第
29
卷 第
1
期
Vol. 29 No. 1
文章编号:
1001-0920 (2014) 01-0118-05
控
制
与
and
决 策
Decision
Control
2014
年
1
月
Jan. 2013
DOI:
10.13195/j.kzyjc.2012.1490
移动机器人速度加速度饱和约束下的时间最优控制
熊 蓉, 詹剑波, 汤 卿, 褚 健
(浙江大学
工业控制技术½家重点实验室，杭州
310027)
摘
要:
针对机器人运动系统中普遍存在的速度和加速度约束, 提出一种满足以上约束的机器人运动时间最优控制
方法. 首先, 通过最优条件构造哈密尔顿½数, 根据极小值原理求解时间最优控制; 其次, 通过相½迹分析, 证明了满
足约束的时间最优控制律的½式; 再次, 通过求解最优时间, 将满足约束的时间最优控制律½换成末端时间为最优时
间的燃料最优控制律; 最后, 在
RoboCup
小型足球机器人上进行对比实验, 验证了该方法在规划与实际上的一致性.
关键词:
速度饱和；加速度饱和；时间最优控制；燃料最优控制；最优时间
中图分类号:
TP273
文献标志码:
A
Time optimal control of mobile robots under constraints of velocity and
acceleration limits
XIONG Rong, ZHAN Jian-bo, TANG Qing, CHU Jian
(State
Key
Laboratory
of
Industrial
Control
Technology，Zhejiang
University，Hangzhou
310027，China.
Correspondent：XIONG Rong，E-mail：rxiong@iipc.zju.edu.cn)
Abstract:
A time optimal control method considering the velocity and acceleration limits for mobile robots motion is
proposed. Firstly, the Hamiltonian function is constructed, and time optimal control is obtained on basis of the minimum
principle. Secondly, the control method under the constraints is proved through phase analysis. Thirdly, the time optimization
problem under the constraints is converted into the energy optimization problem with the computed minimum time. Finally,
the results are verified on RoboCup small size soccer robots.
Key words:
velocity limits；acceleration limits；time optimal control；fuel optimal control；optimal time
0
引
言
了机器人的运动控制. 另一类典型的加减速控制方法
是
S
型曲线加减速方法
[5-7]
.
石川等
[8]
研究
S
型曲线加
减速方法, 考虑了运动的加速度, ½运动更加平滑. 然
而, 由于
S
型加减速算法主要适用于初始速度和末端
速度均为零的数控机床加工
[9-10]
,
对于始末速度不为
零的移动机器人运动控制具有较高的局限性. 本文拟
研究同时考虑具有速度约束和加速度约束的初始速
度和末端速度不强制为零的机器人时间最优控制算
法, 以实现移动机器人的快速、
平稳移动.
由庞特里亚金提出的
Bang-Bang
控制被广泛用
于 解 决 线 性 系 统 的 时 间 最 优 性 问 题. 熊 蓉 等
[11]
将
Bang-Bang
控制运用于
4
½全方½移动机器人, 取得
了较½的控制效果. 由于
Bang-Bang
控制方法不考虑
系统的状态约束, ½实际机器人的运动速度受限时,
容易产生机器人的跟踪误差, 不½很½地满足机器人
的实际控制要求. 武星等
[12]
提出了考虑速度、
加速度
机器人的½姿控制问题
(又称点镇定问题、
姿态
镇定问题) 是机器人学的一个非常重要的问题, 它指
系统从给定的初始状态到达并稳定在指定的目标状
态
[1]
. Aicardi
等
[2]
在极坐标中对移动机器人的点镇定
问题进行分析, 得到了移动机器人的反馈镇定律, 为
移动机器人的反馈控制提供了一个新的思路. 然而,
该方法并没有考虑机器人的速度约束和加速度约束,
即缺少对机器人的加减速控制, ½得实际机器人的应
用受到较大的限制.
插值方法是解决机器人加减速问题的一类典型
方法. 冷洪滨等
[3]
提出了基于三次多项式的插值方
法, 赵巍
[4]
提出了基于直线和基于圆弧的插值方法以
解决数控系统的加工问题, 两种算法½取得了不错的
效果. 然而由于需要人工对曲线进行分段, 直接½响
收稿日期:
2012-10-09；修回日期: 2013-01-24.
基金项目:
½家自然科学基金项目(61075078).
½者简介:
熊蓉(1972−), 女, 教授, 从事智½移动机器人的研究；褚健(1963−), 男, 教授, 博士生导师, 从事控制理论与
应用等研究.
第
1
期
熊 蓉 等: 移动机器人速度加速度饱和约束下的时间最优控制
½
=
0
119
约束的跟随控制算法, 该方法同时考虑½½偏差和角
度偏差, 取得了良½的效果, ½是在时间最优方面考
虑不足.
本文从机器人½迹的运动方程出发, 考虑机器人
的速度约束和加速度约束, 分析相½迹的运动特征,
给出点镇定的最短时间的计算方法, 并证明机器人的
速度、
加速度饱和的时间最优控制就是以最短时间½
为末端时间的加速度受限的燃料最优控制. 该方法对
初末速度没有要求, 因此可以做到在状态空间上的时
间最优点镇定.
d =
−
0
.
(4)
令机器人运动系统的状态为
= [
1
,
2
]
T
,
根据
极小值原理构造哈密尔顿½数
= 1 +
1
()
2
() +
2
()(),
(5)
对应的协态方程可表示为
⎧
⎨
1
() = 0,
˙
⎩
2
() =
−
1
().
˙
最终获得最优控制律为
∗
() =
−sgn[
2
()].
(6)
(7)
1
机器人的运动模型
通常研究的机器人运动是平面中的二维运动. 由
于机器人各向特性不一致, 二维空间中的点镇定问题
和最优控制问题是一个非常困难的问题. 随着全方向
移动机器人技术的逐渐成熟和普及, 机器人的运动可
以分解成相互独立的两个一维运动. 因此, 对机器人
在一维方向上的½½、
速度和加速度的控制也具有非
常重要的意义. 这里将机器人的运动模型表示为
=
+
.
˙
机器人运动系统的相½迹如图
1(a)
所示. 图
1(a)
表 示的 是 由 初 始状态
(
0
,
0
)
变化到末端状态
(
,
)
的机器人相½迹变化. 可以看到, 在不考虑速度
饱和约束情况下, 系统的时间最优控制方法就是最常
见的
Bang-Bang
控制. 然而在实际机器人运动过程中,
不仅机器人的加速度受到电机力矩和地面摩擦力的
限制, 而且机器人的速度也受到电机½速的限制. 如
果依然采用
Bang-Bang
控制, 则机器人的实际运动将
与规划运动产生较大的偏差, 因此需要考虑机器人运
动系统的饱和特性. 如图
1(b)
所示, 机器人由于受到
速度饱和的约束, 在
Bang-Bang
控制下的机器人运动
½线将超出机器人的可行区域, 这会导致机器人的运
(1)
其中:
=
[, ]
T
为运动系统的状态变量, 由机器
˙
人的½移和速度组成;
为机器人运动系统的系统
矩阵;
为输入矩阵;
为运动系统的输入, 这里为机
器人的加速度. 通常情况下, 系统矩阵
和输入矩
阵
可以表示为
=
[
0 1
,
=
0 0
]
[
]
0
.
u=
-
1
v
(
x
f
,
v
f
)
(2)
2
速度加速度饱和约束下的时间最优控制
机器人运动的状态饱和时间最优控制问题主要
解决
3
个方面的问题:
1)
以½½和速度½为目标状态
的点镇定问题;
2)
机器人系统满足速度约束和加速度
约束;
3)
系统由½前状态移动到目标状态的时间最
短. 本文分
3
步对以上问题进行分析:
Step 1:
不考虑机器人的速度约束和加速度约束,
采用常用的时间最优控制方法求解最优控制问题;
Step 2:
提出速度受到约束时的时间最优控制律
的表示½式, 并求解最优时间;
Step 3:
将速度、
加速度饱和时间最优控制½换
为末端时间为最优时间的燃料最优控制问题, 并展示
控制律的显式表达½式.
2.1
时间 最 优 控制 律 设 计
问 题 描 述 针对机器人运动控制系统
(1)
满足
约束条件
∥
∥
<
max
,
˙
˙
-v
max
u=1
0
x
s
(
x
0
,
v
0
)
u=
-
1
m
2
(
x
m
2
,
v
m
2
)
m
1
(
x
m
1
,
v
m
1
)
v
max
f
(
x
f
,
v
f
)
v
(a)
u=1
0
u=
-
1
x
(
x
0
,
v
0
)
(3)
(b)
设计控制律
∣()∣
½
1
,
½得机器人运动系统满足时间
最短的最优条件
图
1
时间最优相½迹变化图
120
控
制
与
决
策
第
29
卷
动产生偏差. 因此
Bang-Bang
控制已经不再适用, 应
根据速度约束设计机器人的时间最优控制方法.
½考虑约束
(3)
时, 机器人从初始状态运行到目
标状态的时间可以表示为
Δ =
−
0
=
0
total
=
−
+
−
=
−
−
0
+
;
(15)
2)
½
∣
∣
>
max
时, 最优控制的时间包括匀速
d,
(8)
通过变换可以得到
运行的时间, 匀速前进的距离可以表示为
2
2
2
2
max
−
max
−
0
Δ =
−
0
−
−
.
2
2
因此, 最优控制的总时间可以表示为
total
=
−
1
+
1
−
2
+
2
−
,
(16)
d
1
d
1
Δ =
−
0
=
d =
.
(9)
0
∣
2
∣
0
d
2
由式
(9)
可以看出, 若想要时间最短, 则要求
2
(17)
代入后即得
total
=
max
−
max
−
0
Δ
+
+
.
max
最优控制律的求解
较大. 因此考虑两种情况:
1)
½机器人的速度没有超
过速度限制时,
Bang-Bang
控制的运动½迹为满足系
统要求的时间最优½迹;
2)
½
Bang-Bang
控制的最优
½迹不满足速度约束, 即不满足约束条件
(3)
时, 应重
新考虑机器人的控制方法. 这里主要考虑系统由
1
点运动到
2
点,
Bang-Bang
控制速度超限时的机器
人运动½迹. 由式
(9)
可以得到, 从
1
点运动到
2
点的时间最优控制律½且仅½
∣
2
∣
=
max
时, 机器人
的运动时间最短, 从而最优控制律可以表示为
= 0.
(18)
2.3
因为满足速度、
加速度约束的时间最优控制律
的表现方式与燃料最优控制相同, 故将上述问题½换
为初始条件和末端条件固定的燃料最优控制问题进
行求解.
问 题 描 述 针对机器人运动控制系统
(1),
设计
最优控制律
()
满足边界条件
∣()∣
½
1,
∀ ∈
[
0
,
],
(19)
(10)
其中
=
0
+
total
,
½得机器人运动系统
(1)
从
0
到
时刻, 由初始状态
(
0
) = [
0
,
0
]
T
运动到末端状
最后可以得到机器人运动系统在满足速度、
加速度约
束情况下的最优时间为
total
=
−
1
+
1
−
2
+
2
−
.
态
(
) = [
,
]
T
,
并满足½得以下性½指标
½
最
(11)
小:
½
=
0
由于系统的初始状态、
末端状态、
约束条件各不相同,
3
段时间
−
1
,
1
−
2
和
2
−
均可½为零值. 因此
满足速度、
加速度约束的时间最优控制律
具有以下
几种组合½式:
{1}, {−1}, {0};
{0,
1},
{0, −1}, {1,
0},
{−1,
0},
{1, −1}, {−1,
1};
{1,
0,
−1}, {−1,
0, 1}.
∣()∣
d,
(20)
则该控制律
∗
()
即为机器人运动控制系统
(1)
满足
约束条件
(3)
的时间最优控制律.
令系统状态表示为
= [
1
,
2
]
T
,
根据极小值原
理, 可以构造哈密顿½数
=
∣()∣
+
1
2
() +
2
(),
(21)
(12)
这几种组合½式与燃料最优控制律的½式相同, 因此
本文将机器人的速度、
加速度饱和时间最优控制½换
成为终端时间固定的燃料最优控制.
2.2
最优 时 间 的计 算
为了计算机器人运动的最优时间, 先考虑
Bang-
Bang
控制下的机器人速度是否超出了系统的最大
速度约束. 设
Bang-Bang
控制的最大速度为
,
则
满足
2
2
2
2
−
−
0
+
=
−
0
.
2
2
由此可以获得
Bang-Bang
控制的最大速度为
√
2
2
0
+
.
∣
∣
=
(
−
0
) +
2
求得协态方程为
⎧
⎨
1
() =
1
,
⎩
2
() =
−
1
+
2
.
从而得到最优控制律
⎧
⎨
0,
∣
2
()∣
½
1;
∗
() =
⎩
−sgn {
2
()},
∣
2
()∣
>
1
½得性½指标取最小值
∗
=
(,
½,
∗
) = min
(,
½, ).
∈Ω
(22)
(23)
(24)
其中:
Ω
为满足系统初始状态和末端状态的控制律
(13)
集合,
为系统状态矢量,
½
为协态变量矢量. ½控制
律
()
分别等于
−1,
0, 1
时的系统相½迹如图
2
所示.
机器人速度、
加速度饱和下的时间最优控制可
(14)
以通过以上
3
种相½迹或其组合完成, 组合½式如
式
(12)
所示. 比较典型的速度、
加速度饱和时间最优
控制相½迹曲线如图
1(b)
所示, 系统先加速到最大速
度, 再保持匀速运动, 最后减速到目标状态.
1)
½
∣
∣
½
max
时, 最优控制的时间与
Bang-
Bang
控制相同, 可以表示为
第
1
期
v
熊 蓉 等: 移动机器人速度加速度饱和约束下的时间最优控制
v
v
121
示) 可知, 运动结果产生的原因是状态的饱和½得机
器人对过高的速度无法跟踪.
第
2
部分采用不考虑加速度约束而仅考虑速
0
x
0
x
0
x
度约束的时间最优控制方法. 机器人的初末状态与
第
1
部分实验给定的相同, 同时给定机器人的最大速
度约束为
2.5 m/s,
最大加速度给定为远超机器人½
(a)
u
=
-
1
(b)
u
= 0
( c)
u
=1
力的
6.5 m/s
2
.
由此得到的机器人运动½迹如图
4(a)
所示, 实际的½½与目标½½也有较大出入. 而从
图
4(b)
的速度曲线可以看出, 此时在加减速阶段就已
经出现了实际速度无法快速地跟踪目标速度, 原因即
是加速度的过饱和½用.
4
Ref
图
2
不同控制率下的系统相½迹
3
实验分析
为验证本文方法的有效性, 在
RoboCup
小型足
球机器人平台上进行测试, 该平台是针对
RoboCup
机
器人足球赛小型组特别研制的. 比赛具有高实时性
和对抗性, 机器人的运动也讲究时间最优性和一致
性. 平台中机器人采用
4
½全方½移动方式, 控制周
期为
60 Hz,
由场外固定视觉定½, 定½精度为
1 cm.
实验过程中先在连续空间计算机器人的控制量; 然后
将运算结果以
60 Hz
离散化得到机器人的实际控制指
令; 最后通过无线通讯发送给机器人.
distance/m
Real
2
0
0
1
(a)
2
t
/s
velocity/(m/s)
实验分为
3
个部分, 第
1
部分采用不考虑速度约
束而仅考虑加速度约束的时间最优控制方法. 给定机
器人的初始½½为
0 m,
速度为
0 m/s,
再设定机器人
的目标½½为
4 m,
目标速度为
0 m/s,
给定机器人的
最大加速度约束为
3.5 m/s
2
.
由此得到的机器人运动
½迹如图
3(a)
所示, 其中实线表示控制算法给出的目
标½½, 虚线表示根据摄像机获取的机器人的实际½
½. 通过对比可以发现, 实际机器人的运动无法跟踪
机器人的目标½½, 产生了较大的偏差, 机器人的最
终½½没有到达
4 m,
与目标值有较大的出入. 根据
对机器人在图像上½½信息的求导可以得到机器人
的实际运动速度, 由它和参考速度的比较
(图 3(b)
所
4
Ref
Real
4
2
Ref
Real
0
0
1
t
/s
(b)
2
图
4
不考虑机器人加速度约束的时间最优控制运动曲线
第
3
部分采用本文所提出的速度加速度饱和时
间最优控制, 机器人的初末状态与前两部分实验给定
的相同, 另外加入了
2.5 m/s
的速度饱和限制, 加速度
的饱和限制为
3.5 m/s
2
,
运动结果如图
5(a)
所示. 其中
4
distance/m
2
distance/m
Ref
Real
2
0
0
(a)
1
t
/s
2
0
0
1
t
/s
(a)
2
velocity/(m/s)
6
velocity/(m/s)
4
2
0
Ref
Real
4
2
Ref
Real
0
1
(b)
t
/s
2
0
0
1
(b)
t
/s
2
图
3
不考虑机器人速度约束的时间最优控制运动曲线
图
5
考虑机器人速度约束的时间最优控制运动曲线
122
控
制
与
决
策
第
29
卷
实线为机器人的目标½½曲线, 虚线为由摄像机获得
的机器人的实际½½. 可以看出, 机器人的实际运动
½够较½地符合机器人的目标曲线, 且最终½够到
达
4 m
这个末端½½. 从图
5(b)
也可看出, 此时机器人
的速度曲线也较½地跟踪了参考速度. 因此, 考虑机
器人速度、
加速度约束的时间最优控制方法½够更½
地反映机器人的物理特性, 提高机器人的执行效果.
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4
结
论
本文针对机器人常见的速度约束和加速度约束,
提出了机器人系统的速度、
加速度饱和时间最优控
制. 该方法通过分析系统的相½迹图, 证明了满足速
度、
加速度约束的时间最优控制律, 即末端时间为最
优时间的燃料最优控制律, 提出了最优时间的求解方
法, 给出了最优控制律的表现½式. 该控制方法可以
从任意非零初始状态生成一条时间最优½迹运动到
任意非零末端状态, 并且满足机器人的速度、
加速度
约束. 因此该方法可以用于机器人的实时½迹生成,
即机器人在运动过程中可以随时改变设定目标状态,
实现机器人的平滑运动.
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2007(10): 50-53.
(责任编辑：孙艺红)
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