带曲也 (3) 求巧遇炮阵 P 靠靠事事 p→ AP凶 B 解 (j)报黯格依靠ê~草有据民部主辈,有榈树的行到武镶可得 = • t. = 慧芳 (A)=3+x. 忖 (8) y己::>r y •1. + = = IA! 2x.IBI ~ 3y 卡 2排主x 3y Z 第二~j罪 = x 徨孟 1. Y 0 于是 • 42 • [ 2 - 101 [ 3 2 01 A~lo lol.8~I-l 001 Ll - 1 d l- 2 - 2 lJ (2) A 的特征$项式 iλE--Al= (À-l)!(.l. 盯,从而 A 的特 怔值为 .\1=;'1=1. Àl =2 ,对于特征值.t !=À2 =1. 解开放线性方程 组 (]E- Al X~O. 草帽两个线性无主的特征向量为 α,=[l.I.。了, α~ [0.0. 1]' 对于特征值..1.,1=2. 解开~线性方程组 (2E-A)X~0. 求槽 个线 性无茸的精怔向量为 << f 命相牌 a.=[; :l.α斗;;), u(:;]-u(:1) 俨.叫 编性埠3在.井骂~ ,, "1 丽 :i在 α" 盹,吨,叫下的蛊你" :...C (/..1 1-5 设然 [x]‘最新再次数小子 4 的棋系数量如耳目戏组成的峻 性资纠ij. 准íf;嚼成 pCr> = 1 个2x'践串串 1.% … l ,(.r-酌I)~, (r♂1).1 1守的班栋 卜 6 巳知 R‘中的阴然睡 叫:您[1.… 1 , 0.0了,叫刷 [O , l~ … l , O]'f 叫= [0.0. 1.币俨 1 了,矶哪 [1.0.0. 1]':' A [7. .1. 一 1.1]'. fl,肌 (Q.3.1.0]' • '5 • {l, ~ [5.3.2.0'. 品带 [6. 奋, 1.3Jτ 事 z 曲荔剑,吨,酌,轨魏基 f;,. 品,/3"品的主辈辈辈缀挥毫持准向囔 S 编 EZHXHZ章..I.".Jf 在!/j l息,虽.且,且下的男怪事最. 1-7 总部 0'1 =[1.2 .1.0:飞盹~[… 1 , 1.h 1]~. A 得 [2. - 1 , O. 1]~.真细黯议,…1. 3.f产 增 '1地ni屿,盹导甜拙{冉,具}的鞠均壳的毒草和维数 :一 B ,哇"。扩蜂 H 缎梭性结问 γ 除 a 个钱 f军费换, X~l在个 tEV 有川、咔忡。, ~($)=O. 试溢"七,u'(~). ,H':(f}. …• JJfi 叫 (f )钱 tt 无关. J ....9 者.橡辈革 t童提问咿线性攒钱、 w 使得甜 V 吁'的任何向 量te 都窃、俨 h 呻〉饼 0 ,J4'用得}悦。,习~ ,.."在 3在…耀下的,在 F等 我承 1 ,..10 设鼠,且.... .乱线性无关.且 e , 指 a ,,{I, ..卡向民十... ~卡 G阳/l. 11 1,' =(乱, A ,"川,如 |afhrm1.2· …,。 Lα恻」 试i正 a 阶j 班组e"乱.... .f,的歌 ι 媲降 (a'J)刷刷的秩 1-11 棋~旷黯线蚀烹制政a 的线性竞换.立在 R' 呼a 矗饵, α"酌下的统掷潢蔚为 r 1 2 31 A=I~1031 L 2 1 5J ());](‘ d 貌荔f;J. -aj 抱在辄盹+屿 ~A=a 牛盹非民下崔J 短挥 着撞蝉, (2) 准 d 在基 α ,Q'l.å! 节的接与德拔‘ .,6 ‘ 1 …- 12 诙线性费换、4 在基 ul =[-1.1.1 了。 α't"'" [1. O. 1]''( .a, =[O 誓 1 , 1]' 下的想阵毒承为 r 1 0 ψ11 A = I 1 1 01 1- 1 2 31 〈口事 J矿在基 E! =[l.ú.O]T. 富r=[O.l. 。了南鹏 [o ,(),I]' l ' 的报醇我最. (2) 习~ ,<Ý鹤楼与箍瓣, i• l 13 A ( 1lj i 璜黯酶 A 的蝇空前! R(A) 勾瞌空剑 N(Á). 。 哩z 146226 a o v <2飞 , Az 1 3 6 2 '-4--: 4 - , a 俨、, 1-14 试证是 tr(Al的鑫 =tr(8J的, , k 揭 1.2 ,""其中川剧衰草 委E 醉 A 曲技‘ 1~15 试协时的= 2: X. 必是 A 的辑征债 z 一刊设 A' 描 E , 就辄, A 的辑征僚只能是今 2 或… L 1-11 睦 A袭制 A , 试证 , A 的将在E i!I'只能量。班 1. 1.-, 18 已知可避短挎 A 然韩1IE镜租特级自囊,试革 A" 的特 幸E 肇事指特征向撒 1 … 19 e 知 A~B. 棋运E 州 (AJ 刷 tr(B). 1-20 草绿辫 A 梅特征值与特提商量 …. (J) A= 4 1 ()~ (叫::i' ,0 o3 一l 3 0 . • 47 • 四、自测· 1.1 试证自在 R 1 -: 2 中距阵 l; d r1 矶~ 11 ;J-鸟~ lnü 11 1J' 盹~ I1I1 o11J' a , ~ InI Ol 线性无声并事 α~ [: :1在 αl 乱川4 下的坐标 1.2 在 r 中,求自基 α~ 口 .2. -l , OJT , α= [2.1.0~lT 到基 α1 = [O.1.2.2]T , 0', = [0. - 3. - 1.OY 131 =口 .3.1.ZY. 且~ [ - ~.且 .0.oJ 1 {J, ~ [2.0.1.0J'. 且~ [2 , 0. - 2, - 1Jτ 的过擅炬阵,并求向量 f ~[I , I , I.IJ' 在矶,酌, α3. a• 下的坐悻 ].~ 在 r 中,求由向量酌,酌, α" 且生脆的于空间的基与 噩噩,其中 0'1 = [3.3.3 ,2]T. a2 = [0.3. - 3.11J a l = [0.2. - 2. 1]T. a , = [3.2.4.ZY ].4 设 n 0 0 Ol 10 2 0 0 I A~I 10 0 3 0 I LO 0 0 4J 求全体与 A 乘法可吏撞的矩阵组成,在a 叶的于空间的基与维数 132 …- ], 5 在 R' 中,事由卉眈线性方程组 3x,= 0 l+ 6x , 卡 .T2 - 2.r r.= 0 6x1-10,向 +14x4 =O 确定的解空间的基与维盘. • 48 • 1. • 应线缺空 i碍 F 呼, .己如 a, = [0.3.2.1 丁,略带 [2~1.0 ,一 IJ' {J, ~ [1.0. - 3. - 6r. {J.揣 C3 , - 2.3. 刮了 斌在叩棚 (αi ,az i 与第拗削血./l, I 的重空 i写与相空间的基 tz 罐黠 1.7 求齐在缝!t:li穰组( ! )苟( Il的够继刻的变吸纠1 号缸 里掏然革与维强.其中 = T , 一 2"" - J , ~ .r, 0 ( t ì '\ 15JI → jO.x 1 争 9x, 个 5 .rj = (} ( I ) { $) - 2..r1 '1- 131; ι 加马军 Q 1. • 在向111:宝爵 R' 中取两个基 α1=[2. 莓 .7J飞 α,明 [3 , 6.8JI .a~ 低 r..7.10J电 ß, -[1. 0.0]'. /I,=[1.1>OJ' ./l,.细[1.1. 1 了 令 W~!ψER~I 罗是于矶.Q'z. 盹和且,朵,乱有相网的摄挥仁证 明 , W 是,俨蹄子主剖. 1. 9 在 R' 中寄钱役费事量 "对于摹 6牙,=[…l. O.2]T , a~ 口 (0.1.1 ]1.0', = (3. -1.0J 1 抱佛贵 ,.G/情1) "'" [1.2 , OJ '1'咆飞之ý( 亿)耐[1 .0 ‘ JÝ{ 盹) = [5 ,一 1. fl 1 1J 飞 幸阳 0 忽ý 在基 εa毛a, 2ι,阳试证 s 在 R军r'豆字寰辑 J)"([x.y.zJτ} = [z.r - 3_v 卡拉 , 5-r .-. y 呼 2ι 收争 ly二 Y ~(~x , Y. 黛了) ,型 [2y+z. .r … eyJZY 都 i牵线缝费酶,事 ~,ý • ~iI!l 在基 e 揣 [1.0.8 了..宫除 [O.l.O]'I , e,'"主 [0.0.11万下的绕在辩襄乐 A 制 8 1, 11 嚣蜜雅城 R 上揭=缝续常!!'问 1 始线教堂皇坠 y 在 基品,真 .IH' 胡耀阵为 • 49 • (1) ;世,"在革品,且 .AT 的短阵, (2)撵 d 在基且,是晶‘且下的矩萍,革命。检REI毫 a (3)准 d 在基 A 哩且+品,民下怨声在阵. 1. 12 融 f 量,沪的线性变换‘它在 r 事伐..;l!. Q',号 F 约靠在 蹲班主拉如 了 5 6 - 31 A=I-IO 1; :.. 2 - lJ (1)求矿在基轨江 2<%,十 a, 吐"勾2 且 2a, .'"↓也 r 副主运董事避暴 B. 唤牛 2aJ' '1.\ = (2) 清华'"的辑撞撞与待征向量. • 50. 魏Jj婪 λ 棉絮辑与资撒切。rda吟道路 一、延东要在求 (1)盘事 A …竣穿草委曾 Sn1ith 靠在盘J!i 位〉盘习在主 ω 虫草声草草;不费除手,行列式在辈子和幸寿等因子、 {白簿解 λ 伽盖在鲜等静的几个克劳必要条件w 攘攘辙猝 Jordan *革蘸酷的)Ë叉,毒草草草碎的 ]ordan 标准 去蓝蓝寓楼似费u尾声111革可 m 舍 F哥靠在 F军事是鹤方法讨论簸阵 Jm也n 栋硅靡的结掏. 二二、典型器销量疆 例阜 1 习性 F歹u. 矩障的 Smì由悻椎丑昌, (J) λ Ai -r l 广。 2.…1 .'.'+λ1 (2) 。 H4 0 À'午 4 0 0 A守4 0 0 0 λj l 串串, (1) F哥粉等变换方法隶麟. 萨一 l l' 叮, H Z φA 2且一 i λ2 P 今 2 "今 Å ---- 1 ~ Ã'J L lt + 1 l' 令 λ1 AU!i 目 i À' λ →).' A 咀 "十 λ 抽皿 I P 牛 1 .1 lo Ài 一 λ l' + λ • 51 • 门 Q 10 .善 始扩… A rlO 10 À lo ~,中 A 。 A ZA 如 寸 j j j 咱 川 剧 z fi问j M W a A A' …俨 A 。定 [ A 1 i咱 i 们d 时 " [1 0 0 1 0 …~ 10 ), 0 咿羔《刘 lo 0 .卡 A'J (2) 利用 ff 期式自辈子方法堆得.曹先事 tll D< λ 〉肌 λ … 1. D:()') = 住一 IJ' 付"t) 于是 d ,{.r) 硝战(.\)硝 A 协 1. d!.{-X-)' 磁泛 。0"只 ,((.1A, ,)) 篇 o 如- 1)~O. 十J) 从而真 Smi巾串串蜡筋为 fλ- 1 L0 01 (λ~. t) J (À斗护 I l J (3)利用衍树成阴子'JJ能习在解 首先事出 D,().) '""" (.\+ 4)~. 。必问:绵 D川的= Dj (À.) ,艳 3 于 3是 o.) + dl = dt 刊〉 部也 dl o.) 硝 1 , d~()'') = 0. 1)1 从闹Jt Smith 你晴鹏为 1 1 0 0 0 [ 10 1 0 0 fo 0 1 0 Lo () 0 (1;牛的叮 部嚣,事 λ 才在婷的 Smith 栋礁形常用的 1i1il 有闻种 s 初等置 换法与行列式凶手.本1I:1!Il于法 根 3居所蜡磁鼠不网哩揭露一个怨自 果周初等号挂在也在是校好,撤Fn晦个革醒目 F尊 ff 判或扇子法:苦'事革方 便将‘ • 52' a 制 Z Z世A 「 321 Z i 61iJ Azl63271 什刑求 AE-A l 与 ÀE-A! 的Sm ith 际准形 H 且 A , 与儿的不变因 子,行则式因于- 解.首先事出.lE-AI 的 Smith 际准形'" 再求出 ÅE-A 2 的 Smith 标准器为 [1 l A-2l (A - 2)':J 于是 A , 曲不变因于为 1.l-2. 川- 2)! ,岛的平变园子与 A , 的相 同凡的行列式园子为 l. À ← Z ,(À -Z 沪 , 04 2 的行列式因子与 A , 的 相同 评;在 z 由此题目可知不同矩阵的 Smith 际准形、不变因于以 且行列式因子可能相同 倒 2.3 证明 Jordan 块 ra 1 01 J 归)~←o a 11 相似于短阵 lO 0 aJ [[ 1l UOEOGoε O d 这里 E予丘。为任童在数. 证明 2 利用教材命的定理 2.2.7 考虑此题 即判断下面的两 • 53 • ..... 剧嗣睛 # 个 À-挥挥 I À-a o i !a v …l 呼k A …a g OG a …a 。i 叫 牛霍 za ι a aw A a 是否筹费、睿嘉求出这鳞于 A~醒 F军费苦不变 E毒手持直 1. lA哥这南个 L 费1':'事.iU富 ra ] 1. (À ()'叫仁. G严 , 0叩 卡o a 1 与 10 a e LO 0 aj LO 0 aj 棉似, 部连 z 数字短阵的相似问题究聋何以铃化如 A 品短阵的等价 问题. 例 1.4 已知 10 阶Il!阵 :a 1 l• 1 A a1 i ,8 辅 a1 . gaa 2 4j ì'l只 ll! tß 他哑 意 ,, 其中 e=lO-l飞证嚼,在平摆叙 r8、 注跨露:黑露声喝黯挫--A23 埠 ω8 矗器等辑 对于 À -i在德 À -Q -] À-a 一2 ì.-. UJWXlll 其草堂因于" 1 .1,…,性 的气时于扣箴眸 .. 54 • ;A - a - 1 ).-a … 1 733j ZU 雹 其不变量辈子为 1 d .....(A ←叶均 蜜 E母子, JA喜ijA 军慈母豆子 B A hR 已提然 A 与 8 本主主带锁药豹'" 倒 2 军 t量 A().) 为一个 5 酣 ).C颤阵,王军事是如 4 ,裙带陈子卸 )."\,,,.\Z.A … 1 叶 -l.À -t- l.(λ+1 沪,斌在 AW 的不费滋气FJ,u在 Smith 捶攘彭. 解, ~冒为 A(拙的秩为 4 ,所以可知真宿四个早费倒子 d,o. 】 =λ2 仙一1)().十1) 3 , o.) dl =).2 (..1. 一1)刊十1). d:O) - À.d j (λ) ~ 1 [ 于矗立即挪到其如nith 标准罪 B ,, 拙 A 'Az

    AZ("ì - 1) 日+且让 德 1.φ 量强隅,也#号将侄锺互不领 F毒品有 AB~ 斟旨主草草拿 ).E…续费§被尊自富于海 ;JJ →章程毒式、 慧在理睡 z 草草 3号 A 的待在军缝互不祭 i弯,景音议存在写滋童医簿 P 古董碍 卡r. 1. tιi p… 'AP 揣 1l r, 手 rλE 歹徒 ρ ,. , 气F黯哥哥 • 55 • ,.... 且 1 P-'ABP 照 1'-'B;4 1酸甜 P-!BP~ 叫.41' 叫 F az a俨 铲 疆 E : l i 惊 i rJ ! r FZ i P 8F r 键是,湾每对费镜荒窜去母不然靠前蜻赣辍拷肖交换蜡惩萍只有时 F幸运瘁毛蹦 rtsp 为对角簸事草 e 爵二fB 持对贵簸多事 F 二 ι BI' 粮费自. 葱,番号草草等I!l于善感矗-11: 1建武苟 偶 2.7 嚣 d佳句丘。,矿瑞 O(k~孩们 盖在确是 A 不雪慧与蹄魏起挥 毅然与 证菊,愚放运捷、辘辈辈 A'守证时角{t.于 1选将在可边靠在F辛 P 使得 叫 ] 功 P A P …晦耐 礼 』 λ吁 由于 A'=O. 所以 w A -- I 飞 A- 七邸于是县将任灌被 a 于愚理是 =dl. 葡 r(a , B …-A}= r{ a;E­ AY. 翻 r(a,E J,) "'"叫 a.E J1ì I • I 端 1~2. .•. ,$ 费1盘 ..豆· •… r0 jjilh-n-vLfi - 。 施 J . 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'-' 5 ~ ;":]们叫树E r2 1 町、 1 倒 3.4 !已知,‘ κi'1 1 ... 1 宽蟠. ø ,根据棋盘问的 lil J且富i 知 N (A) 是 1审理组 [zlll 1 1 -1 0 ,x ]胁 31WZA3 Xg4 -0 的解空间,l1li得宜的基础解事却 风慨 [0.1 , 1.0.0J' , Cl:精 t …也 1.1.O.1 , O]T , 叫捕 ~4. - 5.0 ,Q.IJ' 』A从 郁 N旷 (Â)"缸缸啡刷酬革叫( 矶..1忖,彷盹a 曹3先11脱.挂F翔割 5仕kh抓阳i由dt 涩iB交E住1方审 t法击得魏 A 篇"αm EI , LLO, 037 , A 甜电南地步哀 '~7)ðβz qzEE • 12 .. 路〔 LL2 ,. 叫 i2 J•• ,037. A =电- 《<"吗ø2;共及ELAL 碗(r:就鸟 .t?J.)在 ~",呼气了且今 11f3t0Z 捕[r 7百言'6苦:雀'言13 .1]宜, 费后再将品,品,且单位化盖章, ü1得 4 今振雄 IE 空矗 y -~F 革话且马 寸 川,俨 ~ IQ 譬 一 J1言→'/言.~-.0.' .~01伺.. - I! I! ,一rJQ1'..î, 'f' ""'" l'- - -5 →. '也1…0,' - 1 0… ' ( 5 川 '~J Y卢 . ~nÅ γ= ~ r?据1 _', …_ 三蒜6 ?, 幸6运 •'J1霄3 . 寻? /l11s J' 所 t:j YI~)",. r皇即为 N(Aj鹤舔蘸ìE'll:矗 偶 3.5 e 如伊啡'兰l'线教型驻捷的向最 [1 Cfl = .ì.O]T. 0'1 = [l.O.i]T. a,.... [O.~. l]T F哥Sc h 刷巾正盖住方法将鹏样 II 正主能. 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J毒, 8 苟同时重报怨于上三角慈搏 器存在董事章程筹锣,最 德警彰街品字以且是 W"BW 埠为主兰费量军事 《剖 A.B 可i"1对翠怨怨于对靠卖臣薄 z 性) Aj罗与 BA 埠为正级 '1"¥. 瑾勤ß , (1)最只是摄萍 A 销量子辛辛摄镶 A 的特鞭子骂苦闷.者 时 V,. 晦 M叫Z芽,那 BAa = λ助,由于 AB=BA. 销草占有,也《加)~ M舶h 这亵碗 11<<笔, V,.1>I. 磊 V, 是 B 韵卒辈子在韵,放在 V , 咿帝 在 8 的特桂向囔声,它也是 A 的蒋捷向盘 (2)时 A.8 的酣数用自纳法证明,自 A.8 的阶徽均为 1 时. 络论描然成直.ìIt单位向量 α 是 A.B 的 个公共特怔向撒.再 谴坷盖在取 n 一 1 个单位 IÎil 量酌 σ.. 使得(叫,¢hve~ 矶}均梯幢 iE竟蝠,于是 V-[a" α.. 川,民]为胃簸阵,且有 J 加p 揭阳, .BU = [阳J胃口... • 11<<. 溅叫费河得 u.就I~ r~ ~ 1~8.这里#矗阳问 l)笼阵8,黠 LO Bι4 一个 .-1 附阵·概也喜 rAfJaqi4·这如最以 LQ A\J M 一日虫在舜 .Á , 盖一于第一 2 哥哥贯1"事 爵 AB 叶A 又有 (UAU勺·自即勺 ~(UBI俨) • WA!I勺,于 矗海镑.48'''.11''. 您草草湾撞簿,也, 11在 =B;A莲、被绕部绣量最量量纹,存在 n … 2 黯掰缀酵只,饺事毒打B1 V 1 =4. 这壁 A 另一个上角簸,毕.议 V-ln 0 气 o v,J府 -u札于盖有 W"8W =黯 V锐 W例BU)V 踹 rl 0 1 严 ß1P 0 丁 rbβ" 丁 胁。 v~JLo II,JLo v,J- Lo A J' 虽然 W"BWj造句个上江南甥阵 喜昂戴证 W 矗商矩阵.同样刮 啤 .WHAW t且晶一个上二三角炬阵 (3)由 (2)0' 锻 WHAW= 后 .l室里 a 是一个上三角盟醉,那也 w WHA"W 咄飞从而可得 AA" 喃 WRWH • R"WÐ---=WCllR" )W" .. 85" 啕J诲'冉 冉>. .,~..飞飞向- ..- .U鹤需.W耐俨. WlI输w" = lf(Ri壁射〉狞锦 A."A. 缸 wll"W纷 .WRW" 咽'" W(RI{发)W鸽 立 Á'俨篇报 A尉ι 所以可搏lIlI"础,嚼,且必如 11)草…个对费量在鲜捕 魏摔可靠fWH .øW 也盖一令对靠缀陈. w 曲臼〉可没 1"1 Ii叫 W怡 W 唱|气 • W"BW ~ I lιl U'" 于患有 从 WA 脚 ( i i t A.u~J 白iE耀费E 阵榕梅jÔ!!理{醒'徽;!tJi!尊重 3.6.3) 可知 AB 为正规矩醉,那 么 BA. 愧为 jf 规期椰. 啤搂‘敏树哈'El蜗居1 …种植E明方酷,假盛虫害造攘的ìiE啸声按 宪量不问 .l童撒在费占蓝 m Sc hur 号1 珊的旅明思想, 倒 3.18 已知下列正规虫草阵,准阔'自陈 U. 使得 QHAIJ :)告时角 熊阵. ro (1).<酣 11 Li 《剖 A~rl 1 叫 1 i r忡 3. 0 01. (剖 A蜘 1 -4i 0 OJ …1何 l6 十 2i 4i… 6-- 2il 4 司 3i -2 … 61 I , … 2 响 6; 0J Ll l' ro -1 >l 剿,口 )A撇 1I 0 01 ;j 0 OJ 首先准出'在陈 A 的特在E lI'项式为 I .\B -. A=[11 Ll 1J 篝 s 首先草出矩阵 A 的特征事咂式为 IAE-AI-"-U+2 , 所以 A 的特征值为 À1=I+i , ..12 =1-i. 肘于特征值 l+i. 事得→个特征向量 Xt= [i .l]T J1 琦于特征值 l-ì ,求得一个特征向量 Xl =[ - i .1 由于 A 为正规矩阵所以 X1.Xt 是植此正聋的,只需卦别将 X1.Xt 单位化即可 a . _1 ιL 丘, 2" 互 |\ιJ 2 J .可 L 卫-生2‘" 121 -2-J 于是取 . 1'-1.2-'. - -..;-τ"1 u - [αl. a2] = I 二" 1 1 ,1 2 ,1 21 L2 2J • 88 • • 一­ . . . .跚跚咽- \ 从丽在 [l宁 在j"Alj 二左 0 ',- o才 1 …… μ 部撞 z 这主个重重副武需愤然教稼先摇豹 JE 现报醉写对需化具 体过极JI!行黯可 剖 3. 19 试举例现明三吁辩魏化银阵'1'一定哩曹暂时角化 麟、进 X.YJ最闹个线锥£主是很不11'交德森量.记 p= Cx .1'] 撞 [ "u 甜 d惕 。 lOAn -的 " 崎 讲 b 那么 A = PDp..\ 脏是叫个可呻角化声在簿,您不量可西时角钱蒙古拌, 制,. z也证明 z (1) Her陆投矩薛的特耻假如实数事 (2)挺 H.:rmite 草阵的特省E!最为现虚撞事墩司 { ;))毯靠在辞辛辛证僚的模长为 L 革晤,芹遣一 和i 衰草主线军阵的络梅主主建证明〈即敬特定 黯 3. fi 肘、 方撞二 步u哥特liE l由与将liE l句盘剖海武慑嚼 'J-' (1)髓 A 1' H町nm,挺多军 d 是 A 的 4个特级镀 .X 为时 溢于特证笛 λ 的…个恃征肉量,黯膏 AX=ÀX. 在此武麟榕盟共施 龄置可得 x 民A民 = XX" x划 A X .t弓 F喜 x )}.布瑞撞上线南端有 XllAX = 主J俨 x 于般有 = λ军统X ÀXttX .89. 飞~ '"' "w 宁伞 二 、j ...- 笛子 X 守在 O. 靡队 1俨x 笋 O. 从而有 '~A. 这辈瞬 A 是察盘 ι (2)设'‘为…个监号iermite 费在萍..是 A 插一个将liE í监 .X" 荒草应于赞征毒草 A 的一个特征南麓,即有 AX"" 埠,在此式离辙取共 羁转置i1J'乎每 X纠A讯玛 ÁxH …呗 X盼A 局.AX摊 府 X 从布端药费上式博精街 -^ XHAX = 豆X忖X 于是有 呵?→ u树 x = ~X t!J在 由于 X 求。,解J;j J俨X :;ro O , 从爵有 k~X , 这表每每, )每军瑾啤章'壁, O} 院 A 为 个董事撞阵 .A 是 A 的咛个特摄撞 .X 为秀才载于榕 在 {1{ A 的-个特延肉章,即有 AX 理A,t.在此三吃肉每每取共辍黯篝磊I i~ XHAH = XXI' !ll AX 且在蜡乘上或胡稍有 X日EX 蜻 XlXHX 于是有 U … l ),)XHX = 0 自于 X 寻乐。,孩以 xlolXJ位。,从吉普萄立)= 1. 这囊明 A 拇模 t是为 L 解3 剖 事茸茸辑辞世,艘 Q'AQ 为对角缀阵,已知 r1 I A = 1 1 Ó - 11 1• 01 0--111\ L-.. 1 0 1 1~ 蹲 E 首先靠出蛙阵 A 的挤在事项式 iAE-AI ~('寸沪 ('-3) (λιII 当 '=3 时.求 4每条E 阵 A8包属于搀征费量 A 气也 3 的单位恃缸购量 • 90 " 一ι 叫♂飞气:~'; 川『 为在气字?,寸, H 3驾 A~~l 时,草锺主111车'‘你属于铸在E镀 À~-l 的是要钱辛毒草 鹊赣州气专,吉,专, -}]\ 噩 A 肌 1 时,事裁量在搏 A 约』盖子辛辛怒{肇 A 盟 1 的尊饺掉在EI售量 为乱叫L …/丸吉,队儿。-了-,J'ι" 1L-0 ,北弘仨 ý 磊、川 T J 蘸 a1 a E 2 Jτ 2 Qω 1 2 。 1 o 2 /吉 i z l g 。 /2; 于最有 13 0 0圳 制3- U 10 … 1 0 0 Q'AQ'-~ L i0 ,_ 01 0^II l.o 0 0 lJ 世 A 与 B 均盐1 Hermíte 姐阵·试说 , À 与 8 l!J栩似 的克噩最{中最 A 与 B 的特舰由豆制闷. 谊明,ø.篝院 刷于相似锐阵南非tll司的特lJt筒,所以 A 与 B 的特蜒惊相网 克骨性 A 与 H 均为 He-rmitt:'费在阵.所以分别存在商矮跻 Ui.lJ~ 使得 s 川队川 '飞 • 91 • '萨' '8飞 8, U~AVl μi $.j 亨, U~Bl1 l 都 l 离中在( ,副 1 .2....,/'t)步~A 的特征{擅.~矿(,且 1.2.... 而〉窍匆的特Id: 镇叉 6. 咐,且爵 U~AV! 阳 U~BU!. 此蹲 (V ,在t;-I)袋,也 (VjUt L) 巳篇。 这丧辑 A 与 a 酋相如 偶 3.23 班'‘是他τmlte 矩醉,且总 '0均 A , 提'J 存在两楚挥 V. 使得 能瞄 明 也 剧 咿 ? A为 U U 加 % uu主蓝鸟 jm 8fl、海- 1EO; 8仰-100 叫 1iJ2 样 在 商 提 薛 明 1 1 儿 ­ "c 其中 Ã,(j 温 1.2. 川,的为 A 的特在El自,J1. A 为事急,戴障,于是人碍。 或 1 不妨键 A 龄'"窍 r ,跚么 A 牛有 r 今 1 .何←,干。" t己 A!=Àz='" 但 À, =J.λ. .坦人叶虹...=礼叫 ~O, I!II CE, 01 U"l .4U = I L 0 OJ 割 3.24 撞 A 为正定 HerrnÎ(舍捏舟, 8 为 fi Ii# rmite 结绊, 斌蔽 ,AlJ 与阳豹特缸篮菜都为常事是 证哥哥,没 A 为 AB 的任意…个特征撞.于盘有 2λE-^ABJ 万""0. ‘ 92' 卢- ---.,;-.-""中 "、 ι可 J 雹,、-....~_._.-7.' 刷子 A 为lEli!的 H时 mfte 部阵,所 ιA 存在巧谶挥牌。.使啤 A­ !t'Q. 将此成代人 W';-ABI~O 中可得 。协 1 ÂE Q"QBI - 1 '11"鸣")→ l 町 Q"Q/l 1 =IQ日 il l.E -Q副俨 11 呗叫" 且能街 I I.E他 QB旷鹏。,这查明 A 也是 QBQ刻的特征愧,能靠费i QBQ" j逢'1'!主 Hermite 经挥.面!i. Hetmite 撞阵的特班依为哮现 攘攘敏‘革哥 rl Á 为军绿纯盛章.照得也可以聂哥睡 BA 然辛辛握在革实 辈在 3号等、 然 3.25 程 A 是学正主 H.t酬 te 集在挥 J 秘 O. 溪道 "A 今 EI 二>1 诺鹅,盖子 d也是一个半 E 草部 H__ 棚 te 虫在弊,统以 A 的 n 个 梅毒草傻 Á ,号 ÅZ'''' .儿埠为,'j(实数,又A:,舌。,于矗 iI),,~~....,~~ 军牵挂 食:每哮,那么 AψBé奇特缸量为 À ,十1.七十 E 亭." .λ 十 3 都 j是太于等 于 1 的放,且3l少有一个大于1.故 + > lA 十 E~ = (A\ J)(乌+ 1).,,(礼 j. 1) 1 例 3.26 设 A 是半正定"时 mne 娘畔 .A 怖。 .8 Jl>lE定 川剧 mlH! 炮阵,成证, IA+BI>181 班期 I哥为 8 为 E 定的 Humite 直在阵.~曾以摔在可避姐阵 Q. 俊锵 B=Q剖 !b 于是 1'" 今 B , 幽 A-'-Q民QI 雹~I昔"1 刊铲)'.'(1 '-1111 (1 然仅 ;111 i ((1疆俨 AQ… I +Ei 揣 11111((1什俨A窍'今 E 由 A 矗一个学主运给 Hermiω 短棒,可饭馆户 A(1 ''''~是叫个学 王军毒委专Hftrmi传短薄.盘上盖章 .1 ((1'"产AQ …"争,曾 1> 七最 1... 牛 BI >iBI. 鳞 3.27 量 A 是正定Hetmî把绕在舜 .8 蜂挺统盯mlte 簸湾­ j式语 , ...+B 虫可避短阵. 证明,由于 A 是一个正走的 Herm时额降,烧到 A 可避,于是 1" 十 BI=I"+"A … 'BI 揣 1"; IB'卡 A.1Bj 其中 1 ;1 1 笋 O. XA斗也是正定的 Hermìte 簸牌 .8 J是股 H刷刷..矩 .93. 今萨 , 罗马 阵 隙倒 3. 24-蜡泣,再如 A 喻的特证值~部为 Q .l、最 E+A-:B 的特挺镀皆不为军.府以 ;E 个 A … 'BI 号采 Q , 进吉苦 iA 冬 81 否走。,这囊理 d在今您是哥遂短萍, 制,3. 28 世 A.Bj智商今 JE 1l!绕在薛、证明 iAI 吟 IBI~ IA 十 81 现唰 s 由 HennÎt l"艳醉佛在擅相告l'的际准到~lì! l翻 K 鞠材庭 观 3. 问.]l可锢,存在可淀缀阵扎使 r;, 1 r何 I PTAP 口;飞 1 ,1" 8 1'= 1 L À"J L u~J 这盟 λ>0. u , >OU=l..... 的.将仨富的到个短挥等奖分JiJ 就行 • 列王军湾槽 IP ," IAI~斗! ì..l 川 À..lp ,!~ IBI=u; .U:"'U俨. 再将缀再等式 刊1 斗 11 1 1 PT(A + B)P = pTAP -+- pTlJp "", I 毒草好多营实可梅 L À加今l(~J 1I段 l' • '"今 81 =付j .,争屿贝儿伞的,..性.+丝.) 卫南 九九… λ 卡制的 "'U~ 运 U , 巾 (1;) 队主一护 u , 卜.. (礼牛". ) 可知 IP(I(jAi + 181) 忍 IP' 军 JA+B:' 但 IP:l>O. 然 1'" + J81" 1.<+ fJ 仁 二三、 3号 辈辈 3 句币 1 e 知 A 事坷., )矗 n 阶1E.JJE Hermjte 定萍在 n 续续侬 空间 V 命,陶 • ø=(x!.z茬,川 .æ..] 将你 [Vj.y2.....yø]. 定且肉机. • 94 • ; .- ....'-- _..-- 〈α , 13)-αAØ 飞 (1)疆军嚼在上这 2在立 f .(产最重重按鹅毛 (2) 写iIl c1与第 ca时l1y -Schw时Z 不等五运领 rz 3 • 2 e 知 Am; 1 : J -31!AN 〈 A〉约辑准正 II 1 …J 0 lJ 变革- ;}-3 [王银 r 3 ù 81 i za8-34 了句: -P (!) A-I 3 61 (2) A= I 叩 1 (叫苦 。 … 5J …1 试求醋簸降机梭搏 UHAU J盖 t 王三角蜡降。 3-' 试证。在i..' J江价挂例…个iE我提审事梗降,佛是圭和亚定 的:r1 crntile 期间" 3…S 输i服下列娘醉f盖亚鳞辙醉.Jt求西拖阵 U. 使得 E尸 AU 为划角烧陈,日创 13 k 3 ,,'2" J百 (J) A= I …… 3/ω 丁f 1 15 61 2vf3 '2 、f3 1 ZJ 斗 li 〈川寸 r情4……今432111 ,. 4 一 3. Z-6i 1气 6~2i 飞 • 95 • ..' ,.>, --' ";_.、 .- 3 【爸 草£在虫Jlj挥 Q. 使 Q'AQ 壳X'l í辑摄阵.已知 1 3 …18 ì!! 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Hermi恃嚣薛· 要慧、 墨撞撞尊重重 3.1 e.如饥辑 [1.1f.at '"工 [1 ~ ~ 1 1"号/l,.第二 0.2 :r.1I.­ [6.12 1' ;号:缀商量'i'然 P 牛街掰个基,在 R' 华建立内J!酷斗F 〈龟 .fJ:) = 1. Ü::r..真〉盟 15 〈龟 .f3! ) 加!… l. (aαt~f具鸟〉 嘀 3 (1υ) ,象靠革 唤a萃峡6 , . 〈传芷韵〉掌喜揍辈具 .品1L 舵 E撞配囊虫笼E 萍"鼠穿氢 .2 {口量 A 是一个 n 黯实声在挎 .ml!怪只罩在 A 曲魏步J 量椅 111. 1在交陶篝缀 .1喝 A. 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JA 露 A 的 Jordan 棒准 罪均 r- 1 0 0' J 咽. 1 。一 1 11 ιo 0 - 1~ 事耳求相4自费!I!~挺 F军队桂 p=[孔, XpXJ~ 在有 p→ lAP=J. 黯么 f一 1 (l 01 A[X1t Xtt X, J 副 CXj , Xt~ :r川 o - I 11 于是啻 1 0 0- L AX , 篇 - X1 , AX宫-- Xυ ..X~ = x拿中 X, 这里 (E十 A}X) 冠。 .(0 十 Å)X~=Ó 是同一个续愤 Îf粮草草,晓得蝇方 穰铿爵个线校孟盐的麟南撤 e 硝 [O.I.O J'.~ - [.- 2.0. 1] τ 革暴乱=役 .1 ,()]1'.但平能瘦句也纳草 x."篇小键是可~量生耻 Xt=k j • 216 • 副跚跚. 在+,.舟 [-2k 2 .k l .lt f了,圃且愤碑增广链猝 r4Q 8 -~2白丁 , ', 3 0 6 K, L- o -1 c 的秩等于 2在数短阵 4, (} B气 3 0 5i L~2 0 -4J 的棋,睿暑廿篝靠数黯撞车的秩主 l. M. ffii~挺',~… 3. 鸟 ~2 跚.t~= [~".4.-3.2J飞离去告 (E+A)Xõ=Xt 拿得 X ,~.[ -酌 1 , O , ú]T.新以 … 叫 4 3 唱唱 主 最有 rIAP=J (2)记 2 012 ü0 i - 茧乡草草 IIJA 的 Jordan 草草融形 1 先 d60-02 店A A吁 1 o o -3 -2 ,… 1 0 币41 -3 I , 2I lJ 利翩行织i 式穗子1;法草幡 ,lE -A 的初等因于毛毛…1)告,当然也是 A 始部等困苦 于是 A 的 Jonian 秘撞到萨为 ' 1 1 0 01 . I 革 1o- 1 1ο , (} 0 1 1 i o 0 0 1J • 211 • .......- ----- 再我拥但变 于是有剧 i X -t j M阵 L P战 H tF ,, Iv J h J L v Jh -v u 且 h 1 有 J 口 M乒 A,o, -那 -o么 J U二 1 o h C 1 0 0 o - 尸 L山 + + AX1 = X1 ,AXz = X] X 2 .AX1 = X 2 X l' AX , = X‘十 X , 曹先束得 AX]=X 1 的线性无关解向量 X) = [S.O.O.O]T 依此类推再分别求得 X z =[4 , 4.0.0] 丁,几 =[O , -1.2.0]T.X j = [Q.l.-2.1Y. 于是 4 o 4 1 oz Oo 且喜 P-'I A.P=J. 第二章 习题菩罩 3-1 见典型例题 3. 1 3-2 见典型例踵 3.4 7).. 3-3 (1)见典型例题 3.13. 音。 (2)首先草出茸特征事项式 |λE-AI=(A-l)l 当 ).=1 时,求出属于特征值 1 的一个特征向量白 .1 ,1]了,将 其单位化可得 ,~ [土 1 土 r ,f6 ,f6 1"τ 解与肌肉积为霉的方理 2x , + Xz +.T. = 0 取茸→个单位解向髓 • 218 • 电艺卢 -事 解与窍,. η2 肉积为擎的;草理事 ;?,:r , 十 X. 今 再取草一个单拉赣南醺 r. η专品 '0 于量取 , I:在 夺 X 编融 G 代在" 今 X, 销。 ,f飞f ,f玄 r 句2"…,• …~ 2 IJ 而且带 。 /石 V , ,. I J百… J3 3 ./2 2 lJr J3立 JZZ i r1 3 ,/王一 ,./31 川A 仰 MI 。 ‘ 放 V , 即如所壤的饭阵. 3- 证明 a 自阔橄材浪潮 3. 4. 9 可知正当u量罪绩阵为 p ,. lJ 1U札其命(1,为一个 wXr~1尊级自摩 虽然有 p" ι" 1'. P 是日肝r:ute 靠在附 VO 歹徒X在 C吼,那么又在盟 f(Xl 揣 xttu , urx = (u ~X)II(V~X) 善。 这囔辍 P 接到非 ÎEÄ主判 ermue 靠在j!\; 3 5 (1)解, j毒班 Afl=A.À j基 Hermítt>:矩醉­ 求拇其特艇{撞为 A 部"辙。.'.篇1. 对于瓣摄握握 λm 句栅 Q. 事搏两千钱没竟提始棒征作i 量 1\X r X ,捕; ,\'0 , ,. 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A 与 B 韵'守在E 值相!哥 a 充分役 A 导 a 均为正主童声在院.所以卦统葬在兹去自阵矶, 吭,使得 auF wMAl W 揣 sps • 224 • 喃喃 W~BW, 「1Y i 汇 其甲 /i,(j=l.2.,"', 别为 A 约特!E值 , ï, (i 辅仁 2. 川 .H) 为指的持 在E 值,而且卢="1,.于是有 W挝 AW , 准:W~BWt. 成斟 Ot'tW;l 产A (W.W;-')=B. 这表稠 A 与 8 草草草自费主 3 一口里典型例锺 3.23 3~14 董碗、由于 Aj每 7号时阳将级挥 重吁以幸事在醋鳝阵在,.. 使得 1', 1 u"棺 ~I 乌: L A,.J 冀今儿(j =1 , 2.....n) 为 A 的带领锻.叉,捣 乱子巍在 ~~l 遛 1. 不妨设有 r 个 I.n-". 令 1 记 À , =Âl'"鲸仙 ~À, 恕 I. Â, 刺~ .1.",.="'= 儿 =~1. 这样上或因为 rE. U隔AU 民 01 L 0 - 11" , J 主 -15 且典型钢题 3 , 24. 3-16 证明世 λ 为 AB 的任囊 个特征慎,于是有 i .iE -ABI=IJ , 由于 A 头, JE 量的 HermÎt e 炮阵.所以存在前激慨陈 12 , 使得 A=Q"哩,将此式代人 I ,\E -ABI 础。中呵得 加|皿。"QBI ~ 1"IJ"(I2")-' 12"QBI .1 12" 1!'E-QB矿 11(12") '1 !Å而有 lλE-QBQti: =0. 这>'<明 λ 也虽 Q地M 的特ìi'值泼靠浏 QBQ网是一个 He-rmite 短阵.放 A 必为实费生.附跚可曾E BA 的'守在王 镇也是1<数, 3 一句口 里典理例锺 3.25. 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(l j 矶十 l!u,) k (l,a , + f.j吨,如β 't 位 Ur , - k (t la、.如声令 12aa - k(乌龟,如9 + = l \,_w(a\) , , N ' ( a z) 所以 4' 矗一个线性变换.立 (J$气的p-;Y'(的〉二阳寸悟 .ßíß. α 阳,如知 〈 α ,的+ ca. /l泸 (k1 - 2k) 黯兹去想委玛 O.是 ~2 时,有 (、W'(时.'.,{:町的) (矶的 郎、 w 是一个在交班换 3. 7 解,整先在出 A 的特征徨 Àl 1 , À: 叫」可~叫 i. ,(幸于特 汪古,l, "足 1 .带得兮辑程陶量为 X 二 [l. , .IY. 韩Jl; J敏佼住得到 l 嗣!明 γ/'j~' 一.-/13 ~ 一/31…']飞字号率由到个与 U 正变药费§撞正先向囊 ,r 1 ^ l' r! 2 l' u ~ L了2'- .f言 'υ1·a32:71了 'γ言"苦 J 取 • 235 ~ ,....- 3 2 /3 fl /百 U飞而 : J丁E 1 J立 G J主 z v'言 于是在 .f6 fl 3 。 /3 , ír 。… '飞。 。 令 ro --<"1 1J~ ζ王仆 i L3 J 8 的雨个特证撞为l., = i. Àl = - j. 对于 3 在一个特在离最 叫 /3 ι 制单位也得到 VimfEJlj拔一个 2 '2 J h 正茸的能制和J 土.丘了 l 2' 2 J /3' iI 1 2 w ~S费 21 v'了 1 厅8 I |吉、2 il 0-, llì U , -l二 w J'~ 1- 2川 。 , 丁 • 236 • 。 2 丘 吉 ←一-,- 但…..的呢?、哈尔勤,t<. 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(.1 -2-4. 即为 a - 3 ,u - 3 6 ./.1- 因此 IA-4EI = (a - 3f(a- 6) 3. 10 证明:必事性 见典型例题 3.17 (2) 克什性设存在西矩阵 U , 彼得 仁人 l ru , l UHAU = I ! .UHBU = I 那么有 (Lλ.J A i l . ".J it 1 A一 U - , UH B U E A UH 1I.J • 238 • : ' -~. ,'.'....--~".,..也吃刽 ι 吭♂咄咄 ι t ,.' -λE胃电四F 从两德黯 I[尸 3 ,口 3, 12 nt 记 \ (,..u 飞 u. I IUf< =.BA AmJ 览习题主卢 21. 口〉证瞬去没 a 蛇 mi+mi --h m~ 叫I- m; 冷 =ni+ll~ 夺 n~+ 事么 - ,宵 n宜昌 . - 捆唔罗 1 A描 j - m, 肘1 前茸 Lm, mJ - m~ - 盹j AAτS二 "E 子最街 忡划 "A萨 τ但 我 alDß 飞阳A'ß τ 其 ψβ.~ [地·何~.n ,. 向 L 记 ßA 悟 [þ~l Þ1 .P l' P.J. h 酬,β」阳〈阳).鄙〔PEpzpz - p; 斗争必寸 pl 十 p! 这夜嚼 d 也可者注$; p. 咱们冉,扣的字宽和 {2)由于 1451"叶 1 X 47.. 其宇 + + 31 口 F 十 ~f 3~ ;!: <7尴 l' 个l'十铲品 S' 令 IPll Mlh !扣| LþjJ .239 .. ‘ ~ ~唱龟"咱·帽 ;;CZt 男肉..,....叫 , - a 那 = 生 31 b 47 [2333 - = au' [ 1 1 3 6] , A 3 -2 3 3l 3 - 31 - 3 • 2 31 3 3 - 2J - -233H3O23 ßA ~ [1 1 3 6- • 18 • :f! 从而 1457 = 321 + 1(1 + (-18)2 + (- 3)' 第四章 习题菁靠 4-1 (1)时矩阵 A J'< 作行胡等变换得到行简化阶蝉形矩阵 一2 3 5 I4 3 12 1 。 O 85 2 5 。 l O 1 s 5 。o l 4 5 5 .1 取 1 5 3l i 。o 8 s 主1 5 O1 。 I 5 5 。。1 5 54 J 于是 A=BC 即为其精秩卦'辱囊达式 (2J时矩阵 A 只作行初等变换碑到行简化阶梯形矩阵 • 240 • A 1hy3210vτaA2 3i-3 O呻 E问尸lUFh a u e-olt。 o i § n i l J剧 取 ;12i r:O B 且 10 11 嗡 C~. -1 LO 1 ~2 3J IOml1 1 1 lJ 于最 A=BC 即凭其精害是舟鳝灌始至走 叫〉对矩阵 A J1作行衍等1f撞籍刽行情住阶锦影黯搏 1 22142083116132 34- 38 - 5- 叫 l o 210121 11 o <1 1 1 2 1 1 A=! 12 û 0 0 0 01 u IQ; 0',, 0 0 0 0 OJ 自撞 21 ,. íl 2 0 … 1 …ω1 11 I .1_ 伽 31 " LO 0 1 1 2 I J 6J 于最 A~BC 即为其精曾在外 1111 费达式 ι (4)对炬恃 A 只作行串j 帮费幌得到抒情化阶梯形锹陈 A 1120i11(lzol1 丁 3 6 1 4 2 361 10 0 1 1 1 ,, 01 : 2 4 0 2 2 271 10 0 0 0 d ':6 12 1 7 5 lo 0 0 0 0 11 0创 取 1 361.c o2 币6 1 1 2。1 l 。 1 l …!、 o00 o 于是 A 鼠、I!II)与其满辑分解辑练武 • 241 • F A A 如 U篇 = 4剧川 -A 2、岳'= 川,咽ao J "句正咄EV 主以 4 元 特A -二 J 挂 曲 缸 l r d 意 刊 向 E 到 U 量W 问 U 观 n m 呐 刑A4 是 为 1E时 计 满自 厅 ] 8 2 3 2 然 一 川← T 呻 I f 啡厅 左门 算 后 d ELdA A算曲 出俨 t万八的 I别特 旺 圃 L 寸T J J了 值 于 却 「 [ 111 V = 付A HU A H = 万1 3 Jτ 3 /3 3 取 Y~= J言 fl 一J1 6 吁 。 Z J6 13 1 1二 3厅 fl 厅 Y = [V,.V2J = 了 fl J6 13 。 ?是J 于是 • 242 • • 响 -‘毛内'f':~"也获::;~巳 胁 • j霄~' 。 o。 v'3 3 I J言 1 /6 v'3 3 S 1万 v'3 o l 2 v'6 /6 幸者 二 1 ,(2 A=U川 ~Il ,(2 1 厅 r.;τ l1 v6 l 丁 v'3 3 L,(2 ,(2 J 4-3 (j)见典型例题 4.11 (2)解 z 容易验证 AA"=AHA. 所以 A 是正姐炬阵 -厅 3 下面事 A 的晴分解 |届- AI ~ (λ+ 1l川一 2) 融 A 的特证值为 λ=2').2=).., =-1 对于特征值;', =2 时,其对 m 单位特征向量为ι=rL71 7717 万 1 jT 对于特征肌= ;'3 =一 1 时,其对应的特征向量为 α,~口 .0 , -1 ]1-, α.,=[1.-1. fl'J 户,宜 叮机,叫正主化和单位化,得到<,~lfl'O ,- ←[1上6,' 土1.6' 一;~百l丁 于是 G , = .e1.:,H = Jτ J丁 [去 1一 厅 ./3 111 3 33 1 1 333 1 11 333 • 243 • , 、-"喃喃'~4" _! q ...-..-..,.... , e r + G 2 = ,E e.çr 写 I ./2 o i去二 o -v是]十 Jτ /6 刮大古友] /6 - l z o 。 。 1 2 o 61 31 0/+ /- 4-' •1 6 11 21 •3 •3 1 一 3• 1 36 2 3 1 3 31 1 3 3 2 31 11 2 333 因此 A=2曰 ]-Ge 即为真谱分解囊达式, 4-4 已蛐 o 2 41-z A- 2~ 0 11 42 在得 IAE-A 1- ('+ 1)' (A- 2). 所以其特征值为 .\]=A~= → 1 • .\]=2. 对于特征值 A]= λ1=-1 真对应的特缸向量为(J"]=[ -2.1. • 244 • 翩帽" oJT .盹~[叶 4.0.1]τ ,搏予特搓锐 l,耐 E 其琦草草酶韩缸向量'" 盹 ~[4.2.1]'. 于是 J etM p ' , [ a z m mu 怨 寸i J E l !; 421 4 o 。 直 部且有 p.!= 章 mr A P 熄 f-E- 。 。气 o 2 岱也 。, 。 o 2J 12 e3 1 12 8 1 12 6 12~32 俨 1 1 1吨 , …3i< P 2 > 需 6 12 12 2 z2 3 e8 •3 z2 1 333 βz [泣,…;]' 在=;占·… i-37 真 ~r 止,玉立了 '12'6'3J 令 (|- 22 83 G a auEr h 凯 8 ι T2 Z 2 83 :FI 2 2 :… 叫一 § • 245 • F 1 24 333 633 111 12 6 3 故 A 写 -G , 十 2G 2 记为题阵 A 的晴分解囊达式 自测画菁蛊 4.1 0) 时矩阵 A 只作行初等变换得到行简化阶蹲班矩阵 lJi jl 取 P 21 rt 0 2 1丁 B ~ 10 21 ,C ~ 11_0 , 1 : - 1 ~ 11 LIOJ L Z 乙」 于是 A=BC 即为其精在分解费达式 (2)对矩阵 A 只作行回等亚撞得到行简化阶梯形矩阵 01 lO O o 1 ~1 -1 o0 0 0 o0 0 0 取 1-1 11 rlO B= 1 I.C= I 1-1-1) LOl 于是 A~BC 即为其精横分解茬达式 4.2 证明必要性如果 cx=o. 那么显然有 BCX=O. 即 • 246 • 跚跚跚跚跚帽 ~X 翩。' 克分性如果..tX=O. 第么虽然有 BCX-O.w 于如前为 精秩分绩,所以短阵 8 辑同商量线性克提,iIJ戴可知方理酷费医Bl'酬。 R 寄军解 9 予量有 CX~O, '.3 蠕. 彷t 草熏典雪壁壁鳞量锺疆 4.21盈呈真样量注主, 烧1罪 S挠eh毫"硝.苦稽宝 黠 i诗f 篝哥 t得等 $-9ii2j 15 15 15 攥么 A 思 !!R ~p 如锺阵 A 绚正吏主角势'阵费占主线 4.' 第 2 首先注童到笼篱 A 的歌如 2. 到时 lt挥出虫在酶 AA刻 的特征撞为 ÅI=9.Àt =4.).] 煌。警所以 A 捎带鼻倒为 8,精 3 , 8~ ""银声。 靠在盾分.1'1计算出属于.l1 • ì.", À! 的惊准正当E特征向撞 '1 1 =习 [0 .1 .0Jτ , η2=[1 , 0 , oy , m 黯 [O.O.l ]T iêU~[矶,帖, η斗 .V'=["h ,'1~J. 现在计算 r? 0 们 !011[t o1 「011 VEaAMEJtAPM=1:i i I o 3 oJI' Q'1Ii1. lml l II OJ LO OJ Iυ 否 取 v.幽 V 哩于是 A2::11 ic;; 或者 '.5 A 西 z 口h L出 : ;: 口 门 川 引川 λ 30台 2 812写 0 z a z j 阳 辑: (1)如果 A 为一本正泛的泻轩m11e 主在怀.那么 A 数 ·主 47 • F n 于特征古董 λ ,).., .....À. 悔式于零 不蜡搅 λ... >-ι· 肘子这 种情配 A锐和 udlag 讪 .À,,'" ..l. lt产制为 A 韵奇异穰分解避这式 (2)如黑 A 为一今学正理抽 Henui:e 黯搏.那么雄的 n 个'守 毯琪儿、马儿,均大于琪等于哮,不妨最九二注 A, ~...~.\.> λ叫 ~…司扎埠。 z 对于)g种精况 Á=lldi叫住番 '):2' <....\.0. ….的 u' 郎 为 A 的奋挥使分酶, (3)如果 A y,.... 个才在定的 HErmi!C 最阵,或 T捷克问盯mÍl c ~ 辞 2 疆地4 负íi: Hcrmite 蜡阵,最多苦 A = Udi魏 g<丸 .A,.... .Å,.)llH 不是 A 的奇异锺卦麟,栩如常鼻植均为lE散 缀此呼,p,育事的 A. • Å1 .'''' ).,不一定或者眼*'平是正散. '.6 解 (1)事矗量最证这阔气F规阵挥最正草草搓碎 叶〉蕾型挂在1lJ经再 A 曲摔在能相辑事E 向量,由于 IAE 叩 AI =Â(À' T 白 昕踉 A 胡特征辈革为 Ã:= ./2 i.乌= - .f2 i. ,l.~=O ,然时革出分别精 于适可三个梅奇E值的续做孟共的特征向量 a 对于特征俯'.黠 γfE-h 采 j每一个持Ii向量为矶=[… ,rz. 一 i , 1JT I :'f.fl萨辑征蕾 A.'"讯-, τi • 求得叫个特征街景如盹喻 :/τ ,--;, IJ吨,对于将在E锺 ^J=O. 事梅→ 个挤在向量为战=[弘 i 0-1 J1 再将其单纯位,得到3个标准正史榕在 向量 川[ - -:;坛,寸, t;14 E一 … p i l 汗 1… T乃 j 于是有 什 • 248 • 1 J百, f l $ 2 4 4 G ,句』 η~= .,!2i 1 1 4 4 4 J古 1 4 4 4 .,í2i f l 2 4 4 G2 = η2ηF= Jτ2 -4厅川 4 。 Gl =η3η?= o 01 2 l 4 4 o 1 2 4 1 4 那 下 所 个 个 枉 为 矶 于 么 面 以 恃 特 向 盹 一 一 是 茸睛 来看 其特 征值 征向 量为 =「 「 U - L 有 八 万 短 征 的 量 q J I 3 为 解 毒 iA H Et。h--29U 2l z--3 卢 刷 阵 值 仁 阳 知 B 为 制 A川 = 为 由 忻 - H 州 一 σ -一 f L 王 = 一 I' V 胆 ] r i t 川 比 特 二 z h 征 + 畔1 B i 一 一 向 仙 剑 量 J J 1J 1$ 1 J 对 单 ? 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II!于 AJ虽然要在生在畔,队面 4 一z 。 。 4 oao a 。 。 G 由此丐得 a=O • 250 ~ - ( 2) 时 T 掉篮镶寸,串出一个特征向盘创"缸,叶 .0J飞 xt i"特 !iE út 6. 草 lliP哥个缝 f建起提胡辖摄掬量盹=[l, 2 ,í})T~叫写 :0.ι]]7. 峨 - 32-0 2O 0 1lG lliJ- P 2 f' ~.2 0 (f1 且有 r'AI'=1 c & 01. ó 1) 6J ( 3) 由{的呵辘,真捧主董事盟仿照真理u略握 4. 12 威者教榕然 '.5.3. 请读者商行验证 a 第五章 可锺警'晨 5…1 量E嚼爱问〉串向量部数贫苦三角;等等式有自信今~- ß11 .;;; 2α… H -ι11 ßII ,j克军事 11" …1l 11? 11011 -:ßII (2)衔辍挥毫数的三角不等式寄:: A-B十 8 11';;; 11 A… 811+ 甘 B;I .此目' IIA -811 导;l: nA 1I … 11811 5-" Z I旺毒草 d 1>由教材JE.理 5. 2. 1 可知音 A 11 , 街 也 r(A'员A)J 言,此部笼薛鹅 FrobenÎw,革盘前定义,照此吉 A 11 = [tr(AffA) 芬是矩阵疏数 (2)1]) IIAII- 梯探梅x !a,] i 挠。,锺然曹. 11 A !!蟹。当鼓饺当 A=O. 〈每 11 kA ß 叩 maxl 阳, d=lkl 酬宏 10"I=k 11 A 11. ~II.. 牛 sn=nm俨 α,斥在, ldm mtxdvi 何中X' 此 l 工衍号 ..11 + IIBII. ~ 2'51 • 费径..槐 l 仲盒" 到画罐忡 , ...代 "8 倒 7-56‘。 -0‘ '‘ -6 9

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