不动点理论及应用

Copyright  ©  2006  Philip  R.  Heath  et  al.  This  is  an  open  access  article  distributed  under the  Creative  Commons  Attribution  License,  which  permits  unrestricted  use,  distribution, and  reproduction  in  any  medium,  provided  the  original  work  is  properly  cited. The  International  Conference  on  Nielsen  Theory  and  Related  Topics  took  place  from June  28  through  July  2,  2004  at  Memorial  University,  St.  John’s,  Newfoundland,  Canada. This  was  the  13th  such  conference  in  a  series  that  began  in  1977  with  a  conference  in Oberwolfach,  Germany. Nielsen  theory  is  named  after  Jakob  Nielsen  who,  in  the  1920s,  turned  the  focus  of fixed  point  theory  fromthe  existence  of  fixed  points  (as,  e.g.,  in  the  famous  Lefschetz  fixed point  theorem)  to  the  problem  of  estimating  the  actual  number  of  such  points  within  the homotopy  class  of  a  given  map.  He  did  this  by  introducing  what  is  now  called  the  Nielsen number  of  a  self  map,  a  homotopy  invariant  lower  bound  for  the  number  of  fixed  points of  the  map.  After  important  initial  contributions  by  Reidemeister  andWecken,  there  was little  activity  in  Nielsen  theory  until  the  1960s  when  a  breakthrough  by  Boju  Jiang  allowed for  easy  calculations  of  the  Nielsen  number  for  maps  on  Lie  groups  and  some  other  interesting kinds  of  spaces.  It  was  these  and  other  important  examples  that  would  guide the  direction  of  research.  As  the  present  collection  of  papers  illustrates,  the  frontiers  of the  subject  now  involve  an  impressive  variety  and  interplay  of  algebraic  and  geometric techniques,  on  a  wide  class  of  spaces.  Consequently,  there  continue  to  be  an  increasing number  of  interesting  areas  for  future  investigations,  both  in  the  areas  of  computation and  the  development  of  new  invariants. As  research  in  Nielsen  theory  progressed,  its  concern  with  fixed  points  expanded,  on the  one  hand,  into  related  issues  such  as  coincidences,  periodic  points,  and  roots  and,  on the  other,  into  various  refinements  for  restricted  classes  of  maps  and  homotopies  such  as those  that  occur  in  the  fiber  space,  relative  and  equivariant  contexts.  Just  about  all  of  these aspects  of  Nielsen  theory  were  represented  by  the  talks  in  Newfoundland.  The  conferencewas  attended  by  36  people  from14  different  countries  and  five  of  the  six  inhabitable  continents; this  comprises  almost  all  mathematicians  who  are  currently  active  in  research  in Nielsen  theory.  The  participants  displayed  a  range  of  experience  ranging  from  graduate students  to  people  who  had  attended  the  previous  Canadian  Nielsen  theory  conference, in  Sherbrooke,  Quebec,  in  1980.  The  group  also  included  a  number  of  experienced  mathematical researchers  who  are  new  to  Nielsen  theory.  Their  varied  expertise  is  providing important  new  directions  for  research  in  our  subject. The  major  financial  support  for  the  conference  was  furnished  by  Canada’s  Atlantic  Association for  Research  in  theMathematical  Sciences  (AARMS)  which,  in  turn,  is  partially funded  by  Memorial  University  of  Newfoundland  (MUN).  We  are  profoundly  grateful for  the  generous  support  from  AARMS.  Substantial  funding  for  the  attendance  of  participants from  developing  countries  came  from  the  Commission  on  Development  and Exchanges  (CDE)  of  the  International  Mathematical  Union  (IMU).  We  thank  Prof.  Herbert Clemens,  Secretary  of  the  CDE,  and  also  the  Executive  Committee  of  the  IMU  which modified  its  rules  in  order  to  support  these  mathematicians  at  a  conference  not  held  in a  developing  country.  Special  thanks  are  due  to  the  secretaries  of  the  MUN  Mathematics Department,  in  particular  to  Wanda  Heath  and  Ros  English,  for  their  outstanding  help in  organizing  the  conference. We  are  also  grateful  to  Prof.  Ravi  Agarwal  and  the  publishers  of  the  journal  “Fixed Point  Theory  and  Applications”  for  the  opportunity  to  celebrate  the  occasion  of  the  Newfoundland conference  by  publishing  the  collection  of  research  papers  in  Nielsen  theory that  occupy  this  issue.