小型指南
MT-210
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www.analog.com
30
Q = 20
½者：Hank
Zumbahlen，
Analog Devices, Inc.
滤波器中的F
0
和Q
MAGNITUDE (dB)
20
10
0
–10
–20
–30
–40
–50
0.1
Q = 0.1
引言
本小型指南将介绍滤波器的截止频率(F
0
) .和品质
因素(Q)，这是系统介绍集成运算放大器的分立式
电路的系列小型指南之一。
滤波器的F
0
定义为该滤波器的截止频率。一般地，这是指
幅度响应比通带½3
dB时的频率。对于切比雪夫滤波器，
有时可以定义为幅度响应降至通带以外时的频率。例如，
一个0.1
dB切比雪夫滤波器的F
0
可以定义为响应下降>
0.1 dB
时的频率。
如果考察的是实际频率与截止频率之比，而不是实际频率
本身，则衰减曲线的½状(以及相½和延迟曲线，它们定
义着滤波器的时域响应)将是相同的。将滤波器½一化至
1 rad/s，则可开发出一种简单的滤波器设计和比较系统。
在此基础上，用截止频率对滤波器进行缩放，以确定实际
滤波器的元件值。
Q定义为滤波器的品质因素。有时也表示为α，其中：
1
α
=
Q
这通常称为阻尼比。请注意，有时½用ξ，其中：
1
FREQUENCY (Hz)
10
图1. ½通滤波器峰值化与Q的关系
用ω
o
和Q改写传递½数H(s)：
H
(
s
)
=
s
2
+
ω
0
Q
H
0
s
+
ω
0
2
10415-001
(3)
其中，H
0
为通带增益且ω
o
= 2π F
0
。
现在，我们将用该½通原型来设计滤波器。
高通滤波器
把½通原型的传递公式H(s)的分子改为H
0
s
2
，结果将½½
通滤波器变成高通滤波器。该高通滤波器的响应在½状上
(1)
与½通滤波器相似，只是频率反相而已。
高通滤波器的传递½数为：
ξ
=
2
α
(2)
H
(
s
)
=
s
2
若Q
> 0.707，则滤波器响应中会有些峰值化现象。若Q <
0.707，F
0
处的滚降会稍大；斜率将更平坦些，滚降发生的
时间将提前。对于2极点½通滤波器的峰值化量与Q的关
系如图1所示。
+
ω
0
Q
H
0
s
2
s
+
ω
0
2
(4)
2极点高通滤波器的响应如图2所示。
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MT-210
30
Q = 20
20
10
0
–10
–20
–30
10415-002
10
0
–10
Q = 0.1
MAGNITUDE (dB)
MAGNITUDE (dB)
–20
–30
–40
Q = 100
–50
10415-003
Q = 0.1
–40
–50
0.1
–60
–70
0.1
1
FREQUENCY (Hz)
10
1
FREQUENCY (Hz)
10
图2. 高通滤波器峰值化与Q的关系
图3. 带通滤波器峰值化与Q的关系
带通滤波器
把½通原型的分子改为H
o
ω
o2
，结果将把滤波器变成一个
带通½数。
带通滤波器的传递½数为：
这里需要提醒一下。带通滤波器有两种定义方式。窄带情
况为经典定义，如图3所示。
然而，在某些情况下，如果高、½截止频率相差很大，则
带通滤波器采用独立的高通和½通部分进行构造。这里所
(5)
H
(
s
)
=
s
H
0
ω
0
s
2
2
说的相差很大是说至少相差2个倍频程(频率×4)。这是½
用½带的情况。
+
ω
0
Q
s
+
ω
0
2
其中：ω为滤波器增益峰值化时的频率(F
0
= 2 π ω
0
)。
H
0
为电路增益，定义为：
H
0
= H/Q.
(6)
带阻(陷波)滤波器
把分子改为s
2
+ ω
z2
，就可以将滤波器½换成一种带阻或陷
波滤波器。就如带通滤波器一样，如果带阻滤波器的½折
频率之间间隔大于一个倍频程(½带情况)，则可用单独的
½通和高通部分构造。因此，我们将采用以下规范：窄带
带阻滤波器将称为陷波滤波器，½带带阻滤波器称为带阻
滤波器。
(7)
对带通响应来说，Q有特殊意义。它是滤波器的选择性。
定义为：
F
0
Q
=
F
H
−
F
L
陷波(或带阻)传递½数为：
H
(
s
)
=
H
0
(
s
2
+
ω
z
2
)
s
2
其中，F
L
和F
H
响应比最大值相差–3
dB时的频率。
滤波器的带½(BW)定义为
BW = F
H
− F
L
(8)
+
ω
0
Q
s
+
ω
0
2
(9)
请注意，可以证明，谐振频率(F
0
)为F
L
和F
H
的几½平均
值，这就意味着，F
0
在对数尺度上将出现在F
L
和F
H
二者的
中点。
陷波滤波器的特性有三种情况，如图4所示。极点频率ω
0
与零点频率ω
z
的关系决定着滤波器是标准陷波、½通陷
波，还是高通陷波。
F
0
=
F
H
F
L
另需注意的是，在对数尺度上，带通响应的波裙在F
0
左右
始终是对称的。
带通滤波器对各种Q值的响应如图3所示。
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MT-210
LOW-PASS NOTCH
陷波½度随Q的变化情况如图5所示。
5
0
Q = 20
AMPLITUDE (dB)
STANDARD NOTCH
–5
–10
Q = 0.1
HIGH-PASS NOTCH
MAGNITUDE (dB)
10415-004
–15
–20
–25
–30
–35
–40
–45
–50
0.1
1
FREQUENCY (Hz)
图4. 标准、½通和高通陷波
10
如果零点频率等于极点频率，则存在标准陷波。在此例
中，零½于jω平面，其中，定义极点频率的曲线与½相
交。
½零点频率大于极点频率时，会发生½通陷波。这种情况
下，ω
z
½于极点频率曲线之外。对实际应用来说，这意味
着，滤波器在ω
z
以下的响应将大于ω
z
以上的响应。结果½
成一种椭圆½的½通滤波器。
½零点频率小于极点频率时，会产生高通陷波滤波器。这
种情况下，ω
z
½于极点频率曲线之内。对实际应用来说，
这意味着，滤波器在ω
z
以下的响应将小于ω
z
以上的响应。
结果½成一种椭圆½的高通滤波器。
图5. 陷波滤波器½度与各种Q值下的频率之间的关系
参考文献
Zumbahlen, Hank.
Linear Circuit Design Handbook.
Elsevier.
2008. ISBN: 978-7506-8703-4.
修订历史
2012年1月—修订版0：初始版
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registered trademarks are the property of their respective owners.
MT10415sc-0-1/12(0)
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10415-005
0.1
0.3
1.0
FREQUENCY (kHz)
3.0
10.0
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