第８ 第 ½ 期
卷
１
２ ０ 年 Ｉ 月
０９
１
½ 件 导 刊
Ｓ ½½½ ½Ｇ½½½
½½ ½
½
Ｖ½１ ． ½
． ＮＯ １
８
ＮＯＶ ２ ½
．½９
卡尔曼滤波 的基本原理及应用
½ 丁 聪
（
中½地质 大 学 研 究 生院 ，
湖北 武汉 ４ ０ ７ ）
３ ０ ４
摘 要 ： 尔曼滤波在 信号 处理 与 系统控制 领域 应用 广泛 ，
卡
目前 ，
正越 来越 广 泛地应 用 于计 算机 应 用的各 个领域 。为
了更½ 地理 解卡 尔曼滤波 的原理 与进行 滤 波算 法的设计 工½ ，
主要从 两方 面对卡 尔曼滤 波进 行 阐述 ： 本 卡 尔曼滤
基
波 系统模 型 、 波模 型的建 立 以及非 线性卡 尔曼滤波 的线性 化 。最后 ，
滤
对卡 尔曼滤波 的应 用做 了简单介 绍 。
关键词 ： 尔曼滤波 ；
卡
系统 模 型 ； 性 化
线
中图分 类号 ：Ｐ １
Ｔ ３９
文献标识 码 ：
Ａ
文章编 号 ：６ ２ ７ ０ （ ０ ９ １－ ０ ２ ０
１ ７ — ８ ０ ２ ０ ） １０ ３ — ３
来 ， 就是我们今天称之为卡尔曼滤波的方法 。
这
卡尔曼滤波应用广
Ｏ 引 言
１６
９ ０年 ．
卡尔 曼发 表了用递 ½方法 解决 离散数 据线 性滤 波
问题 的 论 文 （ ½ ½ ½½ ½½ Ｌ½ ½ ½½½½ ½ ½½½½ ½
ＡＮ ½Ａ ½½ ½ ½½½ ½ ½ ½ ½½½ ½Ｐ½
½
Ｆ½ ½½ Ｐ
½
泛且 功½强大 ，
它可 以估计信号的过去和½前状态 ，
甚至½估计将
来的状态 ，
即½并不知道模型的确切性质。
本 质 上来 讲 ，
滤波 就是 一个 信号 处 理 与变 换 （
去除 或减 弱
不想要 的成 分 ，
增强所 需成 分 ）
的过 程 ，
这个 过程 既可 以通过 硬
½½ ） 在这篇文章里 ，
½½½。
一种克服 了维纳滤波缺点的新方法被提出
½ ， 动雷 达 的扫 描周 期 为 Ｔ ½ ， 态 噪声 为相 互独 立 的零 均
）被
＝½状
值 的高斯 ½噪声 ，
传感 器对 目标 的测 量误 差 均方差 分别 为 ：
０ ½＝ ０
，－ １ ；运用 本 文介绍 的 伪线 性卡 尔曼 滤波 方法 对上 述运 动
￣
目标 进行 跟踪 。进行 蒙特 卡洛仿 真试 验 。
所得 到 的½ ½滤 波结
果 和 速 度 方 向 上 的均 方 误 差 ， 如 图 ２到 图 ５
见
。
差范 围 内可 以快 速实 现对 空 间 目标定½ 。 伪线性 卡尔 曼滤波
½
算法 存在 稳态 有偏估 计 的问题 ， 有待 于进一 步研究 解决 。
这
参 考文献 ：
［ ½ 郭福 成 ， 仲康 ，
１
孙
安玮．
对运 动辐射 源 的单站 无源伪 线性 定½跟 踪
算 法［ ½宇航 学报 ，０ ２ ５ ．
Ｊ．
２０ （）
［ ½ 程 咏梅 ． 被 动传 感 器 自适 应 协 同跟 踪 算 法研 究 ［ ．
２
主／
Ｄ½西北 工 业
大 学 ．０ １
２０ ．
４ 结 束语
采 用 伪 线 性 卡 尔 曼 滤 波 算 法 ， 参 数 估 计 的 收 敛 速 度 和 收
在
敛 精 度 上 有 明 显 的改 善 ， 很 大 程 度 上 克 服 了 非 线 性 问 题 线 性
在
［ ½ 钟 晓 军 ， ½宏 ， 伪 线性 滤 波在 导弹 纯方 ½跟 踪 中的应 用 ［ ½
３
王
等．
Ｊ．
飞 航 导 弹 ，０ ４ ５ ．
２０ （ ）
化时，
线性 化误差 导致 的不 良结果 。
通过 伪量 测变 量 的引入 ，
对
量测 矩 阵进行 重新构 造 ，½ 得 系统量 测矩 阵是 量测 角 的 ½数 ，
［ ½ ＡＩ Ａ Ｖ．． ½ ½ ½½ ½½ ½ ½ ½½½ － ½½ ½ ½ ½½ ½½½½
４
ＤＡＬ Ｊ ½½ ½ ½½½½ ½½½ ½ ½½ ½ ½½ ½ ½ －
Ｋ½
½
½
½½．
½ ½Ｉ
½
ＥＥＥ ½ ．
Ｔ½½½Ｏ½ ＡＥＳ， ½１ Ｎ½１， ９ ９： ９ ９．
Ｖ０½５， ． １ ７ ２ —３
并 且具有 线性 ½式 。该算 法降½ 了对 模 型精度 的要 求 ， 进 了
改
扩 展卡 尔曼 滤 波 的发 散 问题 ． 有 较½ 的 稳定 性 ， 一 定 的误
具
在
［ ½ 许耀 伟 ，
５
周一 宇 ，
孙仲 康．
引入 测频 信 息对运 动辐 射源进 行无 源被
动 定½ 的研 究［ 】
Ｊ．
电光与控 制 ，９ ８４ ．
１９ （ ）
（
责任编 辑 ：
卓
光）
Ｐ½ ½½½ ½½½ ½ Ｋ ½ ½ ½ ½½ ½ ½ ½ ½ Ｔ½ ½ ½Ｔ½ ½ ½½
½
－ ½ ½ ½ ½ Ｆ½½ ½ ½ Ｐ½ ½½ ½ ½ ½ ½½
Ａ½ ½½ ½ Ｆ ½½ ½ ½½ ½ ½ ½ ½½ Ｐ ½ ½ —½½ ½Ｋ½½½ ½½ ½½½ ½ ½½ ½½ ½ ½ ½½½ ½ ½ ½½ ½½ ½ ½½Ｔ ½ ½½½ ½ ½ ½ ½
½½ ½ ： ½ ½½ ½½½½½½ ½½ ， ½½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½½½½ ½ ½ ½ ½ ½½½½ ½½ ½½½ ½½ ½ ．½½
½
½
½
½
½ ½
½½ ½ ½ ½
½ ½ ½ ½½ ½½ ½ ½½ ½½½½ ½½½½½ ．Ｔ ½ ½½½½½½ ½ ½ ½ ½ ½½½ ½½½ ½ ½ ½ ½ ½ ½½ ½½ ½½ ½ ½½ ½ ½ ½ ½½ ½ ½ ½
½ ½ ½½ ½ ½ ½ ½½ ½½½ ½½ ½½ ½½ ½ ½ ½½ ½½ ½ ½½ ½ ½½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½½½ ½½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½½½
½
½½ ½ ， ½ ½ ½ ½ ½½ ½ ½ ．
½ ½ ½ ½ ½ ½½ ½ ½ ½ ½ ½
½
Ｋ½ ½ ½ ： ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ Ｆ½ ½ Ｂ½ ½½ ½ ½ ½ ； ½½ ½ ½ ½½
½ Ｗ ½ ½ Ｐ ½ ½ －½ ½ Ｋ½½½ ½½ ； ½ ½— ½ ½ Ｔ½ ½ ½ ½½
½½
½
½
Ｔ½
½者 简 介 ：
½丁聪 （９ ３ ） 男 ， 南隆 回人 ，
１８一 ， 湖
中½地 质大 学研 究生 院硕 士研 究 生 ， 究方 向为数 据挖掘 、 ½计算 。
研
智
第 ½ 期
】
½ 丁聪 ：
卡尔 曼滤 波 的基本 原理 及应 用
・３ ・
３
件来 实现 ， 可 以通过 ½件来 实 现 。卡 尔曼 滤波 属于 一种 ½ 件
也
滤波 方法 ， 基本思 想是 ：
其
以最小 均方 误差 为最 ½估 计 准则 ，
采
用信 号与 噪声 的状态 空间模 型 ，
利用 前一 时刻 的估 计值 和 ½前
时刻 的观测 值来 更新 对状 态变 量 的估计 ， 出½前时 刻 的估 计
求
值．
算法 根据 建立 的系统 方程 和 观测方 程对 需要 处理 的信 号做
出满 足最小 均方 误差 的估计 。
后验 估计 误差 的协 方差 矩 阵为 ：
：
Ｅ（ ½ ）
Ｅ
（）
８
式 （） 造 了卡 尔曼 滤 波器 的表 达式 ： 验估 计艾
９构
先
和 加 权
的测 量变 量 及其 预测 日爻 之 差 的线 性组 合构 成 了后 验状 态
估计 ：
Ｘ ＝ ½ Ｋ（ － ½
½Ｘ－ Ｘ－
＋
）
（）
９
１ 离散 线 性 卡 尔 曼滤 波
最 初 的卡尔曼 滤 波算法 被称 为基 本卡 尔曼滤 波算 法 ． 用
适
于解决 随机 线性 离散 系统 的状态 或参 数估 计 问题 。
１ 建 立 系 统 数 学 模 型
．
１
在 实 际 应 用 中 ， 们 可 以 将 物 理 系 统 的 运 行 过 程 看 ½ 是 一
我
式 中测 量 变量 及 其 预 测值 之 差 （ 一 ） 映 了预 测值 和
爻 一反
实际值 之 间的不 一致 程度 ， 为测 量过 程 的残½ 。½ ½ 阶矩阵
称
½
叫 做 残½ 的增 益 ，
½用 是½ （ ．） 中 的后 验 估 计误 差 协 方
１８ 式
差 最小 。 以通 过 以下步 骤求 出 Ｋ： （ ．）
可
将 １ 式代 入 （ ．） 代入
９
１ 式
６
（．） ，
１８ 式 将 对 求 导 ，
½一 阶导 数 为零 ， 以求 出 （
可
具½ 推
个 状态½ 换过 程 。 尔曼滤 波将 状态 空间理 论 引人 到对物 理 系
卡
统 的数学 建模 过程 中来 ， 假设 系统状 态可 以用 ½维 空 间的 一
其
导过 程参 见 文献 ）Ｋ 的一种 ½式 为 ：
，
＝
个 向量 Ｘ∈ “
Ｒ 来表示 。 了描述 方便 ，
为
我们 ½ 以下 假设 ： 物 理
①
Ｐ 日Ｐ
½ （ ½
日
）
（Ｏ
１）
系统的状态½换过程可以描述为一个离散时间的随机过程 ；
②
系统状态受控制输入的½响； 系统状态及观测过程½不可避
③
免受噪声½响；
④对系统状态是非直接可观测的。
在 以 上 假 设 前 提 下 ， 义 系 统 状 态 变 量 为 Ｘ ∈Ｒ 系 统 控
定
，
制 输 入 为 ， 统 过 程 激 励 噪 声 为
系
机 差 分 方 程 为 ：
½
½
＝ＡＸ½
½Ｂ ＋ ½
＋ Ｕ½Ｗ
—
对 卡 尔 曼 增 益 的 确 定 是 建 立 滤 波 模 型 的 关 键 步 骤 之
一
．
它 ½显著 ½ 响模型 的效 率 。
１３ 滤 波 器 模 型 的 建 立
．
卡尔曼 滤波 器包 括两 个 主要过 程 ：
预估 与校 正 。预估 过程
主要 是利 用时 间更新 方 程建 立对 ½前状 态 的先验 估计 ．
及时 向
前推 算 ½前状 态变 量和 误差 协方 差估计 的值 ，
以便 为下 一个 时
间状 态 构造 先 验估 计 值 ； 正 过程 负 责反 馈 ， 用 测量 更 新方
校
利
， 得 出 系 统 的 状 态 随
可
（
１
程 在 预估 过 程 的先 验估 计 值 及 ½前 测量 变 量 的基 础上 建 立起
对 ½ 前 状 态 的 改 进 的 后 验 估 计 。 这 样 的 一 个 过 程 。 们 称 之 为
我
定 义 观 测 变 量 ＥＲ ‘观 测 噪 声 为 ， 到 量 测 方 程 ：
，
得
＝
删
＋
（）
２
预估一
校正 过程 ，
对应 的这种估 计 算法称 为 预估一 正算 法 。以
校
下 给 出离散 卡尔 曼滤 波 的时 间更 新方 程 和状 态更新 方程 。
时 问更新 方 程 ：
假设
， 为相 互 独立 ， 态分 布 的 ½色 噪声 ，
正
过程 激 励
噪声协 方差矩 阵为 Ｑ， 测噪声 协方 差矩 阵为 Ｒ， ：
观
即
½
一Ⅳ（ ，
０ Ｑ）
一Ⅳ（ ，
０ Ｒ）
．
（）
３
（）
４
状态 更新 方程 ：
＝
Ｘ Ａ ½＋ 一
－ Ｘ＿ １
＝
１
（ ）
１
１
Ｐ－Ａ ½Ｑ
½ 一 ＋
＝
（２
１）
Ａ， 我们 统 称 为状态 变换 矩 阵 ，是 状 态变 换 过程 中的
曰，
调 整 系数 ， 从 建立 的 系统 数学 模 型 中导 出来 的 ，
是
这儿 我 们假
设 它们是 常数 。
１２ 滤 波 器 计 算 原 型
．
Ｐ－ 日Ｐ ½Ｒ）
， （ ½ ＋
Ｈ
（３
１）
½ ４
１）
（ ５
１）
Ｘ Ｋ （ Ｈ
½ ＋ ½Ｚ Ｘ
Ｐ ＝ Ｉ Ｋ½
￣
． （－ Ｈ）
从 建立 的 系统数学 模 型出发 ， 以导 出卡 尔曼 滤 波的 计算
可
原 型 ， 括 ： 间 更 新 方 程 和 测 量 更 新 方 程 。 为 了便 于 描 述 ，
包
时
做
在 上 面式 中 ． 量说 明 如下 ：
各
Ａ： 用在
½
：
上 的 ／ Ｄ状态 变换 矩 阵
１ ，
，
Ｘ
以
下说明： ） Ｒ ， ．
（ 兄∈ 第 １
１
½
步之前的状态已
知的情况下第 ½
步
的先 验状 态估计 值 （ 代 表先 验 ， 代 表估 计 ） （ ） ∈Ｒ ，
一
；２
测量
½用 在控 制 向量 一上 的 ½ ½ 入控 制矩 阵
½ 输
Ｈ：½½观测 模 型矩 阵 ．它把 真 实状 态 空 间 映射成 观 测 空
½½½
½
间 Ｐ一为 ½ ½先验 估计 误 差协 方差 矩 阵 ： ½ ½后 验估 计 误
½： ½ ½
½
为 ½½
差协 方 差矩 阵 Ｑ：Ｘ½ 程 噪声 协 方 差 矩 阵 Ｒ： ½ 过 程 噪声
½ ½过
½
½½
协 方 差 矩 阵 ，½ ½阶 单 ½ 矩 阵 Ｋ， ½ 阶 矩 阵 ， 称 为 卡 尔 曼 增
：½½
½
Ｉ½ ½
：
变 量 已知情 况 下第 ½步 的后验 状 态估 计值 。 由此 定 义 先验
估计误 差 和后验 估计误 差 ：
Ｅ－Ｘ － 一
½ Ｘ
＝
Ｅ
½
－
Ｘ
（）
５
（）
６
益或 混合 因数 ， 用是 ½后 验估 计误 差协 方差最 小 前面 描述 的
½
卡尔 曼 滤波 器估 计 一个 用 线 性 随机 差分 方 程描 述 的 随机 过程
先 验 估 计 误 差 的协 方 差 矩 阵 为 ：
Ｐ－Ｅ（ ½ ）
½
＝ Ｅ—
既
（）
７
的 状 态 变 量 Ｘ ∈ ， 么 对 于 系 统 模 型 是 非 线 性 的情 ½ ， 该
那
又
怎么做 呢 ？扩展 的卡 尔曼 滤 波 （ ½½ ½ ½Ｋ ½ ½ ½½）
Ｅ ½½ ½ ½½ ½Ｆ½ ½ 器给 出
½
・
３ ・
４
½ 件 导 刊
２ ０ 拄
０９
这种情 ½ 的一种 解法 ， Ｔ ½½ 级数类 似 ，
同 ½ ½
½
面对 非 线性 关 系时 ，
我们 可 以通过 求过程 方 程 和量测 方程 的偏 导 来线 性化
４ 并
、
．
计算 ½前估计 量 。不 同于基本 卡尔 曼滤 波 （ Ｆ）
Ｋ 过程 ，
扩展 卡尔
曼滤 波 （Ｋ ） 程 中 的 因子 矩 阵 （ ， ， ， ） 时刻 变 化 的 ，
Ｅ Ｆ过
Ａ 日 是
因此 加下 标 ½ ½表示 ½时 刻 ）
（
以示标 记 。扩展 滤 波器 （ Ｋ ）
Ｅ Ｆ 的
基本工 ½步 同基本 滤波 器 的工½ 步一样 ，
两者 的主要 区别 在于
非线性 情½ 下需 要进行 线性 化处 理 ， 因子矩 阵一般 ½ 随时 问
且
变化 （ 时刻 ½有关 ）
与
。½ 是值 得注 意 的是 ，
经线 性变 换后 系统
噪声 及量测 噪声 不再 服从 高斯 分布 。
图２
卡 尔曼 滤 波 器 应 用 示 意
随着 卡尔 曼滤 波理论 的发 展 ，
一些 实用卡 尔曼 滤波 技术 被
提 出 来 ， 自适 应 滤 波 ， 优 滤 波 以 及 滤 波 发 散 抑 制 技 术 等 逐
如
次
渐得 到广泛应 用 。其 它 的滤波 理论 也迅 速发展 ， 线性 离散 系
如
统 的分解 滤 波 （ 息平 方根 滤 波 ， 列平 方根 滤 波 ， Ｄ分 解 滤
信
序
Ｕ
波 ）鲁 棒滤 波 （
，
日∞波 ）
。
２ 卡尔 曼 滤 波 的应 用
卡 尔 曼 滤 波 器 （ ½½½ ½½ ） 一 个 最 优 化 自 回 ½ 数 据 处
Ｋ ½ ½Ｆ½ ½是
½
理 算 法 （½½ ½ ½½½ ½½½ ½½½½½½ ½ ½½） 它 的 广 泛
½ ½ ½½½ ½½½½½½ ½ ½½ ，
½½ ½
½
½ ½½
应用 已经超 过 ３
Ｏ年 ， 括 航 空 器 ½ 道 修 正 、 器 人 系 统 控 制 、
包
机
３ 结 束 语
本 文 在 线 性 离 散 系 统 的 假 设 前 提 下 阐 述 了 基 本 卡 尔 曼 滤
雷达 系统与 导弹½ 踪 等 。
近年来 更 被应用 于组 合导航 与 动态定
½，
传感 器数据 融合 、 观经 济学 等应用 研究 领域 。
微
特别 是在 图
像处 理领 域 如头 脸识 别 、 像 分 割 、
图
图像 边 缘 检 测 等 ½ 前 热 门
研 究 领 域 占有 重 要 地 ½ 。
卡 尔 曼 滤 波 ½ 为 一 种 数 值 估 计 优 化 方 法 ， 应 用 领 域 的 背
与
景 结 合 性 很 强 。 因 此 在 应 用 卡 尔 曼 滤 波 解 决 实 际 问 题 时 。 要
重
波 的 原理 ，
主要 从两 个 方 面进 行 阐述 ： 系统 过 程模 型及 测量
①
模 型 建 立 ， 要 是 建 立 系 统 的 状 态 差 分 方 程 及 量 测 方 程 ， 及
主
以
确 定 系统 噪 声 、 量噪 声 的统计 特 性 ． 统计 测 量 的方法 进 行
测
用
噪声 相关 参 数 的估计 ，
建立 系 统过 程 的数 学模 型 ； 滤 波器 计
②
算 模 型 的建 立 ．
以数学 模 型为 基础 ，
确定 滤 波器 的 时 间更 新 方
程 及 状 态 更 新 方 程 ， 要 在 滤 波 器 系 数 的确 定 包 括 状 态 ½ 换 矩
主
的不 仅仅是 算法 的实 现与 优化 问题 ， 重要 的是利 用获 取 的领
更
域 知识 对 被认识 系统 进行 ½ 式化 描述 ，建 立 起精 确 的数 学 模
型 ， 从 这个模 型 出发 ， 行 滤 波器 的设计 与实 现工½ 。
再
进
滤 波 器 实 际 实 现 时 。测 量 噪 声 协 方 差 一 般 可 以观 测 得
阵及 相关 因子矩 阵 。最后 对滤 波器 的应用 ½ 了简要 总结 。
参 考 文 献
［ ½ ＧＲＥ Ｌ Ｈ， ＲＹ Ｂ Ｓ
１
Ｇ ＷＥ Ｃ ＧＡ ＩＨ０ＰＡ½Ｉ½ ½ ½½½½ ½½½ ½ ½½
． ½½ ½½ ½ ½½½ ½
½
½ ½
½
½½Ｊ ．½ ½½ ½ ½ ½ ½½ ½½ ½ ½½½½ ½ ½ ½½½½
½ ［½Ｄ ½ ½
½½ ½ ½½ ½½Ｓ½½ ½Ｕ ½½½½½ ½ Ｃ ½½
½Ｃ
½ Ｎ½ ½
½
½ ½ ½ ½ Ｃ ½ ½Ｈ½½ＮＣ２ ５ ９— ７ ２ ０
½Ｃ½ ½ ½Ｈ½ ½½ ½ ½，
½
７ ９ ３１ ５， ０ ６．
到，
是滤 波器 的 已知 条件 。它可 以通 过离 线获 取一些 系统 观测
值计 算 出来 。通 常 ， 确定 的是 过程 激励 噪 声协 方差 的 ½值 ，
难
因为 我 们 无 法 直 接 观 测 到 过 程 信 号 。 种 方 法 是 通 过 设 定 一 个
一
［ ½ Ｐ Ｔ ＲＳ Ｙ Ｅ ＫＳ ½½½ ½½ ， ½ ½½ ½ ½½½Ｖ ½
２
Ｅ Ｅ ．
ＭＡ Ｂ Ｃ ．½½½½ ½½ ½ ½ ½½½½½½ （½
½
½½
½ ½½ ½
½
½
½ ½ ）［ ．½½ ½ ½ ½½ ½ ½ ，½ Ｆ½ ½ ½ ，½ ½ ½
½ Ｉ Ｍ½ ½ ½ ½
Ａ
Ｐ½½ ½ Ｙ ½ Ｓ½ ½½ ½ ½ Ｌ ½ ½ ，
Ｎ
½
½
１７．
９ ９
合适 的 ， 过程信 号 “
给
注入 ”
足够 的不 确定 性来 建立 一个 简 单
的可 以产 生可 接受结 果 的过程 模型 。为 了提高 滤波器 的性 ½ ．
通常 要按 一定标 准进 行系 数 的选择 与调整 。
基 本 卡 尔 曼 滤 波 （ ） 限 定 在 线 性 的 条 件 下 ， 大 多 数
ＫＦ 器
在
的非 线 性 情 ½ 下 ， 们 ½ 用 扩 展 的 卡 尔 曼 滤 波 （ＫＦ 器 来 对 系
我
Ｅ ）
统 状 态 进 行 估 计 。为 了更 直 观 理 解 卡 尔 曼 滤 波 ． 出 卡 尔 曼 滤
给
波 应 用 示 意 ½ ， 图 ２所 示 ：
如
［ ½ 龚文 引．
３
演化 Ｋ ½ ½
½ ½滤波及 其应 用研 究［ ．
½
Ｄ½
武汉 ：
中½地质 大 学
研 究 生 院 ．０ ７
２ ０．
［
４½ 付 梦 印 ， 忠 红 ， 继 伟 ．½½½
邓
张
Ｋ ½ ½滤 波 理 论 及 其 在 导 航 系 统 中 的
应 用［ ．
Ｍ½北京 ： 学出版社 ，０ ３
科
２０ ．
［ ½ 敬 喜． 尔 曼滤 波 器及 其 应 用基 础 ［ ．
５
卡
Ｍ½北京 ：
½防 工 业 出版社 ，
½７
９ ３．
（ 任编辑 ：
责
王
钊）
Ｂ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ Ａ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½½
½½ Ｐ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½½ ½Ｋ½ ½ ½ Ｆ½ ½
½
½
Ａ½ ½½ ½ Ｋ½½½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½½½½½ ½ ½ ½½½½½ ½ ½½ ½½ ½ ½ ½½ ½ ½ ½½ ½ ½½ ½½ ½ ½ ½ ½ ． ½ ½ ½，½½
½½ ½ ： ½ ½ Ｆ ½ ½ ½½ ½½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½½½ ½ ½½ ½½ ½½ ½½ ½½ ½ ½½ ½½½ ½½½ ½ ½ ½½½ ½ Ａ½ ½ ½ ½
½½
½
½ ½ ½½ ½ ½ ½ ½ ½½ ½½½ ½ ½ ½ ½ ½½ ½ ．Ｉ ½ ½ ½ ½ ½ ½½½ ½ ½ ½ ½ ½½ ½½ ½½½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½½ ½ ½
½ ½ ½ ½½½ ½ ½ ½ ½½ ½½ ½½½ ½½ ½ ½ ½½ ½½ ½ ½½½ ½ ½½ ½ ½½ ½ ½ ½½ ½Ｋ½
½
½
½ Ｆ½ ½ ½ ½½½ ½ ½½ ½ ½ ½
½½
½ ½ ½½½ ½ ½½ ½ ½ ½ ½½ ½½ ½ ½ ½½ ½ ½ ½ ½ ½½½½ ½½½ ½ ½ ½½½ ½ ½ ½ ½ ½½ ½ ½ ½ ½½ ½ ½½ ½ ½ ½ ½ ½ ½
½ ½ ½ ½ ½½ ½½ ½ ½ ½ ½½ ½ ½½，½½ ½ ½ ½½ ½½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½： ½ ½ ½ ½½ ½ ½½ ½½ ½½ ½ ½ ½ ½½
½
½ ½ ½
½½ ½½ ½ ½ ½ Ｆ ½½ ½ ½ ½ ½ ½½½ ½ ½½ ½ ½½½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½½ ½ ½½ ．Ｆ ½ ½ ， ½½ ½½½ ½½½ ½ ½
½ ½ ½Ｋ½½½ ½ ½ ，½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½½ ½ ½½ ½ ½½½ ½ ½½ ½ ½
½
½
½
½ ½
½
½
½ ½ ½½ ½ ½½½ ½ ½ ½½½½ ½ ½½ ½ ½ ½
½ ½
½
½
½ ½ ½ ½ ½½ ½Ｋ½½½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ．
½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ Ｆ ½ ½ ½ ½ ½ ½½ ½
½ ½
½½
Ｋ½ ½ ½ Ｋ½ ½½ ½ ½ ； ½ ½ ½ ½ ½ Ｌ ½ ½ ½½ ½ ½
½ Ｗ ½ ½： ½ ½ Ｆ ½ ½ Ｓ ½½ Ｍ½ ½ ； ½ ½ ½½ ½
½
½
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