第
24
卷 第
3
期
Vol
1
24 No
1
3
个数等于
n - r
。
换
,
变成
础解系 。
济宁师范专科学校学报
Journal of Jining Teachers College
’
2003
年
6
月
J un
1
2003
文章编号
:1004 - 1877 (2003) 03 - 0005 - 02
谈½次线性方程组的基础解系的求法
孙学农
(
东营职业学院
,
山东 东营
257091)
:
本文首先陈述求½次线性方程组的基础解系的简化解法
,
进一步利用矩阵的初等变换给出了一种很有½用价
摘 要
关键词
:
基础解系
;
初等变换
;
线性无关
;
向量
中图分类号
:
O241. 6
文献标识码
:A
值的简便方法 。
考虑½次线性方程组
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+
…
+ a
1n
x
n
= 0
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+
…
+ a
2n
x
n
= 0
………
(1)
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+
…
+ a
mn
x
n
= 0
定义
a
1
,a
2
,
…
,a
s
是方程组
(1)
的解向量
,
并且
:
设
(1) a
1
,a
2
,
…
,a
s
线性无关
:
(2)
方程组
(1)
的任一解向量
a
½可由向量组
a
1
,a
2
,
…
,a
s
线性表出
,
则称
a
1
,a
2
,
…
,a
s
是线性方程组
(1)
的一个基础解系 。
定理
若½次线性方程组
(1)
中的系数矩阵的秩
r < n ( r
≥
) ,
那么方程组
( 1)
有基础解系
,
且基础解系所含解向量的
0
3
算法
先将系数矩阵
A
进行初等行变换
,
化成阶梯阵
U =
0
,
显然
AX = 0
½且仅½
UX = 0.
然后将矩阵进行列变
C
11
C
22
T=
0
0
注意此时自变量
x
1
,x
2
,
…
,x
n
的次序有可½发生变化
,
我们把改变顺序的向量组成新向量
Y,
因此
AX = 0
½且仅½
TY= 0
。设
Y= ( y
1
,y
2
,
…
,y
r
,y
r + 1
,
…
,y
n
) ,
取
( y
r + 1
,
…
n
)
分别为
( 1 ,0 ,0 ,
…
,0) , ( 0 ,1 ,0 ,
…
,0) , ( 0 ,0 ,1 ,
…
,0) , ( 0 ,0 ,0 ,
…
,
y
1) ,
分别代入
TY= 0
可得
n - r
组
( y
1
,y
2
,
…
,y
r
) ,
将每组
( y
1
,y
2
,
…
,y
r
)
与其对应的组
( y
r + 1
,
…
,y
n
)
合起来
,
可得
TY = 0
的一
个基础解系
Y
1
, Y
2
,
…
, Y
n - r
,
将
Y
1
, Y
2
,
…
, Y
n - r
中分量的顺序调整到
X
的顺序
,
分别得到
a
1
,a
2
,
…
,a
n - r
,
即为
AX = 0
的基
例
求½次线性方程组
x
1
- x
2
+ 5x
3
- x
4
= 0
x
1
+ x
2
- 2x
3
+ 3x
4
= 0
3x
1
- x
2
+ 8x
3
+ x
4
= 0
x
1
+ 3x
2
- 9x
3
+ 7x
4
= 0
的一个基础解系 。
收稿日期
:2003 - 03 - 03
½者简介
:
孙学农
( 1971 - ) ,
男
,
山东省东营市人
,
山东东营职业学院讲师
1
ω
C
rr
3
3
0
—
5
—
1
- 1
- 1
5
1
- 1
- 1
5
解
=
A
1
- 2
1
3
3
- 1
8
1
——
—
0
- 7
2
4
0
0
0
0
0
0
0
0
1
- 9
3
7
取
x
3
,x
4
为自由未知量
,
得方程组为
x
1
- x
2
= - 5x
3
+ x
4
2x
2
= 7x
3
- 4x
4
令
3
= 1 ,x
4
= 0 ,
得
x
1
= - 3/ 2 ,x
2
= 7/ 2
x
3
= 0 ,x
4
= 1 ,
得
x
1
= - 1 ,x
2
= - 2
x
则
a
1
= ( - 3/ 2 ,7/ 2 ,1 ,0) ,a
2
= ( - 1 , - 2 ,0 ,1)
为所求的一个基础解系 。
下面我们来导出一个求基础解系的简便方法 。
为变换上的方便
,
不妨把线性方程组写成矩阵方程
X
1
×
n
A
n
×
m
= 0
1
×
m
,
因
n
× 矩阵
A
必有
n
阶和
m
阶可逆阵
P
和
m
Q ,
½
PAQ =
I
r
0
0
0
,
其中
r =
秩
A ,I
r
为阶单½矩阵
,
故
PA =
I
r
0
0
0
Q
1
=
D
r
0
,
这里
D
r
为满秩矩阵 。而
n
阶可逆矩阵
P
D
r
0
= 0
。此示
,
P
的后
n
的后
n - r
行必线性无关
,
且为
[0 ,I
n - r
]P ,
这里
I
n - r
为
n - r
阶单½矩阵 。因
[0 ,I
n - r
]PA = [0 ,I
n - r
]
- r
行就是
(1)
的解向量
,
从而
P
的后
n - r
行就是
(1)
的一个基础解系 。
从而我们得到一个求
(1)
的一个基础解系的简便方法是
:
,P ,
0
其中
,D
r
为一行满秩矩阵
,r =
秩
(A) ,
P
为
n
阶可逆阵
,
则
P
的后
n - r
行即为
(1)
的一个基础解系 。
[A
n
×
m
,I
n
]
—
D
r
下面我们用此方法来解上述例题
1
1
3
1 1 0 0 0
解
:
- 1
- 1
1
3 0 1 0 0
1
1
3
1
1 0 0 0
0
2
2
4
1 1 0 0
0
- 7
- 7 - 14
- 5
0 1 0
0
4
4
8
1 0 0 1
- 2
- 9
5
8
0 0 1 0
- 1
3
1
7 0 0 0 1
1
1 3 1
1
0 0 0
0
2 2 4
1
1 0 0
—
0
0 0 0
- 3
7
1 0
2
2
0
- 1
- 2
0 0 0
0 1
于是
,a
1
= ( - 3/ 2 ,7/ 2 ,1 ,0)
2
= ( - 1 , - 2 ,0 ,1)
为所求的一个基础解系 。
a
因可逆矩阵可表示成一系列初等矩阵的乘积
,
由初等矩阵与初等变换的关系及本文的定理即得上述½次线性方程
组的基础解系的一种简便求法 。
参考文献
:
[ 1 ]
北京大学数学系
.
高等代数
[M] .
高等教育出版社
,1988.
[ 2 ]
刘树利等编
.
计算机数学基础
[M] .
高等教育出版社
,2000.
(
责任编辑
庞新琴
)
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