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kalman滤波

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kalman

kalman滤波yuanlijiyingyong

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cid1467 4 cid4451 cid2357cid1594cid2723cid269Kalmancid270cid2674cid1135 cid2357cid1594cid2723cid2674cid1135cid1445cid3505cid3928cid3422cid988cid1518cid3583cid3874cid3684cid1110cid3413cid1262cid4625cid3583cid2402cid2135cid3993cid3412cid273cid3422cid4162cid4565cid2549 cid4035cid4009cid4510cid3874cid3684cid1445cid3916cid3999cid3687cid4245cid3544cid1605cid98 cid1791cid2879 1cid270 cid2549cid4035cid4009cid4510cid3874cid3684cid1445cid3916cid3999cid3687cid4245cid3544cid1605cid98 2cid270 cid4264cid......

第
4
章
卡尔曼（Kalman）滤波
卡尔曼滤波的思想是把动态系统表示成状态空间½式，
是一种连
续修正系统的线性投½算法。
功½
1）
2）
连续修正系统的线性投½算法。
用于计算高斯
ARMA
过程的精确有限样本预测和精确的
似然½数。
3）
4）
分解矩阵自协方差生成½数或谱密度。
估计系数随时间变化的向量自回½。
第一节
一．假设条件
令
y
t
表示时期
t
观察到变量的一个
(
n
×
1
)
向量。则
y
t
的动态可以用
不可观测的
(
r
×
1
)
向量
ξ
t
来表示，
ξ
t
为状态向量。
y
t
的动态系统可以表
示为如下的状态空间模型：
ξ
t
+
1
=
F
ξ
t
+
v
t
+
1
y
t
=
A
′
x
t
+
H
′
ξ
t
+
w
t
动态系统的状态空间表示
（1）
（2）
其中
F, A
′
, H
′
分别为
(
r
×
r
)
，
(
n
×
k
)
和
(
n
×
r
)
矩阵，
x
t
是外生变量或前定
变量的
(
k
×
1
)
向量。方程（1）称为状态方程，方程（2）称为观察方
程。其中
(
r
×
1
)
向量
v
t
和
(
n
×
1
)
向量
w
t
为向量½噪声：
⎧
Q
E
(
v
t
v
τ
′
)
= ⎨
⎩
0
⎧
R
E
(
w
t
w
τ
′
)
= ⎨
⎩
0
t
=
τ
t
≠
τ
t
=
τ
t
≠
τ
（3）
其中
Q
,
R
为
(
r
×
r
)
,
(
n
×
n
)
矩阵。假定扰动项
v
t
和
w
t
在所有阶滞后½不相
关：
E
(
v
t
w
t
′
)
=
0
对所有的
t
和
τ
（4）
x
t
为前定或外生变量，意味着对
s
=
0,1, 2,....,
除包含在
y
t
−
1
,
y
t
−
2
,...,
y
1
之内
的信息外，
x
t
不再½提供关于
ξ
t
+
s
以及
w
t
+
s
的任½信息。
x
t
可½包含
y
即
的滞后值或所有与
τ
、
ξ
τ
和
w
τ
不相关变量。
状态空间系统描述有限观察值序列
{
y
1
,...,
y
T
}
，需要知道状态向量
，
的初始值
ξ
1
，根据状态方程（1）
ξ
t
可写½
(
ξ
1
,
v
2
,
v
3
,...,
v
t
)
的线性½数：
ξ
t
=
v
t
+
Fv
t
−
1
+
F
2
v
t
−
2
+
....
+
F
t
−
2
v
2
+
F
t
−
1
ξ
1
t
=
2,3,...,
T
（5）
这里假定
ξ
1
与
v
t
和
w
t
的任½实现½不相关：
( )
E
(
w
ξ
′
)
=
0
t
1
E v
t
ξ
1
′ =
0
τ
=
1, 2,...,
T
τ
=
1, 2,...,
T
（6）
根据（3）和（6）
，得
v
t
和
ξ
的滞后值不相关：
E
(
v
t
ξ
τ
′
)
=
0
E
(
w
t
ξ
τ
′
)
=
0
τ
=
t
−
1,
t
−
2,...,1
τ
=
1, 2,...,T
（7）
（8）
（9）
（10）
E
(
w
t
y
τ
′
)
=
E
(
w
t
(
A
′
x
τ
+
H
′
ξ
τ
+
w
τ
)
)
=
0
E
(
v
t
y
τ
′
)
=
0
τ
=
t
−
1,
t
−
2,...,1
τ
=
t
−
1,
t
−
2,...,1
二．状态空间系统的例子
例
1
AR
(
p
)
过程，
y
t
+
1
−
µ
=
φ
1
(
y
t
−
µ
)
+
φ
2
(
y
t
−
1
−
µ
)
+
...
+
φ
p
(
y
t
−
p
+
1
−
µ
)
+
ε
t
+
1
⎧
σ
2
E
(
ε
t
ε
τ
)
= ⎨
⎩
0
t
=
τ
t
≠
τ
（11）
（12）
可以写½状态空间½式。状态方程
(
r
=
p
)
：
⎡
φ φ
⎡
y
t
+
1
−
µ
⎤ ⎢
1 2
⎢
y
−
µ
⎥ ⎢
1 0
⎢
t
⎥ = ⎢
0 1
⎢
⎥ ⎢
⎢
⎥ ⎢
⎢
y
t
−
p
+
2
−
µ
⎥ ⎢
⎣
⎦
⎣
0 0
φ
p
−
1
φ
p
⎤
0
0
1
⎥ ⎡
y
t
−
µ
⎤ ⎡
ε
t
+
1
⎤
0
⎥⎢
y
t
−
1
−
µ
⎥ ⎢
0
⎥
⎥+⎢ ⎥
0
⎥⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎥⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎥⎢
y
⎢
t
−
p
+
1
−
µ
⎥ ⎣
0
⎦
⎦
0
⎥⎣
⎦
（13）
观察方程
(
n
=
1
)
：
⎡
y
t
−
µ
⎤
⎢
y
−
µ
⎥
t
−
1
⎥
0
]
⎢
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
y
t
−
p
+
1
−
µ
⎥
⎣
⎦
y
t
=
µ
+
[
1 0
（14）
此时，
⎡
y
t
−
µ
⎤
⎢
y
−
µ
⎥
t
−
1
⎥
ξ
t
= ⎢
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
y
t
−
p
+
1
−
µ
⎥
⎣
⎦
⎡
φ
1
φ
2
⎢
1 0
⎢
F
= ⎢
0 1
⎢
⎢
⎢
0 0
⎣
⎡
σ
2
⎢
0
Q
=⎢
⎢
⎢
⎢
0
⎣
A
′ =
µ
0
]
w
t
=
0
0
0
0
φ
p
−
1
φ
p
⎤
0
0
1
0
⎥
⎥
0
⎥
⎥
⎥
0
⎥
⎦
⎡
ε
t
+
1
⎤
⎢
0
⎥
v
t
+
1
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣
0
⎦
y
t
=
y
t
0
⎤
⎥
0
⎥
⎥
⎥
0
⎥
⎦
H
′ =
[
1 0
x
t
=
1
R
=
0
这里的状态方程为一阶向量差分方程；
F
为矩阵。观察方程为平凡恒
等式。因此表达式（13）和（14）是
AR
(
p
)
过程（12）的另一种表达
式。利用状态空间表示½够系统的研究其动态性质。
例
2
MA
(
1
)
过程
y
t
=
µ
+
ε
t
+
θε
t
−
1
（15）
写成状态空间½式：
状态方程
(
r
=
2
)
⎡
ε
t
+
1
⎤ ⎡
0 0
⎤ ⎡
ε
t
⎤ ⎡
ε
t
+
1
⎤
⎢
ε
⎥ = ⎢
1 0
⎥ ⎢
ε
⎥ + ⎢
0
⎥
⎦ ⎣
t
−
1
⎦ ⎣ ⎦
⎣
t
⎦ ⎣
（16）
观察方程
(
n
=
1
)
：
⎡
ε
⎤
y
t
=
µ
+
[
1
θ
]
⎢
t
⎥
⎣
ε
t
−
1
⎦
（17）
其中
⎡
ε
t
⎤
ξ
t
= ⎢ ⎥
⎣
ε
t
−
1
⎦
⎡
0 0
⎤
F
=⎢
⎥
⎣
1 0
⎦
⎡
ε
t
+
1
⎤
v
t
+
1
= ⎢ ⎥
⎣
0
⎦
⎡
σ
2
0
⎤
Q
=⎢
⎥
0 0
⎦
⎣
H
′ =
[
1
θ
]
y
t
=
y
t
w
t
=
0
A
′ =
µ
R
=
0
x
t
=
1
或者写成：
状态方程
(
r
=
2
)
⎡
ε
t
+
1
+
θε
t
⎤ ⎡
0 1
⎤ ⎡
ε
t
+
θε
t
−
1
⎤ ⎡
ε
t
+
1
⎤
⎢
θε
⎥ = ⎢
0 0
⎥ ⎢
θε
⎥ + ⎢
θε
⎥
⎦⎣
t
+
1
t
⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
t
+
1
⎦
观察方程
(
n
=
1
)
：
⎡
ε
+
θε
t
−
1
⎤
y
t
=
µ
+
[
1 0
]
⎢
t
⎥
⎣
θε
t
⎦
一个动态系统可以用多种不同的状态空间来表示。
例
3
ARMA
(
p
,
q
)
过程
令
r
=
max
{
p
,
q
+
1
}
，则
y
t
−
µ
=
φ
1
(
y
t
−
1
−
µ
)
+
φ
2
(
y
t
−
2
−
µ
)
+
...
+
φ
r
(
y
t
−
r
−
µ
)
+
ε
t
+
θ
1
ε
t
−
1
+
θ
2
ε
t
−
2
+
....
+
θ
r
−
1
ε
t
−
r
+
1
（18）
且½
r
>
q
时，
θ
r
=
0
则状态方程
(
r
=
max
{
p
,
q
+
1
}
)
这里½
r
>
p
时，
φ
j
=
0
；
为：
⎡
φ
1
φ
2
⎢
1 0
⎢
ε
t
+
1
= ⎢
0 1
⎢
⎢
⎢
0 0
⎣
φ
r
−
1
φ
r
⎤
0
0
1
⎡
ε
t
+
1
⎤
0
⎥
⎢
0
⎥
⎥
0
⎥
ξ
t
+ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎥
⎢ ⎥
⎥
⎣
0
⎦
0
⎥
⎦
（19）
观察方程
(
n
=
1
)
为：
y
t
=
µ
+
[
1
θ
1
θ
2
θ
r
−
1
]
ξ
t
（20）
证明：
令
ξ
jt
表示
ξ
t
的第
j
个元素。利用状态方程，得
ξ
2
(
t
+
1
)
=
ξ
1
t
ξ
3
(
t
+
1
)
=
ξ
2
t
=
ξ
1
(
t
−
1
)
ξ
j
(
t
+
1
)
=
L
j
−
1
ξ
1
(
t
+
1
)
根据状态方程第一行，
ξ
1
(
t
+
1
)
=
(
φ
1
+
φ
2
L
+
φ
3
L
2
+
....
+
φ
r
L
r
−
1
)
ξ
1
t
+
ε
t
+
1
（21）
或者写成：
(
1
−
φ
−
φ
L
−
φ
L
1
2
3
2
−
....
−
φ
r
L
r
)
ξ
1
(
t
+
1
)
=
ε
t
+
1
（22）
观察方程表明
y
t
=
µ
+
(
1
+
θ
1
L
+
θ
2
L
2
+
...
+
θ
r
−
1
L
r
−
1
)
ξ
1
t
（23）
，得到：
两侧同时乘以
(
1
−
φ
1
−
φ
2
L
−
φ
3
L
2
−
....
−
φ
r
L
r
)
，并且根据（22）
(
1
−
φ
−
φ
L
−
φ
L
1
2
3
2
−
....
−
φ
r
L
r
)
(
y
t
−
µ
)
=
(
1
+
θ
1
L
+
θ
2
L
2
+
...
+
θ
r
−
1
L
r
−
1
)
ε
t
这正是方程（18）
。
第二节
一．综述
卡尔曼滤波的推导
对于状态空间系统，可以记为
ξ
t
+
1
=
F
ξ
t
+
v
t
+
1
(
r
×
1
)
(
r
×
r
) (
r
×
1
)
(
r
×
1
)
（24）
（25）
(
n
×
1
)
y
t
=
A
′
x
t
+
H
′
ξ
t
+
w
t
(
n
×
k
) (
k
×
1
)
(
n
×
r
) (
r
×
1
)
(
n
×
1
)
⎧
Q
⎪
E
(
v
t
v
τ
′
)
= ⎨
(
r
×
r
)
⎪
⎩
0
⎧
R
⎪
E
(
w
t
w
τ
′
)
= ⎨
(
n
×
n
)
⎪
0
⎩
t
=
τ
t
≠
τ
t
=
τ
t
≠
τ
（26）
假设已经观测到
y
1
,
y
2
,....,
y
T
,
x
1
,
x
2
,...,
x
T
，
并且假定
F
,
Q
,
A
,
H
,
R
½已经确定
了。下面就利用卡尔曼滤波方法进行预测。
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