热搜关键词: 电路基础ADC数字信号处理封装库PLC

pdf

测度论讲义

  • 1星
  • 2015-05-18
  • 3.21MB
  • 需要1积分
  • 1次下载
标签: 测度论

测度论

控制理论的基础数学课,研究生必读课

× ¥Ú
Ò
§1
§1.1
ª
­
¤Ù£
Ô
1
¥ ¤Ù¦
1
ÊÔ
P
©ÊÔÊ¢«ÊÔ
P
ͽʢ
λ(P
)
¥ÊÔ
P
Ñ«¾
ÊÔ
(P,
ξ)
¦ 
2
ÊÔ Ù
B
:=
{B }
© ¤ Ê
λ(P
)
< d
¾
B
ÊÔ
(P,
ξ)
ÜР
3
ÚÊ ©
f
Ê¢
[a,
b]
℄ ¶»¾
ÊÔ
(P,
ξ)
ÚÊ ³¤
d
d
n
σ(f, P, ξ)
:=
i=1
f
i
)∆x
i
.
³
I
>
0
§
4
Riemann
ÚÊ©
Ñ
f
Ê¢
[a,
b]
Ê¢
[a,
b]
℄ϲ¾
n
Riemann
Úʧ
ÊÔ
(P,
ξ)
§
ϲ
ε >
0
§»
λ(P
)
< δ
§¹
|I −
i=1
f
i
)∆x
i
|
< ε.
℄ÐÚÊ» §
I
:=
b
f
(x)dx.
a
℄Ð ³ ¡»
ÄÀ
Φ(p) :=
σ(f, p)
§
p
= (P,
ξ)
 Þ
I
= lim
B
I
= lim Φ(p),
B
n
f
i
)∆x
i
.
i=1
ÆÐÛ¯»
Ñ
f
³¤
a, b
Ú Ñ Ì ¤
R[a,
b]
 
Ô
1
¥ «½¦ Ú Ñ¹¬ 
5
1
Riemann
Ú Ñ§
[a,
b]
ϲ ÊÔ
P, λP <
δ, ω(f,
∆x )
< ε
§ÄÀ
ω(f,
∆x )
Ñ
f
Ê¢
∆x
℄ Ì 
2
¦
ÝÔ
f
∈ R[a,
b]
⇐⇒
m
(D(f )) = 0
§Þ
D(f
)
¤¹°Ü¥¤
Zorich
p-346
¦ ÄÀ
D(f
)
¤ Ñ
f
Ê¢
[a,
b]
℄ ¢
ÜЧ
m
(E)
¤ÜÐ
E
 ° ¥ ³¤Ó¦ 
3
¦
Ô
f
∈ R[a,
b]
⇐⇒
℄¼ ÚÊ
I(f
)=
«¼ ÚÊ
I(f
)
¥¤
Zorich
p-345
¦ 
1
Ñ Ë Ú¡Ì¸ Ñ ¢ Ü ¡½ ¢Í  
f
∈ R[a,
b]
⇐⇒ ∀ε
>
0,
∃δ
>
0,
i
i
i
Ô
2
¥
1
¦
Ô
¤Ð
±©¦
f
[a,
b]
℄¹¬ 
℄ ¨Ý ѧ۾ ÁÜ
§1.2
¤¡ ©
Dirichlet
¡
Ô
1
Dirichlet
Ñ ³¤©
2
1, x∈ [0, 1]
\
Q
D(x)
=
0, x∈ [0, 1]
Q
¨Ý Ñ 
¹¬ ѧ¸℄© Ú
ÃÀÏ
Dirichlet
ÑÉ
¥ ¦ Ú 
£
Ñ Ú§ ¦
Ñ ·Æ£
²§ ° ½
Dirichlet
Ñ Ú ¬
² Ø ° ¨¤±§ 
¶ ¡Ê ¤
5
¿
10
¿
100
¥§
­ ¨¹ ¥ ¥Î
ɱ¿Ä Á ¦ ½¦
5
¿½
10
¿
Ê Î ¥
5
£
100+10
£
100
¦§ ÊÇ ¶  »ÚÊ ³§
Æ
x
à ´ §
y
à ´¡  
Riemann
ÚÊ »­ Ä¥ Ö É¡
 Á ­
¡
§Ó
³Úʧ Ñ
f(x)
¾
[α,
β]
ÏÊÔ
P
=
=
y < y < ...... < y
=
β}
§ ³
A
=
{x|y
f
(x)
y
}
§
(y
, y
)
§
η
¦ ¹ Ó ¡ÚÊ ¢
S(f, P
) =
η
|A |
§ÃÀ
|A |
¤ÜÐ
A
¡½ ¢§
f
Ê¢
[a,
b]
℄ ³
Ñ §
A
¤¹¯À Ê¢ §
A
Ê¢ ²
 
Ð
A
°Ý
A
¡½ ¢¥
size
¦ ¦ Ó Û¾ Í ¥ß
§ »℄Ð
Dirichlet
ѧ¦
Õ · ¨ ¹ С º¢ 
1
2
n
i
i−1
i
i
i−1
i
i
i
i
i
i
i
i
i
2
§2
§2.1
Öѳ ¨¶ Ö
¨ Õн
º℄¬ Û¾ §
³
Dirichlet
Ñ Úʧ¦
³Ê¢
[0, 1]
℄ §°ÑÜ ½ §¸»Ê¢²
µ § ¦ ° µ
R
℄ÜÐ
¡½ ¢§´¸¦ ©¢¯
Ê¢ ²
µ
R
℄ÄØÜÐ ½ §¤¸
¦ ¬Ö Ê¢½Ê¢²
³°ÝÙ
 
½
1
¥ ¨ Õн ¦
1
¦ ·À
§Ê¢
² ¥ ·
¦©
I ,
|I |
<
∞,
I
I
= Ø,
§
| ∪
I
|
=
|I |
 
2
¦À
© ϲ
x
R
§
|I
+
x|
=
|I
 ÄÀ
I
+
x
:=
{x
+
y| y
I}
 
¸
1
° ·
1’
¦
©
I
I
§
|I | ≥ |I |
 
1”
¦¹¯
©
I
=
I , I
I
= Ø,
i
=
j
§
|I|
=
|I |
 
§2.2
µ Õ
¸° »
M
:=
R
R
À×¹ÆÜ ´ ÜЧ¦ ©¢¦Ê¢²
M
℄§ Ç©¢
¼℄ Þ
§ÁǦ
ºÊ¢
µ·Â ³
M
À¿Ô µ  Ò§
m
µ§¦ É©
1
m
³¾¤
M
 
2
ϲʢ
I
§
m(I)
=
|I|
 
3
·
©
{E } ⊂ M
§Ç
E
E
= Ø,
i
=
j
§
n
n
i
j
n
n
1
2
1
2
n
i=1 i
i
j
n
i=1
i
n n≥1
i
j
m(
n≥1
E
n
) =
n≥1
m(E
n
).
À
 
« ¦ ½ ÁÇÎ
§ »Ï ÜÐ
A
R
§ ½ÍÏÙ
Ê¢
|I |
°
A
¢² ¡
Ó ¸»ÍÏ
·
{I }
§ Ê¢²
A
Ê¢ ¸¢
¹Â§´¸¦ ¶ ½
A
Í ß Íϧ±ÞË×¹
ÍÏ× ¶ ℄Ð
«Í¬§¶ ℄ÐÛ¾§ « ³  °  
Ô
1
¥µ Õ¦
A
R
§Ü
A
 ° ³¤
4
n
i
i
m
(A) := inf{
i
|I
i
|| ∪
i
I
i
A,
}
3
ÄÀ
inf
Ë
A
×¹ Ê¢ÍÏË 
1
ÍÏÊ¢²
° É »
δ
«ÍÏÊ¢ ° ɤ Ê¢ 
Ô
1
ϲʢ
I
§
m
(I) =
|I|
 
Ų ʢ
I
Ù
Íϧ¸ ³¹
m
(I)
≤ |I|
 º Ç §
»Ï²
I
Ê¢ÍÏË
{I }
§¸
§2.2
°
1
¥
Borel
¦§
|I | ≥ |I|
§ ¸ ³
m
(A)
≥ |I|
 
Ô
2
¥µ Õн ¦
1
¦À
©
A
R
§ ϲ
x
R
§
m
(A) =
m
(x +
I)
 
2
¦
©
A
B
§
m
(A)
m
(B)
 
3
¦¹ ·
©
A
=
A
§
m
(A)
m
(A )
 
ª¾
1
¦¸Ê¢² À
 ¸»
A
B
§
A
ÍÏË
B
Í
Ï˧¸¸ ª¾
2
¦ «
ª¾
3
¦ 
m
(A ) = +∞
§ª¾­Î´² «
m
(A )
<
+∞
 
ε >
0
 
A
§»
ÍÏ
{I }
¸ °
³§
n
n
n
k
k
k
k
k
1
k
k
1
k
k
k,j j≥1
|I
k,j
|
< m
(A
k
) +
ε/2
k
,
j≥1
¸»
A
k
I
k,j
,
k≥1 j≥1
´¸
m
(
k
1
k≥1
A
k
)
k≥1 j≥1
|I
k,j
|
=
(
k≥1 j≥1
|I
k,j
|) ≤
k≥1
(m
(A
k
) +
ε/2
k
)
k≥1
m
(E
k
) +
ε,
»
ε
0
§Þ ª¾
3
¦
°
2
Õ¦  ° ¹¹ ·
§
·
´²§¦
´℄
¶Ê¢² ¥
¹
° ¶¤ « ±Æ ·» ÜÐ
Â
¦§
Õ
 °
·
¥ ½¹
:
¹
P(R)
Ê¢ ² § ¸¸µÅ
§  · ª·° °¾¦ 
1
¥
§½ Ц¢¦
¦ ·Å Ã »
Ê ·
Ü·   ϲ ¸ § Ü·
{A } ⊂
R
§Ò¹
i
m
(A
i
) =
i
1
m
(
i
1
A
i
).
(∗)
4
À ³ ¡ ª©
x
½
y
x
y
Q
 ¸
°§ °
¡
ÀË ¿ ¿§Ç È
¿ ¿
[0, 1)
À§ ×¹ ¿ ¿ ´ ÜÐ
¤
S
  ϲ
n
N
§ ³
1
R
S
i
:=
{x|x ∈
S,
(i
1)/n
x < i/n,
1
i
n},
S
i
,
1
i
n
¸
§
§§Ç
S
=
S
1
S
2
···
S
n
.
n
i=1
À
T
i
=
S
i
(i
1)/n
§
T
i
´´ §§Ç
n
i=1
T
i
[0, 1/n)
 ¸  Ý °
n
n
m
(S) =
i=1
m
(S
i
) =
m
(T
i
) =
m
(
i=1
T
i
)
1/n,
»
n
+∞
§
m
(S) = 0
 
2
ÆÆÌ ¹°Ñ ·¤
q
= 0,
q , q
· · ·
§
Q
:=
S
+
q
§
Q
=
S
 
x
P
P
(i =
j)
§
x
=
p
+
q
=
p
+
q
§ÄÀ
p , p
S
 ¸¸
p
p
=
q
q
Q
§
p , p
¡ §´¸
i
=
j
§±Þ
Q
=
Q
ÇÆ
i
=
j
§¦
¸¸ ¶
{Q }
¸ § Ü·  ϲ
x
[0, 1)
§Ù
¡
À§ºÁÙ ¡»
S
À
¿§ ¤
y
§´¸
x
y
¤¹°Ñ§ ¤
q
§¸
³§
x
Q
 ¸¸¦
i
0
1
2
n
n
0
j
i
i
j
j
i
j
i
j
j
i
i
j
i
j
i
i
i
Q
i
[0, 1).
¸ ° À
°Ý 
(*)
§¦
3
§ ϲ
i
0
§
m
(S) =
m
(Q )
 ªÐ
1
ª¾
i
+∞
i
0=
i=1
m
(S) =
i=1
m
(Q
i
) =
m
(
i=1
Q
i
)
m
([0, 1)) = 1
>
0,
¸
 
Ò  
(*)
´²§Þ»
Ê ·
ÜР
 ° ¤¹ Ü Ó
ÀÅ ·§¦ ¸··Ù
k
k
³½
Ô
2
¥ ¦¦ ³ÜÐ
E⊂R
¤ ¦§
»Ï²
ε >
0
§» ÜÐ
E
¸ÍÀ Ñ Ê¢Ì´ ÍÏ
I
, Σ|I
|
< ε.
2
ܧ ·Ü ¹°Ü Ê¢ ¹°Ü ¹°ÑÜ ·Ü§
¹°Ü 
5
展开预览

猜您喜欢

评论

登录/注册

意见反馈

求资源

回顶部

推荐内容

热门活动

热门器件

随便看看

 
EEWorld订阅号

 
EEWorld服务号

 
汽车开发圈

电子工程世界版权所有 京B2-20211791 京ICP备10001474号-1 电信业务审批[2006]字第258号函 京公网安备 11010802033920号 Copyright © 2005-2024 EEWORLD.com.cn, Inc. All rights reserved
×