first concept

廣義來說，凌波函數就是那些在時間域與頻率域都具有局部性的函數。根據海森堡

測不準定理，任何函數的時間反應與頻率反應不可能同時都很狹窄；從應用的角度

來說，就是不存在任何濾波器，可以同時在時間域和頻率域上都具有高準確度。凌

波函數像其他函數一樣受到這種理論上的限制。但是凌波函數卻容許我們在此限制

下盡可能地設計出高效率的濾波器。

大約在  1986  年，一群在調和分析這個領域的法國數學家，發現了凌波函數。剛開

始的時候，只有數學家、物理學家和地震波的研究者，注意到這個新發現。很幸運

地，一位當時在電機系學習數位訊號處理  (DSP)  的研究生，從同學那裡聽說了這

門新數學。他很快地瞭解到，這門數學和  DSP  之間有著微妙的關聯。當消息傳了

出來，很快地，其他領域的數學家  (諸如逼近論和數值分析的學者)，量子力學領

域中的物理學家和各種從事數位訊號處理工作的科學家與工程師們，都加入了發展

與研究的行列。因為這些跨領域學者的共同開發，凌波函數從一開始就是理論與應

用並行，而且發展快速。

所謂  DSP  是一門新穎的學問，因為它所要處理的對象--數位訊號--本身就是一種

新的發明：它是近四十年由電子計算機所產生的新資料形態。數位訊號已經充斥在

我們生活的四周，不但所有在電腦和網路中看到、聽到的多媒體資訊，全都是數位

訊號，從照相機的控制系統、汽車的電子噴射引擎、數位型大哥大，到不久以後將

會普及的高傳真電視，也都有數位訊號。雖然如此，並不代表人類已經完全掌握了

數位訊號的特質。就好像飛機已經在天上飛了五十多年，但是人類至今還是不能完

全掌握流體動力學。相反地，數位訊號還有許多未知的特性值得去研究、許多未知

的技術值得去開發；而且，由於它的廣泛應用，使得這一類的研究與開發，更形急

迫。

數位訊號處理的工具，可以粗分為電腦工具與數學工具兩種。前者利用巧妙的資料

結構或演算法，後者則通常需要比較多的數學知識。以訊號壓縮為例，ADPCM  和

LZW  都是電腦工具；而  DCT  和  DWT  都是數學工具。DCT  是傅立葉轉換的應用，而

DWT  就是凌波函數的應用。電腦工具的成效，通常比較受限。例如  ADPCM  可以將

十六位元的聲音訊號做  1:4  的壓縮，GIF  圖形格式應用  LZW  演算法，可以將二五

六色的點陣圖做平均  1:5  的壓縮。而  JPEG  圖形格式應用  DCT  演算法，可以達到

平均  1:10  以上的壓縮效果。但是，使用  DWT  的演算法，在同樣的視覺表現下，

可以將壓縮比再提升一倍以上。自從兩年前，已經有一些  DWT  類的演算法走出了

實驗室，而製成產品：軟體與硬體都有。

「凌波初步」是為中文讀者所寫之凌波函數入門書籍，假設的預備知識只有一般大

二學生所掌握的微積分和線性代數而已。這本書的第一章以最簡單的方盒函數入門，

牽引出凌波函數的研究動機與應用方法。第三章則完整地介紹正交凌波函數、以及

在相關之訊號分析方面的理論基礎。第四、五章分別示範凌波在訊號處理、數值分

析上的應用。

除了關於凌波函數的本文之外，本書並針對學習應用數學的需要，在第二章以  85

頁的篇幅，用直覺淺顯的方式介紹某些較高等的數學知識：包括泛函分析、實變函

數論和傅立葉轉換；並在附錄中以  22  頁的篇幅非常簡潔地介紹了  Matlab  軟體。

這兩部分的內容，值得推薦給所有非數學專業背景的讀者，以及所有找尋學習數學

之動機的同學們。

為了幫助理解，這本書一共呈現了  167  幅圖，組成  71  份圖例。為了幫助實習，

這本書備有  49  份  Matlab  程式或數位資料，全部在內文中詳細解釋，並將電子檔

案附在書後的磁片中。為了提高閱讀和使用的效率，所有的圖例、Matlab  程式與

重要的數學公式都製作了詳細的目錄。除此之外，作者還編撰了約  90  項的英漢對

照與  280  項的索引。