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《自动控制原理》

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标签： 自动控制

自动控制

《自动控制原理》

第
8
章习题及解答
8-1
已知电枢控制的直流伺服电机的微分方程组及传递½数为
u
a
=
R
a
i
a
+
L
a
E
b
=
K
b
d
θ
m
dt
di
a
+
E
b
dt
M
m
=
C
m
i
a
d
2
θ
m
d
θ
M
m
=
J
m
+
f
m m
dt
dt
2
Θ
m
(
s
)
C
m
=
U
a
(
s
)
s
[
L
a
J
m
s
2
+
(
L
a
f
m
+
J
m
R
a
)
s
+
(
R
a
f
m
+
K
b
C
m
)
&
&
(1)
设状态变量
x
1
=
θ
m
,
x
2
=
θ
m
,
x
3
=
θ
&
m
，输出量
y
=
θ
m
,试建立其动态方程；
&
(2)
设状态变量
x
1
=
i
a
,
x
2
=
θ
m
,
x
3
=
θ
m
及
y
=
θ
m
,试建立其动态方程。
解：
⎧
x
1
=
θ
m
⎪
&
&
x
=
x
1
=
θ
m
（1）由题意可知：
⎪
2
，
⎨
&&
&
⎪
x
3
=
x
2
=
θ
m
⎪
y
=
θ
=
x
m
1
⎩
由已知
i
a
⎧
u
a
=
R
a
i
a
+
L
a
&&
+
E
b
⎪
&
⎪
E
b
=
K
θ
m
⎨
⎪
M
m
=
C
m
i
a
⎪
M
=
J
θ
&
+
f
θ
&
&
m m
m m
⎩
m
可推导出
&
⎧
x
1
=
x
2
⎪
x
=
x
&
3
⎪
2
⎪
f L
+
J
m
R
a
R f
+
K
b
C
m
C
⎨
&
x
2
+
m
u
a
x
3
= −
m a
x
3
−
a m
⎪
L
a
J
m
L
a
J
m
L
a
J
m
⎪
⎪
y
=
x
1
⎩
181
由上式，可列动态方程如下
⎡
&
⎡
x
1
⎤
⎢
0
1
⎢
x
⎥ =
⎢
&
0
⎢
2
⎥
⎢
0
R
a
f
m
+
K
b
C
m
⎢
x
3
⎥
⎢
0
−
⎣
&
⎦
L
a
J
m
⎢
⎣
⎤
0
⎥
⎥
1
L
a
f
m
+
J
m
R
a
⎥
⎥
−
L
a
J
m
⎥
⎦
⎡
x
1
⎤
⎢
⎢
x
⎥
+
⎢
0
⎢
2
⎥
⎢
0
⎢
x
3
⎥
⎢
C
⎣ ⎦
⎢
m
⎡
⎤
⎥
⎥
u
⎥
a
⎥
⎥
⎢
L
a
J
m
⎥
⎣
⎦
⎡
x
1
⎤
⎢ ⎥
y =
[
1 0 0
]
x
2
⎢ ⎥
⎢
x
3
⎥
⎣ ⎦
&
（2）由题意可知：
x
1
=
i
a
,
x
2
=
θ
m
,
x
3
=
θ
m
,
y
=
θ
m
R
K
&
R
K
1
1
⎧
& &
x
1
=
i
a
= −
a
i
a
−
b
θ
m
+
u
a
= −
a
x
1
−
b
x
3
+
u
a
⎪
L
a
L
a
L
a
L
a
L
a
L
a
⎪
&
⎪
x
2
=
θ
m
=
x
3
⎪
&
可推导出
⎨
⎪
x
=
θ
&
=
C
m
i
−
f
m
θ
=
C
m
x
−
f
m
x
&
&
3
&
m
a
m
1
3
⎪
J
m
J
m
J
m
J
m
⎪
⎪
y
=
θ
m
=
x
2
⎩
可列动态方程如下
⎡
Ra
K
⎤
⎡
1
⎤
−
0
−
b
⎥
&
⎡
x
1
⎤ ⎢
La
La
⎥ ⎡
x
1
⎤ ⎢
La
⎥
⎢
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
&
⎥=⎢
0 0
1
⎥ ⎢
x
2
⎥ + ⎢
0
⎥
u
⎢
x
2
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
a
⎢
&
⎥ ⎢
C
⎣
x
3
⎦ ⎢
m
0
−
fm
⎥ ⎣
x
3
⎦ ⎢
0
⎥
⎢
⎢ ⎥
Jm
⎥
⎣ ⎦
⎣
Jm
⎦
⎡
x
1
⎤
y
=
[
0 1 0
]
⎢
x
2
⎥
⎢ ⎥
⎢
x
3
⎥
⎣ ⎦
由
⎧
x
1
=
θ
m
⎪
&
⎨
x
2
=
θ
m
⎪
&&
⎩
x
3
=
θ
m
⎧
x
1
=
i
a
⎪
和
⎨
x
2
=
θ
m
⎪
&
&
⎩
x
3
=
θ
m
得
⎧
⎪
x
=
x
=
θ
2
m
⎪
1
⎪
&
⎨
x
2
=
x
3
=
θ
m
⎪
C
f
&
C
f
&
⎪
x
3
=
θ
&
m
=
m
i
a
−
m
θ
m
=
m
x
1
−
m
x
3
⎪
J
m
J
m
J
m
J
m
⎩
182
⎡
⎢
0
由上式可得变换矩阵为
T
= ⎢
0
⎢
C
⎢
m
⎢
J
m
⎣
8-2
⎤
1
0
⎥
0
1
⎥
f
m
⎥
⎥
0
−
J
m
⎥
⎦
&
设系统微分方程为
&&&
+
6
&&
+
11
y
+
6
y
=
6
u
。式中
u
和
y
分别为系统输入、输
y
y
出量。试列写可控标准型（即矩阵
A
为友矩阵）及可观测标准型(即矩阵
A
为友矩阵½½)
状态空间表达式，并画出状态变量图。
解：
由题意可得：
y
6
=
3
u s
+
6
s
2
+
11
s
+
6
可控标准型
&
1
0
⎤ ⎡
x
1
⎤ ⎡
0
⎤
⎡
x
1
⎤ ⎡
0
⎢
x
⎥ = ⎢
0
&
2
0
1
⎥ ⎢
x
2
⎥ + ⎢
0
⎥
u
⎢ ⎥ ⎢
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢
x
3
⎥ ⎢−
6
−
11
−
6
⎥ ⎢
x
3
⎥ ⎢
1
⎥
⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎣
&
⎦ ⎣
⎡
x
1
⎤
y
=
[
6 0 0
]
⎢
x
2
⎥
⎢ ⎥
⎢
x
3
⎥
⎣ ⎦
状态变量图如下：
由方程得可观测标准型
&
⎡
x
1
⎤ ⎡
0 0
−
6
⎤ ⎡
x
1
⎤ ⎡
6
⎤
⎢
&
⎥ ⎢
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢
x
2
⎥ = ⎢
1 0
−
11
⎥ ⎢
x
2
⎥ + ⎢
0
⎥
u
⎢
x
⎥ ⎢
0 1
−
6
⎥ ⎢
x
⎥ ⎢
0
⎥
&
⎦⎣
3
⎦ ⎣ ⎦
⎣
3
⎦ ⎣
183
⎡
x
1
⎤
y
=
[
0 0 1
]
⎢
x
2
⎥
⎢ ⎥
⎢
x
3
⎥
⎣ ⎦
状态变量图如下：
8-3
已知系统结构图如图
8-29
所示，其状态变量为
x
1
,
x
2
,
x
3
。试求动态方程，并画
出状态变量图。
由结构图可得
⎧
x
1
2
x
&
=
⇒
s
2
x
1
+
sx
1
=
2
x
2
−
2
x
3
即
&&
1
+
x
1
=
2
x
2
−
2
x
3
⎪
x
2
−
x
3
s
(
s
+
1)
⎪
⎪
x
3
&
即
x
1
=
x
3
=
s
⇒
sx
1
=
x
3
⎨
x
1
⎪
⎪
x
2
2
&
=
⇒
sx
2
= −
2
x
1
−
3
x
2
+
2
u
即
x
2
= −
2
x
1
−
3
x
2
+
2
u
⎪
u
−
x
1
s
+
3
⎩
由上述三式，可列动态方程如下：
&
0
1
⎤ ⎡
x
1
⎤ ⎡
0
⎤
⎡
x
1
⎤ ⎡
0
⎢
x
⎥ = ⎢ −
2
−
3 0
⎥ ⎢
x
⎥ + ⎢
2
⎥
u
&
⎢
2
⎥ ⎢
⎥⎢
2
⎥ ⎢ ⎥
⎢
x
3
⎥ ⎢
0
2
−
3
⎥ ⎢
x
3
⎥ ⎢
0
⎥
⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎣
&
⎦ ⎣
⎡
x
1
⎤
y
=
x
1
=
[
1 0 0
]
⎢
x
2
⎥
⎢ ⎥
⎢
x
3
⎥
⎣ ⎦
184
状态变量图如下：
s
2
+
6
s
+
8
，试列写可控标准型，可观测标准型、对
8-4
已知系统传递½数
G
(
s
)
=
2
s
+
4
s
+
3
角型动态方程，并画出状态变量图。
解：
(1)
可控标准型
&
1
⎤ ⎡
x
1
⎤ ⎡
0
⎤
⎡
x
1
⎤ ⎡
0
=⎢
+
u
⎢
x
⎥
⎥
&
2
⎦ ⎣−
3
−
4
⎦ ⎢
x
2
⎥ ⎢
1
⎥
⎣
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡
x
1
⎤
y
=
[
5 2
]
⎢ ⎥ +
u
⎣
x
2
⎦
（2）可观测标准型
&
⎡
x
1
⎤ ⎡
0
−
3
⎤ ⎡
x
1
⎤ ⎡
5
⎤
⎢
&
⎥ = ⎢
⎥ ⎢ ⎥ + ⎢
2
⎥
u
⎣
x
2
⎦ ⎣
1
−
4
⎦ ⎣
x
2
⎦ ⎣ ⎦
⎡
x
1
⎤
y
=
[
0 1
]
⎢ ⎥ +
u
⎣
x
2
⎦
3
1
s
2
+
6
s
+
8
2
+
2
=
1
+
（3）
G
(
s
)
=
2
s
+
3
s
+
1
s
+
4
s
+
3
⎡
1
⎤
&
⎡
x
1
⎤ ⎡−
3 0
⎤ ⎡
x
1
⎤ ⎢
2
⎥
⎢
x
⎥ = ⎢
0
−
1
⎥ ⎢
x
⎥ + ⎢
3
⎥
u
⎦⎣
2
⎦ ⎢ ⎥
⎣
&
2
⎦ ⎣
⎢
2
⎥
⎣ ⎦
⎡
x
⎤
y
=
[
1 1
]
⎢
1
⎥ +
u
⎣
x
2
⎦
G
(
s
)
=
5
，试求约½型动态方程，并画出状
2
(
s
+
1) (
s
+
2)
185
由上式可得对角型
8-5
已知系统传递½数
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