BUCK
电路的环路计算，补偿和仿真
Xia Jun
2010-8-14
本示例从简单的
BUCK
电路入手，详细说明了如½进行电源环路的计算和补偿，并通
过
saber
仿真验证环路补偿的合理性。
一直以来，环路的计算和补偿½是开关电源领域的“难点”
，很多做开关电源研发的工
程师要么对环路一无所知，要么是朦朦胧胧，在产品的开发过程中，通过简单的调试来确定
环路补偿参数。
而这种在实验室里调试出来的参数真的½满足各种实际的½用情况吗？½保
证电源产品在高½温的情况下，
在各种负½½条件下，
环路½½够稳定吗？½保证在负½½跳变
的情况下收敛吗？
太多的未知数，这是产品开发的大忌。我们必须明明½½的知道，环路的稳定性如½？
相½裕量是多少？增益裕量是多少？高½温情况下这些值又会如½变化？在一些对动态要
求非常严格的场合，我们如½折中考虑环路稳定性和动态响应之间的关系？
有的放矢，通过明确的计算和仿真，我们的产品设计才是科学的，合理的，可靠的。
我们的目标是让产品经得起市场的检验，让客户满意，让自己放心。
一切从闭环系统的稳定性说起，在自动控制理论中，根据乃奎斯特环路稳定性判据，
如果负反馈系统在穿越频率点的相移为
180°，那么整个闭环系统是不稳定的。
很多人可½对这句话很难理解，½然自动控制理论几乎是所有大学工科学生的必修课，
可大部分是是抱着应付的态度的，学完就忘了。
那就再给大家讲解一下吧。
等式：Vout=[Vin-Vout*H(S)]*G(S)
Vout
公式：
Vin
G ( S)
1
+
G ( S)
⋅
H ( S)
G(S)/(1+G(S)*H(S))就称之为系统的闭环传递½数，如果 1+G(S)*H(S)=0，那么闭环系
统的输出值将会无限大，此时闭环系统是不收敛的，也即是不稳定的。
G(S)*H(S)是系统的开环传递½数，½ G(S)*H(S)=-1
时，以
S=jω
带入，即获得开环系
统的频域响应为
G(jω)*H(jω)=-1，此时频率响应的增益和相角分别为：
gain=‖-1‖=1
angle=tan
-1
(0/-1)=180°
从上面的分析可以看出，如果扰动信号经过
G(S)和 H(S)后，模不变，相½改变 180°，
那么这个闭环系统就是不稳定的。
½是，别忘了，这是负反馈系统，信号经过
H(S)之后，本身就有 180°的相移，所以，
针对负反馈的闭环系统而言，其描述为：如果扰动信号经过系统主电路和反馈系统之后，其
模不变，相½也不变，那么这个系统是不稳定的。为什么相½也不变？因为
G(S)*H(S)造成
的
180°相移和负反馈本身造成的 180°相移，两者叠加之后是 360°，所以等于相½不变。
什么是穿越频率？
G(S)*H(S)对应的增益为 1（即幅值不变）的频率即为穿越频率。换算为 dB
单½：
20log1=0dB。
理论上来说，在穿越频率点上，只要相移不是
180°，那么系统就是稳定的。½是由于
模拟系统的离散性（即所有器件的特性½不是固定不变的，随时间和温度在不断的变化）
，
如果相移很接近
180°，这时闭环系统是条件稳定的，即有可½进入不稳定状态。所以为了
避免这种情况，要求在穿越频率点上，开环传递½数
G(S)*H(S)的相移应该与 180°保持足够
的裕量。这个裕量选取多少比较合适呢？目前在工程应用上通常选取
45°，即要求传递½数
G(S)*H(S)的相移应该小于 135°，这是兼顾考虑环路稳定性和动态响应速度的折中值，理论
上来说裕量越大越½，½过大的相½裕量会导致动态响应变慢（过阻尼特性）
。
为了保证足够的相½裕量，
我们希望开环传递½数的增益曲线以-1 的斜率穿越
0dB
线。
如果开环传递½数的增益曲线在穿越频率点的斜率为-2，
那么意味着有接近
180°的相移，
这
将导致相½裕量明显不足，而如果斜率为-1，那么通常意味着相½有
45°以上的裕量。
增益曲线的斜率是如½来的？主电路或反馈补偿电路中，每产生一个极点，开环传递
½数的增益曲线斜率在该极点的½折频率点上就会增加-1，相反的，每产生一个零点，开环
传递½数的增益曲线斜率在该零点的½折频率点上就会增加+1。
不同斜率下的相½裕量如下图所示：
从上图可以看出，如果开环传递½数以-2 的斜率穿越
0dB
线，那么相移接近
180°，如
果以-1 的斜率穿越
0dB
线，那么相移接近
90°。
从上图也可以看出，如果两者的穿越频率(fc)相同，那么在
0Hz
频率点上，-2 斜率下降
的开环传递½数的增益远远大于-1 斜率下降的开环传递½数，这有什么意义呢？这就是静
态增益，决定了输出值与给定值之间的静态误差。假如给定值是
10V,希望输出也是 10V，
以-1 斜率下降的开环传递½数的静态增益是
20dB，以-2
斜率下降的开环传递½数的静态增
益是
40dB，两者的输出静态误差分别为：10V*（1/10）=1V，10V*（1/100）=0.1V，可见
静态误差相差是多么巨大！所以，我们期望静态增益越大越½。
除此之外，开环传递½数的斜率还对动态响应有巨大½响。假如穿越频率
fc
依然相同，
一个开环传递½数的斜率为-1，另外一个为-2，负½½从
90%突然跳变到 10%，那么此时的输
出电压必然会从一个稳态值变化到另外一个稳态值，
这中间的暂态过程称之为动态响应。
对
动态响应½响最大的是穿越频率
fc，我们希望 fc
越大越½，½然为了避免开关频率对控制
环路的½响，fc 必须远小于开关频率，一般取
fc
小于
1/6
的开关频率，一般的开关电源对
于动态响应要求并不十分苛刻，通常
fc
½小于开关频率的
1/10。那么开环传递½数的斜率
对于动态响应有什么½响呢？
如下图所示：
从上图我们看到，开环传递½数斜率为-2 的情况下，输出电压呈现明显的欠阻尼振荡，
输出电压快速达到下一个稳态值并过冲，随后围绕稳态值阻尼振荡。开环传递½数斜率为-1
的情况下，输出电压呈现明显的过阻尼特性，从一个稳态值缓慢的变化到下一个稳态值。
过阻尼的缓慢变化和欠阻尼的多次振荡½不是我们想要的情况，我们希望动态发生时，
输出½够快速变化到稳定值，同时又不会产生反复的震荡。
那么我们可以结合上面的两种情况，对开环传递½数的斜率做出适½的变化，以达到
较快的动态响应速度。如下图所示：
从上图可以看出，在(1/2)fc 频率处，开环传递½数的斜率由-2 变成-1，可以达到较快的
动态响应，由于传递½数以-1 的效率穿越
0dB
线，也可以获得足够的相½裕量。同时由于
从
0Hz~(1/2)fc
之间，开环传递½数以-2 斜率衰减，可以获得很高的静态增益，从而½得静
态误差非常的小。
在这里需要说明的是，考核相½裕量，只需在穿越频率点的相½裕量足够就可以了，在
fc
之前的相½裕量不必严格满足裕量要求。
通过上面的分析，我们已经对环路稳定性，相½裕量，动态响应有了初步的了解，下面
我们就要进入实例，来初步理解如½进行环路补偿的计算和仿真。
还是从最简单的拓扑——buck 电路入手吧。
CCM
情况下控制（占空比
d）到输出（电压 Vo）的小信号传递½数：
这个公式是怎么来的？
大多数的教材上½有推导过程，
我们不需要知道如½去推导主电路的传递½数，
这些已经被
研究的很透½了，我们只需要拿过来用就可以了。在此推荐一下张兴柱博士的公司½站：
WWW.hzpgkj.com，张老师已经把常用拓扑的传递½数½推导出来并放在½站上面了。
下面开始计算，mathcad，不会用的请举手，同志们，时代在进步，要跟上½流啊！
做简单的设定，输入
Vg=20V，占空比 0.5，输出 10V，负½½电阻 1Ω，其他设定如下：
这是一个典型的½通滤波器，½频时增益保持不变，在
LC
产生的双极点处（频率为
1.16kHz）
，增益曲线以-2 的斜率衰减，在电解电容的
ESR
产生的零点处（频率为
4.5kHz）
，
增益曲线的斜率由-2 变成-1。那么相½的变化情况如½呢？
看起来还不错，电容
ESR
引起的零点部分抵消了
LC
双极点导致的相移，½得在穿越频率
点上还保持足够的相½裕量：
从上面的计算中，可以获得主电路传递½数
G(S)的穿越频率为 7.2kHz，相½裕量为 62.4°。
看来我们不需要做补偿啊，穿越频率够大，在穿越频率点上传递½数增益曲线的斜率为-1，
相½裕量也大于
45°，
只要让
H(S)=1
就可以保证开环传递½数
G(S)*H(S)获得足够的相½裕
量。可是，静态增益实在太½了，只有
26dB，我们要消除静态误差，就必须½得增益曲线
从
0Hz
开始就以-1 或-2 的斜率下降，补偿是不可避免的。
下面就几种典型的补偿方式做一下介绍：
1.
单极点补偿
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