克拉克(CLARKE)和帕克(PARK)变换
1918
年，Fortescue 提出对称分量法，为解决多相(三相)不对称交流系统的
分析和计算提供了一个有效方法。对称分量法是用于线性系统的坐标变换法。它
将不对称多相系统(后面均以三相系统为代表)以同等待定变量的三个三相对称
系统来代替，其中正序、负序系统是两个对称、相序相反的三相系统；零序系统
是一个三相幅值相同、三相量同相的系统，用来反映三相量之和不为零的不平衡
量。
CLARKE
变换
首先是将基于
3
½、2 维的定子静止坐标系的各物理量变换到
2
½的定子静止
坐标系中。该过程称为
Clarke
变换，
PARK
变换
此刻，已获得基于
αβ 2
½正交坐标系的定子电流矢量。下一步是将其变换至随
½子磁通同步旋½的
2
½系统中。该变换称为
Park
变换
在矢量控制中包括以下系统变换
从三相变换成二相系统
Clarke
变换
ABC坐标变换到αβ坐标
直角坐标系的旋½（αβ 静止）到（旋½
d q）
，称为
Park
变换
反之为
Park
反变换
关于
park
变换
从数学意义上讲，park 变换没有什么，只是一个坐标变换而已，从
abc
坐标变
换到
dq0
坐标，ua,ub,uc,ia,ib,ic,磁链
a,磁链 b,磁链 c
这些量½变换到
dq0
坐标
中，如果有需要可以逆变换回来。
从物理意义上讲，park 变换就是将
ia,ib,ic
电流投½，等效到
d,q
½上，将定子
上的电流½等效到直½和交½上去。对于稳态来说，这么一等效之后，iq,id 正½
派克变换将定子的a,b,c三相电流投½到随着½子旋½的直½（d½），交½（q½）与垂直于dq平面的零
就是一个常数了。
½（0½）上去，从而实现了对定子电感矩阵的对角化，对同步电动机的运行分析起到了简化½用。
从观察者的角度来说，我们的观察点已经从定子½移到½子上去，我们不再关
心定子三个绕组所产生的旋½磁场，
而是关心这个等效之后的直½和交½所产生
的旋½磁场了。
Clarke
变换将原来的三相绕组上的电压回路方程式简化成两相绕组上的电压回
路方程式，从三相钉子
A－B—C
坐标系变换到两相定子
α－β
坐标系。也称为
定
3/2
变换。
½
Clarke
变换后，½矩仍然依靠½子通量，为了方便控制和计算，再对其进行
Park
变换变换后的坐标系以½子相同的速度旋½，
d
½与½子磁通½½相同，
且
则½矩表达式仅与
θ
有关。
详解：
一，
最近在搞双馈反应发电机（下称
DFIG），搞着搞着对乱七八糟的坐标变换上火
了。尤其是双
PWM
的控制，½多文章上½用了开关½数。没错，在三相坐标下
开 关½数就类似于阶跃½数一样，很容易理解；½是被变换到
dq0
坐标系中就
完全乱了。小整理一下，以下如有纰漏，请予以河蟹。
二，
派克变换在李光琦的那本《电力系统暂态分析》中是这样定义：
(1)
把
P
½用到三相坐标上即可得到
dq0
坐标系下的对应量。
改变换的规定是定子三相绕组按顺时针依次间隔
120°排列，每相线圈的正方向
满足右手定则；对于旋½的
dq0
坐标系则是按
q
½正方向超前
d
½
90°来安排；
角度 ½然是以逆时针方向为正。图就不给了，有兴趣的话参见这本书的第
33
页图
2-18。
值得说明的是，该书上所说的“定子各绕组电流产生的磁通方向与各该项绕组½
线的正方向相反时电流为正值”不½响派克变换，
产生½响的是
q
½的方向规定，
比如，若将
q
½正方向改为滞后
d
½
90°（即原来的正方向刚½相反），则 P
矩
阵中第二行的负号可以全部去掉。
按照书上的指示，该矩阵将三相变量½换为了相对静止的
dq0
坐标系中的变量，
求解微分方程的时候提供了方便。½是注意到，首先这个
P
不是正交矩阵，那
么由
P
变换出来的电压电流量就不½满足功率守恒；
其次还有一个模糊的疑问：
对于三相平衡量，在一个平面里面就可以完全描述，怎么就到了用三个量描述了
（由二维 到三维）？
三，
讨论之前，先铺垫几个公式。
首先是坐标变换公式。
任½线性空间的的坐标事实上½是由若干个线性无关的向量构成
（最大无关组）
。
比如最常见的三维平直空间由三个向量确定：
（更正：把三个向量右上的字母
T
去掉）
这就是说任½该空间中的某点总½用这三个向量的某个线性组合确定，
而且这种
组合是唯一的。
现在约定空间中的某向量
S
即：
(2)
（式中的系数即是所谓的坐标）写成下面的统一½式：
(3)
其中：
B
就相½于是坐标系中的基底。这里要把基底中向量按列向量的方式排列，于是
在后面的推导中就方便一些。
½了，到这一步，基本可以看出一些猫腻。任½一点的坐标实际上½是(2)式所
表达的½式，只是为了方便通常把基地向量给省去了。那么，不同的坐标系，区
别仅在于基地矩阵
B
的不同。进而，由(3)式可知如果：
基底变换
(4)
将此式代入(3)式有：
(5)
如果把上式等号左边第二、三项视为一个整½，可以看到同一个向量
S
现在由
一个新的基底表示，即向量
S
在½的坐标系中被表示了出来。记：
(6)
则向量
S
又可以表示为：
(7)
至此，得到了坐标变换公式(6)。总结坐标的½换方法，可见(4)式很重要。该式
左边的矩阵被分解，
得到一个新基底矩阵和一个系数矩阵
M
（即坐标变换矩阵）
。
而后将
M
阵左乘原来的坐标列向量即可得到新坐标系下的坐标列向量。值得说
明的是，在求取
M
的过程中，要先找½两个坐标系下的基向量组，然后一定要
按列向量的方式排列开½成
B
矩阵。否则上面所有推导的公式将不再适用。
其次是三个坐标系的基底。
先不说明原因。
第一，xyz 坐标系的基底不用说，就是上面提到的
Bxyz
阵。
第二，
关于
dq0
坐标系，
由于这是一个旋½的坐标系，
故需要用一个角度
（SIta）
来表示其瞬时½½。把
dq0
坐标系看成
xy
两½围绕
z
½旋½的坐标系即可。
第三，关于
abc
坐标系，这是最重要的。它的基底这样规定：三个空间向量，
它们在平面上的投½为三个互成
120°的向量，且投½为单½长度；在垂直于平
面的方向上，
三个空间向量½指向相同的方向，
z
½的投½为
1/3
个单½长度；
对
½然三个空间向量½是从原点出发，图从略。
四，
派克变换的初步推导。
先推倒从
abc
系到静止的
xyz
系的过度矩阵
M1，如下所示：
由
这三个基地向量可以列出
abc
坐标系下的基底矩阵
利用(4)式，将
Babc
分解到
Bxyz
中
(8)
同理，再将
Bxyz
分解到
Bdq0
中
(9)
在
Bdq0
中各列的分别是
d，q，0
½的基底向量，不难推得，
(10)
½是，拿(10)对比(1)式，很遗憾两者还是不一样，这说明可½中间½出的某些规
定有问题，不妨换个思路考虑。
五，
通用相量和派克变换。
考虑一个三相系统的三相电压
。式中的每个分量½有一
个电压方程可以决定，
½是由于人为的干预，
可以做到让这三个分量在时间上两
两相差
120
个电角度（极对数为一时电角度就是机械角度）。假设电压是三相
平衡的（前提是三相对称，即½不对称，也可以用对称分量法½换为对称量来考
虑），这就是说，
(11)
考虑一个平面上的三相½
abc，两两之间互成 120°，正方向均由原点指向无穷
远处。可以验证，如果设想有一个原点出发的向量在该平面上，并由这个向量出
发向三个½做射½，那么可以验证三个射½长度（包括负长度）之和满足(11)
式。需要注意，(11）式并不表示三个½上的射½构成的向量之和正½是设想从
原点出发的向量。(11)式只是说明在数值上的一个关系。
如果三相量不平衡，可以通过一个代换：
(12)
并记：
(13)
则
ua'、ub'、uc'又½重新½成平衡量。(12)式也就是为½在(10)式中第三行出现
1/3
的原因。
继续。如果三相量是平衡的，那么在平面上用两个不平行的½就可以完全表征，
三根½实属多½。在平面直角坐标系中我们知道一个点的½½可以有两个数确
定。这两个数对应于横½和纵½上相应的刻度。对于三相½，在平面上的任意一
点可以由其中任意两个½确定。
如果非要用三个数值描述平面上的一点也不是不
可行，此时由三相½到两½的变换应该属于克拉克变换（Clark），变化矩阵不
再是方阵。果真如此，写出变换方程后应该是两式三变量，显然方程不够用。½
是三相平衡时就相½于补充了一个(11)式，此时方程组有唯一解。更一般的情况
是给定(12)式，这样
u0
可以为
0
也可以不为
0，总之 u0
是已知的，这样就包括
了平衡与不平衡两种情况。
从代数方面考虑，
同步发电机运行的时候，电动势相量和电½电压相量之间会存
在一个角度差，即功角。该角度是动态变化的。如果站在½子的角度上，这个功
角在正常情况下只是½小幅变化，如振荡或者不动。
½是如果站在定子上看则该
角度的变化还要叠加上一个同步速。
正是这个同步速的叠加导致了微分方程求解
的困难。
进一步考虑，
如果½将这两个速度想减，
则可以消去这个同步速的干扰，
从而微分方程也½解了。
由恒等式：
(14)
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